Microsoft Word HH9 C3 CD8 DI?N TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QU?T TRÒN docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN A TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Công thức d[.]
DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức diện tích hình trịn Diện tích S hình trịn bán kinh R tính theo cơng thức: S R2 Cơng thức diện tích hình quạt trịn Diện tích hình quạt trịn bán kính E, cung n0 tính theo cơng thức: S R2n 360 hay S lR (l độ dài cung n0 hình quạt trịn) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn loại lương có liên quan Phương pháp giải: Áp dụng công thức kiến thức có 1.1 Điền vào trống bảng sau (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất): Bán kính Độ dài đường Diện tích hình Số đo cung Diện tích hình đường tròn (R) tròn (C) tròn (S) tròn n0 quạt tròn cung n0 450 12cm 12,5cm2 2cm 40cm2 10cm2 1.2 Điền vào trống bảng sau (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) Bán kính đường trịn (R) Độ dài đường trịn (C) Diện tích hình trịn (S) Số đo cung trịn n Diện tích hình quạt trịn cung n0 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 600 14cm 15cm2 4cm 60cm2 16cm2 2.1 Cho hình vng có cạng 4cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O) 2.2 Cho hình vng có cạnh 5cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O) 3.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; 3cm) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OA, OC cung nhỏ AC ABC 400 3.2 Cho tam giác ABC nội tếp đường trịn (O; 6cm) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OA, OC cung nhỏ AC ABC 600 Dạng Bài toán tổng hợp Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt kiến thức học để tính góc tâm, bán kính đường trịn Từ tính diện tích hình trịn diện tích hình quạt trịn 4.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) a) Tính độ dài cung nhỏ AB b) Tính diện tích giới hạn hai tiếp tuyến AM, MB cung nhỏ AB 4.2 Cho đường tròn (O) đường kính AB Lây M thuộc đoạn AB vẻ dây CD vng góc với AB M Giả sử AM = 2cm CD = cm Tính: a) Độ dài đường trịn (O) diện tích đường trịn (O); D diện tích hình quạt trịn giói hạn hai bán kính OC, OD cung nhỏ C D b) Độ dài cung CA III BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Gọi M trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với AB M Điểm E chuyên động cung lớn CD (E khác A) Nôi AE cắt CD K Nối BE cắt CD H a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc đường tròn b) Chứng minh AE.AK khơng đổi 2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com c) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giói hạn OB, OC cung nhỏ BC Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD) Nối AC BD cắt M AMB không đổi a) Chứng minh CD thay đổi vị trí nửa đường trịn độ lớn góc b) Cho ABC 300 , tính độ dài cung nhỏ AC diện tích hình viên phân giói hạn dây AC cung nhỏ AC HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Bán kính đường Độ dài Diện tích Diện tích Số đo cung đường trịn (C) hình trịn (S) trịn n0 1,9cm 12cm 11,3cm2 450 1,4cm2 2cm 12,6cm 12,6cm2 351,10 12,5cm2 3,6cm 22,4cm 40,7cm2 900 10,2cm2 trịn (R) hình quạt trịn cung n0 1.2 Bán kính đường Độ dài Diện tích Diện tích hình Số đo cung đường tròn (C) tròn (S) tròn n0 2,2cm 14cm 15,2cm2 60 4cm 25,1cm 50,3cm2 107,40 15cm2 4,4cm 27,6cm 60cm2 94,80 16cm2 trịn (R) hình quạt trịn cung n0 2.1 R 2cm, C (O ) 4 2cm, S (O ) 8 cm 2.2 Tương tự 2.1 3.1 S 3 cm 3.2 Giải tương tự 3.1 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2,6cm2 4.1 a) l 2 R ; b) S 3R R2 4.2 a) AC 4cm BC 3cm R 4cm C 8 cm, S 16 cm AOC 600 b) AOC 1200 l 4.120 cm COD CAD 180 16 S cm 2 900 KEB 900 a) Chú ý: KMB ĐPCM b) ABE AKM ( g g ) AE AB AM AK AE AK AB AM 3R không đổi c) OBC 600 S R BOC ( )R2 3 AMB 600 a) Chứng minh COD R b) ABC 300 AOC 600 l AC 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By tiếp tuyến A B (O), Tiếp tuyến điểm M tùy ý (O) cắt Ax By C D a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD b) Cho AB cm Tìm vị trí C để chu vi tứ giác ABDC 28cm, tính diện tích phần tứ giác nằm ngồi (O) Bài Cho đường tròn tâm O, cung AB 120 Các tiếp tuyến đường tròn A B cắt C Gọi (I) đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CB cung AB nói So sánh độ dài đường tròn (I) với độ dài cung AB đường trịn (O) Bài Cho đường trịn có bán kính Người ta tô đỏ số cung hình trịn, tổng độ dài cung tơ Có tồn hay khơng đường kính đường trịn mà hai đầu khơng bị tơ mầu? Bài Trong hình trịn có bán kính 20 đặt 500 điểm cho khoảng cách hai điểm lớn không? Bài Một hình vng tam giác nội tiếp đường tròn (O;l) cho cạnh tam giác song song với cạnh hình vng Tính diện tích phần chung tam giác hình vng Bài Đường trịn (O;r) nội tiếp tam giác ABC Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AC BC M N Chứng minh rằng: SCMN r Bài Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA D, E, F Đặt AD = x, BE = y, CF = z Chứng minh rằng: a) S ABC xyz x y z b) S ABC xy yz zx Bài Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn Chứng minh rằng: SABCD AB BC.CD DA HƯỚNG DẪN Bài 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a) OCD vuông O (OC OD phân giác hai góc kề bù) I trung điểm CD IO = IC = ID IO AB O nên AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD b) Đặt AC x(cm) BD y (cm) C ABDC AB AC BD 28 x y 10 Mặt khác OM MC.MD xy 16 x x y 10 x ta Giải hệ y y xy 16 Vậy C cách A đoạn AC 2cm BD 8cm AC 8cm BD 2cm Cả hai trường hợp hình thang vng ABCD có diện tích: S1 40 (cm2) Diện tích nửa hình trịn (O): S2 8 (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngồi đường trịn: S S1 S 40 8 (cm ) Bài Gọi R, r theo thứ tự bán kính đường tròn (O), (I) Gọi tiếp điểm đường tròn (I) với cung AB với cạnh CA theo thứ tự M H OAC vuông A, AOC 60 nên OC 2OA R CM OC OM R R R (1) 60 nên IC IH 2r IHC vuông H, HIC Do MC MI IC r 2r 3r (2) Từ (1) (2) suy r R Độ dài cung AB (O) 2 R Độ dài đường tròn (I) 2 r 2 R 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy độ dài đường tròn (I) độ dài cung AB đường trịn (O) Bài Ta tơ xanh cung đối xứng với cung đỏ qua tâm O Như tổng độ dài cung tô màu 9.2 18 Chu vi hình trịn 2 6 18 Vậy tồn điểm đường trịn khơng bị tơ mầu Điểm đối xứng với qua tâm O khơng tơ mầu Đó hai đầu đường kính phải tìm Bài Giả sử đặt 500 điểm đường trịn có bán kính 20 cho khoảng cách hai điểm lớn Vẽ 500 đường trịn có bán kính có tâm điểm cho Vì khoảng cách hai tâm lớn tổng hai bán kính nên hình trịn nằm ngồi nằm hình trịn có bán kính 20 21 Tổng diện tích 500 hình trịn bán kính phải nhỏ diện tích hình trịn có bán kính 21 nên 500. 12 212 hay 500. 441. , vô lý Vậy đặt 500 điểm thỏa mãn đề Bài Ta kí hiệu ABC tam giác PQRL hình vng nội tiếp đường trịn (O;1) hình vẽ Đặt diện tích phần chung tam giác hình vng S Do S S ABC 2.S AKF S MNB (*) ABC tam giác PQRL hình vng nội tiếp đường trịn (O;1) , nên ta có: AC 3; RQ AF Ta có KF AF tan 60 3 2 3 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com S AKF 1 AF KF BH OB OH 3 2 3 52 2 1 2 1 1 Ta có MH BH.tan 30 1 SBMN MN BH 2 Mà S ABC 1 1 2 3 2 6 Thay giá trị vào (*), ta được: S Bài Ta có SCMN SCMO SCNO CM CN r Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: CM CN CM.CN 2.SCMN Do đó: SCMN 2.SCMN r SCMN 2.SCMN r SCMN r Bài a) Vì p AB BC CA x y y z z x x y z nên p x y z Mặt khác a BC BE EC y z nên p a x Tương tự p - b = y, p - c = z Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta có: S ABC p p a p b p c xyz x y z 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) S ABC xy yz zx 3.SABC xy yz zx (*) Từ câu a, nên * 3xyz x y z xy yz zx Đặt: xy a, yz b, zx c Bất đẳng thức có dạng: ab bc ca a b c a b b c c a 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng, nên bất đẳng thức đầu chứng minh Dấu xảy ABC tam giác Bài Giả sử đường tròn (I;r) nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Đặt x AM AQ, y BM BN , z CN CP, t DP DQ Do tứ giác ABCD nội tiếp nên: BCD 180 BAD NIP IAM NIC Từ suy BAD IAM CIN AM IM IN CN AM.CN IM.IN hay xz r Tương tự ta có: yt r Ta có: AB BC.CD DA x y y z z t t x Khai triển vế phải, ý: xz yt r Ta được: AB BC.CD DA r x y z t xy xz xt yz yt zt r x y z t rp S ABCD 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A 27 3cm B 3cm C 29 3cm D 3cm Câu 17 Cho A, B,C , D đỉnh hình vng có cạnh 2cm Tính diện tích hình hoa cánh giới hạn đường trịn có bán kính a , tâm đỉnh hình vng A S = 4p - C S = 4p B S = 4p + D S = - 4p Câu 18 Cho A, B,C , D đỉnh hình vng có cạnh 2cm Tính diện tích hình hoa cánh giới hạn đường trịn có bán kính a , tâm đỉnh hình vng A S = (p + 2)a B S = 2(p + 2)a C S = (p - 2)a D S = 2(p - 2)a HƯỚNG DẪN Câu Đáp án A Diện tích S = pR = 225p R = 225 R = 15(cm ) Câu Đáp án B Diện tích S = pR = p.82 = 64 p (cm ) Câu Đáp án A Diện tích S = pR = p.102 = 100p (cm ) Câu Đáp án B ìïOA = OM ï Xét đường trịn (O ) có: ïí DAOM tam giác vuông cân MOA = 900 ïïMAO = 45 ïỵ S= Vậy diện tích hình quạt AOM pR2n p.102.90 = = 25p(cm ) 360 360 Câu Đáp án C 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Xét đường trịn (O ) có BAM = 60 suy số đo cung MB 2.60 = 120 Suy số đo cung AM n = 180 - 120 = 60 Vậy diện tích hình quạt AOM S = pR2n p.82.60 32p = = (cm ) 360 360 Câu Đáp án B Xét đường trịn (O ) có: ABC AOC góc nội tiếp góc tâm chắn cung pR2 60 pR2 = 2.ABC = 2.300 = 600 S AOC = = qAOC 360 Xét DAOC có AOC = 60 OA = OC = R nên tam giác AOC cạnh R Gọi CH đường cao tam giác AOC , ta có: 1 3 R S AOC = CH OA = R.R = R 2 2 CH = CO.sin 600 = Diện tích hình viên phân AC là: SqAOC - S AOC = æ 2p - 3 ữử ỗ ữữ = ỗỗ ữữ 12 ỗỗố ø ( ) = 2p - 3 (cm2) Câu Đáp án A 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com pR ổỗỗ p ữữử R = ỗ ữ R ỗỗố 6 4 ữữứ Xột đường trịn (O ) có: ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy CAB = 90 - CBA = 30 (tam giác ABC vuông C ) ACB BOC góc nội tiếp góc tâm chắn pR2 60 pR2 = cung BOC = 2.ACB = 2.300 = 600 Squat AOC = 360 Xét DBOC có BOC = 60 OA = OC = R nên tam giác AOC cạnh R Gọi CH đường cao tam giác AOC , ta có: CH = CO.sin 600 = 1 3 R S AOC = CH OA = R.R = R 2 2 Diện tích hình viên phân BC là: pR ổỗỗ p ữữử R = ç ÷ R ççè 6 4 ÷÷ø ỉ 2p - 3 ÷ư ỉ 3 ÷ư 18p - 27 ỗỗ ỗỗ ữ ữ =ỗ (cm ) ữữ ỗ ữữ = ỗốỗ 12 16 ữứ ỗỗố ữứ Squat BOC - S DBOC = Câu Đáp án A 16. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Gọi hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O ) OA = OB = OC = OD = R O giao điểm AC BD R = AC Xét tam giác vng ABC ta có AC = AB + BC = 62 + 62 = 72 AC = R = ( ) Diện tích hình trịn (O ) S = pR = p 2 =3 2 = 18p (cm ) Câu Đáp án D Gọi hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O ) OA = OB = OC = OD = R giao điểm AC BD R = AC Xét tam giác vng ABC ta có AC = AB + BC = 52 + 52 = 50 AC = R = Diện tích hình trịn (O ) S = pR = 2 25p (cm ) Câu 10 Đáp án A Diện tích hình trịn (O ) là: S(O ) = pR Ta có góc ACB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn BAC = 900 - CBA = 900 - 300 = 600 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Tam giác AOC có CAO = 60 OA = OC = R nên tam giác AOC cạnh R Giả sử CH đường cao tam giác ABC , ta có: CH = CO.sin 600 = 1 3 R S ABC = CH AB = R.2R = R 2 2 Diện tích hình giới hạn đường trịn (O ) AC , BC là: ( ) ( 1 1 S(O ) - S ABC = pR R = p - R2 = p - 2 2 )( ) 2 = p - Câu 11 Đáp án B Diện tích hình trịn (O ) là: S(O ) = pR Ta có góc ACB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn BAC = 900 - CBA = 900 - 300 = 600 Tam giác AOC có CAO = 60 OA = OC = R nên tam giác AOC cạnh R Giả sử CH đường cao tam giác ABC , ta có: CH = CO.sin 600 = 1 3 R S ABC = CH AB = R.2R = R 2 2 Diện tích hình giới hạn đường tròn (O ) AC , BC là: ( ) 1 S(O ) - S ABC = pR R = p - R2 2 2 = p - 2 = 2p - ( )( ) Câu 12 Đáp án B ìïlR ìïlR = 132 ìïl 2R = 264 ìï2R = 12 ìïR = ï = 66 ï ï ï ï Ta có ï í2 í í í í ïïl + 2R = 34 ïïl + 2R = 34 ïïl + 2R = 34 ïïl = 22 ïïl = 22 ỵ î î î ïïî Vậy R = 6(cm ) Câu 13 Đáp án C 18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ìïlR ï = 49 ïìlR = 98 ïìl 2R = 196 ïì2R = 14 ïìR = ï ïí ïí ïí ïí Ta có í ïïl + 2R = 28 ïl + 2R = 28 ïl + 2R = 28 ïl = 14 ïl = 14 ỵï îï îï îï ïïî Vậy R = 7(cm ) Câu 14 Đáp án D Xét DOAM có AM = OM - OA2 = R SOAM = OA.AB R2 = 2 Mà DOAM = DOBM (c - c - c ) SOAMB = 2SOAM = 3R = Xét DOAM có cos AOM Diện tích quạt tròn Sq AB OA = 60 AOB = 120 = AOM OM pR2 120 pR2 = = 360 Diện tích giới hạn hai tiếp tuyến AM , MB cung nhỏ AB S = SOAMB - Sq AB = 3R - ổ pR pử = R ỗỗỗ - ÷÷÷ 3 ÷ø è Câu 15 Đáp án D Gọi RR bán kính đường tròn (O ) Độ dài cung AB, BC ,CA 6p nên ta có C = 2pR = 6p + 6p + 6p = 18p , suy R = hay OA = OB = OC = Ta có AOB = BOC = COA = 1200 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com suy AOB = BOC = COA = 1200 suy S DAOB = S DAOC = S DBOC = S DABC ìï ïOAC = OCA = 30 Xét tam giác AOC có: ïí ïïCOA = 120 ïỵ Kẻ đường cao OE , ta có đồng thời đường trung tuyến, phân giác góc COA = COE = AOC Ta có AOE ìï ïECO = 30 R Xét tam giác COE có: ïí OE = CO = ïïCEO = 90 2 ïỵ æR ö R Áp dụng định lý Pytago ta cú: CE = OC - OE = R - ỗỗỗ ÷÷÷ = è ÷ø 2 1 R 3R Vậy SCOE = OE CE = = 2 2 S ABC = 3SCOA = 2 3R Suy SCOA = 2SCOE = 3R 3R 3.92 243 = = 4 Câu 16 Đáp án A Gọi R bán kính đường trịn (O ) Độ dài cung AB, BC ,CA 4p nên ta có C = 2pR = 4p + 4p + 4p = 12p , suy R = hay OA = OB = OC = Ta có AOB = BOC = COA = 1200 suy DAOB = DAOC = DBOC = DABC ìï ïïOAC = OCA = 30 Xét tam giác AOC có: í ïïCOA = 120 ïỵ Kẻ đường caoOE , ta có đồng thời đường trung tuyến, phân giác góc COA 20. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... tính diện tích hình trịn diện tích hình quạt trịn 4.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) a) Tính độ dài cung nhỏ AB b) Tính diện tích. .. ) cho ABC = 30 Tính diện tích hình giới hạn đường tròn (O ) AC ; BC A p - B 2p - C p - 3 D 2p - Câu 12 Một hình quạt có chu vi 34cm diện tích 66cm Bán kính hình quạt bằng? A R = 5(cm... 8cm AC 8cm BD 2cm Cả hai trường hợp hình thang vng ABCD có diện tích: S1 40 (cm2) Diện tích nửa hình trịn (O): S2 8 (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngồi đường trịn: S