Skkn áp dụng bất đẳng thức cauchy và bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

THÁNG : / 2020 CHUYÊN ĐỀ : ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Giáo viên báo cáo: Nguyễn Thị Đường A LÍ THUYẾT CƠ BẢN : I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy): Với số khơng âm a;b ( a+b ) ( tương tự ) + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b Từ đẳng thức (1) ta suy ra: + Nếu a.b =k ( không đổi) (a +b) = a=b + Nếu a +b = k (khơng đổi ) max( a.b) = a=b + Với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an Từ đẳng thức (2) ta suy ra: + Nếu a1.a2.a3 … an = k (khơng đổi ) Min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n a1 = a2 = a3 = … = an + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) m + Mở rộng BĐT Cô- si Với số a, b, c không âm a+b+c Dấu “=” xảy Với số a, b, c ,d không âm skkn THÁNG : / 2020 a+b+c+d Dấu “=” xảy Đối với n số không âm: a , Ta có: Dấu “=” xảy + Biến dạng : với x;y;z >0 II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski +Với số a;b;c;d ta có : Dấu ‘ =’ xảy +Tổng quát : Cho hai Ta có: Dấu xảy B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài : Cho a;b;c >0 Tìm GTNN Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) Tương tự: skkn THÁNG : / 2020 (Áp dụng BĐT Cô si ) Suy : => a= b= c = Bài 2: Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c 12 Tìm GTNN Bài giải Ta có : Áp dụng BDT Cơ si cho số dương : Ta có : skkn THÁNG : / 2020 => 3(a+b+c) 3.12 =36 Vì P>0 => P Khi a =b =c = Bài : Tìm GTNN : biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A 0) =>A Bài 4: Tìm GTNN Bài giải: Áp dụng BĐT cô si Khi Bài : Cho ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b Bài giải + Chứng minh BĐT : ; skkn THÁNG : / 2020 + => Nên a = b = Bài : Cho a;b;c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN : Bài giải + Ta chứng minh BĐT : +Ta có Vậy hay (1) Tương tự : (2) (3) Từ (1)(2)(3) Suy : a= b= c=1 Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b Tìm GTNN : Bài giải +Ta có : + skkn THÁNG : / 2020 + Khi a =b= Bài 8: Cho xy =1 x;y >0 Tìm GTLN : Bài giải t = => x =y = Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN : Bài giải + Ta có : => + = x =y = z= Bài 10: Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN : skkn THÁNG : / 2020 Bài giải + Ta có Tương tự b+c c+a Nên suy 2M (a+b+c) =2 2016 =>M 2016 => a =b =c = 2016:3 =672 Bài 11 : Cho x;y;z>0 Tìm GTNN : Bài giải +Ta chứng minh +Ta có + Suy x =y =z Bài 12 : Cho a;b;c >0 a+b+c =3 Tìm GTNN : Bài giải: + Chứng minh BĐT : với x;y;z >0 +Ta có : skkn THÁNG : / 2020 Khi a=b=c = Bài 13: Cho x;y >0 x+y+xy =8 Tìm GTNN : Bài giải +Ta có x +y =>xy + hay => =>xy + Ta có Vì xy => –xy => Suy A Vậy x = y =2 Bài 14 : Cho x;y;z >0 xyz =1 Tìm GTNN : Bài giải + Áp dụng BĐT cô si với số không âm ta có : => Dấu “ =” xảy x =1 Tương tự y ; z + Bài 15: Cho a 10; b 100 ; c 1000 Tìm GTNN : Bài giải skkn THÁNG : / 2020 Ta có : =1110.111 Vậy a =10 ; b = 100; c =1000 Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z Tìm GTNN Bài giải Ta có = Vậy x = y =z = Bài 17: Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của: Bài giải + Ta có + tương tự hạng tử lại Ta suy => Khi a =b=c = skkn THÁNG : / 2020 Bài 18 : Cho a;b>0 a+b Tìm GTNN : Bài giải Ta có = =1+ A => Khi a =b = Bài 19: Cho x;y;z >0 x+y+z =2 Tìm GTNN : Bài giải Áp dụng BĐT cô si cho số dương: ;(k>0) với Điểm rơi => +Ta có =(x+y+z)Suy Min A= - = =1 Bài 20: Cho số x;y;z không âm, không đồng thời 0; thỏa mãn skkn THÁNG : / 2020 Tìm GTNN : + Ta có : (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) + Áp dụng BĐT cô si : Vậy Min A = Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời 0) Bài 21 : Cho xyz =1 ; x +y +z = Tìm GTNN : Bài giải + Áp dụng BĐT: với x;y;z >0; cách liên tục Ta có : Suy Min P = x =y =z = Bài 22: Cho a;b;c > thỏa mãn a+b +c = Tìm GTNN của: Bài giải skkn THÁNG : / 2020 + Ta có : Tương tự ta có : Nên suy : 2-a + 2- b + – c = – (a+b+c) =6 -3 =3 Min A = a = b= c = Bài 23 Cho x>0;y>0 x + y = Tìm GTNN : Bài giải Ta có : = = = = = Mặt khác Áp dụng BĐT : =>A Vậy Min A = Khi x = y = Bài 24 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx Bài giải + Ta chứng minh : Hay skkn Tìm GTNN : THÁNG : / 2020 + Áp dụng BĐT si cho số dương ta có : Nên : Tương tự : Suy Vậy Min A = Khi x =y =z = Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = Tìm GTNN : Bài giải + Ta có : ( Áp dụng BĐT : + Tương tự : ) Nên suy : ; Vậy =>Min A = Khi x =y =z = skkn THÁNG : / 2020 Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn Tìm GTNN : Bài giải + Áp dụng BĐT Bunhicosky => Tương tự ta có : Do : Vậy Min A = Khi x = y= z = Bài 27: Cho a;b;c > thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN : Bài giải +Áp dụng BĐT si cho số dương : Tương tự : skkn THÁNG : / 2020 Ta có : Vậy Min A = , Khi a = =b = c= C BÀI TẬP : Cho a,b,c > a + b + c = Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = Cho a,b,c > a) Tìm GTNN C = b) Tìm GTNN D = Cho x,y,z  x + y + z = Tìm GTLN E = Cho a,b,c  a + b + c = Tìm GTLN F = skkn ) THÁNG : / 2020 skkn ... >0 II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski +Với số a;b;c;d ta có : Dấu ‘ =’ xảy +Tổng quát : Cho hai Ta có: Dấu xảy B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài : Cho a;b;c >0 Tìm GTNN Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)... = Bài : Tìm GTNN : biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A 0) =>A Bài 4: Tìm GTNN Bài giải: Áp dụng BĐT cô si Khi Bài : Cho ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b Bài giải + Chứng minh BĐT : ; skkn THÁNG... Tương tự: skkn THÁNG : / 2020 (Áp dụng BĐT Cô si ) Suy : => a= b= c = Bài 2: Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c 12 Tìm GTNN Bài giải Ta có : Áp dụng BDT Cơ si cho số dương : Ta có : skkn THÁNG