Skkn giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình

CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình Người báo cáo Phan Thị Thủy I Nghệ thuật lập phương trình Mỗi phương trình lập được từ bài toán thực tế là “ngôn ngữ đại số’’ biểu[.]

CHUYÊN ĐỀ : Giải toán thực tế cách lập phương trình Người báo cáo : Phan Thị Thủy I Nghệ thuật lập phương trình : Mỗi phương trình lập từ tốn thực tế “ngơn ngữ đại số’’ biểu thị tương quan đại lượng tốn thơng qua số biết số chưa biết ( ẩn số ) Để có phương trình tương ứng với tốn cần giải ( sau hiểu rõ đề toán ) ta nên tiến hành bước sau: 1) Đặt ẩn số : Ẩn số chưa biết , phải tìm thơng thường tốn u cầu tìm ( ) ta phải đặt ( ) ẩn( xem tốn ) Cũng có ta gặp toán với cách đặt ẩn mà phương trình lập nên q phức tạp khó khăn cần thay đổi cách chọn ẩn ( xem toán ) chọn thêm ẩn ( xem toán) Ẩn mà ta gọi phải liên quan đến phải tìm cho phép ta lập phương trình , dễ dàng 2) Lập phương trình: Sau đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn có ) ta tiến hành biểu thị đại lượng qua số biết ẩn số Để lập phương trình ( lập hệ phương trình) ứng với tốn cần giải , ta cố gắng hình dung thật cụ thể rõ ràng điều kiện toán ( quan hệ cần tìm , chưa biết cho) 3) Trình tự bước giải tốn cách lập phương trình: skkn Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn( có ) - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem nghiệm phương trình ( nghiệm hệ phương trình), nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận) Các toán sau nhằm giải giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Phân tích , tìm lời giải cho tốn phân tích phiên dịch tốn dạng ngơn ngữ đại số Các tốn phân thành hai dạng : Toán bậc Toán bậc hai Ở dạng lại có loại tốn khác , loại có đặc điểm riêng cần ý giải toán tương tự Các toán giải cách lập phương trình hệ phương trình phân loại sau : 1/ Loại toán chuyển động 2/ Loại tốn tìm số 3/ Loại tốn cơng việc, vịi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”) 4/ Loại toán suất lao động 5/ Loại tốn có liên quan đến hình học skkn 6/ Loại tốn có nội dung Vật lý, Hoá học 7) Một số toán loại khác II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA CÁC BÀI TỐN BẬC NHẤT: 1.1.Dạng tốn chuyển động: a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Với dạng tốn cần khai thác đại lượng: + Quãng đường : S + Vận tốc : v + Thời gian: t Liên hệ với công thức : S = v.t ; t= ; v= Lưu ý phải thống đơn vị Phương pháp giải - Chọn ẩn điều kiện ràng buộc cho ẩn - Tuỳ theo nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải sau: Bài tốn 1: Một người xe đạp từ nhà nên tỉnh với vận tốc dự định 10 (km/h).Trong 1/3 quãng đường anh với vận tốc Sau anh với vận tốc 150% vận tốc cũ Do anh đến sớm dự định 20 phút Tính qng đường từ nhà người đến tỉnh skkn a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : + Vẽ sơ đồ : x A C 10km/h B 150%.10km/h + Nếu gọi quãng đường AB x (km),ta hướng dẫn học theo bảng sau: Các trường hợp S (km) v (km/h) Ban đầu x 10 t (h) quãng đường x 10 x: 10 quãng đường x 10.150%=15 x:15 Về sau Phương trình lập b) Lời giải : Gọi quãng đường cần tìm x(km), x > Thời gian dự định với vận tốc 10 km/h : (h) Thời gian quãng đường đầu : ( x):10 = (h) Thời gian quãng đường sau : ( x):15 = (h) skkn Đổi 20 phút = Do theo đề ta có phương trình x= 15 thoả mãn đề Vậy quãng đường cần tìm 15 km Loại tốn tìm số a/Hướng dẫn tìm lời giải: - Những lưu ý giải tâp: + Viết chữ số tự nhiên cho dạng luy thừa 10: + Số phương: Nếu a số phương a = b2( ) b/ Bài toán minh hoạ: - Ta phải ý tới cấu tạo số có hai chữ số , ba chữ số …viết hệ thập phân điều kiện chữ số Bài toán 2: Một số tự nhiên có hai chữ số Tổng chữ số 16 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 Tìm số cho? a)Hướng dẫn Phân tích , tìm lời giải : - Bài tốn tìm số có hai chữ số thực chất tốn tìm hai số (chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ) skkn - Biểu diễn số có hai chữ số dạng: ab = 10a + b - Biết chữ số hàng chục tính chữ số hàng đơn vị - Khi đổi chỗ hai chữ số cho ta số ba, tìm mối liên hệ số số cũ - Chú ý điều kiện chữ số Số thứ Số thứ nhất(Hàng hai(Hàng chục) đơn vị) Ban đầu x 16-x Về sau 16 - x x Cách trường hợp Mối liên hệ Phương trình lập b) Lời giải : Gọi chữ số hàng chục số phải tìm : x ( < x ) chữ số hàng đơn vị : 16 - x Số phải tìm có dạng: x(16- x) Sau đổi chỗ hai chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho ta số là: (16- x)x Theo đề số lớn số cho 18 đơn vị, nên ta có phương trình: x( 16- x) + 18 = (16- x)x 10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x skkn 10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x 18x = 126 x = ( thoả mãn điều kiện) Vậy chữ số hàng chục 7, chữ số hàng đơn vị 16- = Do số phải tìm 79 Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn ẩn chữ số hàng đơn vị *) Khai thác: Có thể thay đổi kiện tốn thành biết tổng chữ số tỉ số chữ số hàng chục chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị, ta có cách giải tương tự Giáo viên lưu ý: Với dạng học sinh phải hiểu mối liên hệ đại lượng, đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c 3.Dạng toán cơng việc , vịi nước chảy: “ làm chung - làm riêng” (toán quy đơn vị ) Bài toán 3: Hai cơng nhân làm chung 12 hồn thành cơng việc Họ làm chung với người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm nốt phần cơng việc cịn lại 10 giờ.Hỏi người thứ hai làm hồn thành cơng việc đó, a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : Nếu gọi thời gian để người thứ hai làm xong công việc là: x (x > 0) Khi đó:Trong người thứ hai làm phần công việc? ( skkn ) Trong 10 người thứ hai làm phần công việc? ( ) Hai người làm xong cơng việc 12 Vậy hai người làm phần công việc? ( hai người làm phần công việc? ( ) ) Tìm mối liên hệ đại lượng để lập phương trình b)Lời giải : Gọi thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc là: x giờ(x >0) Trong người thứ hai làm được: Trong 10 người thứ hai làm được: (phần công việc) (phần công việc) Trong hai người làm được: (phần công việc) Trong hai người làm được: (phần công việc) Theo đề bai hai người làm chung sau người thứ hai làm nốt 10 xong cơng việc nên ta có phương trình: Giải phương trình ta x = 15 Vậy người thứ hai làm xong tồn cơng việc hết 15 4.Dạng toán suất lao động : Bài toán 4:Trong tháng đầu hai tổ sản xuất 400 chi tiết máy Tháng sau tổ vượt mức 10%, tổ vượt mức 15% nên hai tổ sản xuất 448 chi tiết máy Hỏi skkn tháng đầu tổ sản xuất chi tiết a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : + Chọn ẩn: x số chi tiết máy tổ1 sản xuất tháng đầu (x < 400, ) + Lập mối liên hệ ẩn theo bảng sau: Mối liên hệ Tổng khối Năng suất Khối lượng công việc lượng công công việc việc Các trường hợp Đội x 100% Theo dự định 400 Đội 400 - x 100% Đội x+ 10%x 110% Theo thực tế 448 Đội Phương trình 400–x +(400 –x)15% 115% x+ 10%x+400 – x +(400 –x)15% = 448 lập b)Lời giải : Gọi x số chi tiết máy tổ1 sản xuất tháng đầu (x < 400, Thì tháng đầu tổ sản xuất 400- x (chi tiết máy) Tháng sau tổ sản xuất x +10%.x= Tháng sau tổ sản xuất skkn ) máy Theo ta có phương trình: (thoả mãn ) Vậy tháng đầu tổ sản xuất 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 160 chi tiết máy Dạng tốn liên quan đến hình học Bài tốn :Tính cạnh hình vng biết chu vi tăng thêm 12 (m) thí diện tích tăng thêm 135 (m ) a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : - Cần cho học sinh hiểu chu vi diện tích hình vng tính nào? Diện tích lúc đầu hình vng gì? - Chu vi tăng thêm 12(m) độ dài cạnh tăng thêm bao nhiêu, từ tìm diện tích sau tăng - Tìm mối liên hệ hai diện tích để lập phương trình + Gọi cạnh hình vng x (m), x > Các đại lượng Cạnh hình vng Chu vi Diện tích Ban đầu x 4x x2 Về sau (4x+ 12): = x+3 4x+ 12 (x+3)2 Các trường hợp skkn - Giáo viên làm cần cho học sinh hiểu rõ hợp kim gồm đồng thiếc, 12kg hợp kim có 45% đồng khối lượng đồng bao nhiêu? + Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > ) b) Lời giải : 45% khối lượng đồng có 12 kg hợp kim là: 12.45% = 5,4 (k g) Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > ) Sau thêm vào khối lượng miếng hợp kim là: 12 + x (kg) Khối lượng đồng không đổi nên tỷ lệ đồng hợp kim lúc sau là: Theo đề tỷ lệ đồng lúc sau 40% nên ta có phương trình: Giải phương trình ta có: x = 1,5 kg Đáp số: 1,5 kg c)Khai thác toán: Thay đổi số liệu đối tượng tốn ta có tốn tương tự: Có 200 (g) dung dịch chứa 50 (g) muối Cần pha thêm nước để dung dịch chứa 10% muối b) Khai thác tốn Ta thay đổi điều kiện, thay đổi ẩn để có tốn tương tự 7) Một số toán loại khác Dạng toán tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”) Bài toán 7:Hai cửa hàng có 600(l) nước mắm Nếu chuyển 800(l) từ cửa hàng thứ sang cửa hàng thứ hai số nước mắm cửa hàng thứ hai gấp đôi số nước mắm cửa hàng thứ Hỏi lúc đầu cửa hàng có lít nước mắm? skkn a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : + Gọi số nước mắm lúc đầu cửa hàng thứ x (l) (80 < x < 600) + Ta lập bảng: Các đơn vị Của hàng Của hàng Lúc đầu x 600-x Về sau x-80 600-x+80 Các trường hợp Phương trình lập 680 – x = 2(x-80) b)Lời giải : Gọi số nước mắm lúc đầu cửa hàng thứ x (80 < x < 600) Lúc đầu cửa hàng thứ hai có: 600-x Sau chuyển cửa hàng thứ cịn: x-80 Cửa hàng thứ hai có : 600-x+80 = 680-x (l) Theo ta có phương trình: 680 - x= 2(x-80) 680 - x= 2x - 160 3x = 840 Vậy lúc đầu cửa hàng thứ có 280 (l) Cửa hàng thứ hai có: 600-280=320 (l) B CÁC BÀI TỐN BẬC HAI, 1.Dạng tốn chuyển động: skkn x=280(l) , (thoả mãn) Bài toán 8: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2007 – 2009) Khoảng cách hai tỉnh A B cách 108 km Hai ôtô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : Sau cho học sinh đọc kĩ đề tốn hình tơi phát phiếu học tập yêu cầu em trả lời câu hỏi điền số liệu vào bảng số liệu bảng sau: Ô tô thứ (km/h) Vận tốc (km/h) Thời gian ( h) Ơ tơ thứ hai (km/h) (h) (h) b)Lời giải : Đổi: 12 phút = (h) Gọi vận tốc Ô tô thứ hai x (km/h) (điều kiện x > 0) vận tốc Ơ tơ thứ Thời gian Ơ tơ thứ (km/h) (giờ); Thời gian Ơ tơ thứ hai (giờ) Theo Ơ tơ thứ đến sớm Ơ tơ thứ hai 10 phút nên ta có phương trình: - skkn = Ta có: = + 3240 = 3249 > Phương trình có nghiệm phân biệt : Nhận thấy > (thoả mãn điều kiện), ; < (loại) Trả lời: Vận tốc Ô tơ thứ hai 54 (km/h) Vận tốc Ơ tô thứ 54 + = 60 (km/h) Tóm lại: Với dạng tốn chuyển động giáo viên cần làm cho học sinh hiểu mối quan hệ đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian đại lượng liên hệ với cơng thức : S = v.t Trong q trình chọn ẩn ẩn quãng đường, vận tốc, hay thời gian điều kiện ẩn ln dương Nếu thời gian chuyển động đến chậm dự định thì lập phương trình: Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế Nếu chuyển động quãng đường thời gian vận tốc tỉ lệ nghịch với Bài toán 9: Một xuồng máy xi dịng sơng 30 km ngược dòng 28 km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5 km mặt hồ yêu lặng Tính vận tốc xuồng hồ biết vận tốc nước chảy sông km/h a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : skkn - Đối với toán em cần vận dụng cơng thức chuyển động với dịng nước (vxuôi = vThực + v nước ; vNgược = vThực - v nước) - Hãy chọn ẩn, gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn? - Lưu ý: Cần xác định dúng qng đường xi dịng, ngược dịng cách tính thời gian mối quan hệ thời gian hồ với thời gian xi, ngược dịng để từ thiết lập phương trình b)Lời giải : Gọi vận tốc xuồng hồ x (km/h) (Điều kiện x > 3) vận tốc xi dòng x + (km/h), vận tốc ngược dòng x - (km/h) Thời gian xuồng hồ 59,5 km (giờ) Thời gian xuồng máy xi dịng 30 km (giờ) Thời gian xuồng máy ngược dòng 28 km (giờ) Theo ta có phương trình: + skkn = Giải phương trình ta được: ; Nhận thấy x = 17 > thoả mãn điều kiện Trả lời: Vậy vận tốc xuồng hồ 17 (km /h) c)Khai thác toán: Thay đổi số liệu đối tượng tốn ta có tốn tương tự: 2.Dạng tốn tìm số : Bài tốn 10: Cho số có hai chữ số tổng hai chữ số chúng 10, tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho Giải: Gọi chữ số hàng chục số cho x (x Chữ số hàng đơn vị 10 - x Giá trị số cho : 10x + 10 - x = 9x + 10 Ta có PT: x(10 - x) = 9x + 10 - 12 10x - x2 = 9x - x2 - x - = Nhận thấy a - b + c = + - = Ta có: x1 = - 1; x2 = Với x1 = - (loại) khơng thoả mãn đk Ta có chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Vậy số phải tìm 28 skkn ) c) Khai thác toán Đây loại toán bậc 2, để tạo toán thương tự, ta thay đổi điều kiện 3.Dạng tốn cơng việc: “ làm chung - làm riêng ”, “vịi nước chảy” (toán quy đơn vị ) Bài toán 11: Hai đội công nhân xây dưng làm chung sáu ngày làm song cơng trình Nếu làm riêng đội I làm lâu đội II ngày Hỏi làm riêng đội làm bao lâu? a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : Gọi số ngày đội I làm xong là: x ( ngày ), x > Ta có bảng sau Các kiện Đội I Đội II Cả hai đội Số ngày x x-5 Phần việc làm x ngày b)Lời giải : Gọi số ngày đội I làm xong cơng việc là: Số ngày đội II làm xong công việc : Trong ngày : Đội I làm được: Đội II làm được: x ( ngày ), x > x- ( ngày ) (công việc ) (công việc) Cả hai đội làm : skkn (cơng việc ) Theo đề hai đội làm chung hết ngày song ngày hai đội làm 1/6 (công việc ) Ta có phương trình : x(x-2)-15(x-2)= (x-2)(x-15)=0 x=2 (x < 5, loại ) x=15 (thoả mãn ) Trả lời : Đội I làm riêng hết 15 ngày Đội II làm riêng hết 10 ngày 4.Dạng toán xuất lao động: Bài tốn 12: Một cơng nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm thời gian quy định Do cải tiến kỹ thuật nên tăng suất thêm sản phẩm người hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định 1h40ph Tính số sản phẩm người phải làm theo dự định Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : Số sản phẩm làm Dự định skkn TGHTCV Thực tế Ta có pt: Giải phương trình ta được: Nghiệm thỏa mãn x = 10 Vậy số sản phẩm người phải làm theo dự định 10 sản phẩm Dạng tốn liên quan đến hình học Bài tốn 13: Tính cạnh hình vng biết chu vi tăng thêm 12 (m) thí diện tích tăng thêm 135 (m ) a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : - Cần cho học sinh hiểu chu vi diện tích hình vng tính nào? Diện tích lúc đầu hình vng gì? - Chu vi tăng thêm 12(m) độ dài cạnh tăng thêm bao nhiêu, từ tìm diện tích sau tăng - Tìm mối liên hệ hai diện tích để lập phương trình + Gọi cạnh hình vng x (m), x > b)Lời giải : Gọi cạnh hình vng x (m), x > Thì diện hình vng x skkn ... 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem nghiệm phương trình ( nghiệm hệ phương trình) , nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm khơng kết luận) Các tốn sau nhằm giải giải tốn cách lập phương. .. có loại tốn khác , loại có đặc điểm riêng cần ý giải toán tương tự Các toán giải cách lập phương trình hệ phương trình phân loại sau : 1/ Loại toán chuyển động 2/ Loại tốn tìm số 3/ Loại tốn...Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn( có ) - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị