Chuyen de bat phuong trinh logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Để giải bất phương trình logarit, ta áp dụng đơn điệu của các hàm số đó  Với hàm số logarit Ta cần đặt điều kiện tồn tại các biểu thức logarit Ta có loga N khi và chỉ khi 0,[.]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Để giải bất phương trình logarit, ta áp dụng đơn điệu hàm số  Với hàm số logarit: Ta cần đặt điều kiện tồn biểu thức logarit Ta có log a N a  0, a  N   a  1: log a N  log a M  N  M  a  1: log a N  log a M   N  M Chú ý log a N  logb N ta biến đổi số, chẳng hạn log a N  logb N  log a N   log a N log a b Sử dụng phương pháp đổi số đặt ẩn phụ tương tự với tốn phương trình logarit Ví dụ 1: Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log3   x  S  (a; b)  (c; d ) với a, b, c, d số thực Hỏi có số thực dương bốn số a, b, c, d ? A B C D.2 Lời giải  x   0,  x  1  x     Ta có log  x  1  log3   x    log3  x  1  log3 (2  x)   x  1   x   1  x    1    x       x    x  S   1;      ;          2    1  x  x        x2   x      a  1, d   1   1   Suy S  (a; b)  (c; d )   1; ;      1   ,c    b   2 Vậy bố số a, b, c, d có hai số thực dương Chọn D   Ví dụ 2: Tập nghiệm bất phương trình log x  x   log (2  x)  A S  (1;5) B (1;2) 1  C S   ;1 2  1  D  ;  2  Lời giải  x2     Ta có log ( x  x  5)  log (2  x)   2  x   2 log (2  x)  log ( x  x  5)  x   x 1 ,x    1  x ,1      x   S   ;1 2   x  2 (2  x)  x  x   Chọn C Ví dụ 3: Tập nghiệm bất phương trình (log x  log x2 ) log 2 x   1 A S   0;   1;    2  1 B S   0;   1;    2 C S   0;   1  D S   ;   2  Lời giải Cách Điều kiện :  x     log x  log 2 x  Bất phương trình (log x  log x ) log 2 x     log8 x    log x    log x  (log x  1)   (log 22 x  3) 0 log x  log x   log x  1 0  x  log x   0  thỏa mãn điều kiện  log x  log x  x   x  0, x   Cách Ta có, bất phương trình    (3log x  log x)(log x  1)  0(*)   t   t  1 t  log x t  1 3  Đặt   (*)    t  (t  1)   0 t t  t 0 t    0 x log x  1  x   1    2  S   0;   1;      2  log x   x 1  x 1 Chọn B x  log 0,2 x   có dạng S   a; b  Tích a x Ví dụ 4: Tập nghiệm bất phương trình log 0,2 b thuộc khoảng đây?  1 A  0;   2 1  B  ;1 2   3 C 1;   2 3  D  ;  2  Lời giải x  x  x  log 0,2 x      Ta có log 0,2 (log 0,2 x  3)(log 0,2  2)  2  log 0,2 x  x   1  a       x  25  S   ; 25   a; b    125  axb   x  25 125 125    125  b  25  1 Vậy tích axb  0, thuộc khoảng  0;   2 Chọn A  x2  x  Ví dụ 5: Tập nghiệm bất phương trình log0,7  log6   có dạng  a; b    c;   với  x    a, b, c số nguyên Tính tổng S  a  b  c A S  C S  7 B S  1 D S  Lời giải Điều kiện: x2  x x2  x  log 0 x4 x4 (*)   x2  x  x2  x  x2  x Bất phương trình log0,7  log6 1    log0,7  log6   log0,7  log  x   x   x4   Kết hợp với điều kiện (*), ta  x  8 x  3  x2  x 6 x4 x4 x    S   4; 3   8;   tập nghiệm bất phương trình  4  x  3 Chọn A Ví dụ 6: Tập nghiệm bất phương trình log x A S   0;  3x   x2 B S  1;  D S   2;   C S   0;1 Lời giải  x  0, x   x  0, x   x    Điều kiện:  3x     x     x 1  x       x  2  TH1: Với x   BPT   TH2:  x   BPT  (*) 3x   x  x2  x    1  x    x  x2  x2 3x   x  x2  x      x  x2  x  1 Kết hợp hai trường hợp, suy ta tập nghiệm bất phương trình S  (1; 2) Chọn B Ví dụ 7: Biết tập nghiệm S bất phương trình log3 (9 x  2)  khoảng (a; b) Tính hiệu số ba A b  a  log9 10 B b  a  C b  a  log9 D b  a  log9 Lời giải x x  9    9   x  log9 Ta có log3 (9 x  2)       S  (log9 2;log9 5) x x x  log   9    9  a  log9  b  a  log9  log9  log9 Suy   b  log9 Chọn D Ví dụ 8: Tìm tập nghiệm S bất phương trình  log (2 x)  2log ( x  2) A S   2;   Lời giải B S   ;    2;   C S  2 D S   2;0   x  0; x   Bất phương trình  log (2 x)  2log ( x  2)    log (8 x)  log ( x  2)   x  x  x      x   S  2  2 x  x  ( x  2) ( x  2)       Chọn C Ví dụ 9: Biết tập nghiệm S bất phương trình log 0,3 (4 x )  log 0,3 (12 x  5) đoạn Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, lớn tập S Mối liên hệ m M B m  M  A m  M  C M  m  D M  m  Lời giải   12 x   12 x   Bất phương trình log0,3 (4 x )  log0,3 (12 x  5)     4 x  12 x   4 x  12 x    x  12 x     1 5    x S  ;  2 2 2 (2 x  5)(2 x  1)  1  x   2 5 Vậy M  , m  suy M  m    2 2 Chọn A Ví dụ 10: có tất giá trị nguyên a để bất phương trình 2log a   x.log a  x  2 nghiệm với x  ¡ ? A B C D Lời giải Bất phương trình 2log a   x.log a  x   x  x.log a  2log a   2 Đặt t  log a , bất phương trình trở thành x  2t.x  2t   Bất phương trình (*) nghiệm với x  ¡ '(*)  (*)  t  (2t  3)   t  2t    3  t   3  log a   a8 Vậy có tất giá trị nguyên a thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Ví dụ 11: Có tất giá trị x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện x  số nguyên log  x  log  x ? 3 A B C D Lời giải  x  Xét bất phương trình log  x  log (3  x)     x   x 3  x  x    1 x   x  x   ( x  1)( x  4)  Mặt khác x  3x  số nguyên  số nguyên  3x  chia hết cho 3  x  3 x   Ta có  x    x   10    3 x   x   Vậy có tất giá trị x thỏa mãn u cầu tốn Chọn B Ví dụ 12: Gọi S1 tập nghiệm bất phương trình log ( x  5)  log (3  x)  S2 tập nghiệm bất phương trình log ( x  1)  Khẳng định ? A S1  S2  1;3 B S1  S2   1;3 C S1  S2   1;1 Lời giải Xét bất phương trình log ( x  5)  log (3  x)  (1)  x   0,3  x  5  x   Ta có (1)   log ( x  5)  log (3  x)  log ( x  5)  log (3  x) D S1  S2  1;3 5  x  5  x     1  x   S1   1;3 x    x 2 x  2 Xét bất phương trình log ( x  1)   log ( x  1)  log 2  x   S2  1;   Vậy S1  S2   1;3  1;    1;3 Chọn A Ví dụ 13: Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x  2)  log A S   2;   ( x)  log ( x  x)  D 1; 2 C  0;  B S  1;  Lời giải Điều kiện: x  Bất phương trình log ( x  2)  log   log ( x  2)  log x  log  log ( x)  log ( x  x)  x2  x x2 x2  x x2 x2  x  log    x  (0; 2) x2 x2 Chọn C   1  Ví dụ 14: Tập nghiệm bất phương trình log 1  log x  log9 x   có dạng S   ; b  với   a    a, b số nguyên dương Khẳng định mối liên hệ a, b ? A a  b  B ab  10 C a  b D a  2b  Lời giải 1  log x  log9 x     Bất phương trình log 1  log x  log9 x       1  log x  log9 x     x  x  x      1  log9 x  log9 x    1   x3   1 1  log x  log x    log9 x  9  x  9  1    Suy tập nghiệm S bất phương trình S   ;3    ; b   a  b  3  a  Chọn C Ví dụ 15: Hỏi có giá trị nguyên x đoạn  2017; 2017  thỏa mãn bất phương trình log3 x  log5 x  log3 x.log5 x A 2017 B 4026 C 2018 D 2016 Lời giải Bất phương trình  log3 x  (1  log3 x).log5 x  log3 (3x).log5 x  Nếu x  suy (1)   (1) log5 x.log3 (3x)   log5 x.log x (3x)  log3 x log x 3x   log5 x   x   x  log x  Nếu x  suy (1)  Nếu  x  suy (1)  log5 3x    x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình Kết hợp m   2017; 2017  suy có tất  0  x  2016 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Nghiệm bất phương trình log ( x  1)  2log (5  x)   log ( x  2) là: A 4  x  C  x  B  x  D  x  Câu 2: Bất phương trình 2log3 (4 x  3)  log (2 x  3)  có tập nghiệm là: 3  A  ;   4  3  B  ;3 4  3  C  ;3 4  3  D  ;   4  Câu 3: Tập nghiệm bất phương trình log0,2 ( x  1)  log0,2 (3  x) là: A S   ;3 B 1;   C S  1;3 D S   1;1 Câu 4: Nghiệm bất phương trình log ( x  1)  2log (5  x)   log ( x  2) là: A  x  B  x  C  x  Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình 4   lg x  3 là: D Đáp số khác A (3; 4) B (0;1000)  (10000; ) C (1000;10000) D Vô nghiệm Câu 6: Giải bất phương trình: log3 x  x   log x   log ( x  3) A  x  B x  C x  3 D x  10 Câu 7: Nghiệm bất phương trình log ( x  x  8)  2log5 ( x  4)  là: A x  B x  C Vô nghiệm D  x  Câu 8: Nghiệm bất phương trình log ( x  1)  2log (5  x)   log ( x  2) là: A  x  C  x  B Đáp số khác D  x  Câu 9: Tập nghiệm bất phương trình 2log ( x  1)  log (5  x)  là: A 3;5 B 1;3 C 1;5 D  3;3 Câu 10: Tập số x thỏa mãn log0,4 ( x  4)   : A  4;5;6 B  6;5;   C  4;   D  ;6;5  Câu 11: Bất phương trình 4log 25 x  log x  có nghiệm là: A  x5 B  x  5; x  C x  5; x  1 D  x  ; x  2 Câu 12: Tập số x thỏa mãn log0,4 ( x  4)   là: 13   A  ;  2   13  B  ;     Câu 13: Tập nghiệm BPT A S   5;   C  4;    13  D  4;   2 x 5  là: log ( x  4)  B S  4  2;   Câu 14: Cho bất phương trình log 10  C S  (4; )  D S   2;  x   có tập nghiệm S Khi R \ S bằng: 1    A  ;      ;   20     13     B  ;      ;   20     13     C  ;      ;   30   20   D Đáp số khác  Câu 15: Bất phương trình: log (2 x  1)  log ( x  2)  có tập nghiệm là: 5  A  ;3 2   5 C  2;   2 B  2;   D  2;3 Câu 16: Tập nghiệm bất phương trình log (2 x  x  1)  là: 3  A  1;  2   3 B  0;   2    17    17 C  ; ;          3  D  ;0    ;   2  Câu 17: Giải bất phương trình log3 ( x  9500 )  1000 A x  C  x  B x  D 9500  x  Câu 18: Giải bất phương trình log ( x  4500 )  1000 A 4500  x  C 21000  x  B x  D  x  Câu 19: Giải bất phương trình log3 ( x  1)  log ( x  1)  1000 A x   9500 B x  21000  C x  3001 D  x  3001 Câu 20: Giải bất phương trình log ( x2  1)  log ( x  1)  1000 A x  ¡ C 1, x  21000  B x  D x  Câu 21: Giải bất phương trình log (log (3x  1))1001  A  x 1 B x  1 Câu 22: Giải bất phương trình log x  log C  x  D ( x  2)  1000 A x    4500 B x    21000 C  x    4500 D  x    21000  x 1 2x 1   Câu 23: Giải bất phương trình log3  log  x 1   A  x   x9 B  x  0 C x  x  B x  x   Câu 24: Giải bất phương trình log  log3  x 1   A 2017 2017 0 C x  Câu 25: Nghiệm bất phương trình log D  x  D  x  (2 x  1)  log3 (4 x  1) A x  (;0)  (2; )   B x    ;0   (2; )   C x  (2; )  1 D x   0;   (2; )  2 Câu 26: Nghiệm bất phương trình log 21 x  log (2 x)   là:  1 A x   0;    9;    4 B x  3;    1 C x   0;   8;    4 1  D x   ;   9;   4  Câu 27: Nghiệm bất phương trình log ( x  x  2)  log 2 A x  ¡ x x là: D x  C x  B x  Câu 28: Nghiệm bất phương trình log (2 x  1)  log ( x  1) là: x A x  B  x  x C 2  x  D x  2;0  x  Câu 29: Nghiệm bất phương trình log ( x  3)  log8 (3x  1)3  là: A x  B   x  Câu 30: Tìm tập nghiệm bất phương trình C x   log32  x    D x   x2  x2    log  x  2    1  D S   ;5  3  1  C S   ;1 2  1  B S   ;  3  A x  Câu 31: Bất phương trình log3 (3x2 )  log x  có tập nghiệm là: A x   3;    1 B x   0;   1;    4  D x  1;   3;     C x  1;   3;    Câu 32: Nghiệm bất phương trình x  log3 ( x  1)  là: C x  B x  2 A x  1 Câu 33: Nghiệm bất phương trình log A x  ¡ 2x  5 x B x   log (2 x  2) là: C x  Câu 34: Giải bất phương trình log ( x  1)  log ( x  1)  log  Câu 35: Giải bất phương trình log  log x  log    3 B    x  2 A x  D x  (5  x)  : B x  A x  D x  C  x  D  x   x  3  :   D  x  C x  x  D   x  1 C x  1 2x   Câu 36: Giải bất phương trình log  log 0: 1 x   A 1  x  B x  Câu 37: Giải bất phương trình log (1  2log9 x)  A x  B x  C  x3 D  x3 Câu 38: Giải bất phương trình log3 x  x   log x   log ( x  3)  A S  3; 10  B S   3;   C S   3;9  D S   10;   Câu 39: Biết tập nghiệm S bất phương trình log 0,3 (4 x )  log 0,3 (12 x  5) đoạn Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn tập S Mối liên hệ m M B m  M  A m  M  C M  m  Câu 40: Nghiệm bất phương trình 3lg x2  3lg x A x  B x  100 5 D M  m   D x  100 C x  2 Câu 41: Bất phương trình log 21 x  3log x   có tập nghiệm S   a; b  Giá trị a2 b 2 B 12 A 16 Câu 42: Khoảng nghiệm bất phương trình log  A  5; 2  B  D C 5;   x 4 ( x  2)  chứa khoảng đây?  C  2;   D 2;  Đáp án 1-B 2-C 3-D 4-C 5-C 6-D 7-C 8-A 9-B 10-A 11-B 12-D 13-D 14-D 15-C 16-C 17-B 18-C 19-A 20-D 21-D 22-A 23-B 24-C 25-C 26-C 27-B 28-C 29-D 30-C 31-C 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 37-D 38-D 39-A 40-B 41-C 42-B