CÁCH TÍNH NHANH một số PHÂN số đặc BIỆT

giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4-5

Toán (BD) TÍNH NHANH VỚI PHÂN SỐ (2 TIẾT)

I Mục tiêu

- Giúp HS nắm được cách giải các bài tập dạng tính nhanh có sử dụng phương pháp “Khử liên tiếp”

- HS vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập cùng dạng

- HS có ý thức tích cực tự giác học tập

II Nội dung

Bài tập 1: Tính nhanh:

53 50

3 50 47

3

11 8

3 8 5

3 5 2

3

×

+

× + +

×

+

×

+

×

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

53 50

3 50 47

3

11 8

3 8

5

3

5

2

3

×

+

× + +

×

+

×

+

×

Nhận xét:

11

1 8

1 11 8 3

8

1 5

1 8 5 3

5

1 2

1 5 2 3

−

=

×

−

=

×

−

=

×

53

1 50

1 53 50 3

50

1 47

1 50 47 3

−

=

×

−

=

×

⇒

53 50

3 50 47

3

11 8

3 8 5

3 5 2

3

×

+

× + +

×

+

×

+

×

=

53

1 50

1 50

1 47

1

11

1 8

1 8

1 5

1 5

1 2

= 53

1 2

1 −

= 106 51

Chốt: Khi 2 mẫu số trừ cho nhau kết quả bằng tử số thì ta có thể tách 1 phân số thành hiệu 2 phân số để tính

Công thức tính.

+ + = - + - + - = - (Với c-b = d-c = e-d = a)

Bài tập 2: Tính nhanh:

29 27

4 27

25

4

9 7

4 7 5

4 5 3

4

×

+

× + +

×

+

× +

×

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Cách 1:

Nhận xét

9

2 7

2 9 7 4

7

2 5

2 7 5 4

5

2 3

2 5 3 4

−

=

×

−

=

×

−

=

×

29

2 27

2 29 27 4

27

2 25

2 27 25 4

−

=

×

−

=

×

⇒

29 27

4 27

25

4

9 7

4 7 5

4 5 3

4

×

+

× + +

×

+

×

+

×

=

29

2 27

2 27

2 25

2

9

2 7

2 7

2 5

2 5

2 3

= 29

2 3

2 −

= 87 52

Cách 2:

29 27

4 27

25

4

9 7

4 7 5

4 5 3

4

×

+

× + +

×

+

×

+

× =

29 27

2 2 27 25

2 2

9 7

2 2 7 5

2 2 5 3

2 2

×

× +

×

× + +

×

× +

×

× +

×

×

29 27

2 27

25

2

9 7

2 7 5

2 5 3

2 ( 2

×

+

× + +

×

+

×

+

×

× Nhận xét tổng trong ngoặc, ta có:

9

1 7

1 9 7 2

7

1 5

1 7 5 2

5

1 3

1 5 3 2

−

=

×

−

=

×

−

=

×

29

1 27

1 29 27 2

27

1 25

1 27 25 2

−

=

×

−

=

×

29 27

2 27

25

2

9 7

2 7 5

2 5 3

2 ( 2

×

+

× + +

×

+

×

+

×

×

29

1 27

1 27

1 25

1

9

1 7

1 7

1 5

1 5

1 3

1 (

29

1 3

1 (

2 × −

=

87

26

2 × = 87 52

Chốt: Có thể đưa về dạng của bài tập 1 bằng cách chia cho 2 hoặc tách 2 ra như cách trên

Bài tập 3: Tính nhanh:

37 34

2 34 31

2

10 7

2 7 4

2 4 1

2

×

+

× + +

×

+

×

+

×

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Đặt A =

37 34

2 34 31

2

10 7

2 7 4

2 4 1

2

×

+

× + +

×

+

×

+

× Nhân cả 2 vế với

2

3 , ta có:

A

2

3

× = (

37 34

2 34 31

2

10 7

2 7 4

2 4 1

2

×

+

× + +

×

+

×

+

3

× A

2

3

× =

37 34

3 34 31

3

10 7

3 7 4

3 4

1

3

×

+

× + +

×

+

×

+

×

Nhận xét vế phải, ta có:

10

1 7

1 10 7 3

7

1 4

1 7 4 3

4

1 1 4 1 3

−

=

×

−

=

×

−

=

×

37

1 34

1 37 34 3

34

1 31

1 34 31 3

−

=

×

−

=

×

A 2

3

× =

37

1 34

1 34

1 31

1

10

1 7

1 7

1 4

1 4

1

A 2

3

× =

37

1

1 −

A 2

3

× =

37

36 A =

37

36 : 2

3 A =

37 24

Chốt: Đưa về dạng của BT 1 rồi tớnh

Bài tập 4: Tính nhanh:

21 20 19

2 20

19 18

2

5 4 3

2 4

3 2

2 3

2 1

2

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

×

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Nhận xét

5 4

1 4 3

1 5 4

3

1

4 3

1 3 2

1 4 3

2

2

3 2

1 2 1

1 3 2

1

2

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

21 20

1 20 19

1 21 20 19 2

20 19

1 19 18

1 20 19 18 2

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

⇒

21 20 19

2 20

19 18

2

5 4 3

2 4

3 2

2 3

2 1

2

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

×

=

21 20

1 20 19

1 20 19

1 19 18

1

5 4

1 4 3

1 4 3

1 3 2

1 3

2

1

2

1

1

×

−

×

+

×

−

× + +

×

−

×

+

×

−

×

+

×

−

×

=

21 20

1 2

1

1

×

−

×

=

420

1 2

1 − =

420 209

Bài tập 5: Tính nhanh

23 21 19

3 21

19 17

3

9 7 5

3 7

5 3

3 5

3 1

3

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

×

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Đặt A =

23 21 19

3 21

19 17

3

9 7 5

3 7

5 3

3 5

3 1

3

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

× Nhân cả 2 vế với

3

4 , ta có:

A

3

4

× = (

23 21 19

3 21

19 17

3

9 7 5

3 7

5 3

3 5

3 1

3

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

4

×

A

3

4

× =

23 21 19

4 21

19 17

4

9 7 5

4 7

5 3

4 5

3 1

4

×

×

+

×

× + +

×

×

+

×

×

+

×

× Nhận xét vế phải, ta có:

9 7

1 7 5

1 9 7

5

4

7 5

1 5 3

1 7 5

3

4

5 3

1 3 1

1 5 3

1

4

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

23 21

1 21 19

1 23 21 19 4

21 19

1 19 17

1 21 19 17 4

×

−

×

=

×

×

×

−

×

=

×

×

⇒ A

3

4

× =

23 21

1 21 19

1 21 19

1 19 17

1

9 7

1 7 5

1 7 5

1 5 3

1 5

3

1

3

1

1

×

−

×

+

×

−

× + +

×

−

×

+

×

−

×

+

×

−

×

A

3

4

× =

23 21

1 3 1

1

×

−

×

A

3

4

× =

483

1 3

1 − A

3

4

× = 483 160

A =

3

4 : 483

160

A =

161 40

Chốt: Đưa về dạng bài tập 4 rồi tính

Bài tập 6: Tính nhanh

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Đặt A =

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

Nhân cả 2 vế với 2, ta có:

A ×2 = (

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

A ×2 =

64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

Lấy A ×2 trừ A, ta có:

A ×2 - A = (

64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

1 + + + + + + ) - (

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

A =

64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

A = 128

1 ) 64

1 64

1 ( ) 32

1 32

1 ( ) 16

1 16

1 ( ) 8

1 8

1 ( ) 4

1 4

1 (

)

2

1

2

1

(

A =

128

1

1 − A =

128 127

Chốt: Đây là dạng mới: Mẫu số sau chia mẫu số trước bằng 1 số không đổi Ta

dùng cách trừ biểu thức để giản ước rồi tính hiệu của số đầu trừ số cuối

Công thức tính.

S = + + + +

Nếu : = : = … = k thì S x k = + k

b + …+

S x k – S = S x (k - 1) = - ; S = ( - ) : (k - 1)

Bài tập 7: Tính nhanh:

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

- GV gợi ý để HS nhận xét về tử số và mẫu số của các số hạng trong tổng

- GV hướng dẫn HS các bước tính

- HS làm bài, GV hướng dẫn chữa bài

Hướng dẫn:

Đặt A =

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

Nhân cả 2 vế với 3, ta có:

A × 3 = (

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

A × 3 =

243

1 81

1 27

1 9

1 3

1

Lấy A × 3 trừ A, ta có:

A × 3- A = (

243

1 81

1 27

1 9

1 3

1

1 + + + + + ) - (

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

A × 2 =

243

1 81

1 27

1 9

1 3

1

-729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

A × 2 =

729

1 ) 243

1 243

1 ( ) 81

1 81

1 ( ) 27

1 27

1 ( ) 9

1 9

1 ( ) 3

1 3

1 (

A × 2 =

729

1

1 −

A × 2 =

729

728

A =

729

728 : 2 = 729 364

Chốt: Khoảng cách giữa các mẫu số là 3 nên ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ đi

biểu thức đã cho để có thể rút gọn đượcbằng cách tính hiệu 2 biểu thức

Củng cố, dặn dò:

- Hệ thống các kiến thức đã học, dặn HS về nhà ôn tập các dạng bài tập của tiết học

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau:

1, + + + … +

2, + + + +

3, + + + + ( Dãy có 8 số hạng)

Bài 2 : Tìm x

a, + + + + + =

b, x x ( + + + + ) =