Bài giảng tín hiệu và hệ thống Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Tín hiệu và hệ thống Viện điện tử viễn thông Đại học bách khoa hà nội

ET 2060 Khái niệm cơ bản về tín hiệu và hệ thống

Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C và điện trở R mắc nối tiếp Vẽ điện

áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0

Tín hiệu hình sin

x(t) = sin(ω0t + φ)Tuần hoàn với chu kỳ T = 2πω

Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc)

Với C và a là số phức: C = |C |ejθ và a = r + jω0, ta có:

x[n] = |C |ernej(ω0 n+θ)

= |C |erncos(ω0n + θ) + j|C |ernsin(ω0n + θ)Nhận xét về ej(ω0 n+θ):

◮ Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của ω0),chu kỳ?

◮ Chỉ cần xét ω0 trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?

n u[n]

Quan hệ với hàm nhảy đơn vị?

Hàm delta Dirac (liên tục)

Tính ổn định của hệ thống

Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu đầu ra bị chặn

|y(t)| < ∞, ∀tkhi đầu vào bị chặn

Tính bất biến theo thời gian

Hệ thống gọi là bất biến theo thời gian (time invariant) nếu nhưđầu vào dịch đi một khoảng thời gian thì đầu ra cũng bị dịch thờigian giống hệt như vậy

x[n] −→ y[n] thì x[n − nT 0] −→ y[n − nT 0] ∀n, n0

Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không?

y [n] = nx[n]

Tính tuyến tính

Hệ thống T gọi là tuyến tính (linear) nếu với các cặp đầu vào /đầu ra: x1(t), y1(t) và x2(t), y2(t) thì ta cũng có cặp đầu vào /đầu ra như sau

Bài tập về nhà

◮ Làm các bài tập cuối chương 1

◮ Viết chương trình Matlab để vẽ các dạng tín hiệu cơ bản

ET 2060 Biến đổi z

Giới thiệu về biến đổi z

Xét hệ thống LTI với đầu vào x[n] = zn

◮ Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952

◮ Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục

◮ Chập trên miền n ≡ tích trên miền z

◮ Phân tích, đánh giá hệ thống LTI

Định nghĩa biến đổi z

Liên hệ với biến đổi Fourier

◮ Biến đổi Fourier là biến đổi z xét trên vòng tròn đơn vị

∞

X

n= −∞

|x[n]r−n|dt < ∞

(e) x[n] = cos(ω0n)u[n]

X (z) hữu tỷ Các điểm cực và không

X (z) = N(z)

D(z) =

b0 + b1z +· · · + bMzM

a0 + a1z +· · · + aNzN

◮ Các điểm không (zeros) z0r: X (z0r) = 0 → nghiệm của N(z)

◮ Các điểm cực (poles) zpk: X (zpk) = ∞ → nghiệm của D(z)

Ví dụ: Cho dãy x[n] = anrectN[n]

(a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ

(b) Tìm các điểm cực, điểm không và vẽ trên mặt phẳng phức

Các tính chất của ROC

(i) Nếu X (z) hội tụ khi z = z0 thì cũng hội tụ ∀z : |z| = |z0| Dovậy ROC có dạng vành khăn: r1 <|z| < r2

(ii) ROC không chứa các điểm cực

phức (có thể bỏ đi 0 hoặc ∞)

(iv) Nếu x[n] là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC?

(v) Nếu x[n] là dãy hai phía thì ROC?

(vi) Nếu X (z) hữu tỷ với các điểm cực zpk?

Biến đổi z ngược

Áp dụng biến đổi Fourier ngược:

Các tính chất

◮ Tuyến tính

◮ Dịch thời gian: x[n− n0] ←−−→ zz −n0X (z)

◮ Co dãn trên miền z: anx[n] ←−−→ X (z/a)z

◮ Đảo trục thời gian: x[−n] ←−−→ X (1/z)z

◮ Liên hợp phức: x∗[n] ←−−→ Xz ∗(z∗)

◮ Chập: x1[n]∗ x2[n] ←−−→ Xz 1(z)X2(z)

◮ Đạo hàm trên miền z: nx[n]←−−→ −zz dX (z)dz

◮ Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân quả (x[n] = 0, ∀n < 0)thì

x[0] = lim

z →∞X (z)

◮ Tương quan, tích?

Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa

Cho trước X (z) và ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa códạng

hội tụ trong ROC đã cho Khi đó, x[n] = cn, ∀n

Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, khai triển thường được thực hiện bằngphép chia đa thức (long-division)

Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của

X (z) = 1 + 2z−1

1− 2z−1+ z−2

khi

(a) x[n] là dãy nhân quả

(b) x[n] là dãy phản nhân quả

Khai triển thành các phân thức tối giản (1)

Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) + ND(z)′(z) với M′ < N

Ví dụ: Cho biến đổi z

1− 1.5z−1 + 0.5z−2

Tìm x[n]?

Khai triển thành các phân thức tối giản (2)

Trường hợp điểm cực bội zpk bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứacác phân thức tối giản sau:

A1k

z − zpk

+ A2k(z − zpk)2 +· · · + Aℓk

Hàm truyền đạt H(z) của hệ thống LTI rời rạc

→ Hệ thống cực - không (pole-zero system)

◮ Nếu ak = 0, 1 ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm toàn điểmkhông và một điểm cực bội bậc M tầm thường tại gốc

◮ Nếu br = 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực

và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc

Hệ thống LTI nhân quả và ổn định

◮ Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngoài vòng tròn và có chứa ∞

◮ Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = ejω)

◮ Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tất cả các điểm cực củaH(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị

◮ Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất

cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vòng tròn đơn

vị không Thường được thực hiện trên máy tính

Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống

Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễnbởi sơ đồ dưới đây

−1

Biến đổi z một phía

Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y [n], n ≥ 0):

y [n]− 3y[n − 1] + 2y[n − 2] = x[n]

với đầu vào x[n] = 3n−2 và các điều kiện đầu:

y [−2] = −49, y [−1] = −13

Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI

Biểu diễn hệ thống LTI

Với h[n] là đáp ứng của hệ thống T khi đầu vào là hàm xung đơn

vị, h[n] = T{δ[n]} (h[n] gọi là đáp ứng xung của hệ thống)

1 Lấy đối xứng qua trục tung: h[k]→ h[−k]

2 Dịch theo trục hoành: Dịch h[−k] đi n0 để được dãy

h[n0 − k], trái / phải?

3 Nhân hai dãy: vn0[k] = x[k]h[n0 − k]

4 Tính tổng: Cộng tất cả các phần tử (khác không) của dãy

vn0[k] thì được y [n0]

Tính phép chập bằng đồ thị (1)

0 1 2 3 4 5 6 -1

0 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4

0 1 2 3 4 5 6 -1

0 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4

-2 -3 -4

-2 -3 -4

Tính phép chập bằng đồ thị (2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1

-2 -3 -4

b b b

b b b b b

b b b b b n x[n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1

-2 -3 -4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1

-2 -3 -4

◮ Nếu x[n] là dãy có chiều dài hữu hạn L: x[n] = 0,

∀n /∈ [N1, N1 + L− 1], và h[n] là dãy có chiều dài hữu hạn M:h[n] = 0, ∀n /∈ [N2, N2 + M − 1] Hãy xác định chiều dài hữuhạn của y [n]?

◮ Nếu x[n] hoặc h[n] dịch đi một đoạn N mẫu thì y [n] thay đổinhư thế nào?

◮ Khi h[n] = δ[n]?

◮ Tính trên Matlab?

Phép chập cho tín hiệu liên tục (1)

Biểu diễn đầu vào theo hàm xung đơn vị

Ví dụ: Cho mạch điện RC nối tiếp với RC = 1[s], hãy tính điện áp

y (t) trên tụ khi điện áp giữa hai đầu mạch điện là xung vuông:

x(t) = u(t)− u(t − 2)

Gợi ý: Đáp ứng xung của hệ thống là h(t) = e−tu(t)

Phép chập cho tín hiệu liên tục (2)

Phép chập

Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI

Biểu diễn hệ thống LTI

Tính chất kết hợp

(x[n]∗ h1[n])∗ h2[n] = x[n]∗ (h1[n]∗ h2[n])Ghép nối tiếp các hệ thống LTI:

Hệ thống LTI nhân quả

Áp dụng tính chất giao hoán, ta có:

y [n] = · · ·+h[−2]x[n+2]+h[−1]x[n+1]+h[0]x[n]+h[1]x[n−1]+· · ·

Do vậy, hệ thống nhân quả khi và chỉ khi

h[k] = 0, ∀k < 0Tín hiệu nhân quả: x[n] = 0, ∀n < 0

Chứng minh điều kiện đủ: dễ dàng

Chứng minh điều kiện cần: a → b ≡ ¯b → ¯a

◮ Chỉ ra nếu P∞

n=−∞|h[n]| = ∞ thì có ít nhất một trường hợp

hệ thống có đầu vào bị chặn mà đầu ra không bị chặn

◮ Chọn đầu vào như sau:

Đáp ứng nhảy của hệ thống LTI

Xét hệ thống LTI với đầu vào là hàm nhảy đơn vị, khi đó đầu rađược gọi là đáp ứng nhảy (step response) của hệ thống

4 Dùng Matlab để vẽ đáp ứng nhảy s[n] của hệ thống LTI nếubiết trước đáp ứng xung h[n]

5 Viết chương trình Matlab để vẽ chập giữa hai tín hiệu liêntục Có thể sử dụng hàm myconv đã viết không? So sánh kếtquả trên cùng một đồ thị

Phép chập

Các tính chất của phép chập trong hệ thống LTI

Biểu diễn hệ thống LTI

Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

◮ Tìm nghiệm riêng yp(t) có dạng tương tự như x(t)

◮ Tìm các hệ số của nghiệm tổng quát sao cho nghiệm

y (t) = yh(t) + yp(t) thỏa mãn các điều kiện đầu

Ví dụ: Xét mạch điện RC: y (t) + RCdtd y (t) = x(t) Tìm y (t)(t > 0) khi x(t) = cos(ω0t)u(t) và y (0) = 2 [V], R = 1 [Ω],

C = 1 [F]

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

◮ FIR Hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn: N = 0

◮ IIR Hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn: N > 0Cách giải tương tự!

Thực hiện hệ thống LTI: Sơ đồ loại I

D

−a 1

−a 2

Phép tương quan

So sánh mức độ giống nhau giữa hai dãy (tín hiệu)

Tương quan chéo:

Time [sec]

Received waveform

delay [sec]

Cross correlation

Cross−correlation True delay

Bài tập về nhà (2)

1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng trên Matlab

2 Viết lại chương trình Matlab minh họa ứng dụng radar

ET 2060 Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI

Vai trò của biến đổi Fourier

◮ Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặcbiệt là xử lý tín hiệu

◮ Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm

1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổitiếng khác Phân loại:

◮ Chuỗi Fourier (FS)

◮ Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS)

◮ Biến đổi Fourier (FT)

◮ Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT)

◮ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh(các thuật toán FFT)

Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số

|X (f )|

Hàm riêng của hệ thống LTI (1)

Xét hệ thống LTI với đầu vào là dãy lũy thừa x[n] = ejωn

◮ ejωn - hàm riêng (eigenfunction) của hệ thống LTI

◮ H(ejω) - trị riêng (eigenvalue)

◮ Không phải thực hiện phép chập!!!

◮ H(ejω) gọi là đáp ứng tần số của hệ thống

Outline

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

Chuỗi Fourier (FS)

Tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T = 2πΩ

0 có thể đượcbiểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau:

T0

2

−T2

Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn

0.25

-4 -8 -12 -16 -20

Điều kiện tồn tại FS

Các điều kiện Dirichlet:

1 x(t) bị chặn

2 x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ

3 x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ

Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ:

Z

T |x(t)|2dt <∞

Dạng biểu diễn khác của FS

Tính chất dịch

Dịch theo thời gian:

x(t − t0) FS

←−−→ e−jΩ0 t0ckDịch tần số:

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier

Dãy ˜x[n] (hoặc ˜x[n]N) tuần hoàn với chu kỳ N:

˜x[n] = ˜x[n + rN], ∀n, r ∈ ZKhai triển chuỗi Fourier cho dãy ˜x[n]:

˜x[n] = X

NX−1 k=0

X [k]ej2πN kn, X [k] = X

r

ck+rN

˜x[n]e−j2πN mn =

NX−1 k=0

X [k]

NX−1 n=0

ej2πN (k −m)n

(iii) Tính trực giao:

NX−1 n=0

˜x[n]e−j2πN mn = N · X [m]

Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc

X [k] = 1

N

NX−1 n=0

˜x[n]e−j2πN kn

X [k] tuần hoàn với chu kỳ N Ký hiệu: ˜X [k] hoặc ˜X [k]N

DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn:

˜x[n] DTFS

˜x[n]e−j2πN kn, ˜x[n] =

NX−1 k=0

Ví dụ về DTFS

(1) Tìm khai triển Fourier của dãy

˜x[n] =



1, ℓN ≤ n ≤ ℓN + M − 1, ∀n ∈ Z, M < N

0, n còn lại

Hãy tìm ˜X [k],| ˜X [k]|, arg{ ˜X [k]}

(3) Dãy ˜x[n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy

tuần hoàn có chu kỳ 2N Nếu ˜X1[k]N = DTFS{˜x[n]N} và

Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc

Cách tính chập tuần hoàn

Tìm ˜x3(n0) với n0 ∈ [0, (N − 1)]

(1) Lấy đối xứng qua trục tung ˜x2[m]→ ˜x2[−m]

(2) Dịch theo trục hoành n0 mẫu

(3) Nhân hai dãy ˜vn0[m] = ˜x1[m]˜x2[n0− m] trong đoạn [0, (N − 1)]

(4) Tính tổng các phần tử của dãy ˜vn0[m] trong đoạn [0, (N − 1)]

→ ˜x3[n0]

(5) Dãy tuần hoàn chu kỳ N: ˜x3[n0] = ˜x3[n0 + rN], ∀r ∈ Z

Các tính chất khác

◮ Tích của hai dãy?

◮ Tương quan tuần hoàn của hai dãy?

Tự đọc!

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu không tuần hoàn

Xét x(t) là tín hiệu liên tục và không tuần hoàn theo thời gian.Nếu coi x(t) là tuần hoàn với T → ∞, ta có cặp biến đổi Fourier:

thời gian hữu hạn nào và mỗi điểm gián đoạn đó phải có giátrị hữu hạn

Ví dụ: Hãy tìm FT của các tín hiệu sau

(a) Hàm lũy thừa: x(t) = eatu(t)

FT cho tín hiệu tuần hoàn

=⇒ Nếu biết FS của x(t) (tuần hoàn), tìm FT?

Ví dụ: Tìm FT của các tín hiệu sau

Co dãn trên miền thời gian và tần số

Đối ngẫu

Nếu

x(t) FT

←−−→ X (jΩ)thì

X (jt) FT

←−−→ 2πx(−Ω)

◮ Khi hệ thống LTI không ổn định, có tồn tại H(jΩ) không?

◮ Tự đọc thêm về FT của tích, tương quan chéo giữa hai tínhiệu

◮ B = Ω H − Ω L (hệ thống thông dải lý tưởng).

(ii) Độ rộng băng thông 3-dB: |H(jΩ)|2 giảm một nửa so với giátrị lớn nhất

Ω

|H(jΩ)|

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

FT cho tín hiệu rời rạc ko tuần hoàn theo thời gian

Xét dãy x[n] có chiều dài hữu hạn, có thể coi là dãy ˜x[n]N với

X (ejω) - biến đổi Fourier của dãy rời rạc theo thời gian x[n]

◮ Tuần hoàn với chu kỳ 2π

◮ Phổ biên độ: |X (ejω)|, và phổ pha: arg{X (ejω)}

Cặp biến đổi Fourier

Xét các trường hợp bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải lýtưởng? Nhận xét?

Phổ biên độ và phổ pha của dãy rect10[n]

2 4 6 8 10

ω

Sự tồn tại của biến đổi Fourier

FT tồn tại khi dãy sau hội tụ:

Khi x[n] tuần hoàn?

˜x[n] =

NX−1 k=0

◮ Đảo trục thời gian: FT{x[−n]} = X (e−jω)

◮ Đạo hàm trên miền tần số: FT{nx[n]} = jdX (edωjω)

◮ Chập FT{x1[n]∗ x2[n]} = X1(ejω)X2(ejω)

◮ Nhân FT{x1[n]x2[n]} = 2π1 R−ππ X1(ejθ)X2(ej(ω−θ))dθ

◮ Điều chế (modulation):

FT{x[n] cos(ω0n)} =?

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Xét hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyếntính hệ số hằng:

NX−1 k=0

Bài tập Matlab

1 Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho mộtdãy có chiều dài hữu hạn

2 Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ

3 Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần

số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / viphân tuyến tính hệ số hằng

Hệ thống thông tin và điều chế biên độ

Không gian tín hiệu và hệ thống thông tin số

Khái niệm hệ thống thông tin

kênh h(t)

◮ Máy phát - máy thu (điểm - điểm)

◮ Kênh h(t) (fading, Doppler, v.v.) và nhiễu Gauss n(t)

Điều chế / giải điều chế

“Điều chế là quá trình thay đổi các thuộc tính của sóng mang c(t)theo tín hiệu thông tin x(t).”

c(t) = Ac cos(Ωct + θc)

◮ Điều biên (AM)

◮ Điều tần (FM)

◮ Điều pha (PM)

Một số ưu điểm khi thực hiện điều chế:

◮ Dịch dải tần hoạt động của tín hiệu về trung tâm băng tầnđược cấp phép

◮ Cho phép truyền tin khoảng cách xa hơn, khả năng chốngnhiễu, chống giao thoa tốt hơn, v.v

◮ Phù hợp hơn với từng ứng dụng, từng hoàn cảnh cụ thể

Khái niệm điều biên (AM) DSB-SC

Ω

Y (jΩ)

1 2

Ω c

−Ω c

Giải điều biên đồng bộ pha (coherent detection)

y (t)

cos(Ω c t)

1

2 x(t) LPF

2Ω c

−2Ω c

Trường hợp không đồng bộ pha sóng mang

w (t) = y (t) cos(Ωct + θ2) = x(t) cos(Ωct + θ1) cos(Ωct + θ2)

−→ Vòng khóa pha (PLL)

Các phương pháp điều biên khác

Giải điều chế dùng mạch tách đường bao (envelop detector), ko

cần đồng bộ pha nhưng lãng phí công suất phát vào sóng mang

QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

Điều chế biên độ xung (PAM)

◮ Ghép kênh phân chia theo tần số (FDM) - dùng AM

◮ Ghép kênh phân chia theo thời gian (TDM) - dùng PAM

(b) Vẽ phổ các tín hiệu trên

(c) Vẽ dạng tín hiệu tại máy thu ˆx(t) khi SNR = 10 dB

Hệ thống thông tin và điều chế biên độ

Không gian tín hiệu và hệ thống thông tin số

Sơ đồ hệ thống thông tin số

Các khái niệm trong thông tin số

◮ Độ rộng băng thông B [hertz]

◮ Dung lượng kênh C = B log2(1 + SNR)

◮ Tốc độ truyền dữ liệu

(i) Tốc độ ký hiệu (symbol / baud rate) R s

(ii) Tốc độ bit (bit rate) R = Rslog2M

◮ Tỉ số năng lượng bit trên nhiễu Eb/N0

◮ Tỉ lệ lỗi bit BER

Nguyên lý thông tin số

s(t) r (t) n(t)

◮ Phát đi dạng sóng s(t) = si(t) khi đầu vào là m = mi

◮ Dưới tác động của nhiễu là: r (t) = s(t) + n(t)

◮ Nếu biết trước {P[mi]} (xác suất phát đi mi trong tập hữuhạn các giá trị {m0, m1, , mM−1}) và cho trước các dạngsóng {s0(t), s1(t), , sM−1(t)}; máy thu có nhiệm vụ xử lýtín hiệu thu được r (t)→ ˆm sao xác suất lỗi Pe = P[ ˆm 6= m]

là nhỏ nhất