BÀI TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình đã được học ở lớp 8, được áp dụng cho giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớ[.]
BÀI TẬP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Quy tắc giải toán cách lập phương trình học lớp 8, áp dụng cho giải toán cách lập phương trình lớp Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng có tốn Bước 2: Giải phương trình vừa lập Bước 3: Trả lời, kiểm tra xem nghiệm phương trình vừa giải, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, viết kết luận II Bài tập Bài 1: (41/58/SGK, Tập 2) Trong lúc học nhóm, bạn Minh bạn Lan người chọn số cho hai số ln tích chúng phải 150 Vậy bạn Minh bạn Lan chọn số nào? Giải Đây toán, muốn giải phải lập phương trình Đã giải tốn cách lập phương trình phải làm theo quy tắc giải tốn cách lập phương trình Gọi số bạn chọn x số bạn chọn phải x Theo đề bài, tích hai số mà hai bạn chọn 150 nên ta có phương trình x( x 5) 150 Giải phương trình vừa lập: x( x 5) 150 x x 150 x x 150 Phương trình x2 5x 150 có a 1; b 5; c 150 nên: b2 4ac 52 4.1.(150) 25 600 625 Do 625 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 5 625 5 25 20 10 2a 2 x2 b 5 625 5 25 30 15 2a 2.1 2 Từ kết ta thấy: Nếu Minh chọn số 10 Lan chọn số 10 ngược lại Nếu Minh chọn số 15 Lan chọn số 15 10 ngược lại (loại) 15.(10) 150 Bài 2: (42/58/SGK, Tập 2) Bác Thời vay 2000000 đồng ngân hàng để làm kinh tế gia đình thời hạn năm Lẽ cuối năm bác phải trả vốn lẫn lời Song bác ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm năm nữa, số lãi năm gộp vào với vốn để tính lãi năm sau lãi suất cũ Hết hai năm bác phải trả tất 2420000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm, năm? Giải Nhắc lại: Khi giải tốn cách lập phương trình ta phải vận dụng quy tắc Đã vận dụng quy tắc phải chọn ẩn số Muốn chọn ẩn số phải xác định tốn ta phải giải có đại lượng chưa biết Có xác định đại lượng chưa biết chọn đại lượng chưa biết làm ẩn số Ngồi quy tắc cịn quy định: dùng ẩn số số biết để biểu thị số chưa biết Do việc xác định đại lượng chưa biết ta phải xác định đại lượng biết có đề tốn * Những đại lượng chưa biết toán là: - Lãi suất quy định năm ngân hàng %? - Sau năm cộng vốn lẫn lãi để bác Thời chịu lãi suất năm sau - Sau năm bác Thời phải trả 2420000 đồng Trong ba đại lượng chưa biết đề hỏi có ta chọn đại lượng chưa biết làm ẩn số Không thiết phải chọn đại lượng chưa biết mà đề hỏi làm ẩn số Có nhiều tốn chọn đại lượng chưa biết mà đề hỏi làm ẩn số phương trình phải lập phức tạp Do ta chọn đại lượng chưa biết để khai lập phương trình đơn giản làm ẩn số Bài ta chọn lãi suất đại lượng chưa biết làm ẩn số Gọi x(%) lãi suất quy định ngân hàng năm ( x 0) Tìm lãi số tiền vay 2000000 đồng năm x 2000000 20000x (đồng) 100 Sau năm vốn lẫn lãi 2000000 20000x Tiền lãi năm thứ hai bác Thời phải chịu là: (2000000 20000x) x 20000x 200x2 (đồng) 100 Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả lời: 2000000 40000x 200x2 (đồng) Theo đề ta có phương trình: 2000000 40000x 200x2 2420000 x2 200x 2100 Phương trình có hệ số a 1; b 200; c 2100 b2 ac 1002 1.2100 12.100 110 Do nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 100 110 10 a x2 100 110 220 (loại) Vậy lãi suất năm 10% Bài 3: (47/58/SGK, Tập 2) Một xuồng du lịch từ thành phố Cà Mau đến đất Mũi theo đường sơng dài 120 km Trên đường xuồng có nghỉ lại thị trấn Năm Căn Khi xuồng theo đường khác dài đường lúc km với vận tốc nhỏ vận tốc lúc km/h Tính vận tốc xuồng lúc đi, biết thời gian thời gian Giải Nhắc lại tốn chuyển động có ba đại lượng: Quãng đường phải đi, thời gian hết quãng đường vận tốc quãng đường Quãng đường= thời gian vận tốc Vân tôc Quang đuong Thoi gian Thoi gian Quang đuong Vân tôc * Những đại lượng biết là: - Đoạn đường dài 120 km - Thời gian nghỉ - Đường 125 km - Vận tốc lúc nhỏ vận tốc lúc km/h * Những đại lượng chưa biết toán - Thời gian lúc hết giờ? - Vận tốc lúc bao nhiêu? - Thời gian lúc về? - Vận tốc lúc về? Trong đại lượng chưa biết, chọn đại lượng làm ẩn số? Gọi x vận tốc lúc ( x tính km/h) vận tốc lúc x (km/h) Thời gian lúc Thời gian 120 (giờ) (không kể thời gian nghỉ) x 125 (giờ) x5 Theo ta có phương trình: 120 125 1 x x5 Giải phương trình trên: 125 120 125 120 1 1 x5 x x5 x 125x 120( x 5) x( x 5) 125x 120x 600 x2 5x x2 10x 600 Phương trình x2 10x 600 có biệt thức: b2 ac 52 1.(600) 25 600 625 Do 625 625 25 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b (5) 625 25 30 30 a 1 (Thoả mãn điều kiện) x2 b (5) 625 25 20 20 (loại) a 1 Vậy vận tốc xuồng lúc 30 km/h Bài 4: (44/58/SGK, Tập 2) Đố: Đố em tìm số mà nửa trừ nửa đơn vị nhân với nửa nửa đơn vị Giải Gọi nửa x x , nửa trừ nửa đơn vị 2 Theo đề ta có phương trình: x 1 x x4 x x2 x 2 2 4 Phương trình x2 x có hệ số a 1; b 1; c nên a b c 1 (1) (2) 1 1 nên: x1 1 x2 Vậy số phải tìm 1 Bài 5: (45/59/SGK, Tập 2) Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số Giải Gọi số tự nhiên nhỏ x( x ¥* ) số tự nhiên liền sau x 1 Tích hai số tự nhiên phải tìm lớn tổng chúng 109 nên ta có phương trình x( x 1) ( x x 1) 109 Giải phương trình trên: x( x 1) ( x x 1) 109 x2 x x x 109 x2 x 1 109 x2 x 110 Phương trình x2 x 110 có hệ số: a 1; b 1; c 110 a b2 4ac 12 4.1.(110) 12 440 441 441 x1 b (1) 441 1 21 22 11 2a 2 x2 b (1) 441 1 21 20 10 (loại) 2a 2.1 2 Vậy hai số tự nhiên phải tìm 11 12 Bài 6: (46/59/SGK, Tập 2) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2 Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính kích thước mảnh đất Giải Gọi chiều rộng mảnh đất x ( x tính m) chiều dài mảnh đất 240 (m) x Nếu tăng chiều rộng thêm m chiều rộng x Muốn giảm chiều dài m chiều dài 240 x( x) x Biết sau tăng thêm chiều rộng, giảm chiều dài diện tích mảnh đất khơng đổi nên ta có phương trình: ( x 3)( 240 4) 240 x Giải phương trình trên: ( x 3)( 240 4) 240 x 240 x2 420 12 x 240 x 4 x 240 x 12 x 240 x 720 4 x 12 x 720 x 12 x 720 Chia vế phương trình cho 4, ta có: x 3x 180 Phương trình có biệt thức; b2 4ac 32 4.1.(180) 720 729 Do 729 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 3 729 3 27 24 12 2a 2.1 2 x2 b 3 729 3 27 30 15 (loại) 2a 2.1 2 Vậy chiều rộng mảnh đất 12m chiều dài mảnh đất 240 20 (m) 12 Bài 7: (47/59/SGK, Tập 2) Bác Hiệp cô Liên xe đạp từ làng lên tỉnh quảng đường dài 30 km, khởi hành lúc Vận tốc xe đạp bác Hiệp lớn vận tốc xe cô Liên km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước Liên nửa Tính vận tốc xe người Giải Bài toán thuộc thể loại chuyển động, gồm ba đại lượng Quãng đường phải đi, thời gian quãng đường đó, thời gian hết qng đường Cơng thức tính đại lượng có trước * Những đại lượng biết - Độ dàu quãng đường 30 km - Vận tốc km/h - Người đến trước người * Những đại lượng chưa biết toán - Vận tốc bác Hiệp - Thời gian bác Hiệp từ nhà đến tỉnh - Vận tốc cô Liên - Thời gian cô Liên từ nhà đến tỉnh Trong đại lượng chưa biết đề hỏi có Ta chọn đại lượng chưa biết làm ẩn số Trong phần lí luận lập phương trình phải có biểu thức biểu thị đại lượng chưa biết Gọi vận tốc xe cô Liên x ( x tính km/h) vận tốc xe bác Hiệp x (km/h) Thời gian cô Liên từ nhà đến tỉnh 30 (h) x Thời gian bác Hiệp từ nhà đến tỉnh 30 (h) x3 Biết bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa ( giờ) Theo ta có phương trình: 30 30 x x3 Giải phương trình trên: 30 30 30.2( x 3) 30.2 x x( x 3) x x3 60 x 180 60 x x 3x x 3x 180 Phương trình có biệt thức: 32 4.1.(180) 720 729 Do 729 phương trình có hai nghệm phân biệt x1 b 3 729 3 27 24 12 2a 2.1 2 x2 b 3 729 3 27 30 15 (loại) 2a 2.1 2 Vậy vận tốc xe cô Liên 12 km/h vận tốc xe bác Hiệp 12 15 (km/h) Bài 8: (48/59/SGK, Tập 2) Từ miếng tơn hình chữ nhật, người ta cắt bốn góc bốn hình vng có cạnh dm để làm thùng khơng nắp có dung tích 1500 dm3 (hình 15) Hãy tính kích thước miếng tơn lúc đầu, biết chiều dài gấp đơi chiều rộng Gọi x chiều rộng miếng tôn lúc đầu ( x tính dm), chiều dài 2x Miếng tơn làm thành thùng khơng có nắp chiều dài thùng x 10 (dm) chiều rộng thùng x 10 (dm) chiều cao (dm) Dung tích thùng 5(2 x 10)(x 10) (dm3 ) Theo ta có phương trình: 5(2 x 10)( x 10) 1500 Giải phương trình trên: 5(2 x 10)( x 10) 1500 10 x 100 x 50 x 500 1500 x 15 x 100 Phương trình có biệt thức 152 4.1.500 225 400 625 Do 625 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b (15) 625 15 25 40 20 2a 2.1 2 x2 b (15) 625 15 25 10 5 (loại) 2a 2.1 2 Vậy chiều rộng miếng tôn 20 dm chiều dài miếng tôn 20 40 (dm) Bài 9: (49/59/SGK, Tập 2) Hai đội thợ quét sơn ngơi nhà Nếu họ làm ngày xong việc Nếu họ làm riêng đội I hồn thành cơng việc nhanh đội II ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong việc Giải Gọi x thời gian đội làm xong công việc ( x tính ngày) Đội hai làm xong công việc x (ngày) (công việc) x Một ngày đội làm Một ngày đội hai làm (công việc) x6 Cả hai đội làm chung (công việc) Theo ta có phương trình: 1 x x6 Giải phương trình trên, ta có: 4( x 6) x x( x 6) x 24 x x x Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có x 24 x x x x x 24 Phương trình có biệt thức 12 1.(24) 24 25 Do 25 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 1 25 1 4 a 1 x2 b 1 25 1 4 4 (loại) a 1 Vậy đội làm ngày xong công việc đội hai phải làm 1: 12 (ngày) 66 Bài 10: (50/59/SGK, Tập 2) Miếng kim loại thứ nặng 880 g miếng kim loại thứ hai nặng 858g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm, khối lượng riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai g / cm3 Tìm khối lượng riêng miếng kim loại Giải Gọi x khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai ( g / cm3 x ) khối lượng riêng miếng kim loại thứ x ( g / cm3 ) Thể tích miếng kim loại thứ Thể tích miếng kim loại thứ hai 880 ( cm3 ) x 1 858 ( cm3 ) x Theo ta có phương trình: 858 880 10 x x 1 Giải phương trình trên: 858 880 10 858( x 1) 880 x 10 x( x 1) x x 1 858x 858 880 x 10 x 10 x 858x 858 880 x 10 x 10 x 10 x2 32 x 858 Chia hai vế cho hai, ta có: 5x 10 x 429 (nhân vế với 1 ) 5x2 16 x 429 Phương trình 5x2 16 x 429 có biệt thức 82 5.(429) 64 2145 2209 Do 2209 nên có hai nghiệm phân biệt: x1 b 2209 8 47 7,8 thoả mãn điều kiện a x2 b 8 2209 8 47 (loại) a 5 Bài 11: (51/59/SGK, Tập 2) Người ta đổ thêm 200 g vào dung dịch chứa 40 g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước? Giải Gọi x khối lượng nước có dung dịch trước đổ thêm nước ( x tính gam) nồng độ muối dung dịch là: 40 x 40 Khi đổ thêm 200 g nước vào dung dịch khối lượng dung dịch lúc là: x 40 200 x 240 ( g ) Nồng độ dung dịch sau đổ thêm 200 g nước vào 40 x 240 Theo ta có phương trình: 40 40 10% x 40 x 240 Giải phương trình trên: 40 40 10% x 40 x 240 400( x 240) 400(x 40) ( x 40)( x 240) 400 x 96000 400 x 16000 x 280 x 9600 x 280 x 70400 Phương trình x2 280 x 70400 có biệt thức: 19600 70400 300 Do 300 mà phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 140 90000 140 300 160 160 a 1 x2 b 140 300 440 440 (loại) a 1 Vậy trước đổ nước dung dịch có chứa 160 g nước Bài 12: (52/60/SGK, Tập 2) Khoảng cách hai bến sông A B 30 km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ mười phút bên B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến đến bến A hết tất Hãy tìm vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Giải Gọi x vận tốc ca nơ nước n lặng ( x tính km/h), vận tốc ca nơ xi dịng x (km/h) vận tốc ca nô ngược dòng x (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng đoạn sơng dài 30 km là: Thời gian ca nô ngược đoạn sông dài 30 km là: Theo ta có phương trình: Giải phương trình trên: 30 (giờ) x3 30 (giờ) x3 30 30 6 x 3 x 3 30 30 6 x 3 x 3 90( x 3) 90( x 3) 16( x 3)( x 3) 90 x 270 90 x 270 16 x 48 x 48 x 144 x 45x 36 2025 576 2601 x1 b 45 2601 45 51 96 12 (thoả mãn điều kiện) 2a 2.1 8 x2 b 45 51 6 (loại) 2a 8 Bài 13: (53/60/SGK, Tập 2) TỈ SỐ VÀNG Đố em chia đoạn thẳng AB cho trước thành hai đoạn cho tỉ số đoạn lớn với đoạn AB tỉ số đoạn nhỏ với đoạn lớn (Hình 16) Hãy tìm tỉ số Đó tốn Ơclit đưa từ kỉ thứ ba trước công nguyên Tỉ số nói tốn gọi TỶ SỐ VÀNG, cịn phép nói gọi phép chia vàng hay phép chia hoàng kim Hướng dẫn: Giả sử M điểm M AM MB Gọi tỉ số cần tìm x Giải Gọi tỉ số cần tìm x (0 x a) ta có MB a x Theo đề AM MB x ax từ ta có AB AM a x Áp dụng tính chất tỉ lệ thức Trong tỉ lệ thức tính ngoại tỉ tích trung tỉ x ax x.x a.(a x) a x x a ax x a ax Phương trình x2 ax a phương trình bậc hai ẩn x Phương trình có hệ số a 1; b 1; c a nên có biệt thức: b2 4ac a 4.1(a ) a 4a 5a Do 5a2 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b a 5a a a a a 2a 2.1 2 x2 b a a 5a a a (loại) 2a 2.1 Như AM ( 1)a Vậy tỉ số cần tìm AM 1 AB