Khóa luận ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

LỜI CAM ĐOAN Tơi xin đảm bảo khóa luận gồm kết mà thân tơi thực thời gian nghiên cứu Cụ thể, phần Mở đầu Chƣơng phần tổng quan giới thiệu vấn đề trƣớc liên quan đến khóa luận Trong Chƣơng tơi sử dụng phần kết nghiên cứu trƣớc với phần mà thực với thầy hƣớng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng Cuối cùng, xin khẳng định kết có khóa luận “Ứng dụng ma trận không gian vectơ vật lý” kết không trùng lặp với kết khóa luận cơng trình có Sinh viên Hồng Thị Bích MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT .3 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Các tính chất khơng gian vectơ 1.1.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian vectơ 1.2 Ma trận 1.2.1 Phép biến đổi ma trận 1.2.2 Các tính chất ma trận 1.2.3 Các dạng ma trận .14 1.2.4 Trị riêng vectơ riêng ma trận .17 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG VẬT LÝ .23 2.1 Mơ tốn vật lý vectơ 23 2.1.1 Vectơ biểu diễn đại lƣợng vật lý có hƣớng .23 2.1.2 Vectơ hƣớng ánh sáng truyền không gian .27 2.1.3 Dùng phép cộng, trừ nhân vectơ vật lý 29 2.2 Giải toán vật lý ma trận .33 2.2.1 Tính Hermite ma trận .33 2.2.2.Hàm riêng trị riêng đại lƣợng vật lý .36 KẾT LUẬN .42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 CÁC KÍ HIỆU CHUNG SVD : singular value decomposition : dạng khai triển ma trận BĐT : bất đẳng thức CĐĐT : cƣờng độ điện trƣờng Đpcm : điều phải chứng minh PHẦN MỞ ĐẦU Trong Vật lý lý thuyết, nói Vật lý lý thuyết môn học quan trọng sinh viên ngành Vật lý Nó coi sở cho tất môn học sinh viên Lý Trong ma trận không gian vectơ phần kiến thức gây hứng thú nhiều với môn học Ma trận khơng gian vectơ vấn đề có tính thời sự, có mặt tất ngành liên quan đến vật lý giải tập Nó giúp học sinh hình thành cách giải cách nhanh chóng sở vật lý tốn học Xuất phát từ vấn đề đó, tơi lựa chọn đề tài : “Ứng dụng của ma trận không gian vectơ vật lý” với mong muốn trang bị cho em học sinh kiến thức cần thiết để giải tập cách hoàn thiện Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu kiến thức ma trận không gian vectơ Đƣa tốn vật lý có liên quan đến ma trận khơng gian vectơ, hình thành cách giải Đối tƣợng nghiên cứu Lý thuyết Một số dạng tốn thƣờng gặp ma trận khơng gian vectơ Nội dung nghiên cứu Các tính chất khơng gian vectơ Các tính chất ma trận Mơ toán vật lý vectơ Các dạng tập ma trận không gian vectơ Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lí luận cơng cụ tốn học Nghiên cứu tài liệu liên quan Cấu trúc khóa luận Cấu trúc khóa luận đƣợc xếp nhƣ sau: Chƣơng 1: Sơ lƣợc lý thuyết Chƣơng 2: Ứng dụng ma trận không gian vectơ vật lý Kết luận chung: Điểm qua kết thu đƣợc đề xuất hƣớng nghiên cứu thời gian tới CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Các tính chất khơng gian vectơ  Vectơ sở - Nếu V không gian vectơ W chiều, sau tập hợp N vectơ độc lập tuyến tính e1, e2,…,eN tạo thành sở cho V Nếu x vectơ tùy ý nằm V N+1 vectơ x, e1, e2,…, eN phải phụ thuộc tuyến tính dó đó:  e1   e2    eN   x  tất không đặc biệt   Hay chúng + Các hệ số: ta viết x nhƣ tổng tuyến tính vectơ: N x  x1e1  x2e2   xN eN   xi ei i 1 - Các hệ số xi thành phần x ei – sở Các thành phần nhất, hai: N x   xi ei i 1 N Thì:   x  y e i 1 i i i N y   yi ei i 1 0 - Từ trình bày thấy tập hợp N vectơ độc lập tuyến tính hình thành sở cho khơng gian vectơ N- chiều Nếu chọn ei' khác nhau; i = 1,…N viết x nhƣ sau: N x  x1' e1'  x2' e2'   xN' eN'   xi' ei' i 1  Tích vơ hƣớng - Chúng ta mô tả vectơ không gian vectơ cách xác định tích vơ hƣớng chúng, kí hiệu : ; hàm vơ hƣớng a b Các vô hƣớng : a.b = |a||b|.cos vectơ không gian thực không gian ba chiều ( góc vectơ ) - Các tích vơ hƣớng có tính chất sau: (i) = * (ii) a | b  c   a | b   a | c Lƣu ý: Cho không gian vectơ phức tạp (i),(ii) rằng: a | b | c  * a | c  * b | c a | b  * a | b - Hai vectơ không gian vectơ tổng đƣợc xác định trực giao =0 ^ ^ ^ - Chúng ta đƣa vào không gian vectơ N chiều sở e1 , e2 , , eN có tính chất trực giao ( vectơ sở trực giao lẫn vectơ có quy tắc đơn vị định ) , tức là: ^ ^ ei | e j   ij  ij biểu thức tam giác Kronecker: { - Từ sở trên, viết hai vectơ a b là: N ^ a   ei i 1 N ^ b   bi e j i 1 - Với a ,trong sở trực giao có: N ^ ^ N ^ ^ ^ e j | a   e j | ei   e j | ei  a j i 1 i 1 ^ Do đó,thành phần a đƣợc đƣa bởi:  ei | a Lƣu ý, sở trực giao.Chúng ta viết a b tích vơ hƣớng sở trực chuẩn nhƣ: ^ ^ ^ ^ ^ ^ a | b  a1 e1  a2 e2   aN eN | b1 e1  b2 e2   bN eN N ^ ^ N   ai*bi ei | ei   i 1 i 1 N a b j 1 * i i ^ ^ ei | e j N   ai*bi i 1  Một số bất đẳng thức hay sử dụng (i) BĐT Schwarz kết khẳng định rằng: || ||a|| ||b|| Chúng a bội số vô hƣớng b, tức a   b Để phân biệt giá trị tuyệt đối đại lƣợng vô hƣớng |  | quy tắc vectơ |a| BĐT Schwarz chứng minh: a  b  a  b | a  b  a | a   a | a  * b | a  * b | b Nếu viết nhƣ a | b ei thì: a  b  a   2 b   a | b ei   * a | b ei 2 (ii) Các BĐT tam giác: a b  a  b ^ (iii) BĐT Bessel đời từ sở trực giao ei ; i = 1,2,…N không gian N chiều khẳng định rằng: ^ a   ei | a i (iv) Đẳng thức hình bình hành:  a b  a b  a  b 2 2  1.1.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian vectơ Một tốn tử tuyến tính 𝒜 tất vectơ x khác nhau: y = 𝒜x Tƣơng tự, hai vectơ a b: 𝒜(λa+μb) = λ𝒜a+μ𝒜b Trong đó: λ μ vơ hƣớng Chúng ta nói 𝒜 hoạt động dựa x tạo thành vectơ cho y Lưu ý 𝒜 khơng thuộc sở hệ tọa độ coi chuyển thực thể hình học Nếu đƣa vào sở ei , i = 1,2,…N vào khơng gian vectơ tác động 𝒜 sở để tạo kết hợp tuyến tính, đƣợc viết nhƣ sau: N 𝒜 ei   ijei i 1 Aij thành phần thứ i vectơ sở 𝒜ei ; gọi chung Aij thành phần tốn tử tuyến tính ei –cơ sở Mối liên hệ y = 𝒜x có dạng: N N  N  N y   yi ei  𝒜   x j e j    x j  ijei i 1  j 1  j 1 i 1 N yi   ij x j j 1 Chúng ta giả sử vectơ y không gian vectơ giống x Tuy nhiên, y thuộc không gian vectơ khác, nói chung M-chiều ( M # N) biểu thức thay đổi Đƣa sở fi ; i = 1,2,…M vào không gian vectơ y viết nhƣ sau: M 𝒜ej =  ij fi i Aij toán tử tuyến tính 𝒜 liên quan đến ej fj Nếu x vectơ 𝒜 ℬ hai tốn tử tuyến tính có tính chất sau: (𝒜+ℬ)x 𝒜x+ℬx (λ𝒜)x λ(𝒜x) (𝒜ℬ)x= 𝒜(ℬ)x 1.2 Ma trận 1.2.1 Phép biến đổi ma trận  Các phép tính đại số ma trận Các ma trận đại số đƣợc rút từ tính chất tốn tử tuyến tính điển hình Trong sở định, tác dụng hai tốn tử tuyến tính 𝒜 ℬ vectơ tùy ý x cho bởi:      ij j x j   ij x j   ij x j j j     ij j j    ij j x j    ij x j x j   ik  x k   k j  ik kj x j k Bây giờ, với x tùy ý, suy cách thức mà ma trận đƣợc thêm vào nhân lên  Cộng ma trận phép nhân vô hƣớng Chúng ta thấy tổng hai ma trận, S = A+B , ma trận mà phần tử đƣợc xác định bởi: Sij = Aij + Bij Cho cặp kí hiệu i,j với i = 1,2,…M j = 1,2,…N Từ định nghĩa, ta suy : A+B = B+A tổng hai ma trận viết cách rõ ràng,tức phép cộng ma trận giao hoán kết hợp Sự khác hai ma trận đƣợc xác định cách suy luận trực tiếp với phép cộng.Ma trận D = A-B có: Dij = Aij - Bij Với i = 1,2,…M j = 1,2,…N Nhân ma trận A với vô hƣớng λ tạo thành ma trận λAij ,ví dụ: 13   11 12  23   21 22  11 12  21 22  13  23  Phép nhân với vô hƣớng phân phối kết hợp  Phép nhân ma trận Chúng ta xem xét lại biến đổi vectơ vào y = 𝒜x , ta có: N yi   ij x j với i=1,2…N j 1 Viết cho dạng y= 𝒜x ,chúng ta có:  y1   y2    yM   11       21       M 12  22 M 1N  x1     N  x2       MN  xN  Thay giá trị cho vào (1) (2) ta đƣợc: Với ∝ = 00 x = Acosωt ; y = ∝ = 900 x = ; y = Acos(ωt-δ) 0