KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một[.]
KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… hình đa diện tương ứng d Miền ngồi Điểm Điểm ngồi M Ví dụ - Các hình khối đa diện: - Các hình khơng phải khối đa diện: N Hình b Hình c Hình a Giải thích: Hình a khơng phải hình đa diện tồn cạnh khơng phải cạnh chung hai mặt; Hình b khơng phải hình đa diện có điểm đặc biệt hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ¢ xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý r a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , phép biến hình biến điểm M thành điểm M ¢ cho uuuuur r MM ¢= v Kí hiệu T vr b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) phép biến hình biến điểm thuộc (P ) thành nó, biến điểm M khơng thuộc (P ) thành điểm M ¢ cho (P ) mặt phẳng trung trực MM ¢ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình (H ) thành (P ) gọi mặt phẳng đối xứng (H ) c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ¢ cho O trung điểm MM ¢ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H ) thành O gọi tâm đối xứng (H ) d) Phép đối xứng qua đường thẳng D là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng D thành nó, biến điểm M khơng thuộc D thành điểm M ¢ cho D đường trung trực MM ¢ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng D biến hình (H ) thành D gọi trục đối xứng (H ) Nhận xét Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Phép dời hình biến đa diện (H ) thành đa diện (H ¢) , biến đỉnh, cạnh, mặt (H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H ¢) Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ Khi đó: Các hình chóp A A ¢B ¢C ¢D ¢ C ¢ ABCD (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A ¢B ¢C ¢D ¢ biến thành hình chóp C ¢ ABCD ) Các hình lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ AA ¢D ¢.BB ¢C ¢ (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB ¢C ¢D ) hình lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ biến thành hình lăng trụ AA ¢D ¢.BB ¢C ¢) A D C B A D C B O A' B' A' D' C' D' C' B' Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện (H ) hợp hai khối đa diện (H1 ) (H ) cho (H1 ) (H ) chung điểm ta nói phân chia khối đa diện (H ) thành hai khối đa diện (H1 ) (H ) Khi ta nói ghép hai khối đa diện (H1 ) (H ) để khối đa diện (H ) Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng: Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại) Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD S D A B C Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD ghép lại thành khối chóp S ABCD Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ mặt phẳng (A ¢BC ) Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai A' B' C' khối đa diện A ¢ABC A ¢BCC ¢B ¢ Nếu ta cắt khối chóp A ¢BCC ¢B ¢ mặt phẳng (A ¢B ¢C ) ta chia khối chóp A ¢BCC ¢B ¢ thành hai khối chóp A ¢BCB ¢ A ¢CC ¢B ¢ Vậy khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ chia thành ba khối tứ diện A ¢ABC , A ¢BCB ¢ A ¢CC ¢B ¢ A B C MỘT SỐ KẾT QUẢN QUAN TRỌNG Kết 1: Một khối đa diện có mặt Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh Kết 3: Mỗi hình đa diện có cạnh Kết 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh Kết 5: Khơng tồn hình đa diện có cạnh Kết 6: Cho (H ) đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt S A D (H ) lẻ p phải số chẵn C B Chứng minh: Gọi M số mặt khối đa diện (H ) Vì mặt (H ) có p cạnh nên M mặt có p M cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh pM Vì M lẻ nên p phải số chẵn Kết (Suy từ chứng minh kết 6): Cho (H ) đa diện có M mặt, mà mặt của (H ) C = pM Kết 8: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Chứng minh: Gọi số cạnh số mặt khối đa diện C M Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa 3M CỴ Â ắ ắắ đ M chn din l C = Kết 9: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Kết 10: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn (Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn) đa giác có p cạnh Khi số cạnh (H ) C = CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình đa diện là: A Hình B Hình C Hình D Hình Câu Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện là: A Hình B Hình C Hình D Hình Câu Cho hình sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện là: A B C D Câu Vật thể vật thể sau khối đa diện? A B C Câu (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ? A B 10 C 11 D 12 D Câu Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ? A B 10 C 11 D 12 Câu Hình đa diện hình vẽ bên có mặt ? A 11 B 12 C 13 D 14 Câu Khối đa diện sau có số mặt nhỏ nhất? A Khối tứ diện B Khối chóp tứ giác C Khối lập phương Câu Hình đa diện hình vẽ bên có cạnh? A B 12 C D 16 D Khối 12 mặt Câu 10 Cho hình đa diện Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B Mỗi mặt có ba cạnh C Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt Câu 11 Gọi Đ số đỉnh, M số mặt, C số cạnh hình đa diện mệnh đề sau đúng? A Đ > 4, M > 4, C > B Đ > 5, M > 5, C > C Đ ³ 4, M ³ 4, C ³ D Đ ³ 5, M ³ 5, C ³ Câu 12 Một hình đa diện có mặt tam giác Gọi M tổng số mặt C tổng số cạnh C đa diện Mệnh đề sau A 3C = M B C = M + C M ³ C D M = 2C Câu 13 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Câu 14 Gọi n1 , n2 , n3 số trục đối xứng khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác khối lập phương Mệnh đề sau đúng? A n1 = 0, n2 = 0, n3 = B n1 = 0, n2 = 1, n3 = C n1 = 3, n2 = 1, n3 = D n1 = 0, n2 = 1, n3 = Câu 15 Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 16 Số mặt phẳng đối xứng hình tứ diện là: A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D 10 mặt phẳng Câu 17 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng ? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 18 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 19 Một hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình vng) có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 20 Hình lập phương có tất mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C 10 mặt phẳng D 12 mặt phẳng Câu 21 Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D 12 mặt phẳng Câu 22 Có tất mặt phẳng cách bốn đỉnh tứ diện? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vơ số mặt phẳng Câu 23 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Mặt phẳng (AB ¢C ¢) chia khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ thành khối đa diện ? A Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác D Hai khối chóp tứ giác Câu 24 Lắp ghép hai khối đa diện (H1 ), (H2 ) để tạo thành khối đa diện (H ), (H1 ) khối chóp tứ giác có tất cạnh a , (H ) khối tứ diện cạnh a cho mặt (H1 ) trùng với mặt (H ) hình vẽ Hỏi khối da diện (H ) có tất mặt? A B C D Câu 25 Có thể chia hình lập phương thành khối tứ diện nhau? A B C D Câu Chọn A Câu Chọn D Câu Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình Chọn C Câu Chọn C Vì hình C vi phạm tính chất '' Mỗi cạnh miền đa giác cạnh chung hai miền đa giác '' Câu Chọn C Câu Chọn B Câu Chọn B Câu Chọn A Câu Chọn D Câu 10 Ta thấy đáp án A, B, D dựa vào khái niệm hình đa diện Chọn C Câu 11 Xét hình đa diện hình tứ diện kết quan hệ số đỉnh số mặt thỏa mãn đáp án C Chọn C Câu 12 Vì mặt tam giác nên có tổng số cạnh M Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có hệ thức M = 2C Chọn D Câu 13 Chọn A Câu 14 Khối tứ diện có trục đối xứng (đi qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Khối chóp tứ giác có trục đối xứng (đi qua đỉnh tâm mặt tứ giác) Khối lập phương có trục đối xứng (Loại 1: qua tâm mặt đối diện ; Loại 2: qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Chọn C Câu 15 Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng bao gồm: mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường trung bình đáy mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường chéo đáy Chọn A Câu 16 Các mặt phẳng đối xứng hình tứ diện mặt phẳng chứa cạnh qua trung điểm cạnh đối diện Vậy hình tứ diện có mặt phẳng đối xứng Chọn B Câu 17 Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới) Chọn A Câu 18 Hình hộp chữ nhật (khơng hình lập phương) có mặt phẳng đối xứng mặt mặt phẳng trung trực cặp cạnh đối Chọn D Câu 19 Hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình chữ nhật) có mặt phẳng đối xứng bao gồm: mặt phẳng chứa đường chéo đáy vng góc với đáy Một mặt phẳng mặt phẳng trung trực cạnh bên Chọn D Câu 20 Có mặt đối xứng (như hình vẽ sau) Chọn B Câu 21 Gọi bát diện ABCDEF Có mặt phẳng đối xứng, bao gồm: mặt phẳng (ABCD ) , (BEDF ) , E D (AECF ) mặt phẳng mà mặt phẳng mặt phẳng trung trực hai cạnh song song (chẳng hạn AB CD ) Chọn B C A B F Câu 22 Có loại mặt phẳng thỏa mãn đề là: Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh bên có chung đỉnh Có mặt phẳng thỏa mãn loại (vì có đỉnh) Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm lại Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm cạnh ( cạnh thuộc cặp cạnh, cặp cạnh chéo nhau) Có mặt phẳng Nhận xét Loại ta thấy có điểm nằm khác phía với điểm cịn lại Chọn C Câu 23 Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB ¢C ¢) A chia khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ thành khối chóp tam giác A A ¢B ¢C ¢ khối chóp tứ giác A.BCC ¢B ¢ Chọn A C B C' A' B' Câu 24 Khối đa diện (H ) có mặt Chọn A Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác có mặt Khối tứ diện có mặt Ghép hai hình lại hình vẽ ta khối đa diện (H ) có mặt Câu 25 Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD ¢B ¢) ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD A ¢B ¢D ¢ BCD.B ¢C ¢D ¢ Với khối ABD A ¢B ¢D ¢ ta dùng mặt phẳng (AB ¢D ¢) (AB ¢D ) chia thành ba khối tứ diện Tương tự với khối BCD.B ¢C ¢D ¢ Vậy có tất khối tứ diện Chọn C D' C' B' A' C D A B ... , (H ) khối tứ diện cạnh a cho mặt (H1 ) trùng với mặt (H ) hình vẽ Hỏi khối da diện (H ) có tất mặt? A B C D Câu 25 Có thể chia hình lập phương thành khối tứ diện nhau? A B C D Câu Chọn A Câu... chóp tứ giác có mặt Khối tứ diện có mặt Ghép hai hình lại hình vẽ ta khối đa diện (H ) có mặt Câu 25 Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD ¢B ¢) ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ