Đang tải... (xem toàn văn)
KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
KHÁI NI M LǛY TH A TRONG D Y H C TỐN TR NG PH THƠNG Nguy n Th T Nh DANH M C CÁC T VI T T T Trung h c s THPT Trung h c phổ thông SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách tập CLHN Chỉnh lý hợp TCTH Tổ ch c toán h c QTHĐ Quy tắc hợp đồng BKHTN Ban khoa h c tự nhiên KNV Kiểu nhiệm vụ TLHDGD Tài liệu h ĐKXĐ Điều kiện xác đ nh [A] Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort [B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet [C] Đại số giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, 2000, NXBGD [M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD VI E TM A ng d n giảng dạy TH S.N ET THCS Đ U M I Ghi nh n ban đ u câu h i xu t phát Lũy thừa m t đối t ợng toán h c đ ợc đ a vào từ đầu cấp hai kết thúc cuối cấp 3, số l ợng n i dung c a nh ng có m t vai trị l n ch ơng trình tốn Chúng đặc biệt quan tâm đến lũy thừa b i lý sau đây: - Qua lần cải cách giáo dục m r ng khái niệm lũy thừa v n đ ợc đ a vào đầu TH S.N ET ch ơng: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau h c gi i hạn Điều d n chúng tơi đến câu hỏi: Có hay khơng phụ thu c c a lũy thừa vào gi i hạn? Lũy thừa có vai trị việc nghiên c u hàm mũ hàm lôgarit? - ch ơng trình chỉnh lý hợp năm 2000 m r ng khái niệm lũy thừa đ ợc đ a vào sau ch ơng gi i hạn tr c ch ơng đạo hàm, nh ng sang ch ơng trình cải cách năm 2005 đ ợc đ a vào ch ơng trình l p 12 sau h c xong ch ơng “đạo hàm ng dụng c a đạo hàm” Sự thay đổi có ý nghĩa nh nào? Tại lại có thay đổi đó? Tiến trình đ a vào khái niệm lũy thừa qua hai b SGK có thay đổi hay không? Khi h c khái niệm lũy thừa h c sinh gặp phải khó khăn gì? - Sau tham khảo luận văn c a tác giả Nguyễn Hữu Lợi Phạm Trần Hồng Hùng, tơi VI E TM A thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ hàm lơgarit có mối quan hệ mật thiết v i Đồng th i, m r ng khái niệm lũy thừa đ a vào sau khái niệm hàm mũ hàm lơgarit Từ đó, chúng tơi đặt câu hỏi: SGK hành lại ch n tiến trình ng ợc lại? Ý nghĩa c a tiến trình gì? - Có t ơng đồng khác biệt xuất nh vai trị c a lũy thừa ch ơng trình đại h c ch ơng trình phổ thơng ? M c đích nghiên c u khung lý thuy t tham chi u Mục đích nghiên c u c a luận văn tìm câu trả l i cho m t số câu hỏi đặt Để tìm kiếm câu trả l i, chúng tơi đặt nghiên c u c a phạm vi lý thuyết didactic toán Cụ thể: - Lý thuyết nhân ch ng h c: Quan hệ thể chế quan hệ cá nhân đối v i m t tri th c toán h c, tổ ch c toán h c, chuyển đổi didactic - Hệ sai lầm khái niệm ch ơng ngại - Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic… Lý thuy t nhân ch ng h c đây, mô tả ngắn g n hai khái niệm cần tham chiếu c a lý thuyết nhân ch ng h c để tìm câu trả l i cho câu hỏi đặt Quan h th ch , quan h cá nhân đ i v i m t tri th c Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) c a thể chế I v i tri th c O tập hợp tác đ ng qua lại mà thể chế I có v i tri th c O Nó cho biết O xuất đâu, nh nào, tồn sao, có vai trị … I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) c a cá nhân X v i tri th c O tập hợp tác đ ng qua lại mà cá nhân X có TH S.N ET v i tri th c O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu nh O, thao tác O ? Việc h c tập c a cá nhân X đối v i tri th c O q trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ (X,O) Hiển nhiên, đối v i m t tri th c O, quan hệ c a thể chế I mà cá nhân X m t thành phần, luôn để lại m t dấu ấn quan hệ R(X,O) Muốn nghiên c u R(X,O), ta cần đặt R(I,O) T ch c toán h c Hoạt đ ng toán h c m t b phận c a hoạt đ ng m t xã h i; thực tế toán h c m t kiểu thực tế xã h i nên cần xây dựng m t mơ hình cho phép mơ tả nghiên c u thực tế VI E TM A Chính quan điểm mà Yves Chevallard (1998) đ a khái niệm praxéologie Theo Chevallard, praxéologie m t b gồm thành phần [T,,,], T m t kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật cho phép giải T; cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ; lý thuyết giải thích cho cơng nghệ M t praxéologie mà thành phần mang chất toán h c đ ợc g i m t TCTH Bosch M Y Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với đối t ợng, vị trí thể chế xác định, đ ợc định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần l ợt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối t ợng nói trên” Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối t ợng tri th c O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) c a thể chế I đối v i tri th c O, từ hiểu đ ợc quan hệ cá nhân X (chiếm m t v trí I – giáo viên hay h c sinh chẳng hạn) trì đối v i tri th c O Việc rõ TCTH liên quan đến tri th c O giúp ta xác đ nh m t số quy tắc c a hợp đồng didactic: cá nhân có quyền làm gì, khơng có quyền làm gì, sử dụng tri th c O nh chẳng hạn Chuy n đ i didactic Q trình chuyển đổi thể mắc xích sau: M t xích th nh t : đ i t ng tri th c (th ch t o tri th c) Sự tồn c a m t “tri th c khoa h c” đòi hỏi m t soạn thảo Ta xem nh kết c a m t hoạt đ ng khoa h c Đây m t hoạt đ ng c a ng i, gắn liền v i l ch sử cá nhân nhà TH S.N ET nghiên c u Nhà nghiên c u đặt m t vấn đề Để giải nó, ơng ta phải khám phá kiến th c, mà m t số kiến th c đ ợc nhà nghiên c u nhận thấy đ m i, đ hay, thông báo cho c ng đồng khoa h c Để thông báo, nhà nghiên c u tạo cho kiến th c m t dạng khái quát đ ợc, theo quy tắc suy lý logic l u hành c ng đồng khoa h c Sự biến đổi kiến th c nh m t phần quan tr ng c a hoạt đ ng tốn h c «M t nhà nghiên c u, để thông báo cho nhà nghiên c u khác mà ơng ta nghĩ tìm thấy, phải biến đổi : - tr c hết nhà nghiên c u xóa th i kỳ khai th y c a nghiên c u : suy nghĩ vơ ích, sai lầm, đ ng vịng lắt léo, dài, chí d n đến ngõ cụt Nhà nghiên c u bỏ VI E TM A tất liên quan đến đ ng cá nhân hay tảng hệ t t ng c a khoa h c theo nhận th c c a Chúng tơi dùng từ phi cá nhân hóa để tập hợp gạt bỏ - nhà nghiên c u xóa l ch sử tr đ c d n đến nghiên c u (những mị m m, ng sai lầm), có cịn tách khỏi tốn đặc biệt mà lúc đầu muốn nghiên c u tìm m t bối cảnh tổng quát cho kết v n Chúng tơi g i việc làm phi hồn cảnh hóa.» (Arsac 1989) M t xích th hai : đ i t ng tri th c đ i t Để cho m t tri th c đ a dạy tr ng c n gi ng d y (th ch chuy n đ i) ng đ ợc, t c tr thành m t đối t ợng cần giảng dạy, điều cần thiết tri th c phải ch u m t số ràng bu c Sau danh sách mà Chevallard đ a (1985, theo Verret 1975) : - Tính đơn c a tri th c [nghĩa khả vạch ranh gi i tri th c b phận đ ợc trình bày m t diễn văn tự do] - tính phi cá nhân hóa c a tri th c [nghĩa tách r i tri th c khỏi cá nhân] - ch ơng trình hóa việc tiếp thu tri th c [nghĩa lập ch ơng trình cho việc dạy kiểm tra tri tr c] - tính cơng khai c a tri th c [nghĩa đ nh nghĩa t M t xích th ba : đ i t ng minh n i hàm ngoại diên] ng c n gi ng d y đ i t ng đ c gi ng d y (th ch d y h c) Chính b c mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic đ ợc tiếp tục hệ thống dạy h c H sai l m khái ni m ch ng ng i Theo Brousseau, có sai lầm c a h c sinh mang tính h i hợt, hết s c riêng phải ng u nhiên h c sinh phạm phải TH S.N ET biệt, có sai lầm khác khiến phải quan tâm, sai lầm không Sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ng u nhiên sinh ra, mà hậu c tỏ có ích, đem lại thành cơng, nh ng bây gi lại tỏ sai m t kiến th c tr đơn giản khơng cịn thích hợp Những sai lầm dạng thất th ng hay khơng dự đốn đ ợc hoạt đ ng c a h c sinh, sai lầm bao gi góp phần xây dựng nên nghĩa c a kiến th c thu nhận đ ợc Thêm vào đó, sai lầm ấy, m t ch thể, th ng liên hệ v i m t nguồn gốc chung: m t cách nhận th c, m t quan niệm đặc tr ng qnnếu khơng nói đắn, m t “kiến th c” cũ đem lại thành công m t lĩnh vực hoạt đ ng Ch ng ng i gì? VI E TM A Đặc tr ng c a ch ng ngại m t kiến thực, m t quan niệm ch khơng phải m t khó khăn hay m t thiếu kiến th c Kiến th c tạo câu trả l i phù hợp bối cảnh mà ta th ng hay gặp Nh ng v ợt khỏi bối cảnh sản sinh câu trả l i sai Để có câu trả l i cho m i bối cảnh cần phải có thay đổi đáng kể quan điểm Hơn kiến th c chống lại mâu thu n v i chống lại thiết lập m t kiến th c hồn thiện Việc có m t kiến th c khác hoàn thiện ch a đ để kiến th c sai biến mất, mà thiết phải xác đ nh đ ợc đ a việc loại bỏ vào tri th c m i Ngay ch thể ý th c đ ợc khơng xác c a kiến th c ch ng ngại này, tiếp tục xuất dai dẳng không lúc Lý thuy t tình hu ng Trong phần này, chúng tơi đề cập đến khái niệm cần tham chiếu hợp đồng didactic H p đ ng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến m t đối t ợng tri th c mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ c a giáo viên nh c a h c sinh đối v i đối t ợng Nó m t tập hợp quy tắc (th ng không đ ợc phát biểu t ng minh) phân chia gi i hạn trách nhiệm c a thành viên, h c sinh giáo viên, m t tri th c toán h c đ ợc giảng dạy Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích ng xử c a giáo viên h c sinh, tìm ý nghĩa c a hoạt đ ng mà h tiến hành, từ giải thích m t cách rõ ràng xác kiện quan sát đ ợc l p h c didactic, ng i ta tiến hành nh sau: TH S.N ET Theo Annie BESSOT Claude COMITI (2000), để thấy đ ợc hiệu ng c a hợp đồng Tạo m t biến loạn hệ thống giảng dạy cho đặt thành viên (giáo viên h c sinh) m t tình khác lạ, đ ợc g i tình phá vỡ hợp đồng cách: + Thay đổi điều kiện sử dụng tri th c; + Lợi dụng việc h c sinh ch a biết vận dụng m t số tri th c đó; + Tự đặt ngồi lĩnh vực tri th c xét sử dụng tình mà tri th c xét khơng giải đ ợc; h c sinh VI E TM A + Làm cho giáo viên đối mặt v i ng xử không phù hợp v i điều mà h mong đợi Phân tích thành phần c a hệ thống giảng dạy tồn tại, cách: + Nghiên c u câu trả l i c a h c sinh h c; + Phân tích đánh giá toán h c c a h c sinh việc sử dụng tri th c; + Phân tích tập đ ợc giải đ ợc u tiên sách giáo khoa Đặc biệt, ta nhận m t số yếu tố c a hợp đồng didactic đặc thù cho tri th c cách nghiên c u tiêu chí hợp th c hóa việc sử dụng tri th c, việc sử dụng tri th c khơng đ ợc quy đ nh b i văn hay đ nh nghĩa c a tri th c mà phụ thu c vào tình vận dụng tri th c, vào c đ nh đ ợc hình thành (trên s mục tiêu didactic) trình giảng dạy Những tiêu chí xác đ nh tính hợp th c c a tri th c tình khơng cịn phụ thu c vào thân tri th c mà phụ thu c vào ràng bu c c a hệ thống didactic Bất kỳ việc dạy m t đối t ợng tri th c m i tạo phá vỡ hợp đồng so v i đối t ợng tri th c cũ đòi hỏi th ơng l ợng lại hợp đồng m i: h c tập trình h c sinh làm quen v i giá tr c a phá vỡ thông qua th ơng l ợng v i giáo viên Theo Brousseau, th ơng l ợng tạo m t loại trị chơi có luật chơi ổn đ nh tạm th i, cho phép thành viên chính, h c sinh đ a đ nh m t chừng mực an tồn đó, cần thiết để bảo đảm cho h đ c lập đặc tr ng c a trình lĩnh h i Việc nghiên c u quy tắc c a hợp đồng didactic cần thiết để chu n b cho m t t ơng lai, giáo viên phải xem xét đến kh mà hợp đồng hành dạng thể thực tế c a Hợp đồng mà giáo viên tác đ ng tiến triển không liên tục, mà đ ợc tạo thành từ m t chuỗi biến cố nhỏ nối tiếp nhau, t ơng ng v i phá vỡ hợp đồng Phá vỡ hợp đồng nguyên tắc ch TH S.N ET đạo để có tiến triển mong đợi Trình bày l i câu h i nghiên c u Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày lại câu hỏi nghiên c u nh sau: Trong thể chế dạy h c toán bậc đại h c, khái niệm lũy thừa xuất theo tiến trình nào? Nó có vai trị đối v i kiến th c toán h c khác? Ý nghĩa c a tiến trình đó? Trong thể chế dạy h c phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa đ ợc đ a vào nh nào? Nó có vai trị việc xây dựng khái niệm hàm số mũ hàm số lôgarit? Các TCTH đ ợc xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có thay đổi TCTH đ ợc xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua th i kỳ? Có khác biệt t ơng đồng mối quan hệ thể chế v i m r ng khái niệm lũy thừa bậc đại h c bậc trung VI E TM A h c phổ thơng? Tìm hiểu thay đổi v trí c a lũy thừa hai b SGK, lí ý nghĩa c a thay đổi đó? Những sai lầm mà h c sinh th lũy thừa? ng mắc phải h c làm việc v i Những quy tắc hợp đồng đ ợc hình thành giáo viên h c sinh dạy h c khái niệm lũy thừa? Mối quan hệ thể chế v i khái niệm lũy thừa có ảnh h ng nh lên mối quan hệ cá nhân giáo viên h c sinh v i lũy thừa? Ph ng pháp nghiên c u Để đạt đ ợc mục đích nghiên c u đề ra, dùng ph ơng pháp nghiên c u nh sau: - Phân tích m t số giáo trình đại h c để tìm hiểu cách xây dựng, đ niệm lũy thừa ng m r ng khái cấp đ tri th c khoa h c, ý nghĩa c a tiến trình đó, nh vai trị c a - Phân tích thể chế dạy h c khái niệm lũy thừa bậc trung h c phổ thông, so sánh khác biệt thể chế đại h c thể chế trung h c phổ thông đ ng m r ng lũy thừa, qua tìm hiểu thay đổi vai trò c a lũy thừa hai lần cải cách SGK gần - Từ kết đạt đ ợc cho phép đề xuất câu hỏi m i giả thuyết nghiên c u mà tính thích đáng c a đ ợc kiểm ch ng thực nghiệm T ch c lu n vĕn Luận văn gồm phần sau: Phần mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý ch n đề tài, mục đích nghiên c u nh ph ơng pháp nghiên c u, khung lý thuyết tham chiếu Chương I: Khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c khoa h c Phân tích khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c khoa h c Cụ thể phân tích khái niệm lũy thừa m t số giáo trình đại h c để tìm hiểu tiến trình xuất nó, đặc tr ng c a tiến trình này? Vai trò c a lũy thừa đối v i khái niệm hàm mũ hàm lơgarit Phân tích khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c cần giảng dạy TH S.N ET Chương II: Khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c cần giảng dạy Cụ thể, phân tích ch ơng trình, SGK l p 6, hai b SGK Đại số giải tích 11 (CLHN năm 2000) SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế v i khái niệm lũy thừa So sánh vai trò c a lũy thừa hai b sách So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c khoa h c cấp đ tri th c cần giảng dạy Thơng qua việc phân tích ch ơng trình TCTH, chúng tơi rút QTHĐ liên quan đến việc dạy h c khái niệm lũy thừa, nh sai lầm mà h c sinh gặp phải h c lũy thừa Chương III: Thực nghiệm VI E TM A Chúng thực nghiệm h c sinh giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh h ng c a mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân c a giáo viên h c sinh, nh tìm hiểu mối quan hệ cá nhân c a h đối t ợng tri th c lũy thừa - Phần kết luận: Trình bày tóm tắt kết đạt đ ơc nghiên c u m i từ luận văn có - Tài liệu tham khảo ba ch ơng m h ng Ch ng 1: KHÁI NI M LU TH A C PĐ TRI TH C KHOA H C Trong ch ơng tìm hiểu tiến trình đ a vào khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c khoa h c thông qua việc phân tích giáo trình: Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – hàm thơng dụng, Guy Lefort, Viện đại h c TH S.N ET Sài Gòn, 1975.[A] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960.[B] Việc phân tích giúp cho chúng tơi có s để so sánh v i tiến trình đ a vào khái niệm lũy thừa SGK phổ thông, thấy đ ợc ý nghĩa c a tiến trình, nh vai trị c a lũy thừa đối v i việc xây dựng khái niệm khác có thay đổi nh 1.1 Khái ni m lǜy th a giáo trình [A] Khái niệm lũy thừa v i số mũ thực đ ợc đề cập ch ơng v i nhan đề “CÁC HÀM LÔGARIT, HÀM MǛ VÀ LǛY TH A”, th tự mục ch ơng nh sau: Hàm lôgarit II Hàm mũ VI E TM A I III Hàm lũy thừa Theo giáo trình khái niệm lũy thừa v i số mũ thực không đ ợc đ a vào m t cách t ng minh mà xuất ngầm n thơng qua đ nh nghĩa c a hàm mũ tính chất c a hàm mũ Khái niệm lũy thừa đ ợc đ a vào giáo trình [A] theo tiến trình sau: Hàm lôgarit Hàm mũ e Lũy thừa số e Hàm mũ số a Lũy thừa số a Hàm lũy thừa Căn bậc n 1.1.1 Giai đo n xu t hi n ng m ẩn c a khái ni m lǜy th a v i s mǜ th c c s e qua đ nh nghƿa tính ch t c a hàm mǜ e Do khái niệm lũy thừa v i số mũ thực đ ợc đ a vào ngầm n đ nh nghĩa hàm mũ e nên để hiểu rõ vấn đề ta xem xét đ nh nghĩa hàm mũ e: “Ta biết (mệnh đề 2) t số thực cho tr ớc, ph ơng trình: logx=t + Kết sau rút g n A= a : khơng cịn lũy thừa c a a v i số mũ hữu tỷ nên h c sinh a 1 khó phát giá tr a=-2 khơng thu c miền xác đ nh c a biểu th c Vì vậy, chiến l ợc S15 khơng có h i xuất + Nếu cho biểu th c cần tính ch a số h c sinh nhận biểu th c khơng tồn v i số c a lũy thừa âm cách dùng đ nh nghĩa lũy thừa bấm máy tính Do đó, chúng tơi lựa ch n biểu th c cần tính ch a biến tạo h i cho chiến l ợc S14 xảy ra, hạn chế khả xảy c a chiến l ợc S15 Bài TH S.N ET Dạng tập đ a “giải ph ơng trình” Đây m t dạng tốn vừa quen mà vừa lạ đối v i h c sinh Nó quen tốn “giải ph ơng trình” hoc sinh đ ợc biết qua hầu hết cấp h c Nó lạ kiểu tốn h c sinh gặp làm việc v i đối t ợng lũy thừa Để giải ph ơng trình này, địi hỏi h c sinh phải biết đặt điều kiện cho số c a lũy thừa c vào số mũ c a Đề đ a không đặt nặng thao tác giải ph ơng trình, mà yêu cầu h c sinh nhận đ nh đ ợc điều kiện xác đ nh c a lũy thừa p p Chúng lựa ch n ph ơng trình có ch a biểu th c dạng: (a m ) m (a m )m , nhằm tìm hiểu ng xử c a h c sinh áp dạng tính chất: lũy thừa c a lũy thừa có tính đến điều kiện xác đ nh c a câu a, dấu c a số phụ thu c vào biến x, nh ng câu b cho lũy VI E TM A lũy thừa hay không thừa mà số âm v i mục đích tạo h i cho em nh lại điều kiện c a số đ nh nghĩa lũy thừa v i số mũ hữu tỷ Bài Bài chúng tơi muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân h c sinh khái niệm lũy thừa có m r ng số mũ Nh phân tích ch ơng 2, hệ thống tập mà SGK đ a hầu nh cho sẵn điều kiện số không đề cập đến điều kiện c a số đề nh l i giải mong đợi Do đó, thay đổi điều kiện số có m r ng số mũ khơng đ ợc h c sinh tính đến Bài cho phép chúng tơi tìm hiểu vấn đề vừa nêu Liệu v i cách đ a yêu cầu m t cách trực tiếp nh đề h c sinh có tìm đ ợc điều kiện xác đ nh c a lũy thừa hay không? Câu trả l i c a h c sinh cho biết điều Biểu th c hàm số mà đ a ch a lũy thừa v i số mũ số tự nhiên nhằm tìm hiểu khả nhận biết c a h c sinh thay đổi điều kiện c a số số mũ c a thay đổi tập hợp số Bài Kiểu nhiệm vụ “Viết biểu th c d i dạng lũy thừa c a m t số v i số mũ hữu tỷ” chiếm m t v trí l n phần tập c a SGK Chúng lựa ch n bậc lẻ để biểu th c đ a tồn Khi đ a tập thu c kiểu nhiệm vụ này, SGK cho sẵn điều kiện c a biến nằm d dấu d ơng cho số d ơng Vì vậy, chúng tơi lựa ch n số nằm d (-3) Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh h i dấu số âm ng c a ng xử c a h c sinh 3.7.5 Phân tích chi ti t tốn Bài 1: Câu trả l i nhận đ ợc theo chiến l ợc sau: c “dùng quy t c tính đ nh nghƿa c a lǜy th a” 32.37 3.3 3.3.3.3.3.3.3 39 Vậy B 32.37 32 39 Bài 1: a) TH S.N ET S11: Chi n l 32.37 3.2.3.7 126 Mà 914=9.14=126 nên D 2.7 14 3 (3.3) 32.37 32.7 314 Vậy A 7.7.7.7.7.7 7.7.7 73 b) 7.7.7 Vậy D 6 3 :7 7 76 : 73 7 3 VI E TM A 76 : 73 13 Vậy A 76 : 73 73 79 Vậy C 76 : 73 73.6 718 Vậy B 76 : 73 76:3 72 Vậy E Bài 2: * 34 3.3.3.3 81 34 3.4 12 34 4.4.4 64 * 32.23 3.2.2.3 36 32.23 3.3.2.2.2 72 (3.2) 6.6 36 6 5 (3.2) * (23 )2 25 32 (23 )2 82 64 i (23 )2 2.3.2 12 63 * 23 63 6.3 2 33 3.3 * 1 28 28.2 .2 16 7 2 63 1 33 1 1 28 28 7 7 22 1 28 7 2.2 44 256 a 22.23 25 Từ đó, kết luận a sai 22.23 26 Từ đó, kết luận a 8 b Từ đó, kết luận b sai 2 6 Từ đó, kết luận b 45 22 Từ đó, kết luận c 2 c) VI E TM A 45 210 27 2 Từ đó, kết luận c sai 4.5 10 23 2.3 TH S.N ET Bài 3: 1 1 28 28 42 16 7 7 d ) 0.5 : 0.5 0.5 Từ kết luận d 0.5 S12: Chi n l : 0.5 0.5 Từ kết luận d sai c “dùng máy tính” Bài 1: Nhập vào MTBT tích: 32.37 76 : 73 Sau đó, dùng MTBT kiểm tra đáp án cho bên d i Từ đó, ch n đáp án giống kết Bài 2: Nhập lũy thừa cần tính vào MTBT ghi lại kết thu đ ợc Bài 3: Dùng MTBT tính lũy thừa vế trái c a đẳng th c so sánh kết v i vế phải để đ a nhận xét Bài Câu trả l i nhận đ ợc theo chiến l ợc nh sau S13: chi n l c “ thay giá tr tính” V i a= -2 ta có: (2) (2) (2) (2) (2) (2) A 2 1 (2)2 1 1 3.(2) (2) (2) (2).(2) (2) 3 3 3 3 (2) (2) 2 3 4 S14: Chi n l a a a a a (a 1) a a a a 1 a2 a2 1 3 3 a a3 a3 a a a 2 a 1 a 1 1 V i a=-2 A S15: Chi n l 2 c “Miền xác đ nh” TH S.N ET A c “ Rút g n tính” V i số a0x>-1 Vậy TXĐ: D 1; 1 Vậy TXĐ: D ( Bài 7: VI E TM A c Hàm số y x 3 xác đ nh x x 3 ; ) 3 Câu trả l i nhận đ ợc theo chiến l ợc sau: S16: Chiến l ợc “Bỏ qua điều kiện xác định lũy thừa” 3 3 3 (3) (3)15 (3)105 (3)105 1 43 S17: Chiến l ợc “Tính đến điều kiện xác định lũy thừa” Vì -340%) Điều hồn tồn v i dự đốn ban đầu c a Bài 2: a Yêu cầu tính K t qu an a n am bn (a.b)mn T ns 32.23 (22 )3 1 28 7 2 81 3.4=12 55.17% 29.31% 72 (3.2).(2.3)=36 (3.2)5=65 39.65% 25.86% 64 (2.2)3=4.3=12 58.62% 8.62% 16 36.20% (21) 12.06% 1 28 7 28.2 14 2 31.03% 63 33 32.76% 63 6.3 2 33 3.3 17.24% am bn (a.b)m.n 1 28 7 2 n amn am a bn b m n Trả l i khác Không trả l i 4.4.4=64 15.51% 32.23 55 13.79% 8.62% 25=32 (23)2 =26=12 25.86% 5.17% 1 28 7 28.2 14 1 28 7 2 2 1 28 1 28 8.62% 12.06% m (3.2)2.3=66 VI E TM A 34 TH S.N ET B ng 3.3: Thống kê l i giải h c sinh l p 12.06% 63 33 33 46.55% 20 63 20 33 3.45% Thông qua tốn 2, ta tìm thấy đ ợc nhiều sai lầm từ làm c a h c sinh Bài 3: Trong số 58 h c sinh tham gia làm thực nghiệm: + Có 10/58 (chiếm 17.24%) h c sinh không nhận câu a sai + Có 24/58 (chiếm 41.38%) h c sinh khơng nhận câu b sai + Có 53/58 (chiếm 91.38%) hoc sinh khơng nhận câu c sai + Có 47/58 (chiếm 81.03%) h c sinh nhận biết đ ợc d m t đáp án Nh n xét: Từ kết thống kê ba toán 1, 2, 3, ta thấy đa số h c sinh gặp sai lầm vận hành TH S.N ET quy tắc tính lũy thừa v ợt phạm vi hợp th c c a có “pha tr n” cơng th c q trình tính tốn Kết thực nghiệm cho thấy h c sinh l p gặp nhiều khó khăn làm việc đối t ợng lũy thừa Qua làm c a h c sinh, ta thấy có đến h c sinh cho (0.5)5: (0.5)=(0.5)5 0.5=(0.5)0 Tuy nhiên, lấy tập thực nghiệm h c sinh l p 12 sai lầm mà h c sinh l p gặp phải xuất h c sinh l p 12 Theo tơi, h c sinh m i hai có m t l ợng 12 VI E TM A kiến th c toán h c t ơng đối nhiều, nên toán tỏ đơn giản so v i trình đ h c sinh Số liệu thu nhận đ ợc kiểm ch ng tính hợp th c c a giả thuyết H2 Bài 4: B ng 3.4: Bảng thống kê l i giải c a h c sinh Chiến l ợc S13(Thay giá tr tính) 30 Bỏ Tổng S14(Rút g n tính) S15(Miền xác đ nh) trống số 70 15 14 129 Qua kết thực nghiệm, nhận thấy, đa số h c sinh sử dụng chiến l ợc S14 (Có 70/129 chiếm 54,29%) Mặc dù giá tr c a biến a đ ợc cho m t số nguyên nh ng số h c sinh ch n lựa chiến l ợc S13 v n khơng cao (có 30/129 chiếm 23,25%) Trong đó, có 15/129 (chiếm 11,6%) nhận biểu th c A khơng tồn a=-2 Có 3/15 em sau thay giá tr a vào nhận sai, h c sinh dùng MTBT để phát điều Có 14/129 (chiếm 10,85%) h c sinh khơng biết cách giải tốn Từ thống kê, thấy rằng, giải kiểu nhiệm vụ tính giá tr c a biểu th c, h c sinh hầu nh quan tam đến điều kiện xác đ nh c a biểu th c đó, mà biết tìm m t cách tối u để giải mà Điều phù hợp v i nhận đ nh ban đầu c a chúng tôi, lý SGK giáo viên cho h c sinh giải toán thu c kiểu nhiệm vụ mà giá tr c a biến thỏa mãn điều kiện xác đ nh c a biểu th c Kết thực nghiệm kiểm ch ng đ ợc tính thỏa đáng c a qui tắc hợp đồng H1 đối v i kiểu nhiệm vụ T2 Bài 5: B ng 3.5: Thống kê l i giải c a h c sinh Chiến l ợc Câu Bỏ Tổng trống số S17 Bỏ qua ĐKXĐ lũy thừa Tính đến ĐKXĐ lũy thừa a 95 25 129 b 95 25 129 Từ kết thống kê ta thấy: TH S.N ET S16 + Có 95/129 h c sinh (chiếm 73,64%) khơng tìm điều kiện xác đ nh c a ph ơng trình Tất h c sinh có chung l i giải là: x 4 x x x x x x 2 x T c h c sinh suy nghĩ : (a m )m (a m ) m a p v i m i giá tr c a a p VI E TM A p + Chỉ có 9/129 h c sinh (chiếm 6,97%) có tìm điều kiện c a số lũy thừa Tuy nhiên h c sinh giải câu b, câu a em không bỏ giá tr tuyệt đối cho biểu th c x2-4 a m lẻ a m chẳn T c h c sinh khơng vận dụng đ ợc m t tính chất c a th c (a m ) m m a m + Có 25 h c sinh không đ a đ ợc l i giải cho tốn Có thể dạng tốn em gặp Bài 6: B ng 3.6: Thống kê l i giải c a h c sinh Chiến l ợc Câu S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa thừa Bỏ Tổng trống số a 129 129 b 29 100 129 c 25 104 129 Theo kết thống kê: + Có 129/129 (chiếm 100%) h c sinh giải câu a có tính đến điều kiện xác đ nh c a lũy thừa Tuy nhiên, có đến 20 h c sinh chuyển hàm số cho dạng y x 5 4 x m i đặt điều kiện x Điều cho thấy, v n có m t số h c sinh khơng nhận điều kiện số c a lũy thừa v i số mũ nguyên âm khác + Có 29/129 (chiếm 22,48%) h c sinh biến đổi hàm số cho câu b dạng y x 1 x Sau đó, đặt điều kiện cho biểu th c x 29 h c sinh thu c l p nâng cao tr ng Có thể SGK nâng cao khơng đ a dạng tốn chiếm u TH S.N ET này, SGK lại có, nên h c sinh khối làm tập dạng có phần + Có 25/129 (chiếm 19,37%) h c sinh biến đổi hàm số cho y x 3 1 2x câu c dạng , m i đặt điều kiện cho x Đa số h c sinh giải đ ợc tập 6, điều cho thấy, đặt h c sinh tr c nhiệm vụ phải tìm điều kiện xác đ nh c a lũy thừa h c sinh biết đ ợc thay đổi điều kiện số c a lũy thừa số mũ thay đổi Nh ng ta không u cầu trực tiếp hầu nh em khơng quan tâm, trách nhiệm c a giáo viên Bài 7: VI E TM A Kết m t lần khẳng đ nh tính thích đáng c a giả thuyết H1 B ng 3.7: Thống kê l i giải c a h c sinh Chiến l ợc S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa thừa 105 Bỏ Tổng số trống 18 129 Kết thống kê toán phản ánh rõ giả thuyết H1 c a chúng tơi Có đến 105/129 (chiếm 81,39%) h c sinh chuyển biểu th c cho dạng lũy thừa c a -3 v i số mũ hữu tỷ Hầu nh h c sinh không quan tâm đến điều kiện xác đ nh c a lũy thừa v i số mũ hữu tỷ Chỉ có (chiếm 4,65%) h c sinh không đ a lũy thừa v i số mũ hữu tỷ, mà v n để biểu th c cho d i dạng căn: 3 3 3 105 3 , nhiên khơng giải thích thêm Có 18/129 (chiếm 13,95%) h c sinh cách giải kiểu nhiệm vụ K t lu n ch ng Thực nghiệm đ ợc tiến hành hai đối t ợng giáo viên h c sinh THPT cho phép chúng tơi kiểm ch ng tính thỏa đáng c a giả thuyết H1 Kết c a phân tích phiếu trả l i h c sinh từ toán 1, 2, cho phép hợp th c giả VI E TM A TH S.N ET thuyết H2 K T LU N Q trình phân tích đ cấp đ tri th c khoa h c cấp đ tri th c cần ng m r ng lũy thừa giảng dạy cho phép trả l i câu hỏi đặt đầu luận văn Kết thực nghiệm ch ơng khẳng đ nh tính thích đáng c a giả thuyết đ ợc đặt Các kết c a việc nghiên c u đ ợc tóm tắt nh sau: cấp đ tri th c khoa h c: có hai tiến trình m r ng khái niệm lũy thừa Tiến trình 1: Hàm mũ e Lũy thừa số e Hàm mũ a Lũy thừa số a Tiến trình 2: Hàm mũ e Lũy thừa số e Lũy thừa số a Hàm mũ a TH S.N ET Trong giáo trình A a x exp( xLoga) giáo trình B: a x e xLoga Khái niệm lũy thừa đ ợc xây dựng số e tr tiến trình để m r ng khái niệm lũy thừa ng c có lũy thừa số a>0 Dù theo i ta dùng đến kiến th c c a hàm mũ Trong giáo trình đại h c, lũy thừa khơng có vai trị việc xây dựng đ nh nghĩa hàm mũ, hàm lôgarit lôgarit Căn bậc n hàm số ng ợc c a hàm lũy thừa, đ ợc đ a sau có khái niệm lũy thừa Vì vậy, khơng có vai trị việc xây dựng khái niệm lũy thừa cấp đ tri th c cần giảng dạy, qua hai lần cải cách v n có m t đ khái niệm lũy thừa là: Lũy thừa v i số mũ tự nhiên Lũy thừa v i số mũ thực VI E TM A v i số mũ hữu tỷ Lũy thừa v i số mũ nguyên Kiến th c dùng để m r ng gi i hạn bậc n Tiến trình m r ng lũy thừa ng m r ng Lũy thừa phổ thơng có phần giống v i giáo trình B nh ng s dùng để m r ng hoàn toàn khác Trong SGK l p 12 lũy thừa số e m t tr ng hợp đặc biệt c a lũy thừa số a, khơng có vai trị việc xây dựng khái niệm lũy thừa số a Hàm mũ khơng có vai trị việc m r ng khái niệm lũy thừa bậc THPT ng ợc lại lũy thừa s trực tiếp để đ nh nghĩa hàm số mũ hàm số lơgarit Có khác biệt l n giáo trình đại h c SGK phổ thơng bậc đại h c m r ng khái niệm lũy thừa đ ợc đ a vào sau h c đạo hàm nguyên hàm, khái niệm lũy thừa đ ợc đ a vào tr Mặc dù bậc THPT m r ng c có nguyên hàm bậc THPT lũy thừa v i số mũ thực có lúc đ ợc đ a vào tr c h c đạo hàm sau h c đạo hàm, nhiên tiến trình m r ng lũy thừa hồn tồn khơng thay đổi, tổ ch c tốn h c có m t vài thay đổi nhỏ Việc thay đổi ch ơng trình, dạy h c đạo hàm tr nhiều ảnh h c dạy lũy thừa SGK năm 2005 ng đến vai trị c a lũy thừa Khi h c đạo hàm ng i ta dùng để tìm tính chất c a hàm mũ hàm lũy thừa, ch khơng dùng tính chất c a lũy thừa nh SGK CLHN năm 2000 Mặc dù vậy, khái niệm đạo hàm tác đ ng việc khảo sát hàm mũ hàm logarit, đ nh nghĩa hàm mũ v n phải dùng đến kiến th c lũy thừa Quá trình phân tích SGK cho phép chúng tơi rút hai giả thuyết H1 H2 Kết thực nghiệm c a ch ơng kiểm ch ng tính hợp th c c a hai giả thuyết nêu VI E TM A TH S.N ET TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t Lê Th Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố didactic toán, Đại h c Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Cục nhà giáo cán b quản lí Giáo dục (2008) H ớng dẫn thực ch ơng trình sách giáo khoa lớp 12 THPT, Giáo dục Văn Nh C ơng, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, Tài liệu h ớng dẫn giảng dạy toán 11, Giáo dục TH S.N ET Phan Đ c Chính, Tơn Thân, Tốn 6, tập 1, Giáo dục Phan Đ c Chính, Tơn Thân, Toán 7, tập 1, Giáo dục Phan Đ c Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 6, tập 1, Giáo dục Phan Đ c Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 7, tập 1, Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Ban KHTN, Giáo dục Guy Lefort (1975), Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Viện đại h c sài gịn 10 Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Đại số giải tích 11, Giáo dục 11 Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Bài tập đại số giải tích 11, Giáo dục VI E TM A 12 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Giải Tích 12, Giáo dục 13 Phạm Trần Hoàng Hùng, Khái niệm hàm số lôgarit 14 Nguyễn Hữu Lợi, Khái niệm hàm số tr tr ng trung h c phổ thông, 2008 ng trung h c phổ thơng, 2008 15 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục 16 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), SGV Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục 17 Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Giáo dục Ti ng Pháp 18 André Delachet (1960), Les Logarithmes et leurs applications, Presses Universitaire de France