KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM BẤT KỲ ĐẾN MẶT BÊN I Phương pháp giải +) Nếu / /AB thì ta có ; ;d A d B +) Nếu AB cắt tại I thì ta có ; ; d A AI BId B (định lý T[.]
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM BẤT KỲ ĐẾN MẶT BÊN I Phương pháp giải +) Nếu AB / / ta có d A; d B; +) Nếu AB cắt I ta có: d A; d B; AI (định lý Talet) BI Xét toán: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng bên SAB Nếu CH / / SAB d C; SAB d H ; SAB Nếu CH SAB I d C; SAB d H ; SAB CI HI Quay trở tốn tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB a, BC 2a Tam giác SAC cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SB a) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Lời giải 3a , tính: a) Gọi H trung điểm AC SH AC Mặt khác SAC ABC SH ABC Ta có: BH AC AB BC a (trong tam giác vng 2 trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh ấy) Do SH SB BH a Dựng HE AB, HF SE HF SAB Do d H ; SCD HF Lại có HE Mặt khác Lại có BC a 1 SH.HE a HF 2 2 HF HE SH SH HE d C; SAB d H; SAB CA d C; SAB 2d H; SAB a HA b) Dựng HM BC, HN SM d H; SBC HN Trong HM Lại có AB a SH.HM a HN 2 2 SH HM d A; SBC d H; SBC AC 2a d A; SBC 2d H; SBC 2HN HC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , đáy tam giác cạnh a Biết SB a a) Tính khoảng cách từ trung điểm K SA đến mặt phẳng SBC b) Tính khoảng cách từ trung điểm I SB đến mặt phẳng SAC Lời giải a) Dựng AM BC AM ACsinC a sin 60 a BC SA BC AN BC AM Dựng AN SM Do Lại có AN SM AN SBC Mặt khác SA SB2 AB2 2a, d A; SBC AN 2a 57 19 1 2 AN SA AM2 Do K trung điểm SA nên ta có b) Dựng BE AC BE d K; SBC d A; SBC KS 1 a 57 d K; SBC AN AS 2 19 a Mặt khác BE SA BE SAC d B; SAC BE Do d B; SAC d I; SAC a BS a d I; SAC d B; SAC IS Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 3a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy điểm H thuộc cạnh AB cho HB=2HA Biết SC tạo với đáy góc 45 Tính khoảng cách sau: a) d B; SAC b) d I; SBC Lời giải · 60 a) Tam giác ABC nên HAC Ta có: HC AH AC2 2AH.AC cos 60 a · 45 SH HC a Mặt khác · SC; ABC SCH Ta có: BA d B; SAC HA d H; SAC d B; SAC 3d H; SAC Dựng HE AC, HF SE HF SAC Ta có: HE HA sin 60 a sin 60 HF b) Ta có: HE.SH SH HE 2 d A; SBC d H; SBC a a 651 3a 651 d B; SAC 3HF 31 31 AB 3 d A; SBC d H; SBC HB 2 Dựng HM BC, HN SM d H; SBC HN Mặt khác HM HBsin 60 2a sin 60 a HN SH.HM SH HM 2 a 210 10 Do d A; SBC HN 3a 210 20 Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh Cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC SG ABC Gọi M trung điểm BC BC GM , lại có: BC SG suy BC SGM GE SM GE (SBC) GE BC Dựng GE SM Do d G; SBC GE a a a , GA AM 3 GM AM · 60 SG GA tan 60 Do SG (ABC) · SA; ABC SAG Do GE SG.GM SG GM a tan 60 a d A; SBC AM a , mặt khác 3 d G; SBC GM 13 Vậy d A; SBC 3d G; SBC 3a 13 Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, tâm O, SO=a a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD b) Tính khoảng cách từ trung điểm SO đến mặt phẳng SCD Lời giải a) Dựng OE SE, OF SE d O; SCD =OF Mặt khác OE AD SO.OE a a d =OF= 2 SO2 OE Lại có: d A; SCD d O; SCD d A; SCD 2d o a b) Gọi M trung điểm SO d M; SCD d O; SCD MS 1 a d M; SCD d o OS 2 · 120 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, biết BAD SO (ABCD) Biết SO a , tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Lời giải Dựng OE CD, OF SE d O; SCD =OF · · 120 CAD 60 CAD tam giác Do BAD a cạnh a a · 60 OE OCsin 60 Khi OCE 2 Do OF Mặt khác SO.OE SO2 OE d A; SCD d O; SCD d A; SCD 2OF a 51 d O; SCD 17 AC 2 OC 2a 51 17 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 3AD Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ABCD điểm H AB cho HB 2HA Biết SH a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Lời giải a) AB HA AD SH AD HE AD AB Dựng HE SA Ta có: Khi HE SAD d H; SAD HE Mặt khác HA.SH HA SH 2 d B BA 3 d B; SAD 3d H d H HA b) Do AH / /CD AH / / SCD d A; SCD d H; SCD Dựng HK CD, HF SK d H; SCD =HF Mặt khác HK AD 1,SH HF Vậy d A; SCD SH.HK SH HK 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh OA Biết góc mặt phẳng SCD đáy 60 Tính khoảng cách: a) d B; SCD b) d A; SBD Lời giải a) Dựng HK CD CD SHK · 60 Ta có: HK AD 3a SCD ; SHK SKH · 4 Mặt khác SH HK tan 60 3a Ta có: AB / /CD AB / / SCD Lại có: d A; SCD d H; SCD AC HC Do đó: d B; SCD d A; SCD d H; SCD · HK sin 60 Dựng HE SK HE HK sin HKE Vậy d B; SCD HE 4 3a 3a 3a b) Ta có: d A; SBD d H; SBD AO a d A; SBD 2d H; SBD , HO AC HO 4 HO.SH Dựng HF SO HF HO SH Vậy d A; SBD 2HF 3a 696 232 3a 696 232 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O, SA 2a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh OA, biết tam giác SBD vng S Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Lời giải 2 Ta có ∆SBD vng S nên SO BD AC VSAC vng S ta có: SA HA.AC 4HA 8a 4HA2 HA a AC 4a AB AC 4a Khi đó: SH SA HA a Do AD / /BC d D; SBC d A; SBC Mặt khác d A; SBC d H; SBC AC HC Do d D; SBC d H; SBC Dựng HE BC, HK SE HK SBC 3 Ta có HE AB 3a HK HE.SH HE SH 2 6a 8a 4a 10 d D; SBC HK 10 10 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB đáy lớn tam giác ABC tam giác Các mặt phẳng SAB SAC vng góc với đáy, cạnh bên SC 2a khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Lời giải SAB ABC Ta có: SAC ABC SA (ABC) Gọi M trung điểm AB suy CM AB CM SAB Do d C; SAB CM a SM SC2 CM a Gọi K trung điểm BC nên AK CM a Lại có CM AM Khi 2a AB AB a 2a SA Kẻ AH SK, H SK nên AH SBC d A; SBC AH 3 1 1 2a 22 AH 2 2 AH SA AK 11 2a a Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy lục giác cạnh a Tam giác SAD vng cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy ABCD a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AD SH AD Mặt khác SAD ABCD SH ABCD SAD vuông cân S nên SH AD a Dễ thấy HC=AB=a HCD cạnh a Dựng HE CD, HF SE d H; SCD =HF Mặt khác HE a SH.HE a 21 HF SH HE Do D=2HD d A; SCD 2HF 2a 21 b) Dễ thấy HDCB hình thoi cạnh a Do BH / /CD BD / / SCD d B; SCD d H; SCD HF a 21 Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AC BC a, AB a , hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết mặt phẳng B'C 'CB tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách: a) d A; A ' BC b) d C; ABB'A ' Lời giải a) Gọi I trung tâm AB ta có: CI AB Dựng GE BC A ' EG BC ·'EG 60 GA' GE tan 60 Ta có: A CI BC2 IB2 a a CG · Mặt khác: sin ICB · 60 ICB Khi đó: GE CG sin 60 A 'G GE tan 60 a a Dựng GF A 'E ta có: GF A ' BC d G; A ' BC =GF Ta có: d A; A 'BC 3d G; A 'BC 3GF 3GE sin 60 a 3 3a b) Do CI 3GI d C; B'AB 3d G; B'AB Dựng GK A 'I d G; A 'AB a a GI.A 'G GI A 'G Trong GI CI , A 'G GK a 10 3a 10 d C; A 'AB 20 20 Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB AD 2a, BC a , tam giác SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD), biết cạnh bên SD 3a , tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Lời giải Gọi H trung điểm AB ta có: SH AB mặt khác ABC (ABCD) SH ABCD Ta có: HD AH AD2 a Khi đó: SH SD2 HD2 2a Gọi K AB CD KB BC AK HK KA AD Ta có: d A; SCD d H; SCD HF Dựng HE CD, HF SE HF SCD 4 Ta có: CD AB2 AD BC 2 a ; SHCD SABCD SHBC SHAD 3a 3a 3a 2 2SHCD 3a 3a SH.HE 6a 8a HF d A;SCD Do HE 2 CD a 5 29 SH HE Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a, AD=2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, cạnh bên SD tạo với đáy góc thỏa mãn tan Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD 13 Lời giải Gọi H trung điểm AB ta có: SH AB Mặt khác SAB ABCD SH ABCD Ta có: a 13a · HD AH AD 2AD.AH.cos HAD 4a 2a cos 60 4 a 13 HD 2 2 · SH HD tan a Ta có: SDH Gọi F AB CD AF 2AB AF HF Do đó: d A; SCD d H; SCD HK Mặt khác HE HFsin 60 HK HE.SH SH HE 3a 3a 2 3a 93 2a 93 d A; SCD HK 62 61 ... khác SAC ABC SH ABC Ta có: BH AC AB BC a (trong tam giác vng 2 trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh ấy) Do SH SB BH a Dựng HE AB, HF SE HF SAB Do