Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 3 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3 2 1 Cơ sở lí[.]
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1.Tìm hiểu khái niệm đa thức kiến thức liên quan đến xác định đa thức 2.3.2 Tìm đa thức biết giá trị đa thức 2.3.3.Tìm đa thức cách sử dụng điều kiện cho trước 2.3.4 Tìm đa thức cách sử dụng tính chất chia hết, chia có dư 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 2 3 3 4 10 12 14 15 15 15 17 skkn Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Ở trường THCS dạy toán hoạt động toán học Dạy tốn dạy suy nghĩ, dạy óc học sinh thành thạo thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa… phân tích tổng hợp tảng Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học để nắm kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hướng đổi phương pháp dạy học toán (ở trường THCS) tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức toán học vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong bối cảnh toàn ngành giáo dục đào tạo nổ lực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động học sinh giáo viên phải nỗ lực tìm tịi cách thức phương pháp dạy học phù hợp với bài, phần kiến thức "Đa thức" lớp hàm số quan trọng đề cập đến chương trình giảng dạy học tập mơn tốn Việc tìm đa thức hay xác định đa thức lớp toán quan trọng lý thuyết đa thức Xác định đa thức có vai trị quan trọng cơng việc việc tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức nhiều dạng toán khác Đối với học sinh lớp 8, nắm vững kiến thức đa thức cần thiết, tạo tiền đề việc mở rộng kiến thức đa thức cấp học cao Với kinh nghiệm thân xin đưa đề tài: " Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Hướng dẫn học sinh tìm đường giải, phát triển mở rộng tốn tìm đa thức biến; Giáo viên điều khiển q trình hệ thống tập từ dễ đến khó, chia mảng kiến thức xếp cách lôgic theo cấp bậc nhận thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này,tôi xin đưa số dạng tốn tìm, xác định đa thức thường gặp, hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải, rút kết luận cụ thể Xây dựng hệ thống tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải sử dụng kiến thức học skkn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ tơi đưa lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước vào cách giải cụ thể, tơi thường đưa phân tích loại tập - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu tác giả có uy tín sử dụng đề thi vào trung học phổ thông năm học trước - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức học sinh thông qua tập nhanh Kết thu nhận giúp điều chỉnh lượng kiến thức phương pháp truyền đạt tới em cho hiệu cao Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học, tự nghiên cứu cao Mục đích cần đạt phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như vậy, học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội.[1] Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm nghĩa em say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.[1] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Dạng tốn tìm đa thức dạng tốn tương đối khó với học sinh Trong chương trình toán lớp 7,8 chủ yếu học sinh nhận dạng đa thức, cộng trừ nhân chia đa thức nên thấy dễ dàng Nhưng thực tế đề thi: câu cuối đề thi học kỳ, đề thi học sinh giỏi học sinh không làm nêu có dạng tốn Việc tìm xác định đa thức học sinh chưa chuyên sâu, hiểu cách máy móc Dạng tốn học sinh gặp từ lớp với đa thức bậc em làm từ lớp lớp sang đa thức bậc hai, ba, bốn em lúng túng, rối việc xử lí tốn Với học sinh khá, giỏi em lại thích tìm tịi, khám phá,có ham muốn giải tốn Vấn đề đặt em không giải cho phù hợp Mảng kiến thức học sinh lớp cần thiết skkn Kết khảo sát: Khi nhắc đến tốn " tìm đa thức biến" nhiều em học sinh mơ hồ, áp dụng lúng túng Thậm chí bỏ qua dễ Vì khơng biết tìm xác định đa thức Ra đề khảo sát cho lớp 8A2,8A3: Sĩ số Giỏi Khá SL % SL % 8A2 45 3% 14 30 % 8A3 45 0 20% Trung bình SL % 22 49% 18 40% Yếu SL 18 % 18% 40% Qua trao đổi kinh nghiệm, dự giờ, khảo sát cho thấy: Học sinh gặp khó khăn dạng tốn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3 Tìm hiểu khái niệm đa thức kiến thức liên quan đến xác định đa thức Để biết cách tìm xác định đa thức trước hết học sinh phải hiểu rõ đa thức Tính chất đa thức định lý thường sử dụng Trước hết cho học sinh hiểu rõ khái niệm đa thức: Đa thức biến bậc n hàm số xác định sau: Đa thức hàm số P: Khi , gọi hệ số đa thức ( hệ số ứng với ) Nếu an ta gọi n bậc đa thức Khi an gọi hệ số bậc cao nhất, a0 gọi hệ số tự đa thức Nếu =0 Nếu ( a0 ta có bậc đa thức ) số nguyên gọi đa thức với hệ số ) số hữu tỉ gọi đa thức với hệ số nguyên Nếu ( hữu tỉ [4] Tiếp theo cần cho học sinh hiểu rõ khái niệm nghiệm đa thức: skkn Nghiệm đa thức: Nếu x=a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a ( x=a) nghiệm đa thức Đa thức bậc P(x)=ax+b; a a,b hệ số nguyên có nghiệm x=- Q Số nghiệm đa thức ( khác đa thức không) không vượt bậc Chẳng hạn: Đa thức bậc có nghiệm, đa thức bậc hai khơng có q hai nghiệm.[4] Và cung cấp cho học sinh kiến thức chia hết, chia có dư: Cho A B đa thức tùy ý biến (B 0), tồn cặp đa thức Q R cho A= B.Q +R R=0 bậc R nhỏ bậc B Định lý Bezout: Số dư chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a giá trị đa thức f(x) x=a Từ suy ra: Đa thức f(x) chia hết cho x-a f(a) = ( tức a nghiệm đa thức ấy).[2] Sau cung cấp kiến thức đa thức, nghiệm đa thức ta hướng dẫn học sinh số cách tìm, xác định đa thức biến 2.3.2.Tìm đa thức biết giá trị đa thức Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x) , cho biết: P(0)= 15 ; P(1) =12 ; P(2) = 24 HS dễ dàng làm dạng quen thuộc này: Cách 1: Ta có P(x) = ax2 +bx+c P(0)= a.02 +b.0 + c= 15 => c= 15 P(1)= a.12 +b.1+c =a+b+c =12 => a+b = -3 (1) P(2) = a.22 +b.2+ c= 4a+2b+c = 24 => 4a+ 2b= 9(2) Từ (1) => 2a+2b = - 6(3) Lấy (2) -(3) vế với vế ta a= Thay vào (1) ta b= skkn Vậy đa thức xác định P(x) = x2 + x+15 Cung cấp hướng dẫn HS làm cách Cách 2: Đặt P(x) = c+ b(x-0) + a (x-0)(x-1) Cho x=0 => P(0) =c => c=15 Cho x=1 => P(1) = 15+ b=> 15+b =12 => b=-3 => P (x) = 15-3x+ ax(x-1) Cho x=2 => P(2) = 15-3.2+ 2a => 15-6+2a = 24 => a= => P(x) = 15-3x + Rút gọn P(x) = x(x-1) x2 + x+15 Khi thực cách học sinh thấy phức tạp cách làm Tuy nhiên tiếp tục nghiên cứu toán xác định đa thức bậc cao ta thấy lợi phương pháp xét giá trị riêng hiệu Bài 2: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết : P(0) =10; P(1) =12, P(2) =4; P(3) =1 Cách 1: Vì P(x) đa thức bậc ba nên P(x) có dạng : P(x) = ax3 +bx2 +cx+d Ta có P(0) = d => d=10 P(1) = a+b+c+d => a+b+c +d = 12 a+b+c = (1) P(2) = a.23 +b.22 +c.2 +d = 8a+4b+2c+d => 8a+4b+2c +d= 8a+4b+2c =-6 (2) P(3) =a.33 +b.32 +c.3 +d= 27a+9b+3c+d => 27a+ 9b+3c +d = Từ (1) 27a+9b+3c = -9 (3) 2a+2b+2c =4 (4) Lấy (2) -(4) vế với vế ta được: 6a +2b= -10 (5) Từ (1) 3a+3b+3c =6 (6) Lấy (3)-(6) vế với vế ta 24a +6b=-15 Từ Hs tiếp tục tính tính hết tìm a= ; b= => P(x) = x3 - ; c=12; d=10 x2 +12 x +10 skkn Đến toán xác định đa thức bậc ba, làm cách giúp học sinh lớp thuận lợi việc tính tốn Cách 2: Đặt P(x) = d+cx+bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) Cho x=0 => P(0) =d => d=10 => P(x) = 10+cx+bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) Cho x=1 => P(1) = 10+c=12 => c=2 => P(x) = 10 +2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x=2 => P(2) = 10+ 4+2b=4 => b=-5 => P(x) = 10 +2x -5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x= 3=> P(3) = 10+6-30+6a =1 => a= => P(x) =10 +2x -5x(x-1) + Rút gọn ta P(x) = x3 - x(x-1)(x-2) x2 +12 x +10 Bài 3: Cho P (x) = x4 +ax3 +bx2+cx +d Biết P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 Tìm P(x) Cách 1: Ta có P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 nên: Giải ta tìm a=-10; b=35; c=-47; d=22 P(x)= x4 -10x3 +35x2-47x +22 Đối với học sinh lớp giải hệ phương trình nhiều ẩn khó Vì ta hướng học sinh đến cách 2, Cách 2: Đặt P(x) =e+ d(x-1)+c(x-1)(x-2)+b (x-1)(x-2)(x-3) +a (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Thay giá trị x=1,2,3,4 vào tính hệ số đa thức P(x) Đến đa thức bậc cao hơn, ta tìm đa thức cách xác định đa thức phụ Cách 3: Xác định đa thức phụ: Ta có P(1)= 1= 3.1-2 skkn P(2)= 4= 3.2 -2 P(3)=7 = 3.3 -2 P(4) =10 = 4.3 -2 Kết giá trị P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 ứng với giá trị đa thức 3x-2 Xét R(x) = P(x) - 3x +2 triệt tiêu x=1,2,3,4 => R(x) = = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +3x -2 Vậy P(x)= x4 -10x3 +35x2-47x +22 Để xác định đa thức phụ ta tìm quy luật giá trị cho trước P(x) xác định thuật toán: + Đặt R(x) = P(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc P(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết P(x) + Xác định hệ số h(x) cách cho R(1) =R(2)=R(3)=R(4)=0 Nếu xác định theo cách sử dụng đa thức phụ ta cịn tính tốn giá trị đa thức dễ dàng Bài 3b: Cho P (x) = x4 +ax3 +bx2+cx +d Biết P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 Tính P(5); P(6); P(8) Từ câu 3a ta có: P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +3x -2 P(5) =4!+3.5-2= 37 P(6)= 5!+ 3.6-2= 136 P(8) = 7!/3! + 3.8 -2= 862 Như ta tính giá trị đa thức dễ dàng Bài 4: Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 +cx2 +dx+e Cho P(1)=2; P(2)=4; P(3) =6; P(4)=8; P(5) =10 a) Xác định P(x) b) Tính P(10); P(12) Cách 1: Thay vào tính Cách 2: Đặt P(x)= m+e(x-1)+d(x-1)(x-2)+c(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)(x-3)(x4) +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Thay giá trị giải tìm hệ số đa thức P(x) Cách 3: Sử dụng đa thức phụ: skkn Xét P(1) =2.1=2 P(2)= 2.2 = P(3)= 2.3=6 P(5) = 2.5=10 Kết giá trị P(1)=2; P(2)=4; P(3) =6; P(4)=8; P(5) =10 ứng với giá trị đa thức 2x Xét R(x) = P(x)- 2x triệt tiêu x=1;2;3;4;5 => R(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) => P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) +2x Vậy đa thức cần tìm : P(x) = x5 -15x4+85x3-225x2 +276x-120 b) P(10) = 9!/4! +2.10= 15140 P(12)= 11!/6! +2.10= 55460 Nhận xét: Để tìm đa thức biết giá trị có nhiều cách giải Trên cách giải: Cách 1: Thay giá trị tính trực tiếp hệ số Cách 2: Tìm đa thức cách xét giá trị riêng Cách 3: Tìm đa thức cách sử dụng đa thức phụ Tùy em vận dụng tính tốn linh hoạt để tốn trở nên đơn giản Sau hiểu cách làm học sinh tự tin vận dụng sáng tạo toán Bài tập vận dụng: 1.Xác định đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =21; P(1)=80; P(2) =1983 Xác định đa thức bậc ba P(x) biết P(0)=4; P(1)= 12; P(2) =15; P(3)= -16 Cho đa thức P(x)= x5 + ax4 +bx3 +cx2 +dx+e Cho P(1)=-1; P(2)=2; P(3) =7; P(4)=14 a) Xác định P(x) b) Tính P(9); P(10) Cho P(x) =x5 +ax4 + bx3+ cx2 +dx+ 132005 Biết P(1)=8; P(2)=11; P(3)=14; P(4)=17 a)Tìm P(x) b) Tính P(x) với x=11;12;13;14;15, Sáng tạo: Yêu cầu HS tự đề tìm đa thức bậc bốn cho biết giá trị đa thức Sau giải tốn vừa tìm skkn 2.3.3.Tìm đa thức cách sử dụng điều kiện cho trước Ở dạng ta biết số điều kiện cho trước nên dựa vào điều kiện để xác định đa thức Bài 1: Tìm đa thức P(x) Q(x) biết: P(x) +Q(x)= x2 +1 P(x) - Q(x) =2x HS tự tìm P(x) = x2 + x+ ; Q(x) = x2 -x + Bài 2: Cho đa thức bậc bốn P(x) thỏa mãn: P(-1)=0 P(x) -P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Xác định đa thức P(x) Suy giá trị tổng S=1.2.3 + 2.3.5+ +n(n+1)(2n+1) [3] Hướng dẫn: Cho x=0 suy P(0)- P(-1) = mà P(-1)=0 Vậy P(0) =0 Cho x giá trị x=-2;x=1; x=2 ta nhận được: P(-2) =0; P(1)= 6; P(2)= 36 Đặt P(x) =e+ d( x+2)+c(x+2)(x+1)+ b(x+2)(x+1)x+a(x+2)(x+1)x(x-1) Thay giá trị vào tính e=0; d=0; c=0;b=1; a= P(x)= x(x+1)2(x+2) Ta có P(x)-P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x giá trị 1;2;3; ;n ta có: P(1) -P(0)=1.2.3 P(2) -P(1) = 2.3.5 P(n)-P(n-1)= n.(n+1)( 2n+1) => P(n) -P(0) = 1.2.3+2.3.5+ + n(n+1)(2n+1) Do S= P(n) = n(n+1)2(n+2) Bài 3: Xác định tất đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện: P(x+1) = P(x) + 2x +1, x R Lời giải 10 skkn Cách 1: Giả sử đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện toán, tức là: P(x+1) = P(x) + 2x +1, x R Suy x R ta có: P(x +1)+x2 = P(x) +x2+ 2x +1, x R P(x+1) - (x+1)2 = P(x) - x2, x R Đặt Q(x) = P(x) - x2, Q(x+1) = Q(x), x R Cho x = 0, 1, 2, , ta nhận được: Q(0) = Q(1) = Q(2) = … = Q(n) =…, n N Suy Q(x) = a với a số với x => P(x) = x2 + a, với a số tùy ý Thử lại, ta thấy P(x) = x2 +a, a tùy ý, thỏa mãn điều kiện toán Vậy đa thức cần tìm đa thức có dạng P(x) = x2 +a, a tùy ý Cách 2: n N*, ta có: P(n) – P(n-1) = 2n - Suy P(n) = P(0) + +3 +…+(2n -1) = P(0) + n 2, số) Do P(x) = x2 + a ( a số tùy ý) B n N*,mà P(0) = a ( a Bài 4: Cho m số nguyên dương nhỏ 30 Có giá trị m để đa thức m2 + mx+72 tích hai đa thức bậc với hệ số nguyên? Hướng dẫn: Gọi a b số nguyên Ta có (x+a)(x+b)= x2 +mx+72 x2 + (a+b)x+ab = x2 +mx+72 Đồng thức a+b=m; a.b =72 Dễ thấy a,b phải dấu, m>0 nên a,b số nguyên dương Không tính tổng qt ta giả sử a b Ta có bảng sau: a b 72 36 24 18 12 m 73 38 27 22 18 17 Vì mP(1) =an +an-1 +an-2 + a0 =19 P(19) = an.19n + an-1.19n-1+ +a1.19 +a0=85 Xét P(19)-P(1) = an(19n-1)+ an-1 (19n-1-1)+ +a1( 19-1)=66 Vế trái chia hết cho 18, vế phải khơng chia hết cho 18, vơ lí Chứng tỏ điều giả sử sai, chứng tỏ không tồn đa thức với hệ số mà P(1) =19 P(19) =85 Tìm, xác định đa thức biết trước điều kiện nhiều Sau làm xong ví dụ em vận dụng tự tìm đề bài, tự giao đề cho Thay đổi kiện em sáng tạo cho tốn Bài tập vận dụng: Xác đinh đa thức P(x) thoả mãn: P(x) + 2P( ) = x với x Xác định đa thức P(x) biết P(x)+x P(x) =x+1với x Cho f(x) = ax3 + bx2 +cx+d với a số nguyên dương f(5) - f(4) =2019 Chứng minh f(7)-f(2) hợp số Cho hàm số F(x)= ax3 + bx2+cx+d ( a,b,c,d số nguyên) Chứng minh tồn đồng thời F(7) = 53 F(3) =35 Sáng tạo: Yêu cầu HS tự đề tìm đa thức với điều kiện cho trước đa thức Sau giải tốn vừa tìm 2.3.4 Tìm đa thức cách sử dụng tính chất chia hết, chia có dư Ở dạng giáo viên cần lưu ý cho học sinh: với A B đa thức tùy ý biến (B 0), tồn cặp đa thức Q R cho A= B.Q +R R=0 bậc R nhỏ bậc B Bài 1: Tìm đa thức dư chia x7 +x5 +x3+1 cho x2 -1 Cách 1: Tách đa thức bị chia đa thức chi hết cho đa thức chia Ta có: x7 +x5 +x3 +1 = x7 -x + x5 -x + x3 -x + 3x+1 = x(x6 -1)+x(x4 -1) +x(x2 -1) + (3x+1) 12 skkn Vậy dư chia x7 +x5 +x3+1 cho x2 -1 3x+1 Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương phép chia Q(x), dư ax+b Ta có: x7 +x5 +x3 +1 = (x+1)(x-1)Q(x)+ ax+b với x Lấy x=1 => a+b =4(1) Lấy x=-1=> -2=-a +b(2) Từ (1) (2) suy a=3; b=1 Chốt kiến thức: Khi xác định đa thức dư ta lưu ý bậc đa thức dư nhỏ đa thức chia Ở chia cho x2 -1 đa thức dư có dạng ax+b; Nếu đa thức chia bậc đa thức dư có dạng ax +bx+c Từ học sinh hiểu nguyên tắc tìm đa thức dư Bài 2: Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x-3 dư 7, P(x) chia cho x-2 dư 5, P(x) chia cho (x-2)(x-3) thương 3x dư [2] Hướng dẫn: Trước hết ta tìm dư chia P(x) cho (x-2)(x-3) Xét P(x) = (x-3)A(x)+7 (1) P(x) = (x-2) B(x) +5(2) Cách 1: Xét P(x) = 3x(x-2) (x-3) + ax+b (3) Từ (1) (2) (3) cách cho x=2, x=3 ta tìm a=2; b=1 Dư phép chia P(x) cho (x-2)(x-3) 2x+1; Do P(x) = 3x(x-2)(x-3) +2x+1 = 3x3 -15x2 +20+1 Cách 2: Từ (1) suy : (x-2)P(x)= (x-2)(x-3)A(x) +7(x-2) (4) Từ (2) suy ra: (x-3)P(x) = (x-2)(x-3)A(x)+ 7(x-2) (5) Lấy (4) trừ (5) ta P(x)= (x-2)(x-3)[A(x)-B(x)]+ 2x+1 Khi chia P(x) cho (x-2)(x-3) dư 2x+1 Do P(x) = 3x(x-2)(x-3) +2x+1 = 3x3 -15x2 +20+1 Bài 3: Tìm đa thức P(x) bậc ba biết chia P(x) cho (x-1); (x-2); (x-3) số dư P(1) =-18 [3] 13 skkn Lời giải Tìm đa thức phụ Theo định lý Bezout ta có P(1) =P(2)=P(3) =6 Đặt G(x)=P(x)+ax2+bx+c Tìm a,b,c để G(1) = G(2) =G(3) =0 a, b, c nghiệm hệ 0=6+a+b+c 0=6+4a+2b +c 0=6+9a+3b +c Giải hệ a = b = 0; c = -6 Nên G(x)=P(x) - với G(1) = G(2) = G(3) = Xác đinh P(x) bậc P(x) = nên bậc G(x) = Và G(x) (x-1); (x-2); (x-3) x3 đa thức P(x) G(x)= n(x-1)(x-2)(x-3) n hệ số P(x) = n(x-1)(x-2)(x-3)+6 Mặt khác P(-1)=-18 n=1 P(x)=x3-6x2+11x Bài 4: Cho đa thức P(x) = x5 + x4 - 9x3 + ax2 +bx + c Biết P(x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3) Hãy tìm đa thức Lời giải Vì P(x) (x - 2)(x + 2)(x + 3) nên P(x) (x - 2), P(x) (x + 2), P(x) (x + 3) Theo định lý Be'zout suy 2; -2; -3 nghiệm đa thức , ta có P(2) = P(-2)= P(-3) = Ta có: Vậy đa thức phải tìm P(x) = x5 + x4 - 9x3 - x2 +20x - 12 Nhận xét: Nắm quy tắc làm dạng tốn em chinh phục tốn tìm đa thức dư, đa thức chia đa thức bị chia dễ dàng Bài tập vận dụng: Đa thức f(x) chia cho x –1 số dư 4, chia cho x-3 số dư 14 Tìm đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Tìm số a,b,c cho ax3 +bx2 +c chia hết cho x+2, chia cho x2 -1 dư x+5 Tìm phần dư phép chia đa thức: P(x) = x50 + x49+ x + cho đa thức x2 - 14 skkn Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên Biết P(0); P(1) số lẻ Chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun Sáng tạo: u cầu HS tự đề tìm đa thức dư với đa thức bị chia bậc 10, đa thức chia bậc hai Sau tự giải tốn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau ý tưởng đề tài thực hiện, thấy thu nhiều kết khả quan: Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: Tôi cảm thấy hướng dẫn học sinh lớp biết định hướng để tìm đa thức biến cịn tìm tịi sáng tạo tốn Với lượng tập khơng q lớn, học sinh đủ suy ngẫm để tìm cách làm riêng mình, khơng sinh khơng bị chống ngợp câu hỏi ta giúp học sinh tự tin làm điều mà thân học sinh tự làm Thấy lợi ích cho học sinh áp dụng vào giải tập làm kiểm tra, thi Bản thân tạo cho giáo án riêng để giảng dạy học sinh Bên cạnh đó, đồng nghiệp sử dụng để tham khảo kiến thức, phương pháp cách có hiệu Đối với hoạt động giáo dục: - Hướng dẫn học sinh ba dạng toán xác định đa thức biến, học sinh hứng thú học, đam mê tìm tịi khả mình, kích thích khả khám phá em Từ giúp em tìm tịi, mở rộng dạng tốn khó tạo mối quan hệ mạch kiến thức việc dạy toán theo hướng đổi phương pháp giảng dạy Kết quả:Sau áp dụng chuyên đề: So với lúc ban đầu có tiến rõ rệt, thân thấy học sinh u thích mơn học hơn, thích khám phá dạng tốn khó Ra đề khảo sát cho lớp 8A2,8A3: Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 8A2 45 14 30% 22 49% 21 8A3 45 11% 18 40% 17 38% 11% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15 skkn Trong phương pháp học cốt lõi phương pháp tự học Nếu rèn luyện cho người học có phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học tạo cho họ lịng ham học, khơi dậy nội lực vốn có người, kết học tập nhân lên gấp bội Với lượng tập không nhiều học sinh, thời gian ngắn giáo viên hướng dẫn học sinh học sinh phương pháp suy luận, dự đoán, chứng minh số dạng tốn xác định đa thức Học sinh tìm niềm vui toán học Dạy cho HS phương pháp phân tích, suy luận, vận dụng kiến thức học vào giải toán, giúp người học phát huy khiếu, lúc người học có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác 3.2 Kiến nghị - Đối với GV: Cần cung cấp kiến thức cách hệ thống cho học sinh, đưa hệ thống tập rõ ràng, mạch lạc, lôgic tăng dần khả tư sáng tạo cho HS -Đối với tổ chuyên môn: Tổ chức chuyên đề khai thác " Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" để góp ý xây dựng tạo hiệu cao giảng dạy Trên số kinh nghiệm nhỏ thân tơi q trình dạy học khai thác tổ chức : "Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" Rất mong nhận trao đổi góp ý đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ Quảng Xương, ngày 06 tháng 04 năm 2022 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Quỳnh Lê 16 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở ( Nguyễn Hải Châu, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thế Thạch- Nhà xuất Giáo dục) [2] Nâng cao phát triển tốn tập (Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục Việt Nam) [3] 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ( Nguyễn Văn Vĩnh- Nguyễn Đức Đồng -Nhà xuất giáo dục) [4] Sách giáo viên, sách giáo khoa toán 7, toán8 17 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Quỳnh Lê Chức vụ đơn vị công tác:Trường THCS Nguyễn Du- Quảng Xương TT Tên đề tài SKKN " Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh khai thác toán đường trung bình tam giác, hình thang ” “ Tổ chức hướng dẫn học Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp Tỉnh C 2014-2015 Cấp Tỉnh C 2017-2018 Cấp huyện B 2019-2020 C 2020-2021 sinh lớp suy luận phân tích để giải số dạng tốn tam giác cân” " Hướng dẫn học sinh sử dụng định lí Fermat giải tốn chứng minh chia hết" "" Hướng dẫn học sinh giải tốn tìm điểm cố định Cấp Tỉnh hình học 9" 18 skkn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP MỘT SỐ CÁCH TÌM ĐA THỨC MỘT BIẾN Người thực hiện: Nguyễn Quỳnh Lê Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Du SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn QUẢNG XƯƠNG NĂM 2022 skkn 19 ... việc mở rộng kiến thức đa thức cấp học cao Với kinh nghiệm thân xin đưa đề tài: " Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Hướng dẫn học sinh tìm đường giải, phát... hết cho học sinh hiểu rõ khái niệm đa thức: Đa thức biến bậc n hàm số xác định sau: Đa thức hàm số P: Khi , gọi hệ số đa thức ( hệ số ứng với ) Nếu an ta gọi n bậc đa thức Khi an gọi hệ số bậc... cung cấp kiến thức đa thức, nghiệm đa thức ta hướng dẫn học sinh số cách tìm, xác định đa thức biến 2.3.2 .Tìm đa thức biết giá trị đa thức Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x) , cho biết: P(0)= 15 ; P(1)