Đang tải... (xem toàn văn)
ubnd tØnh vÜnh phóc céng hoµ x héi chñ nghÜa viÖt nam MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài 2 2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Đối tượng khảo sát thực nghiệm[.]
MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng khảo sát thực nghiệm Phương pháp nghiên cứu Phạm vi kế hoạch nghiên cứu NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CHƯƠNG II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU CHƯƠNG III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 3.1 Các giải pháp 3.1.1 Dạy ôn tập phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình sách giáo khoa 3.1.2 Dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khơng có chương trình sách giáo khoa 3.2 Kết thực KẾT LUẬN VE KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU skkn Trang 2 3 3 5 6 10 18 19 19 20 Lí chọn đề tài Đại số môn học định chủ yếu đến việc học đại số em sau Đặc biệt sử dụng thành thạo đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử Qua số năm giảng dạy đại số trường trung học sở thị trấn Krơng Klang, tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn gặp khó khăn làm tập phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức cần sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử khác phương pháp sách giáo khoa giới thiệu Nếu em khơng có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử khó khăn sau Đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp thường có câu phân tích đa thức thành nhân tử mà em khơng làm biết phương pháp đơn giản sách giáo khoa Nhận thấy việc dạy cho học sinh hình thành kỹ phân tích đa thức thành nhân tử điều cần thiết Vì tơi lựa chọn đề tài: " Một số giải pháp bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8" để nghiên cứu, áp dụng vào trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Mục đích nghiên cứu Nhằm tìm hiểu cách tiếp thu, hình thành kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Từ có biện pháp cụ thể để bồi dưỡng cho em phương pháp vận dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử Giúp học sinh thấy tầm quan trọng, tính hiệu sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng giải toán Qua thực đề tài nghiên cứu nhằm đúc rút cho thân kinh nghiệm việc dạy bồi dưỡng cho em kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Từ cải tiến chất lượng tham gia thi học sinh giỏi cấp Đối tượng nghiên cứu Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đối tượng khảo sát thực nghiệm Học sinh khối trường trung học sở thị trấn Krông Klang Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích: Nghiên cứu thực trạng học sinh, nắm kiến thức học sinh khó khăn thắc mắc học sinh phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp thực nghiệm: Khi giảng dạy qua nhiều lớp, nhiều năm học đúc rút kinh nghiệm cho thân Phương pháp trao đổi thảo luận: Cùng nghiên cứu cung cấp kết thảo luận với thầy cô giáo môn, giáo viên tổ mạng intenet Phương pháp tổng hợp: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với giảng dạy thân, thực tế diễn lớp học ý kiến đóng góp thầy cô giáo Phạm vi kế hoạch nghiên cứu 6.1 Phạm vi nghiên cứu skkn Chương trình đại số 6.2 Kế hoạch nghiên cứu Xác định vấn đề cần nghiên cứu Thu thập, nghiên cứu tài liệu Xây dựng nội dung kế hoạch nghiên cứu Áp dụng nội dung nghiên cứu Trình bày (hoặc tham khảo ý kiến) sản phẩm nghiên cứu Chia nhận ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp, thành viên hội đồng mơn cấp Hồn thành sản phẩm nghiên cứu lần cuối NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN skkn Phân tích đa thức thành nhân tử viết đa thức thành tích đa thức khác Là việc làm ngược lại nhân đa thức Thực tế cho thấy nhân đa thức thành đa thức có quy tắc tương đối đơn giản Nhưng để viết đa thức thành tích đa thức khác khơng đơn giản chút Ngoài việc sử dụng phương pháp thông thường sách giáo khoa giới thiệu sử dụng thêm phương pháp khác chưa học sinh phân tích đa thức thành nhân tử cách nhuần nhuyễn Để học sinh có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử tốt vận dụng cho q trình học tốn sau giáo viên phải có kế hoạch dạy học, bồi dưỡng cụ thể cho em Dạy học từ thấp đến cao; từ phương pháp đơn giản đến phương pháp khó tập vận dụng theo mức độ khác CHƯƠNG II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Thuận lợi Được đạo Ban giám hiệu nhà trường hoạt động dạy học đặc biệt hoạt động chuyên môn tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, nhằm bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi nhà trường Bên cạnh đó, trường địa bàn thuận lợi có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi thuận lợi cho việc bồi dưỡng dạng nâng cao 2.2 Khó khăn Dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử nhiều mà thời lượng chương trình Với thời gian giáo viên đủ để dạy cho học sinh phương pháp sách giáo khoa giới thiệu sơ qua số phương pháp khác Sách giáo khoa có tập giới thiệu thêm phương pháp tách hạng tử đa thức bậc hai phương pháp thêm bớt hạng tử Nên gặp đa thức bậc ba, bậc bốn em không định hướng cách tách thêm bớt hạng tử Khi gặp tập vận dụng nâng cao em chưa biết cách vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách phù hợp CHƯƠNG III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 3.1 Các giải pháp 3.1.1 Dạy ơn tập phương pháp phân tích đa thức thành nhân chương trình sách giáo khoa 3.1.1.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: F = 4x4 + 81 Ở ví dụ giáo viên đặt hệ thống câu hỏi để học sinh phát phải thêm bớt hạng tử phân tích Và cho học sinh thấy thêm bớt để xuất bình phương tổng bình phương hiệu F = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 ( thêm 36x2 , bớt 36x2) = (4x4 + 36x2 + 81) - 36x2 ( Nhóm hạng tử) = (2x2 + 9)2 – 36x2 ( Dùng đẳng thức) = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) ( Dùng đẳng thức) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) skkn Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: G = x7 + x2 + Ở ví dụ giáo viên định hướng cho học sinh thêm bớt để xuất nhân tử chung x2 + x + G= x7 – x + x2 + x + ( thêm x, bớt x) = (x7 – x) + (x2 + x + ) ( Nhóm hạng tử) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) ( Đặt nhân tử chung) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) ( Dùng đẳng thức) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) ( Dùng đẳng thức) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] ( Đặt nhân tử chung) = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 3.1.1.2 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 20 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x4 – 4x3 + 4x2 21 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 22 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 x 2y2 + – x2 – y2 27 xm + + xm + – x – x – x2 + 2x – 28 (x + y)3 – x3 – y3 10 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 29 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3.1.2 Dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khơng có chương trình sách giáo khoa 3.1.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ 3.1.2.1.1 Phương pháp Đặt biểu thức ẩn để đưa đa thức đơn giản phân tích đa thức theo ẩn thành nhân tử Sau thay biểu thức ban đầu vào ẩn phụ vừa đặt Tùy vào đa thức mà cách đặt ẩn phụ dễ hay khó Có nhìn vào đặt ngay, có phải biến đổi đa thức đặt ẩn phụ 3.1.2.1.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: P = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y x2 + x + = y + Khi đó: P = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta có: P = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiếp: Kết (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5) 3.1.2.1.3 Bài tập nhà: Phân tích đa thức sau thành nhân tử skkn 3.1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức 3.1.2.2.1 Phương pháp Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành nhân tử sau: Phương pháp 1: Từ định lí Bơ du ta suy ra: P(x) = (x – a)Q(x) Vì Muốn tìm Q(x), ta chia P(x) cho (x – a) Sau lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x) Phương pháp 2: Dùng kỹ thuật tách nhóm, thêm bớt hạng tử để xuất nhân tử chung x – a 3.1.2.2.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: P(x) = x3 – 2x – Sử dụng phương pháp 1: Vì x =2 nghiệm đa thức P(x) nên P(x) = (x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho nhị thức x – 2, ta thương Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta thấy Q(x) x nên Q(x) phân tích Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Sử dụng phương pháp 2: Vì x =2 nghiệm đa thức P(x) nên: P(x) = x3 – 2x2 + 2x2 - 4x + 2x – = (x3 – 2x2) + (2x2 - 4x) + (2x – 4) = x2(x - 2) +2x(x – 2)+ 2(x – 2) = ( x - 2)(x2 + 2x + 2) 3.1.2.2.3 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử: skkn Qua ví dụ giáo viên quay lại giải thích cho em phương pháp tách hạng tử hôm trước sẻ sử dụng kết hợp với việc tính nghiệm đa thức hiệu Nếu biết trước nghiệm đa thức có hướng tách, thêm, bớt hạng tử phù hợp Đối với đa thức bậc biến ta sử dụng phương pháp nhanh thay ngồi mị mẫm nên tách hạng tử Trong dạy phương pháp giáo viên củng hướng dẫn cho em sử dụng máy tính bỏ túi để tính nghiệm đa thức bậc 2, bậc biến thay nhẩm để tìm nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ 3.1.2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định 3.1.2.3.1 Phương pháp Đối với đa thức biến khơng có nghiệm ngun nghiệm hữu tỉ ta khơng thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm đa thức mà sử dụng phương pháp hệ số bất định Cụ thể là: Nếu tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) ln có giá trị hệ số hạng tử bậc 3.1.2.3.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: Q = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đa thức Q khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ nên Q phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + skkn Với b =3 => d =1 Vậy Q = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x +1) 3.1.2.3.3 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử F= 3.1.2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng ( hốn vị vịng quanh) 3.1.2.4.1 Phương pháp Phương pháp 1: Giả sử phải phân tích biểu thứ F(a,b,c) thành nhân tử a,b,c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) =0 a =b F(a, b, c) có chứa nhân tử a-b Làm tương tự Nếu F(a, b, c) =0 b =c F(a, b, c) có chứa nhân tử b-c; Nếu F(a, b, c) =0 a =c F(a, b, c) có chứa nhân tử a-c Khi F(a, b, c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Chọn số a,b,c tùy ý thay vào ta tìm k Phương pháp Khi biết F(a, b, c) có chứa nhân tử a-b ta giữ nguyên phần có nhân tử a –b khai triển phần cịn lại nhóm để xuất nhân tử a-b 3.1.2.4.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử: F(a, b, c)= a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Sử dụng phương pháp 1: Nhận xét : Khi a = b ta có: F(a, b, c) = 0, F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b Tương tự F(a, b, c) chứa nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) biểu thức bậc ba, F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a) Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có: + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Sử dụng phương pháp 2: F(a, b, c) = a2b - a2c + b2c – ab2 + c2(a - b) =( a2b– ab2 )-( a2c - b2c) + c2(a - b)= ab( a– b )-c( a - b)(a+b) + c2(a - b) =(a-b)(ab - ca – cb + c2)= (a-b)[(ab-ca) –(cb –c2)] =(a-b)[a(b-c) –c(b –c)] =(a-b)(b-c)(a-c) 3.1.2.4.3 Bài tập nhà skkn Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3.2 Kết thực Qua trình nghiên cứu, vận dụng cách bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi trình giảng dạy lớp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường trung học sở thị trấn Krông Klang đạt số kết sau: Về phía giáo viên: Nâng cao trình độ chun mơn, hiểu sâu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ có cách truyền đạt hợp lý phương pháp cho học sinh Về phía học sinh: Các em rèn luyện kỹ phân tích thành nhân tử phương pháp quen thuộc sách giáo khoa Ngoài học sinh làm quen rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp Từ tạo đam mê, ham thích mơn tốn học sinh Điển hình qua kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, học sinh làm đa số phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng, có nhiều học sinh trường trung học sở thị trấn Krông Klang đạt giải học sinh giỏi cấp huyện lớp KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ skkn 1. Kết luận Bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc làm quan trọng cần thiết công tác bồi bưỡng học sinh giỏi để tham gia kỳ thi cấp Khi áp dụng đề tài, trước hết giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, xây dựng hệ thống ví dụ điển hình, tập nhà để em rèn luyện Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu hết phương pháp phân tích thành nhân tử, chưa đưa tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử Trong thời gian tới nghiên cứu dạng tập, khai thác hay từ việc phân tích đa thức thành nhân tử Rất mong đóng góp từ phía bạn bè đồng nghiệp để tích lũy nhiều kinh nghiệm bổ ích Xin chân thành cảm ơn ! Kiến nghị a Đối với giáo viên tổ chuyên môn: - Không ngừng tự học, tự nghiên cứu tài liệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Chú ý cơng tác giảng dạy lớp để hình thành cho em kỹ ban đầu phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp sách giáo khoa giới thiệu - Thường xuyên kiểm tra đánh giá học sinh hình thức kiểm tra miệng, 15 phút, kiểm tra tập… - Cần đưa chủ đề vào buổi sinh hoạt tổ để đồng nghiệp có hội trao đổi, rút kinh nghiệm b Đối với cấp lãnh đạo: - Ủng hộ, khuyến khích giáo viên, học sinh nghiên cứu lĩnh vực - Mở lớp bồi dưỡng chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng” TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển Tốn 8, tập – NXB GD 10 skkn Nguyễn Vĩnh Cận: Toán nâng cao Đại số – NXB Đại học sư phạm Đỗ Duy Đồng – Dương Đức Kim: 400 tập mở rộng Đai số NXB Đại học quốc gia Hà Nội Hoàng Kỳ: Đại số sơ cấp thực hành giải Toán – NXB đại học sư phạm Nguyễn Vũ Thanh: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số NXB GD Vũ Dương Thụy : Toán nâng cao chuyên đề Đại số – NXB giáo dục Phan Văn Đức – Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thượng – Nguyễn Anh Dũng: Bài tập nâng cao Đại số – NXB Đà Nẵng Hoàng Ngọc Hưng – Phạm Thị Bạch Ngọc: Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán – NXB giáo dục 11 skkn ... việc dạy cho học sinh hình thành kỹ phân tích đa thức thành nhân tử điều cần thiết Vì tơi lựa chọn đề tài: " Một số giải pháp bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8" để... nhà skkn Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3.2 Kết thực Qua trình nghiên cứu, vận dụng cách bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi trình giảng dạy lớp bồi dưỡng học. .. phương pháp cho học sinh Về phía học sinh: Các em rèn luyện kỹ phân tích thành nhân tử phương pháp quen thuộc sách giáo khoa Ngoài học sinh làm quen rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử phương