Thông tin tài liệu
BÀI CỰC TRN CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững định nghĩa cực trị hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số; điểm cực trị đồ thị hàm số + Hiểu vận dụng định lí điều kiện cần điều kiện đủ để hàm số có cực trị + Trình bày vận dụng cách tìm cực trị hàm số + Nhận biết điểm cực trị đồ thị hàm số Kĩ + Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị hàm số biết + Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung Giả sử hàm số f xác định K K điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 x0 K hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp K tồn khoảng a; b K chứa điểm x0 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 cho f x f x0 , x a; b \ x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số Khi f x0 gọi giá trị cực đại hàm số f f tập K; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a; b chứa x0 b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f 3) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f tồn khoảng a; b K chứa điểm x0 điểm x0 ; f x0 gọi điểm cực trị đồ thị cho f x f x0 , x a; b \ x0 hàm số f Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm điểm x0 f x0 Ví dụ 1: Hàm số y f x x xác định Vì f f x 0, x nên hàm số đạt cực tiểu điểm x dù hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 0, vì: x, x 1, x y y x x, x 1, x Chú ý: 1) Điều ngược lại khơng Đạo hàm f điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 TOANMATH.com Ví dụ 2: Ta xét hàm số f x x3 , ta có: f x x 0, x Hàm số đồng biến nên khơng có cực trị dù f Trang 2) Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí a) Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm x0 , f x0 f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f x0 hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f x0 hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f x0 ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài tốn 1: Tìm điểm cực trị hàm số cụ thể Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Ví dụ 1: Hàm số f x x x x đạt cực tiểu điểm Bước Tìm f x A x 1 B x C x D x 3 Bước Tìm điểm xi i 1, 2, đạo Hướng dẫn giải hàm không hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước Xét dấu f x Nếu f x đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị điểm xi Cách 1: Hàm số cho xác định Ta có f x x x x 1 Từ f x x Bảng xét dấu f x Vậy hàm số đạt cực điểm điểm x Chọn B Cách 2: Dùng định lý Cách 2: Bước 1: Tìm f x Hàm số cho xác định Bước 2: Tìm nghiệm xi i 1, 2, phương trình f x Bước 3: Tính f xi Nếu f xi hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f xi hàm số f đạt cực tiểu Ta có: f x x x x 1 Từ đó: f x x Ta có: f x x Khi đó: f 1 12 0; f 3 12 Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x điểm xi Nếu f xi ta lập bảng biến thiên TOANMATH.com Trang để xác định điểm cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Số điểm cực đại hàm số f x x x A B C D C D Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định Ta có: f x 4 x3 16 x x f 7 Từ đó: f x x 2 f 2 x f Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai điểm cực đại Chọn C Ví dụ 2: Số cực trị hàm số f x A x 1 x 1 B Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định \ 1 Ta có: f x 2 x 1 0, x \ 1 Vậy hàm số khơng có cực trị Chọn D Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu hàm số f x B y A x 5 x2 2x x2 x 1 C x D y Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định Ta có: f x 3 x 16 x x x 1 TOANMATH.com Trang x Từ đó: f x x 5 Bảng xét dấu đạo hàm: Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm x 5, yCT f 5 Chọn B Ví dụ 4: Số cực trị hàm số f x x x A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định x2 1 Ta có: f x x 3x x x 1 x 1 x 1 Từ đó: f x x 3x x x 2 ( f x không xác định điểm x x 2 ) Bảng biến thiên: Vậy hàm số có hai cực trị f 1 f 1 Chọn A Ví dụ 5: Giá trị cực đại hàm số f x x x số đây? A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định TOANMATH.com Trang Ta có: f x 2x x2 2 x Từ đó: f x x x x x 1 4x Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại điểm x , giá trị cực đại hàm số 3 f Chọn C Ví dụ 6: Các điểm cực đại hàm số f x x 2sin x có dạng (với k ) A x C x k 2 B x k 2 D x k 2 k 2 Hướng dẫn giải Hàm số cho xác định Ta có: f x cosx Khi f x cosx x k 2 , k f x 2sin x Vì f k 2 2sin k 2 2sin nên x k 2 điểm cực tiểu 3 3 3 Vì f k 2 2sin k 2 2sin 2sin nên x k 2 điểm cực đại 3 3 Chọn A Bài tốn Tìm cực trị hàm số biết đồ thị Phương pháp giải +) Nếu đề cho đồ thị hàm f ( x) , xem lại lý thuyết +) Nếu đề cho đồ thị đạo hàm, để ý điều sau để lập bảng xét dấu đạo hàm: Đồ thị f '( x) nằm phía trục hoành: f '( x) Đồ thị f '( x) nằm phía trục hồnh: f '( x) Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Hàm số y ax bx c (a, b, c ) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số f A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho có hai điểm cực tiểu Chọn C Ví dụ 2: Hàm số y f (x) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng (3; 4) A B C D Hướng dẫn giải Hàm số cho có bốn điểm cực trị Chọn D Ví dụ 3: Hàm số y f (x) xác định có đồ thị hàm số y f '(x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số f khoảng (a; b) A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Trong khoảng (a; b) , đồ thị f '(x) cắt (không tiếp xúc) trục hồnh điểm nên có điểm cực trị (a; b) Chọn A Cách 2: Nhìn vào hình vẽ đây, f '(x) đổi dấu tổng cộng lần khoảng (a; b) nên có điểm cực trị (a; b) TOANMATH.com Trang Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai có đồ thị hàm số y f x hình vẽ (đồ thị y f (x) có điểm chung với trục hồnh hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa hàm số A B C D Hướng dẫn giải Ta có bảng biến thiên hàm số y f (x) sau Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y f (x) tối đa điểm nên f (x) có tối đa nghiệm phân biệt Vậy hàm số y f (x) có tối đa điểm cực trị Chọn D Bài toán Tìm (điểm) cực trị thơng qua bảng biến thiên Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên hình vẽ TOANMATH.com Trang Mệnh đề sau sai? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có hai cực trị C Cực đại – D Cực tiểu – Hướng dẫn giải Chọn C Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có cực tiểu C f (2) f (2) D f (1) f (2) Hướng dẫn giải Chọn A Bài tốn Tìm (điểm) cực trị thơng qua đạo hàm Phương pháp giải Đếm số nghiệm bội lẻ phương trình đạo hàm Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) (x 1)(x 3x 2)(x 2x) Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Ta có: f (x) (x 2)(x 1)3 x(x 1)(x 2) f (x) có nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) x (x 1)(x 4) Tìm số điểm cực trị hàm số y f (x ) A B C D Hướng dẫn giải Ta có: f (x ) 2x.f (x ) 2x (x 1)(x 4) Phương trình f (x ) có nghiệm bội lẻ x 0, x 1 nên số điểm cực trị hàm số y f (x ) Chọn C TOANMATH.com Trang 10 Biết f a f c 0; f b f e Số điểm cực trị hàm số g x f x m A B C D Hướng dẫn giải Từ đồ thị đạo hàm, ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y f x có điểm cực trị, suy hàm số y f x m có điểm cực trị f x m có nghiệm bội lẻ phân biệt Khi f a f c 0; f b f e đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên đồ thị hàm số y f x m cắt trục hồnh điểm phân biệt Ta có g x f x m g x f x m f x m f x m 1 Cho g x f x m Phương trình 1 có nghiệm phân biệt, phương trình có nghiệm phân biệt khác với nghiệm phương trình 1 Vậy g x có nghiệm (bội lẻ) phân biệt hay g x có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục , hàm số y f x có đồ thị hình Số điểm cực trị hàm số y f x TOANMATH.com Trang 90 A B C D Hướng dẫn giải Ta có số điểm cực trị hàm số y f x với số điểm cực trị y f x Vì hàm số y f x có điểm cực trị nên hàm số y f x có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị y f x hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f x 3 A B C D Hướng dẫn giải N hận xét: Số điểm cực trị hàm số y f x 3 với số điểm cực trị hàm số y f x với số điểm cực trị hàm số y f x Ta có đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số y f x có điểm cực trị Vậy hàm số y f x 3 có điểm cực trị Chọn A Bài toán Biết f x bảng xét dấu, bảng biến thiên f x , tìm số điểm cực trị hàm ẩn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x3 1 x , x Số điểm cực trị hàm số g x f x x m TOANMATH.com Trang 91 A B C D Hướng dẫn giải Khi làm trắc nghiệm, ta lập Ta có g x x x x 1 x x3 x x x 1 bảng xét dấu thu gọn sau: x g x x 1 x 2 Lập bảng xét dấu g x : Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g x có điểm cực tiểu Chọn A Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x , x Số điểm cực trị hàm số g x f x x 1 A B C D Hướng dẫn giải Ta có: g x x 1 f x x 1 x 1 x x 1 x x x x 3 Dễ thấy g x có nghiệm đơn x 2, x , x nên hàm số có điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau: Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm, dựa vào bảng xét dấu để chọn đáp Số điểm cực trị hàm số g x f x x x x 2020 TOANMATH.com án y ' = -( x + 1)( x - 2) Trang 92 A B Sau vào g’(x) giải C D xét dấu Hướng dẫn giải Ta có: g x f x x x N hận xét: g 1 g f x x Khi g x x 1 3 x x f x Khi 1 x g x 3 x x Tức g x đổi dấu qua điểm x 1 x Vậy hàm số g x có hai điểm cực trị Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f x x m có điểm cực trị? A 17 B 16 C 14 D 15 Hướng dẫn giải Đặt g x f x x m Ta có: f x x 1 x x suy g x x 8 f x2 x m x x x m 1 x x m x x m x 2 x x m 1 1 g x 2 x x m x x m 3 Các phương trình 1 , , 3 khơng có nghiệm chung đơi 1 có nghiệm nghiệm nghiệm bội chẵn Suy g x có điểm cực trị 3 có TOANMATH.com Trang 93 nghiệm phân biệt khác 16 m m 16 16 m m 18 m 16 16 32 m m 16 m 18 16 32 m Do m nguyên dương m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x 3 x 2mx với x Có số nguyên m 20 để hàm số g x f x có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Do tính chất đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm số f x nên hàm số g x f x có điểm cực trị f x có điểm cực trị dương f x có nghiệm bội lẻ phân biệt dương * x x Xét f x x 3 x 2mx 1 Để thỏa mãn * ta có trường hợp sau: +) 1 có nghiệm kép vơ nghiệm Chú ý: Khi phương trình f(x)=0 m m nhận x=x0 nghiệm f(x0)=0 Do m nguyên âm nên m 2; 1;0;1; 2 Sau tìm m, ta cần thử lại +) 1 có nghiệm dương phân biệt, có nghiệm 1, nghiệm cịn lại khác Ta có 1 nhận x nghiệm 12 2.1.m m 3 Khi m 3 , vào 1 ta thấy phương trình có nghiệm dương phân biệt x x Vậy m 3 thỏa mãn TOANMATH.com Trang 94 +) 1 có nghiệm dương phân biệt, có nghiệm 2, nghiệm cịn lại khác N ếu 1 nhận x nghiệm 22 2.2.m m Trường hợp giá trị nguyên m thỏa mãn Vậy m 3; 2; 1;0;1; 2 Chọn A Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số g x f x x x x 12 x có tất điểm cực tiểu? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: g x 12 x x f 2 x x 1 Dựa vào bảng xét dấu, ta có f x 0, x ; 2 2; 2 Ta có 2 x 2 nên f 2 x Suy f 2 x x 1 0, x x Do g x , nghiệm nghiệm bội lẻ x Vì 12 f 2 x x 1 nên g x dấu với h x x x nên dễ thấy hàm số g x có điểm cực tiểu Chọn D Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: TOANMATH.com Trang 95 Số cực đại hàm số g x f x x A B C D Hướng dẫn giải Bình luận: Thực khơng cần phải so sánh x1, Ta có x g x x 1 f x x f x x f x x f x x Dựa vào bảng biến thiên, ta có x 1 x x 2 f 2x x x x x 2 x2 với -1, , ta cần biết nghiệm bội lẻ, phân biệt kiểm tra xem đạo hàm có đổi dấu từ dương sang âm lần Để xét dấu, ta để ý qua nghiệm bội lẻ đạo hàm đổi dấu Cơng việc cịn lại cần xét dấu khoảng (do liên tục) Do Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f x x x0 lúc không cần so Khi f x x x x x0 sánh nghiệm, nên ta cho Vì ac x0 nên phương trình ln có nghiệm trái dấu x0 x0 1 x1 ; x2 4 4 x +¥ (4 x + 1) +¥ f '(2 x + x) -¥ f (2 x + x) -¥ nên g’(x)>0 khoảng nghiệm lớn đến +¥ ta có bảng xét dấu 1 1 Ta có x1 1 x2 , x0 4 4 g’(x) bên Ta có bảng xét dấu g x : Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm lần nên có hai điểm cực đại Từ suy hàm số g x có điểm cực đại Chọn B Ví dụ Cho hàm số y f x liên tục , có bảng biến thiên TOANMATH.com Trang 96 f x hình vẽ điểm Số cực trị hàm số g x f x3 x x5 x x 20 đoạn 1; 2 A B C D Hướng dẫn giải Ta có: g x x 1 3 f x3 3x x 3 Dễ thấy x x 1; 2 x 2; 2 f x3 3x 3;1 Suy f x3 x x f x3 x Dấu " " xảy f (vơ lí) x Vậy f x3 x x 0, x 1; 2 Khi g x x 1 (đều có nghiệm đơn) Bảng xét dấu g x , x 1; 2 Vậy hàm số g x f x3 x x5 x x 20 đoạn 1; 2 có điểm cực trị Chọn C Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x x với x Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x mx có điểm cực TOANMATH.com Trang 97 trị? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: g x f x m Cho g x f x m x x x x m Đặt t x 3 , t , phương trình trở thành: t t 1 m t 5t m 1 Hàm số g x f x mx có điểm cực trị 1 có 25 m nghiệm dương phân biệt S m 4 P m Do m nguyên m ; nên m 2; 1; 0;1; 2;3 Chọn B Ví dụ 10 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x , x 8; Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x m x 2m có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Hàm số g x f x m x 2m xác định 8; Đạo hàm g x f x m x x m Hàm số g x f x m x 2m có điểm cực trị g x có nghiệm phân biệt g x đổi dấu qua nghiệm Ta có: x x m x x m 1 * Xét hàm số h x x x , x 8; TOANMATH.com Trang 98 Có h x 2x2 x2 Cho h x x 2 Bảng biến thiên hàm h x : Dựa vào bảng biến thiên, suy * có tối đa nghiệm hay g x có tối đa nghiệm 2 m Vậy 1 m m Vì m nguyên nên m 1;1 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm y f x hình vẽ Có giá trị ngun tham số m thuộc khoảng 12;12 cho hàm số y f x mx 12 có điểm cực trị ? A 16 B 20 C 18 D 19 Câu 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 3 x 1 x , x hàm số y g x f x x3 m 1 x m x 2019 Gọi S ; a b; c với a, b, c tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y g x có cực trị Giá trị a 2b 3c A 12 B 16 C 14 D 18 Câu 3: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm f x ax bx c hình vẽ bên với a, b, c Hàm số g x f x x có điểm cực trị? A B C D Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ TOANMATH.com Trang 99 Hàm số g x f x A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực tiểu, điểm cực đại C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x x x với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 16 x 2m có điểm cực trị? A 30 B 31 C 32 D 33 Câu 6: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 2mx Có số nguyên m 21; 20 cho hàm số g x f x có điểm cực trị? A B 24 C D 25 Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x 2mx Có giá trị nguyên m để hàm số f x có điểm cực trị? A B C D Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x có đồ thị hàm số f x hình vẽ Hàm g x f x x có điểm cực trị? A B C D Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị đạo hàm f x hình vẽ TOANMATH.com Trang 100 Đồ thị hàm số g x f x x có điểm cực đại? A B C D Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số g x 15 f x x 10 x 15 x 60 x đạt cực tiểu điểm x0 Chọn mệnh đề A x0 ; 2 3 B x0 2; 2 C x0 ; 1 D x0 1; Câu 11: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có đồ thị y f x hình vẽ Xét hàm số g x f x A x x x Hàm số g x đạt cực đại điểm B x C x 1 Câu 12 : Cho hàm số y f x có đạo hàm f x D x 2 x x x 3, x Số điểm cực trị hàm 9 số y g x f x x 1 A B C D Câu 13: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên TOANMATH.com Trang 101 Số điểm cực trị hàm số g x f x f x f x A B C D Câu 14: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số h x f x f x m có điểm cực trị? A B C D Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Hàm số g x f x x đạt cực đại điểm đây? A x B x C x 1 D x Câu 16: Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc bốn có f 1 đồ thị hàm số y f x hình vẽ TOANMATH.com Trang 102 Số điểm cực trị hàm số g x f x x A B C D Câu 17: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x 1 m có điểm cực trị? A B C D Vô số Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g x f x f x A B C D Câu 19: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có đồ thị hình vẽ Biết hàm số đồng biến ; 4 nghịch biến 2; Số điểm cực trị hàm số g x f x A B C f x D Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm , có đồ thị y f x hình vẽ TOANMATH.com Trang 103 Số điểm cực trị hàm số g x f x x A B C 11 D Đáp án tập tự luyện dạng 1- B 2- D 3- D 4- A 5- B 6- D 7- B 8- B 9- B 10- C 11- A 12- D 13- C 14-C 15- C 16- A 17- D 18- A 19- D 20- C TOANMATH.com Trang 104 ... dấu hay hàm số ln có hai điểm cực trị x x m Theo định lí Vi-ét: x1.x2 4 Khi S x1 x2 16 x 12 x 22 16 x1 x2 16 x 12 x 22 16 2 Dấu “=” xảy 16 x 12 x 22 x2 4... niệm cực trị hàm số Định nghĩa Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung Giả sử hàm số f xác định K K điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 x0 K hàm số gọi chung cực trị. .. Trang 37 Khi hàm số có cực trị: a điểm cực trị điểm cực tiểu; a điểm cực trị điểm cực đại Đồ thị hàm số y ax bx c có nhiều điểm cực trị (bảy cực trị) đồ thị hàm số f x ax
Ngày đăng: 11/02/2023, 13:33
Xem thêm:
