Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ XI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng toán 1 LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng Một mặt phẳng có vô số vectơ p[.]
CHỦ ĐỀ XI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng tốn LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác có giá vng góc với mặt phẳng Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến phương với nên ta chọn tọa độ tỉ lệ Phương trình tổng quát mặt phẳng Mặt phẳng qua điểm M x0 , y0 , z0 có vectơ pháp tuyến n A, B, C , A2 B C có phương trình: A x x0 B y y0 C z z0 biến đổi thành dạng phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0, A2 B2 C Phương trình mặt tọa độ: Oxy : z 0, Oyz : x 0, Ozx : y Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz điểm khác gốc O A a; 0; , B 0, b, , C 0; 0; c có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn x y z a b c Chú ý: 1) Mặt phẳng qua điểm A, B, C khơng thẳng hàng vó vectơ pháp tuyến n AB, AC 2) Mặt phẳng qua gốc O có dạng Ax By Cz 0, A2 B2 C 3) Mặt phẳng song song chứa trục Ox có dạng By Cz D 0, B C 4) Mặt phẳng song song chứa trục Oy có dạng Ax Cz D 0, A2 C 5) Mặt phẳng song song chứa trục Oz có dạng Ax By D 0, B2 C 6) Mặt phẳng song song với mặt phẳng Ax By Cz D 0, A2 B C có dạng Ax By Cz D 0, A2 B C 0, D D Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua ba điểm M 2; 0; 1 , N 1; 2; , P 0; 1; b) Đi qua ba điểm A 1; 2; , B 2; 4; , C 4; 5; Giải a) Phương trình (MNP) có dạng Ax By Cz D 0, A2 B2 C Tọa độ điểm M, N, P nghiệm phương trình nên: 2A C D 2 A C D 2 A C D B C A 2B 3C D A 2B 4C A 2B A 2C B 2C D A 3B C 5B 5C D 3C Ta phương trình: 2Cx Cy Cz 3C Hiển nhiên C (vì C (vì C=0) A B C : loại nên chia hai vế phương trình cho C, ta phương trình mặt phẳng (MNP): 2x y z b) Ta có AB 3; 6; , AC 5; 3; Chọn vectơ pháp tuyến n AB, AC 18; 9; 39 hay 6 ; 3; 13 Vậy phương trình mp(ABC): x 1 y 13 z x 3y 13z 39 Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua hình chiếu A 2; 3; lên trục tọa độ b) Trung trực EF với E 2; 3; 4 , F 4; 1; Giải a) Gọi A1 , A2 , A3 hình chiếu điểm A trục Ox, Oy, Oz Khi đó: A1 2; 0; , A2 0; 3; , A3 0; 0; Vậy phương trình mặt phẳng A1 A2 A3 theo đoạn chắn là: x y z b) Gọi I trung điểm M M I 3; 1; 2 Mặt phẳng trung trực đoạn M M qua I có vectơ pháp tuyến n M 1M 2; 4; hay 1; 2; Vậy P : 1 x y 1 z x y 2z Bài toán Lập phương trình của: a) Các mặt phẳng tọa độ b) Các măt ohẳng qua điểm I 2; ; 3 song song với mặt phẳng tọa độ Giải a) Mặt phẳng tọa độ Oxy qua O có VTPT k 0; 0; 1 nên có phương trình: x y 1 z Vậy mp(Oxy): z Tương tự mp(Oyz) qua O có VTPT i 1; 0; nên mp(Oyz): x , mp(Ozx) qua O có VTPT j 0; 1; nên mp(Ozx): y b) Phương trình mặt phẳng qua điểm I 2; ; 3 và: - Song song với mặt phẳng Oxy z - Song song với mặt phẳng Oyz x - Song song với mặt phẳng Ozx y Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M 3; 2; 1 song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x y z b) Đi qua hai điểm A 1; 1; 1 , B 5; 2; 1 song song với trục Oz Giải a) Mặt phẳng (P) cần tìm phải song song với mặt phẳng Q : x y z nên hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến 1; 5; 1 Mp(P) qua điểm M 3; 2; 1 nên có phương trình là: x 3 y z 1 hay x 5y z b) Giả sử mặt phẳng (P) qua A, B song song với Oz, có vectơ pháp tuyến n n phải vng góc với AB 4; 1; vng góc với vectơ đơn vị Oz k 0; 0; 1 , chọn: 1 n AB, k 0 2 4 ; ; 1 0 1 1; 4; 0 Vì (P) qua điểm a nên phương trình (P) là: x 1 y 1 hay x y Cách khác: Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: Ax By D với D 0, A2 B2 Mặt phẳng qua A B nên tọa độ A B thỏa mãn phương trình đó: A B D A B 5A 2B D Chọn A 1, B 4 D phương trình (P) là: x y Bài toán Cho tam giác ABC với A 3; 5;7 , B 0; 1; 1 , C 3; 1; 2 Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh tam giác vng góc với cạnh đối diện đỉnh Giải Mặt phẳng (P) qua A 3; 5;7 vng góc với BC nên có VTPT n BC 3; 2; 3 có phương trình: x y z hay 3x 2y 3z 20 Tương tự, mặt phẳng (Q) qua B vng góc với AC: x y 9z mặt phẳng (R) qua C vuông góc với AB: x 2y 2z Bài toán Cho A a; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c với a, b,c a) Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) b) Tính diện tích tam giác ABC Giải a) Vì A a; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c thuộc trục Ox, Oy, Oz nên có phương trình theo đoạn chắn: ABC : x y z 1 a b c bcx cay abz abc b) Ta có: AB a; b; , AC a; 0; c nên: AABC 1 2 AB, AC a b b2c c a 2 Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm G 1; 2; cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC b) Đi qua điểm H(2 ;1 ;1) cắt trục tọa độ điểm A,B,C cho H trực tâm tam giác ABC Giải a) Giả sử A a; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c Vì G 1; 2; trọng tâm tam giác ABC nên: a 0 0 b 0 0 c 1; 2; 3 3 Suy a 3, b , c Vậy phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng cần tìm là: x y z b) Nếu mặt phẳng qua H 2; 1; 1 cắt trục tọa độ A, B, C tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc, H trực tâm tam giác ABC OH mp ABC Vậy mp(ABC) qua H có vectơ pháp tuyến OH 2; 1; 1 nên có phương trình: x y 1 z 1 hay 2x y z Bài toán Viết phương trình mặt phẳng qua: a) A 5; 1; song song mp(P): 3x 5y 2z b) Gốc O song song với mp(Q): x 3y 2z Giải a) Mặt phẳng qua A song song với mp(P): 3x 5y 2z nên chọn chung VTPT, có phương trình: x y 1 z hay 3x 5y 2z 14 Vì A khơng thuộc mặt phẳng (P) nên mặt phẳng cần tìm b) Mặt phẳng qua gốc O song song với mp(Q): x 3y 2z nên chọn chung VTPT, có phương trình: 1 x y z hay x 3y 2z Vì gốc O khơng thuộc mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng cần tìm Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng (P): a) Chứa trục Oz qua điểm E 2; 1; b) Chứa giao tuyến mặt phẳng x y z 0, 3x y z qua F 2; 1; 1 Giải a) OE 2; 1; , i 1; 0; vectơ phương Ox Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến OE; i 0; 2; 1 Vậy (P): y z x y z b) Các điểm thuộc giao tuyến mặt phẳng có tọa độ x; y; z thỏa mãn hệ 3x y z x x z 11 Cho y M ; 0; 2 3x z z 11 x x z N ; 11 ; Cho z 3x y z 11 11 11 Do mặt phẳng (P) qua điểm M ; 0; , N ; ; F 2; 1; 1 , ta lập phương 2 2 trình: 15x y 7z 16 Bài toán 10 Viết phương trình mặt phẳng sau: a) Đi qua điểm M 1; 3; 2 vng góc với trục Oy b) Đi qua điểm M 1; 3; 2 vng góc với đường thẳng M M với M 0; 2; 3 , M 1; 4; 1 Giải a) Mặt phẳng qua điểm M 1; 3; 2 vng góc với trục Oy nên song song với mặt phẳng Oxz Vậy phương trình y hay y Cách khác: Mặt phẳng cần tìm qua M có vectơ pháp tuyến n j 0; 1; nên phương trình là: x 1 1 y z y b) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm là: n M 1M 1; 6 ; Vật phương trình mặt phẳng là: 1 x 1 y z x y z 25 Bài toán 11 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm B 0; 1; 1 vng góc với mặt phẳng: P : 10x y z Q : 2x y 4z Giải (P), (Q) có VTPT n 10; 1; 1 , n 2; 1; 4 Mặt phẳng cần tìm có VTPT n, n 3; 42; 12 hay 1; 14; Và qua B 0; 1; 1 nên có phương trình: 1 x 14 7 1 z 1 x 14 y z 10 Bài tốn 12 Cho tam giác ABC có A 0; 4; 1 , B 1; 0; 1 , C 3; 1; 2 a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải a) Ta có AC 3; 3; 3 , BC 2; 1; 3 nên lập phương trình mặt phẳng ABC : 3x y 2z b) Gọi H x; y; z trực tâm tam giác ABC AH x; y 4; z 1 , BH x 1; y; z 1 , ta có: 25 x 19 AH BC 2x y 3z 11 y BH AC x y z 19 H ABC 3x y 2z 14 z 19 IA IB Gọi I x; y; z đường tròn ngoại tiếp: IA IC I ABC 29 37 Từ giải tâm I ; ; 13 13 26 Bài toán 13 Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1; 2; Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho tứ diện OABC tích bé Giải Giả sử A a; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c với a 0, b 0,c Khi (P) có phương trình Vì M nằm (P) nên x y z 1 a b c 1 a b c Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 1 3 27 abc 33 33 1 27 a b c a b c abc abc Dấu “=” xảy hay a 3; b 6; c a b c abc 27 Thể tích tứ diện OABC V OA.OB.OC 6 Vậy thể tích nhỏ 27 Khi phương trình mặt phẳng (P) là: x y z 6 Dạng tốn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG P : Ax By Cz D 0, A2 B2 C Q : Ax By Cz D 0, A2 B2 C2 Có vị trí tương đối: - Cắt nhau: A : B : C A : B : C - Trùng nhau: - Song song: A B C D A B C D A B C D A B C D Chú ý: Cho hai mặt phẳng (P): Ax By Cz D Hai điểm M x1 ; y1 ; z1 M x2 ; y2 ; z2 nằm hai phía mặt phẳng (P) khi: Ax1 By1 Cz1 D Ax2 By2 Cz2 D Bài toán Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình sau: a) x 2y z 2x 3y 7z b) x 2y z 2x y 2z c) x y z 2x 2y 2z Giải a) Hai VTPT n 1; 2; 1 , n 2; 3; 7 Hai vectơ pháp tuyến không phương nên hai mặt phẳng cắt b) Các hệ số phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng c) Ta có 1 1 nên hai mặt phẳng song song 2 Bài tốn Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình sau: a) 3x 2y 3z 9x y 9z b) x y 2z 10x 10 y 20z 40 c) 2x y z 3x y 9z Giải a) Ta có : 2 : : 6 : 9 nên hai mặt phẳng cắt b) 1 4 nên hai mặt phẳng trùng 10 10 20 40 c) Ta có 4 2 nên hai mặt phẳng song song 6 Bài toán Xác định giá trị m n để cặp mặt phẳng sau song song: a) 2x ny 2z mx 2y 4z b) 2x y mz x ny 2z Giải a) Hai mặt phẳng song song n Vậy n 1, m 4 m 4 b) Hai mặt phẳng song song m 2 Vậy m 4, n n Bài tốn Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng: P : 2x y 3z 0, Q : x 3y 2z Và mặt phẳng (R): mx m 1 y m z , với m số thay đổi a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b) Tìm m mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) Giải a) Ta có: : 1 : 3 : : 2 nên hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b) Điều kiện mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) là: m m 1 m 1 3 Từ m m 1 ta suy m 2 1 Giá trị m 2 thỏa mãn điều kiện nên với m 2 hai mặt phẳng (R) (P) song song Bài toán Hãy xác định giá trị m để cặp mặt phẳng sau vng góc với nhau: a) 3x 5y mz x 3y 2z b) 5x y 3z 2x my 3z Giải a) Hai VTPT n 3; 5; m , n 1; 3; Điều kiện mặt phẳng vng góc là: n.n 3.1 5 m.2 m b) Hai VTPT n 5; 1; 2 , n 2; m; 3 Điều kiện mặt phẳng vng góc là: n.n 5.2 1.m 3 3 m 19 Bài toán Cho hai mặt phẳng có phương trình là: 2x my 3z m m 3 x y 5m 1 z 10 a) Với giá trị m hai mặt phẳng song song: trùng nhau, cắt b) Với giá trị m hai mặt phẳng vng góc Giải a) Hai mặt phẳng cho có vectơ pháp tuyến là: n1 2; m; , n2 m 3; 2; 5m 1 Ta có: n1.n2 5m2 m 6; 7m 7; m2 3m Hai vectơ phương n1 ; n2 , tức là: m 1, m 5m m m m 7m m 3m m 1, m 4 Khi hai mặt phẳng có phương trình 2x y 3z 4x 2y z 10 nên chúng trùng Vậy: Khơng có giá trị m để hai mặt phẳng song song Khi m , hai mặt phẳng trùng Khi m , hai mặt phẳng cắt b) Hai mặt phẳng vng góc với n1 n2 m 2m 5m 1 19m m 19 Bài toán Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình sau: Ax By Cz D1 0, Bx Cy Az D2 0, Cx Ay Bz D3 với điều kiện A2 B2 C Chứng minh AB BC CA ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đơi vng góc với Giải Các vectơ pháp tuyến ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là: nP A; B; C , nQ B; C; A , nR C; A; B Ta có: nP nQ AB BC CA nQ nR AB BC CA nR nP AB BC CA Vậy ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi vuông góc với Bài tốn Xác định giá trị p m để ba mặt phẳng sau qua đường thẳng: 5x py 4z m 0; 3x y z 0; x y 2z Giải Các điểm chung mặt phẳng 3x y z x y 2z có tọa độ thỏa mãn hệ: 3x y z x y 2z 18 18 Cho y x , z suy A ; 0; 7 7 Cho z x 31 31 suy B ; ; ,y 10 10 10 10 Ba mặt phẳng qua đường thẳng mặt phẳng 5x py 4z m qua hai điểm A B Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình mặt phẳng 5x py 4z m 72 7 m m 11 Ta có hệ phương trình: p 5 155 p m 10 10 Vậy m 11 p 5 Bài toán Chứng tỏ mặt phẳn , , , sau mặt phẳng chứa bốn mặt hình hộp chữ nhật: : x y z 30 , : 36 x 51y 12 z 17 : x y z , :12 x 17 y z Giải Mặt phẳng song song với mặt phẳng vì: 4 30 14 8 12 Mặt phẳng song song với mặt phẳng vì: 36 51 12 17 12 17 3 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng vì: 7.36 51 4 12 252 204 48 Vậy bốn mặt phẳng , , , mặt phẳng chứa bốn mặt hình hộp chữ nhật đó: / / , / / BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng: a) Qua M 1, 2,3 , N 2, 4,3 , P 4,5,6 b) Trung trực đoạn PQ với P 2,3, 4 ,Q 4, 1,0 HD-ĐS a) Kết x y 13z 39 b) Kết x y 2z Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng: a) Qua hình chiếu I 3, 6,9 lên Ox, Oy, Oz b) Qua M 1,0,5 song song : x y z 27 HD-ĐS a) Kết x y 2z 18 b) Kết x y z Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng: a) Qua K 3; 1; 5 vng góc với mặt phẳng: P : 3x y 2z 0, Q : 5x y 3z b) Qua AB song song CD với điểm A 7,9,1 , B 2, 3, , C 1,5,5 , D 6, 2,5 HD-ĐS a) Kết x y 2z 15 b) Kết 3x y 57 z 99 Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng x y z 0, y 2z song song mặt phẳng Q : x y z 22 HD-ĐS Kết khơng tồn Bài tốn Tứ diện A 7,9,1 , B 2, 3, , C 1,5,5 , D 6, 2,5 Gọi trọng tâm I tâm mặt cầu ngoại tiếp E tứ diện Lập phương trình mặt phẳng (BIE) HD-ĐS Kết 25x y 10z 52 Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm G 1;1;1 a) Viết phương trình mặt phẳng qua G vng góc với đường thẳng OG b) Mặt phẳng tìm cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C Chứng minh ABC tam giác HD-ĐS a) Kết x y z Bài tốn Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng P : x 3ky z Q : kx y z Tìm k để d vng góc với mặt phẳng P : x y z HD-ĐS Kết quả: k Bài toán Hãy xác định giá trị m n để cặp mặt phẳng sau: a) x my 2mz x y z 10 vng góc với b) 2x my 3z nx y 6z song song với HD-ĐS a) Kết m b) Kết m n 4 ... x x z N ; 11 ; Cho z 3x y z 11 11 11 Do mặt phẳng (P) qua điểm M ; 0; , N ; ; F 2; 1; 1 , ta lập phương 2 2 ... 1, m 4 m 4 b) Hai mặt phẳng song song m 2 Vậy m 4, n n Bài tốn Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng: P : 2x y 3z 0, Q : x 3y 2z Và mặt phẳng (R):... tiếp E tứ diện Lập phương trình mặt phẳng (BIE) HD-ĐS Kết 25x y 10z 52 Bài tốn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm G 1;1;1 a) Viết phương trình mặt phẳng qua G vng góc với