Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ VI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ VI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ VI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa phân loại phương trình hàm 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp 1.3 Phương trình hàm 10 1.3.1 Phương trình hàm Cauchy 10 1.3.2 Một vài dạng khác phương trình hàm Cauchy 14 1.3.3 Phương trình hàm Jensen 16 Chương Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình 2.1 18 Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình ẩn hàm 18 2.1.1 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng đối số 18 2.1.2 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân đối số 21 2.1.3 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hịa đối số 24 2.1.4 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương đối số 2.2 27 Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình song ẩn hàm 30 2.2.1 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng đối số 30 2.2.2 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân đối số 32 2.2.3 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hịa đối số 34 2.2.4 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương đối số 37 Chương Bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình 3.1 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ phép tính số học đối số 3.2 40 40 Bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình 42 3.2.1 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng đối số 42 3.2.2 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân đối số 44 3.2.3 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều 3.3 hòa đối số 45 Một số toán áp dụng 49 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 MỞ ĐẦU Trong chương trình Tốn học phổ thơng, chun đề phương trình hàm đóng vai trị đặc biệt Đó dạng chuyên đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, lại chưa dạy học cách hệ thống bậc đại học Vì việc tiếp cận tới lý thuyết thực hành phương pháp giải phương trình bất phương trình hàm cịn có bất cập, cần trọng nhiều Phương trình bất phương trình hàm ln hấp dẫn giáo viên học sinh thường xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic Toán khu vực quốc tế Mục tiêu luận văn “Phương trình bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình” nhằm trình bày số vấn đề phương trình bất phương trình hàm với cặp biến tự liên quan đến đại lượng trung bình cặp số dương đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa trung bình bình phương Từ đó, tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày khái niệm phương trình hàm, mối liên hệ số đại lượng trung bình đặc trưng hàm với cặp biến tự tương ứng, phương trình hàm Cauchy phương trình hàm Jensen Chương trình bày số dạng phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình ẩn hàm song ẩn hàm Chương trình bày số dạng bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình lớp hàm số liên tục Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giúp tơi hồn thành tiểu luận Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình để từ tơi có ý tưởng phát triển thành luận văn Tơi xin cảm ơn q thầy, giảng dạy lớp cao học khóa (2012 − 2014) mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Cuối xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thái Nguyên - Đại học Khoa Học tạo điều kiện cho học tập môi trường tốt Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! CHƯƠNG Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa phân loại phương trình hàm Trong mục trình bày lại vài khái niệm giới thiệu báo Kuczma [12] (xem [1]-[2]) phương trình hàm Trước định nghĩa phương trình hàm nhắc lại khái niệm từ Định nghĩa 1.1 Khái niệm từ định nghĩa sau đây: (1) Các biến độc lập gọi từ (2) Nếu t1 , · · · , từ f (x1 , · · · , xp ) hàm p biến f (t1 , · · · , ) từ (3) Không tồn loại từ khác Sau có khái niệm từ, Phương trình hàm định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2 Phương trình hàm phương trình dạng t1 = t2 hai từ t1 , t2 , hai từ phải chứa tối thiểu hàm chưa biết số hữu hạn biến số độc lập Phương trình t1 = t2 phải thỏa mãn tất giá trị nhận biến thuộc tập xác định Nghiệm phương trình hàm phụ thuộc hồn tồn vào tập Như vậy, phương trình hàm hiểu nơm na toán xác định hàm số f (x) thỏa mãn số tính chất T1 , , Tn Giải phương trình hàm tức tìm tất hàm f (x) thỏa mãn tất tính chất T1 , , Tn Khi giải phương trình hàm, với tính chất Tk ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm Với hàm số tìm ta kiểm tra lại xem có thỏa mãn tất tính chất Tk hay khơng? Thường giải phương trình hàm đưa giải hệ phương trình hay dãy truy hồi Từ kết đạt đa thức hàm liên tục ta dễ dàng giải tốn Chúng tơi giới thiệu vài dạng phương trình hàm Một số hàm sau thường sử dụng vài tốn phương trình hàm: ex + e−x ex − e−x cosh x = (i) sinh x = 2 ex − e−x sinh x (ii) x = x = e + e−x cosh x Định nghĩa 1.3 Phương trình hàm hàm chưa biết hàm biến gọi phương trình hàm thơng thường Phương trình hàm trong hàm chưa biết hàm nhiều biến gọi phương trình hàm riêng W Maier đưa khái niệm hạng phương trình báo mình: Định nghĩa 1.4 Số biến độc lập xuất phương trình hàm gọi hạng phương trình Phân loại phương trình hàm Vấn đề phân loại phương trình hàm khó chưa giải thỏa đáng J Aczel cơng trình ơng tn theo bước sau: nhiều hàm ẩn nhiều biến - tất bốn loại Tất nhiên, việc phân loại khó; cho dù có ích Định nghĩa 1.5 Phương trình hàm hàm ẩn hàm biến gọi phương trình hàm đơn (một) biến (thơng thường) Phương trình hàm trong hàm ẩn hàm biến gọi phương trình hàm riêng Lưu ý hàm riêng hồn tồn xác định phương trình hàm đơn biến, ngược với phương pháp phương trình vi phân Mệnh đề phân loại phương trình hàm thông thường nêu tài liệu Kuczma Định nghĩa 1.6 Số biến độc lập xuất phương trình hàm gọi bậc phương trình Một vài hàm đặc biệt J Aczel đưa phương pháp tổng quát giải phương trình hàm cấp, ví dụ: ϕ(x + y) = F [ϕ(x), ϕ(y)], ϕ x + y = F [ϕ(x), ϕ(y)] (1.1) (1.2) ϕ(ax + by + c) = F [ϕ(x), ϕ(y)], (1.3) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = (1.4) Ông đưa tiêu chí tồn tính nghiệm Kể từ đó, phương pháp tổng quát J Aczel học trò ông tìm Trong luận văn này, ta xét bốn đại lượng trung bình đối số (xem [2]): x+y ; x, y ∈ R √ Trung bình nhân đối số xy; x, y ∈ R+ Trung bình cộng đối số 2xy ; x, y ∈ R+ x+y q 2 + Trung bình bình phương đối số x +y , ∀x ∈ R Trung bình điều hịa đối số đại lượng trung bình hàm số f (x) + f (y) ; f (x), f (y) ∈ R p Trung bình nhân hàm số f (x)f (y); f (x), f (y) ∈ R+ Trung bình cộng hàm số 2f (x)f (y) ; f (x), f (y) ∈ R+ f (x) + f (y) q (y)]2 Trung bình bình phương hàm số [f (x)] +[f , f (x), f (y) ∈ R Trung bình điều hịa hàm số xét toán xác định hàm số chuyển đổi đại lượng từ trung bình đối số sang đại lượng trung bình hàm số 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp Để mơ tả tranh mang tính định hướng, gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm toán liên quan, xét vài tính chất tiêu biểu số dạng hàm số quen biết • Hàm tuyến tính f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R • Hàm bậc f (x) = ax + b (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất x + y f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R f 2 • Hàm lũy thừa f (x) = |x|k , có tính chất f (xy) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R \ {0} • Hàm mũ f (x) = ax , (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R ... 2.1 Phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình ẩn hàm 2.1.1 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng đối số Bài toán 2.1 (Hàm chuyển đổi từ trung bình cộng thành trung bình. .. ? ?Phương trình bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình? ?? nhằm trình bày số vấn đề phương trình bất phương trình hàm với cặp biến tự liên quan đến đại lượng trung bình cặp số dương đại. .. dạng phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình ẩn hàm song ẩn hàm Chương trình bày số dạng bất phương trình hàm chuyển đổi đại lượng trung bình lớp hàm số liên tục Trong suốt q trình làm