Môc lôc Trang A §Æt vÊn ®Ò B Néi dung vµ ph¬ng ph¸p I T×nh h×nh chung II Nh÷ng vÊn ®Ò ®îc gi¶i quyÕt III Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh 1 C¬ së lÝ thuyÕt 2 C¸c d¹ng bµi tËp 2 1 D¹ng 1 T×m sè cha biÕt 2 1 1 T×m[.]
Mục lục Trang A Đặt vấn đề B Nội dung phơng pháp I Tình hình chung II Những vấn đề đợc giải III Phơng pháp tiến hành Cơ sở lí thuyết Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 2.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 2.1.3 Một số trờng hợp khác 2.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 2.2.1 Tìm chữ số tận 2.2.2 Tìm chữ số tận 2.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 2.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 2.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 2.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Kết thực VI Những vấn đề hạn chế hớng tiếp tục nghiên cứu V Điều kiện áp dụng C Kết luận Tài liệu tham khảo skkn skkn A Đặt vấn đề Phải nói rằng: Toán học môn khoa häc tù nhiªn lý thó Nã cn hót ngêi từ nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi môn toán nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức , biết khai thác mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải đợc nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên gióp cho häc sinh ph¸t triĨn t , ãc sáng tạo , nhanh nhạy giải toán từ học môn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt môn ĐạI Số sau Trong toán học, Toán luỹ thừa mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm đợc toán luỹ thừa việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em đợc làm quen với môn đại số đợc tiếp cận với toán luỹ thừa nên cha có công cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phơng pháp, kĩ tính toán Để học tốt môn toán nói chung Toán luỹ thừa nói riêng, điều quan trọng biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đứng trớc toán khó, cha tìm cách giải, học sinh thùc sù lóng tóng, hoang mang vµ rÊt cã thĨ bỏ qua toán đó, nhng có đợc giúp đỡ, gợi mở em không sợ mà thích thú làm toán nh Để nâng cao mở rộng kiến thức phÇn l thõa cho häc sinh líp 6, líp 7, kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tòi , học hỏi thầy cô giáo đồng nghiệp, muốn trình bày số ý kiến chuyên đề Toán luỹ thừa Q nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phơng pháp giải toán luỹ thừa cho đối tợng học sinh Bên cạnh gióp häc sinh rÌn lun c¸c thao t¸c t duy, phơng pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn yêu toán nói chung toán luỹ thừa nói riêng B skkn Nội dung phơng pháp I Tình hình chung Thông qua giảng dạy, thấy hầu hết học sinh thấy toán liên quan đến luỹ thừa sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát Nh đà nãi ë trªn, häc sinh líp 6, líp míi đợc tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh đà thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nh nào? cha cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em không thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dới dạng tập II Những vấn đề đợc giải Kiến thức Kiến thức bổ sung Các dạng tập phơng pháp chung 3.1 Dạng1: Tìm số cha biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phÇn sè mị cđa l thõa 3.1.3 Mét sè trờng hợp khác 3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừa III Phơng pháp tiến hành skkn CƠ Sở Lý THUYếT a Định nghĩa luỹ thừa víi sè mị tù nhiªn a = n a.a .a ⏟ (n N*) n thõa sè b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p N) am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc: a1 = a a0 = (a ≠ 0) Víi : x, y Q; m, n N; a, b Z x x .x ⏟ xn = (x N*) n thõa sè n n a a = n b b () (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n m x =x m−n xn (x ≠ 0) xn x-n = (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n n x x = n y y () (y ≠ 0) skkn c KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z Q: x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phơng pháp: §a vỊ hai l thõa cïng sè mị Bµi 1: T×m x biÕt r»ng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = c, (x – 2)2 = 16 d, (2x 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trờng hỵp a, x3 = -27 x3 = (-3)3 b, (2x – 1)3 = (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 => 2x – = - VËy x = - 2x = -2 + 2x = - −1 => x = skkn VËy x −1 = c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 VËy x = hc x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 hc x = -2 x–2=4 x=6 VËy x = -2 hc x = Bài Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 NÕu ë bµi häc sinh lµm thÊy nhĐ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng: hai lũy thừa đà số- cha biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh tìm mòằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề sao? Giáo viên gợi ý: x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = => [ x=0 [ [ x 3=1 => [ x 2=0 [ [ x 3−1=0 => [ x=0 [ [ x=1 Đến giáo viên cho häc sinh lµm bµi tËp sau : Bµi Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Hớng dẫn: Đặt 3y = x Khi (*) trở thành: skkn (*) x10 = x20 Giải tơng tự ta ®ỵc : [ x 10=0 [ [ x 10−1=0 => [x=0 [ 10 [x =1 => [x=0 [x=−1 [ [x=1 Rất học sinh dừng lại , đà tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y = VËy y= ; ; Bài : Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngợc với , hai lũy thừa đà có số mũ -đà biết- giống nhng số cha biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phơng hai lũy thờa hai số đối Ta cè : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = – 3x hc x–5= 3x – => 4x = 2x = -4 => x= = x = -2 Bài 4: Tìm x y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ¿ (*) Víi bµi toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu , thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề: hÃy so sánh (3x - 5)100 vµ (2y +1)200 víi skkn Ta thÊy : (3x - 5)100 ¿ (2y +1)200 ¿ 0 ∀ x ∈ ∀ x ∈ Q Q => BiÓu thøc (*) chØ cã thĨ b»ng , kh«ng thĨ nhá h¬n VËy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = Bài 5:Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : ∈ −1 y= (x + 2)2 ¿ ∀ x Z (1) 2(y – 3)2 ¿ ∀ x ∈ Z (2) Nhng nảy sinh vấn đề < , học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, ®Ĩ : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy trờng hợp sau : +) Trêng hỵp 1 : (x + 2)2 = => x = -2 +) Trờng hợp 2: (x + 2)2 = => +) Trêng hỵp 3 : +) Trêng hỵp : => [ x+2=1 [ [ x+2=−1 => [x=−1 [ [x=−3 (x + 2)2 = => => vµ x = -2 (x + 2)2 = [ x=−1 [ [ x=−3 (y – 3)2 = (y – 3)2 = => vµ => [ y=4 [ [ y=2 (y – 3)2 = => vµ y=3 y=3 (y – 3)2 = [ y=4 [ [ y=2 Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng x y thỏa mÃn đề là: skkn x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trờng hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mÃn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tơng tự sau : T×m x biÕt : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 T×m y biÕt : a, y200 = y b, y2008 = y2010 y y d, ( -5 )2000 = ( -5 )2008 c, (2y - 1)50 = 2y – T×m a , b ,c biÕt : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ¿ b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ¿ 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ¿ d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ¿ 3.1.2 0 T×m sè mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phơng pháp: Đa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n N biết : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm đợc câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = Nhng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số nhng không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 skkn ... => 523 5 có chữ số tận +) 1 023 1 024 = (1 023 4 )25 6 = ( )25 6 = =>1 023 1 024 có chữ số tận +) 20 0 320 05 = 20 0 320 04 20 03 = (20 034)501 20 03 = ( = )501 20 03 20 03 => 20 0 320 05 có chữ số tận +) 20 420 8... biÕt : 2m + 2n = 2m+n Häc sinh thùc sù thÊy khã gặp , phải làm nh để tìm đợc hai số mũ m n Giáo viên gợi ý: 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1)( 2n... -27 x3 = (-3)3 b, (2x – 1)3 = (2x – 1)3 = ( -2) 3 x = -3 => 2x – = - VËy x = - 2x = -2 + 2x = - −1 => x = skkn VËy x −1 = c, (2x – 3 )2 = => (2x – 3 )2 = (-3 )2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x