Bài tập cuối chương IV Bài 67 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1 Cho góc nhọn α Biểu thức (sinα cotα)2 + (cosα tanα)2 bằng A 2 B tan2α + cot2α C 1 D sinα + cosα Lời giải Đáp án đúng là C Ta có (sinα cotα)2 +[.]
Bài tập cuối chương IV Bài 67 trang 106 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho góc nhọn α Biểu thức (sinα cotα)2 + (cosα tanα)2 bằng: A B tan2α + cot2α C D sinα + cosα Lời giải: Đáp án C Ta có: (sinα cotα)2 + (cosα tanα)2 = (sinα cos sin ) + (cosα ) cos sin = cos2α + sin2α = Bài 68 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho vectơ a,b Phát biểu sau đúng? A a.b a b cos a;b B a.b a b cos a;b C a.b a b sin a;b D a.b a b cos a;b Lời giải: Đáp án D Với a,b ta có: a.b a b cos a;b Bài 69 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD Biểu thức AB.CD BC.CD CA.CD bằng: A CD2 B C D Lời giải: Đáp án B Ta có: AB.CD BC.CD CA.CD CD AB BC CA CD AC CA CD.0 Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α Biểu thức tanα tan(90°– α) bằng: A tanα + cotα B tan2α C D tan2α + cot2α Lời giải: Đáp án C tanα tan(90°– α) = tanα cotα = Bài 71 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho α thỏa mãn sin Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trường hợp sau: a) 0° < α < 90°; b) 90° < α < 180°; Lời giải: Ta có: sin cos2 3 ⇔ cos 2 5 3 ⇔ cos 5 2 ⇔ cos 2 ⇔ cos 16 25 25 4 cos 5 a) Vì 0° < α < 90° nên cos sin ⇒ tan cos 4 ⇒ cot 1 tan 3 Áp dụng cơng thức lượng giác hai góc bù nhau, ta được: sin(90° – α) = cosα = ; cos(90° – α) = sinα = ; sin(180° – α) = sinα = ; cos(180° – α) = –cosα = b) Vì 90° < α < 180° nên cos sin ⇒ tan cos 4 ⇒ cot 1 tan 3 Áp dụng công thức lượng giác hai góc bù nhau, ta được: sin(90° – α) = cosα = ; cos(90° – α) = sinα = sin(180° – α) = sinα = ; ; 4 cos(180° – α) = –cosα = 5 Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BAC 60 Tính (làm trịn kết đến hàng đơn vị): a) Độ dài cạnh BC độ lớn góc B; b) Bán kính đường trịn ngoại tiếp R; c) Diện tích tam giác ABC; d) Độ dài đường cao xuất phát từ A; e) AB.AC,AM.AC với M trung điểm BC Lời giải: a) Độ dài cạnh BC độ lớn góc B; Xét tam giác ABC, có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos BAC = 42 + 62 – 2.4.6.cos60° = 42 + 62 – 24 = 28 ⇔ BC = 28 Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta được: BC AC sin A sin B ⇔ sin B 6.sin 60 0,98 28 ⇔ B 79 Vậy BC = 28 B 79 b) Áp dụng định lí sin tam giác, ta có: BC 2R sin A ⇔ R BC 28 2sin A 2sin 60 Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác, ta được: 1 SABC AB.AC.sin BAC 4.6.sin 60 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác ABC (đvdt) d) Gọi AH đường cao tam giác kẻ từ đỉnh A Ngồi diện tích tam giác ABC là: 1 SABC BC.AH 28.AH 2 Theo ý c) ta tính diện tích tam giác Do ta có: ⇔ AH 28.AH 2.6 4 28 Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A e) Ta có: AB.AC AB AC cos AB,AC 4.6.cos60 12 Vì M trung điểm BC nên AM Khi đó: AM.AC AB AC 1 1 AB AC AC AB.AC AC 12 24 2 2 Vậy AB.AC 12 AM.AC 24 Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Chứng minh AB.AC AB2 AC BC Lời giải: Ta có: AB2 AC2 BC2 2 AB AC BC AB BC AB BC AC 2 AB BC AC AC 2 AB.AC BC.AC AC 2 AB.AC BA AC AC AC 2 2 AB.AC BA.AC AC AC 2 2AB.AC AB.AC Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = Tính: a) sin ABC ; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM Lời giải: a) Xét tam giác ABC, có: Áp dụng hệ định lí cosin, ta được: AB2 BC2 AC2 52 62 cosABC 2AB.BC 2.5.6 Ta có: cos ABC sin ABC 24 ⇔ sin ABC cos ABC 25 2 Vì ABC góc tam giác nên 0 ABC 180 ⇒ sin ABC Vậy sin ABC b) Diện tích tam giác ABC là: 1 SABC AB.BC.sin ABC 5.6 6 (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác ABC 6 c) Vì M trung điểm BC nên BM = MC = 1 BC = = 2 Xét tam giác ABM: Áp dụng định lí cos, ta có: AM2 = AB2 + BM2 – 2.AM.BM.cosB ⇔ AM2 = 52 + 32 – 2.5.3 ⇔ AM2 = 28 ⇔ AM = Vậy độ dài đường trung tuyến AM Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm I, A, B số thực k ≠ thỏa k mãn IA kIB Chứng minh với O điểm ta có: OI OA OB 1 k 1 k Lời giải: Ta có: IA kIB IA kIB Xét vế phải đẳng thức ta có: k k OA OB OI IA OI IB 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k OI IA OI IB 1 k 1 k 1 k 1 k k k OI OI IA IB 1 k 1 k 1 k 1 k k OI IA kIB 1 k 1 k 1 k OI 1 k OI Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BAC 120 Điểm M trung điểm đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn AD AC Tính tích vơ hướng AB.AC chứng minh AM ⊥ BD Lời giải: Ta có: AB.AC AB.AC.cos AB,AC 4.5.cos120 10 Ta lại có: AM AB AC Và BD BA AD AB AC ⇒ AM.BD AB AC . AB 52 AC 2 1 1 ⇔ AM.BD AB AB.AC AC.AB AC 5 1 1 ⇔ AM.BD 42 (10) (10) 52 5 Suy AM vng góc BD Vậy AB.AC 10 AM vng góc BD Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Một người quan sát đứng bờ sông muốn đo độ rộng khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sơng tương đối thẳng, xem hai bờ sơng song song) Từ vị trí đứng A, người đo góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới vị trí C quan sát phía bờ bên Sau dọc bờ sơng đến vị trí B cách A khoảng d = 50m tiếp tục đo góc nghiêng β = 65° so với bờ sơng tới vị trí C chọn (Hình 53) Hỏi độ rộng sơng chỗ chảy qua vị trí người quan sát đứng mét (làm tròn kết đến hàng phần trăm)? Lời giải: Kẻ CH vng góc với bờ AB Xét tam giác ABC, có: ABC BAC ACB 180 ⇒ ACB 180 ABC BAC 180 35 115 30 Áp dụng định lí sin tam giác, ta được: AB sin ACB ⇔ BC sin CAB 50 BC sin 30 sin 35 ⇔ BC 50sin 35 57,36 sin 30 Xét tam giác CHB vng B, có: sin CBH CH CH sin CBH.BC sin 65.57,36 51,98 BC Vậy độ rộng sơng chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét Bài 78 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b a 4, b 5, a,b 135 Tính a 2b 2a b Lời giải: 2 a 2b 2a b 2a a.b 4a.b 2b 2a 3a.b 2b 2a a b cos a,b 2b 2 2.42 3.4.5.cos135 2.52 18 30 Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: a) Chứng minh đẳng thức 2 a b a b 2.a.b với a b hai vectơ b) Cho a 2, b 3, a b Tính a.b a,b Lời giải: 2 2 a) a b a b a b 2.a.b a b 2.a.b b) Áp dụng công thức ta được: 2 a b a b 2.a.b 22 32 2.a.b ⇔ ⇔ 2.a.b ⇔ a.b 3 Mặt khác ta lại có: a.b a b cos a.b ⇔ 3 2.3.cos a.b ⇔ cos a.b ⇔ a.b 120 Vậy a.b 3 a.b 120 Bài 80 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng: AD.BC BE.CA CF.AB Lời giải: Ta có: AD.BC BE.CA CF.AB = 1 AB AC BC BA BC CA CA CB AB 2 = 1 1 1 AB.BC AC.BC BA.CA BC.CA CA.AB CB.AB 2 2 2 1 1 1 1 = AB.BC CB.AB AC.BC BC.CA BA.CA CA.AB 2 2 2 2 =0 Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, M điểm thay đổi mặt phẳng thỏa mãn MA MB MC MD Chứng minh M nằm đường tròn cố định Lời giải: Gọi I J trung điểm AB CD Khi ta có: IA IB JC JD ⇒ MA MB MC MD MI IA MI IB MJ JC MJ JD ⇔ MI IA MI IB MJ JC MJ JD ⇔ 2MI IA IB 2MJ JC JD ⇔ 4MI.MJ ⇔ IMJ 90 Vậy M điểm thuộc đường tròn đường kính IJ Bài 82 trang 108 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d điểm chung với cạnh tam giác M điểm thay đổi đường thẳng d Xác định vị trí M cho biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ Lời giải: Xét biểu thức MA MB MC MG GA MG GB MG GC 3MG GA GB GC 3MG ⇒ MA MB MC 3MG Do để biểu thức MA MB MC đạt giá trị nhỏ 3MG đạt giá trị nhỏ MG nhỏ MG nhỏ M hình chiếu vng góc G lên đường thẳng d Vậy để MA MB MC đạt giá trị nhỏ điểm M hình chiếu vng góc G đường thẳng d ... Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α Biểu thức tanα tan(90? ?– α) bằng: A tanα + cotα B tan2α C D tan2α + cot2α Lời giải: Đáp án C tanα tan(90? ?– α) = tanα cotα = Bài 71 trang 106 ... bù nhau, ta được: sin(90° – α) = cosα = ; cos(90° – α) = sinα = sin(180° – α) = sinα = ; ; 4 cos(180° – α) = –cosα = 5 Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC... trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho α thỏa mãn sin Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trường hợp sau: a) 0° < α < 90°; b) 90° < α < 180°; Lời giải: