DẠNG 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H) Khi đó đa diện[.]
DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện lồi (Hình 2.1) Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mơi mặt phẳng qua mặt (Hình 2.2) Cơng thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ – C + M = II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Quan sát khối tứ diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phương (Hình 2.2.2), ta thấy mặt hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p;q} Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5} Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tự gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt Nhận xét: Hai khối đa diện có số mặt có cạnh Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Kứ diện {3, 3} Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh số lẻ? A Khối chóp; B Khối tứ diện; C Khối hộp; D Khối lăng trụ Hướng dẫn giải Khối chóp n- giác có tổng số cạnh 2n Khối tứ diện có cạnh Khối hộp có 12 cạnh Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ số cạnh 3n, số lẻ Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh số lẻ Vậy, Chọn đáp án D Câu Trong khối đa diện đây, khối có số mặt ln số chẵn? A Khối lăng trụ; B Khối chóp; C Khối chóp cụt; D Khối đa diện Hướng dẫn giải • Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ có số mặt n + số lẻ Ví dụ: Lăng trụ tam ABC.A'B'C' có số mặt giác • Khối chóp n-giác với n số chẵn, số mặt n +1 số lẻ Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác số mặt • Khối chóp cụt: Tương tự khối lăng trụ Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện đều, chúng khối đa diện có tất mặt, cạnh góc đỉnh Chúng giới thiệu hình đây: Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt Tên chúng gọi theo số mặt khối tương ứng 4, 6, 8, 12, 20 Các khối có số mặt chẵn Vậy chọn đáp án D Câu Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Khối tứ diện có cạnh B Khối lập phương có 12 cạnh C Số cạnh khối chóp D Khối mặt có cạnh chẵn Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Vì khối mặt có tất 12 cạnh Ta nhắc lại sau: Mỗi khối đa diện xác định bới ký hiệu {p, q} p = số cạnh mặt (hoặc số đỉnh mặt) q = số mặt gặp đỉnh (hoặc số cạnh gặp đỉnh) Kí hiệu {p, q} đặc trưng số lượng khối đa diện Ký hiệu {p, q} năm khối đa diện cho bảng sau Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Khối diện {3, 3} Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} Lời bình: Ta dùng phương pháp loại trừ sau A Khối tứ diện có cạnh Đúng có cạnh bên + cạnh đáy Như tổng B Khối lập phương có 12 cạnh Đúng có cạnh bên + mặt đáy (mỗi mặt cạnh) Vậy tổng 12 C Số cạnh khối chóp chẵn Đúng Ta lấy ví dụ sau Chóp tam giác có cạnh, chóp tứ giác có cạnh, Vậy D sai Chọn D Câu Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng? A 2M = 3C B 3M = 2C C 3M = 5C D 2M = C Hướng dẫn giải Vì mặt tam giác có M mặt, nên số cạnh 3M Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên 3M Vậy 2C = 3M C Vậy chọn đáp án B Câu Trong khối đa diện lồi mà đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng? A 3Đ = 2C B 3Đ = C C 4Đ = 3C D C = 2Đ Hướng dẫn giải Vì có Đ đỉnh, mà đỉnh có cạnh chung nên số cạnh 3Đ Mà cạnh có đỉnh nên ta có C Vậy 2C = 3D 3D Vậy chọn đáp án A Câu Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt Vậy khối đa diện có cạnh? A 12 B 15 C 18 D 20 Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Ơle: ÐC M 10 C C 15 Vậy chọn đáp án B Câu Khối 12 mặt {mỗi mặt ngũ giác đều} có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Hướng dẫn giải Vì mặt ngũ giác có M mặt {M=12} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên 5M 5.12 C 30 2 Chọn đáp án D Câu Khối 20 mặt {mỗi mặt tam giác đều} có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Hướng dẫn giải Vì mặt tam giác có M mặt {M=20} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên 3.20 C 30 Chọn đáp án D Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau; B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh nhau; C Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh D Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt Hướng dẫn giải A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln Mệnh đề sai Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C': Có mặt có đỉnh B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh Là mệnh đề Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác C, D xảy Nên mệnh đề sai Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện ln A Lớn B lớn C lớn D lớn Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh Câu 11 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số đỉnh, mặt hình đa diện ln A Lớn B lớn C lớn D lớn Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh số mặt Câu 12 Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng? A Tổng mặt (H) số chẵn B Tổng mặt (H) gấp đôi tổng số đỉnh (H) C Tổng số cạnh (H) số không chia hết cho D Tổng số cạnh (H) gấp đôi tổng số mặt (H) Hướng dẫn giải Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 3M = 2C Suy M số chẵn Vậy chọn đáp án A Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD Tổng mặt (chẵn) Tổng mặt 4, tổng đỉnh Như vậy, tổng mặt gấp đôi tổng số đỉnh của, nên mệnh đề sai Tổng cạnh 6, số chia hết cho Như câu C sai Tổng số cạnh 6, tổng mặt Như tổng cạnh gấp đôi tổng mặt Câu 13 Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đơi số đỉnh A Khối 20 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối 12 mặt Hướng dẫn giải Khối bát diện có cạnh 12 có số đỉnh Nên chọn đáp án C Câu 14 Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số đỉnh số mặt A Khối 12 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối tứ diện Hướng dẫn giải Khối tứ diện có số mặt số đỉnh Vậy chọn đáp án D Câu 15 Cho đa diện (H) có tất mặt tứ giác Khẳng định sau đúng? A Tổng số cạnh (H) tổng số mặt (H) B Tổng mặt (H) tổng số đỉnh (H) C Tổng số cạnh (H) số chẵn D Tổng số mặt (H) số lẻ Hướng dẫn giải Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 4M = 2C ⇒ C = 2M Suy C số chẵn Vậy chọn đáp án C Ta kiểm nghiệm sau: Xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tổng cạnh 12, tổng mặt Như đáp án A sai Tổng mặt 6, tổng đỉnh Như đáp án B sai Tổng mặt (chẵn) Như đáp án D sai Câu 16 Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh? A B C Hướng dẫn giải Ta thấy đỉnh đỉnh chung cạnh Ví dụ: Xét đỉnh B, B đỉnh chung cạnh: BA, BS, BC, BS' Vậy chọn đáp án B Câu 17 Cho khối đa diện Khẳng định sau sai A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh bát diện 12 Hướng dẫn giải Khối bát diện loại {3;4} Vậy chọn đáp án C Câu 18 Cho khối chóp có đáy n-giác Mệnh đề sau đúng? D A Số mặt khối chóp 2n B Số cạnh khối chóp n+2 C Số đỉnh số mặt n+1 D Số đỉnh khối chóp 2n+1 Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án C Câu 19 Khối đa diện lồi có số mặt nhiều là: A 12 B 30 C D 20 Hướng dẫn giải Đa diện lồi có số mặt nhiều đa diện 20 mặt có 30 cạnh Vậy chọn đáp án D Câu 20 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án C Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình lập phương đa diện B Tứ diện đa diện lồi C Hình hộp đa diện lồi D Hình tạo hai tứ diện chung đáy ghép với đa diện lồi Hướng dẫn giải Hình lập phương chắn chắn đa diện nên mệnh đề A Tứ diện đa diện lồi mệnh đề Hình hộp đa diện lồi, mệnh đề Vậy chọn đáp án D