(SKKN CHẤT 2020) các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC× Phần I: Sơ yếu lý lịch Phần II: Nội dung đề tài A Tên đề tài B Lý chọn đề tài C Phạm vi, thời gian thực D Quá trình thực đề tài I Tình hình thực tế trước thực đề tài II Những nội dung biện pháp thực Phương pháp chung Các dạng tập tìm GTNN, GTLN thường gặp Phần III Những học kinh nghiệm kiến nghị sau trình thực đề tài Phần IV: Kết luận download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm 2013- 2014 PHẦN I: SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên: Đỗ Thị Xuân Ngày sinh: 10- 6- 1972 Năm vào ngành: 9/ 1993 Chức vụ: Tổ trưởng tổ khoa học tự nhiên Đơn vị công tác: Đại học Ngày vào Đảng: 01- 07- 1996 Nhiệm vụ giao: Dạy toán lớp 9A1, 9A5 Thành tích: Năm học 2013- 2014: Lao động tiên tiến download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI A TÊN ĐỀ TÀI: “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số” B LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Học toán cách tư sáng tạo toán, đồng thời vấn đề trừ tượng khó học sinh, lại điều cần thiết cho học sinh q trình học tốn trường THCS Trong mơn tốn trường THCS có nhiều tốn chưa khơng có thuật tốn để giải Đối với toán, phải cố gắng hướng dẫn cách học sinh suy nghĩ, tìm tịi lời giải Nhiệm vụ khó khăn địi hỏi phải có nhiều thời gian kinh nghiệm sư phạm, phải có long tận tâm phương pháp đắn Đây hội tốt để trang bị cho học sinh số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện phát triển em lực tư Biết đề cho học sinh lúc, chỗ câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh Để giải tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức cịn cần thiết phải có phương pháp suy nghĩ khoa học với kinh nghiệm cá nhân tích lũy qua q trình học tập, rèn luyện Mỗi tốn thực tế toán, tập học tập ta phải tìm cách tiếp cận, cách giải, nhiều phải trải qua nhiều cách thử giải ta chọn cách giải thích hợp kết hợp nhiều cách giải cho tập Nhưng hết cách giải tốn tốn học, ngồi biết phải áp dụng chúng lại vấn đề khó Nhằm cung cấp cách giải cho dạng tốn tìm cực trị biểu thức đại số tơi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số” Các toán cực trị đại số cấp có ý nghĩa quan trọng học sinh bậc học download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Để giải tốn cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng biểu thức biến đổi đồng biểu thức đại số phải biến đổi sử dụng nhiều dạng đơn giản đến phức tạp Biết sử dụng cách linh hoạt bất đẳng thức Cơsi Bởi thế, nói toán cực trị đại số cấp hai tạo khả giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số C PHẠM VI, THỜI GIAN THỰC HIỆN - Phạm vi: Học sinh lớp 9A1, 9A45 - Thời gian: năm D QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Tình hình thực tế trước thực đề tài Đặc điểm tình hình: - Thuận lợi: + Các em có ý thức học tốn, muốn tìm tịi dạng tốn + Có đầy đủ loại sách tham khảo - Khó khăn: Dạng tốn tìm cực trị đòi hỏi phải sử dụng phép biến đổi khác nhau, em khó phát phương pháp giải Chính gặp dạng tốn tìm cực trị em lúng túng dẫn tới chán nản Bảng điều tra kiểm tra 15’: Lớp 9A1 9A4 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm AI Đỗ Thị Xuân Những nội dung biện pháp thực hiện: Phương pháp chung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị A ≥ k (≤ k) tồn giá trị biến để A = k k gọi GTNN (GTLN) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định Để tìm GTNN biểu thức A ≥ k với k hằng: - Chứng minh A ≥ k với k số - Chỉ trường hợp dấu “ = “ xảy Min A GTNN A Để tìm GTLN biểu thức A ta cần - Chứng minh A ≤ k với k số - Chỉ trường hợp dấu “ = “ xảy Max A GTLN A Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Giải: Chú ý: (x – 1)2 ≥ 0(1) ; (x – 3)2 ≥ 0(2) Nhưng kết luận giá trị nhỏ A khơng đồng thời xảy dấu đẳng thức (1) (2) Ta có: A = (x – 1)2 + (x - 3)2 = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2x2 – 8x + 10 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + Vì (x – 2)2 ≥ nên 2(x – 2)2 ≥ A≥2 Do đó: A = x – = ↔ x = Vậy: Min A = x = download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Các dạng tập tìm GTNN, GTLN thường gặp: Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn A= 3x2 - 30x + 88 Giải ĐKXĐ: x R A = 3x2 - 30x + 88 A = 3(x2 - 10x) + 88 A = 3(x2 - 10x + 25) – 75 + 88 A = 3(x - 5)2 + 13 A = 13 ↔ x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn B = - 7x2 + 12x – Giải: ĐKXĐ: x R B = - 7(x2 - B= - 7(x2 - x) – x+ )+ x- x= -3 B=-7 Max B = Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta làm sau: + Bước 1: Tìm ĐKXĐ + Bước 2: Nhóm hạng tử chứa ẩn + Bước 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung + Bước 4: Thêm bớt vào ngoặc để toán trở thành bình phương nhị thức hạng tử tự download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm + Đỗ Thị Xuân Bước 5: Dựa vào “ phương pháp chung” kết luận GTNN, GTLN * Tổng quát: Cho tam thức bậc hai: P = ax + bx + c (a ≠ 0) Giải: P = ax2 + bx +c = a(x2+ x) + c = a Đặt k = c Do ≥ nên: Nếu a ≥ a ≥0 Do Min P = k Nếu a ≤ a Do Max P = k P≥k =0 ≤0 x=- P≤k =0 x=- Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7) Giải: ĐKXĐ: x R Ta có: A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt t = x2 – 7x + Nên: x2 – 7x = t – x2 – 7x + 12 = t + Do đó: A = (t - 6)(t + 6) = t2 – 36 ≥ - 36 Vậy Min A = - 36 Khi t = ↔ x2 – 7x + = ↔ x = x = download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xn Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn B = 2x – Giải ĐKXĐ: x – ≥ x≥3 Đặt t = (t ≥ 0) Ta có: t2 = x – x = t2 + Do B = 2(t2 + 3) – t B = 2t2 – t + B=2 B=2 Vậy max B= t- : x – = =0 x= t= t2 = (thỏa mãn) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ C = y4 – 6y2 – Giải Đặt y2 = x ≥ Vậy C = x2 – 6x – = (x2 – 6x + 9) – – = (x – 3)2 – 16 ≥ - 16 Vậy C = - 16 x – = Do y2 = x =3 (thỏa mãn) y= Tổng quát: Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng đa thức đặc biệt ta đặt ẩn phụ cách thực bước sau: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định + Bước 2: Tìm mối lien hệ đặt ẩn phụ đặc biệt ý điều kiện ẩn phụ download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm + Đỗ Thị Xuân Bước 3: Đưa dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức + Bước 4: Kết luận (chú ý điều kiện xảy dấu “ = ”) Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ Giải: Đặt │3x - 1│= y (y ≥ 0) A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ = y2 – 4y +5 = (y – 2)2 +1 ≥ Vậy Min A = Khi y = (Thỏa điều kiện) Do đó: │3x - 1│= ↔ x = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = │x - 2│+ │x - 3│ Giải: * Xét khoảng x < Thì B = – x + – x = – 2x Do x < nên – 2x > - Do – 2x > – Vậy B > (1) * Xét đoạn ≤ x ≤ B = x – + – x = (2) * Xét khoảng x > B = x – + x – = 2x – Do x > nên 2x > Do 2x – > – Vậy B > (3) So sánh (1), (2), (3) ta Min B = ≤ x ≤ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = |x – 2y + 1| + |x – 2y| Giải Ta có C = |x – 2y + 1| + |x – 2y| = |x – 2y + 1| + |2y – x| ≥ |x – 2y + + 2y – x | = Do Min C = (x – 2y + 1)(2y – x) ≥ 2y – ≤ x ≤ 2y Nhận xét: Qua Ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta làm sau: download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân 16 A ³ dấu “=” xảy Û x = x3 Û x = 2 Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho VD: Cho < x < Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= A= A≥2 Dấu “=” xảy Û Vậy Min A = Û x = Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho Ví dụ: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 P= y z Áp dụng bất đẳng thức Cô si số dương Ta Tương tự x y z Vậy ≥x+y+z download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm P ≥ (x + y + z) - Đỗ Thị Xuân x y z =1 Dấu “=” xảy Û x = y = z = Nhận xét phương pháp giải Ta thêm (y + z) Cũng hạng tử thứ thứ dấu “=” xảy đồng thời (1); (2); (3) Ûx=y=z= Nếu ta thêm (y + z); (z + x) vào x; y; z để dấu đẳng thức xảy đồng thời Do khơng tìm giá trị nhỏ P Dạng 9: Chia khoảng để tìm cực trị Ví dụ: Tìm giá trị lớn A = x2 (3 – x) với x ≥ Giải a Xét ≤ x ≤ ta có A = x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm x x 2 b Xét x > A < (2) So sánh (1) (2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ A = x2 (2-x) với £ Giải a Với x < Þ A b Với £ x £ download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Xét – A = x2 (x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số âm - A x - A£32ÞA≥-32 Min A = - 32 Û x = Dạng 10: Dùng đồ thị để tìm cực trị Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Y = |x – 1| + | x – 3| - |2x + 2| với – £ x £ Giải Xét giá trị y ứng với khoảng giá trị x * Với – £ x £ - Þ y = (1 – x) + (3 – x) – (-2x – 2) = * Với – £ x £ Þ y = ( – x) + ( – x) – (2x + 2) = - 4x + * Với < x < Þ y = (x – 1) + (3 – x) – (2x – 2) = - 2x * Với £ x £ Þ y = (x – 1) + (x – 3) – (2x + 2) = - Trên hình vẽ biểu thị đồ thị hàm số: y = |x – 1| + | x – 3| - |2x + 2| với – £ x £ Max y = Û – £ x £ -1 Min y = - Û £ x £ Nhìn vào đồ thị ta thấy giá trị lớn nhỏ hàm số Những sai lầm thường gặp giải tốn cực trị Ví dụ: Tìm giá trị lớn A = xyz (x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z số không âm x + y + z = Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức 4ab £ (a + b)2 Ta có (x + y) z £ (x + y + z)2 = 4(y+z).x £ (y + z + x)2 = 4(z + x).y £ (z + x + y)2 = Nhân vế vế không âm download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm 64xyz (x +y)(y + z)(z + x) ≤ Vậy Max A = Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy đẳng thức Điều kiện để A = là: (mâu thuẫn) * Cách giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm = x + y + z ≥ = (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 33 x y Nhân vế (1) (2) 2≥9 A≤ Max A = x=y=z= Ví dụ 2: Cho số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= (Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp năm học 2013 – 2014) * Lời giải sai: M= = x2y2 + +2 Vì x2, y2 > Áp dụng bất đẳng thức cô si x2y2 + ≥2 M≥4 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy đẳng thức Điều kiện để M = (không thỏa mãn) * Cách giải đúng: M = x2y2 + + + = = Có = Có xy ≤ (2) Từ (1) (2) M= Dấu “=” xảy Vậy Min M = (vì x, y >0) x = y = Ví dụ 3: Cho a > b, b > 0, a + download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Tìm Min A = (Đề thi HSG huyện năm 2010 – 2011) * Lời giải sai số em hay gặp A= (áp dung BĐT Cô si) A Min A = Dấu “=” xảy a2 – a + (vơ lí) * Cách giải đúng: a+ ≥4 A= = Có A≥ Vậy Min A = a= , b = Trên số biện pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ áp dụng năm học qua, Kết sau thực đề tài thấy đa số em biết vận dụng phương pháp để giải tập, em cảm thấy vững tin giải toán cực trị Kết quả: Lớp 9A1 Đầu năm 9A1 Cuối năm download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Lớp 9A5 9A5 9A1 9A1 Trong kỳ thi học sinh giỏi Huyện có em đạt danh hiệu học sinh giỏi mơn Tốn * Điều kiện áp dụng: - Dùng cho học sinh có học lực từ trung bình trở lên - Dành cho chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi - Với học sinh giỏi cần có tập khó để phát huy tính sáng tạo học sinh - Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên đưa dạng tập nhiều hay download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân PHẦN III: NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Dạy học vừa khoa học vừa nghệ thuật Người dạy không thầy tim đầy nhiệt huyết mà thầy óc trí tuệ khao khát khoa học Vì để nâng cao hiệu giảng dạy người dạy phải: - Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, chuẩn bị tốt chương trình giảng dạy đổi phương pháp nghiên cứu giảng dạy - Hệ thống tập phải chọn lọc, xếp theo trình tự, có lơgic từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp qua hệ thống tập giáo viên phải khái quát hóa cách giảng tập - Dạy theo chun đề - Cần tạo khơng khí sơi nổi, tích cực làm việc, người dạy phải ý tới mức độ tiếp thu kỹ trình bày học sinh * Để học sinh có tính tích cực học cần tăng cường tài liệu, sách tham khảo, băng hình tiết dạy mẫu đổi phương pháp dạy - Cung cấp đồ dùng dạy học đẩy đủ, kịp thời download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân PHẦN IV: KẾT LUẬN Trên vài kinh nghiệm, ý kiến riêng việc hướng dẫn học sinh tìm cực trị biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai, chứa nhằm cho học sinh nắm kiến thức vận dụng linh hoạt vào tập liên quan tốn khác Song, khơng tránh thiếu sót, nên tơi mong đóng góp đồng nghiệp để rút kinh nghiệm tiếp tục nghiên cứu tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Phương Trung, ngày tháng năm 2015 Người làm đề tài download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Đỗ Thị Xuân Hà Nội, ngày … tháng… năm 2015 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Đỗ Thị Xuân download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Ý Đỗ Thị Xuân KIẾN ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI download by : skknchat@gmail.com ... trị tuyệt đối sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số dựa vào ? ?Phương pháp chung” Dạng 4: Tim giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức bậc cao dạng P = ax4... tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức + Bước 4: Kết luận (chú ý điều kiện xảy dấu “ = ”) Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số có dấu giá. .. cung cấp cách giải cho dạng tốn tìm cực trị biểu thức đại số tơi tiến hành nghiên cứu đề tài ? ?Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số? ?? Các toán cực trị đại số cấp có ý nghĩa quan trọng