DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC : HÌNH HỌC PHẲNG
Q B A M O P D C Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh thành phố nhằm chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2010 – 2011 diễn sôi vào ngày cuối năm trước để lại nhiều ấn tượng sâu sắc Bên cạnh bất đẳng thức, hệ phương trình hay tốn số học, tổ hợp, ta khơng thể qn dạng tốn vơ quen thuộc, vơ thú vị xuất thường trực cả, tốn hình học phẳng Nhìn xuyên suốt qua toán ấy, ta phát xuất đường tròn, tam giác, tứ giác; với kết hợp đặc biệt, chúng tạo nhiều vấn đề thật đẹp thật hấp dẫn Có nhiều phát biểu thật đơn giản ẩn chứa đằng sau quan hệ khó giải nhờ định lý, kiến thức mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi có phát biểu thật dài, hình vẽ phức tạp lại giải kết hợp ngắn gọn khéo léo điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng Nhằm tạo cho bạn u Tốn có tài liệu tham khảo đầy đủ hồn chỉnh nội dung này, chúng tơi dành thời gian để tập hợp toán, trình bày lời giải thật chi tiết xếp chúng cách tương đối theo mức độ dễ đến khó lượng kiến thức cần dùng hướng tiếp cận Với 50 toán đa dạng hình thức phong phú nội dung, mong “Tuyển chọn tốn hình học phẳng đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011” giúp cho bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhiều nét đẹp quyến rũ mơn này! Xin chân thành cảm ơn tác giả đề bài, thành viên diễn đàn http://forum.mathscope.org gửi đề toán trình bày lời giải lên diễn đàn Tài liệu với dung lượng lớn cịn nhiều thiếu sót, mong bạn đọc góp thêm ý kiến để tiếp tục hoàn thiện tài liệu Các ý kiến đóng góp xin gửi vào hai hịm thư lephuclu@gmail.com phan.duc.minh.93@gmail.com Cảm ơn bạn Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ Các kí hiệu từ viết tắt sử dụng tài liệu S ABC , S ABCD a, b, c p R, r BC PA/ O d A, l Diện tích tam giác ABC , tứ giác ABCD Độ dài cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Nửa chu vi tam giác Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Đường trịn đường kính BC Phương tích điểm A đường tròn O , hb , hc Độ dài đường cao tương ứng với cạnh a, b, c đpcm Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l Điều phải chứng minh Phần một: Đề Bài Cho hình vng ABCD Trên đoạn BD lấy M khơng trùng với B, D Gọi E , F hình chiếu vng góc M lên cạnh AB, AD Chứng minh rằng: CM EF CM , BF , DE đồng quy (Đề thi HSG Quảng Bình) Bài Cho tam giác ABC có BC AC Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác GBC, GAC , G trọng tâm tam giác ABC Hãy so sánh R1 , R2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Bài Cho M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng AM , BM , CM cắt cạnh BC , CA, AB A ', B ', C ' theo thứ tự Đặt S1 , S , S , S , S , S diện tích tam giác MA ' B, MA ' C , S S S MB ' C , MB ' A, MC ' A, MC ' B Chứng minh M trọng tâm tam giác S2 S S6 ABC (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp O Gọi P, Q, M giao điểm AB CD , AD BC , AC BD Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMP, OMQ, OPQ (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài Bài Cho tam giác ABC , điểm M thay đổi bên tam giác DEF tam giác pedal M tam giác ABC Tìm vị trí M để diện tích tam giác DEF lớn (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R BH R đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Gọi D, E hình chiếu vng góc H lên cạnh AB, BC Chứng minh rằng: BO DE D, O, E thẳng hàng (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) Bài Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp, A1 , B1 , C1 , D1 tâm nội tiếp tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh A1B1C1D1 hình chữ nhật (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Bài MBC MCA Chứng minh Giả sử M điểm nằm tam giác ABC thỏa mãn MAB cot cot A cot B cot C (Đề thi HSG Quảng Ninh – bảng A) Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AB BC CD a Chứng minh S ABCD 3a (Đề thi HSG Bình Định) Bài 10 Cho tam giác ABC M , N hai điểm di động BC cho MN BC Đường thẳng d1 qua M vng góc với AC , đường thẳng d qua N vuông góc với AB Gọi K giao điểm d1 d Chứng minh trung điểm I AK nằm đường thẳng cố định (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 2) Bài 11 Cho tam giác ABC Gọi M điểm chuyển động cạnh AB , N điểm chuyển động cạnh AC Giả sử BM CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định 1 Giả sử không đổi Chứng minh MN qua điểm cố định AM AN (Đề thi HSG Long An, vòng 2) Bài 12 Cho đường trịn tâm O , đường kính BC XY dây cung vng góc với BC Lấy P, M nằm đường thẳng XY CY tuơng ứng, cho CY || PB CX || MP Gọi K giao điểm CX BP Chứng minh MK BP (Đề chọn đội tuyển THPT chun Lê Q Đơn, Bình Định) Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp I Điểm M tùy ý I Gọi d a đường thẳng Bài 13 minh d a , db , d c đồng quy điểm N Tìm tập hợp điểm N M chuyển động I (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình) qua trung điểm MA vng góc với BC Các đường thẳng db , dc xác định tương tự Chứng Bài 14 Cho tam giác ABC , D trung điểm cạnh BC E , Z hình chiếu D AB, AC Gọi T giao điểm tiếp tuyến E , Z với đường trịn đường kính AD Chứng minh TB TC (Đề thi chọn đội tuyển Nam Định) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có A cố định B, C thay đổi O Bài 15 cho BC song song với đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến O B C cắt K Gọi M trung điểm BC , N giao điểm AM với O Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A với A, B cố định, điểm C di chuyển phía đường thẳng AB Gọi tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AC , BC M , N Chứng minh MN qua điểm cố định điểm C di động (Đề thi HSG THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Bài 17 cắt cạnh BC F Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Đường phân giác góc BAD DC K Từ đỉnh D kẻ DP AK P AK Đặt DP m, ADC 180 2 Tính S ABCD theo m , biết S KFC S AFCD 15 (Đề thi HSG Vĩnh Long, vòng 2) Bài 18 Cho tam giác ABC cân A Đường phân giác góc B cắt cạnh AC D Biết BC BD AD Hãy tính góc BAC (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Cho tam giác ABC có góc A tù Dựng đường cao AD, BE , CF ( D, E , F BC , CA, AB tương ứng) E ', F ' hình chiếu E , F lên BC Giả sử E ' F ' AD BC Hãy tính góc BAC Bài 19 (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 20 Gọi G, I trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự Bc , C b Các điểm C a , Ac , Ab , Ba xác định tương tự Các điểm I a , I b , I c theo thứ tự tâm nội tiếp tam giác GBa C a , GC b Ab , GAc Bc Chứng minh AI a , BI b , CI c đồng quy điểm GI (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Cho tam giác ABC nội tiếp O , đường thẳng AO cắt O lần thứ hai D H , K hình Bài 21 chiếu B, C lên AD ; hai đường thẳng BK , CH cắt O E , F Chứng minh AD, BC , EF đồng quy (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) Cho tam giác ABC nội tiếp O , nội tiếp I Gọi M tiếp điểm BC I , D giao điểm Bài 22 thứ hai AM O Chứng minh OI AM tứ giác ABDC điều hịa (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp M , N trung điểm AB, CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt đường thẳng CD P ( P N ) ; đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AB Q (Q M ) O giao điểm hai đường chéo AC , BD ; E giao điểm đường thẳng AD, BC Chứng minh P, Q, O, E thẳng hàng (Đề thi HSG Vĩnh Phúc) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O AC cắt BD E , AD cắt BC F Trung điểm AB, CD G, H Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 24 Bài 25 Cho H trực tâm tam giác ABC không cân góc A nhọn Hình chiếu vng góc H lên cạnh AB, AC theo thứ tự E , F Gọi D trung điểm BC ; P, Q giao điểm hai đường trịn đường kính AD, BC Chứng minh H , P, Q thẳng hàng đường thẳng BC , EF , PQ đồng quy (Đề thi HSG Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 26 Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H M , N trung điểm AH , BC Các đường phân giác ABH , ACH cắt P Chứng minh rằng: góc 90 BPC M , N , P thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển tốn lớp 11, THPT chun Lương Văn Tụy, Ninh Bình) Bài 27 Cho hai điểm A, B cố định O; R thay đổi cho d A, b d B, A , a, b theo thứ tự đường đối cực A, B O Xác định vị trí O để SOAB lớn (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 2) Gọi B điểm đường tròn O1 A điểm khác B nằm tiếp tuyến B O1 Gọi C Bài 28 điểm không nằm O1 cho đường thẳng AC cắt O1 hai điểm phân biệt Đường tròn O2 tiếp xúc với AC C tiếp xúc với O1 D nằm khác phía với B so với đường thẳng AC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đề thi chọn đội tuyển Thái Bình) Bài 29 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp với AI , BI , CI cắt BC , CA, AB M , N , P đường thẳng vng góc với OI Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp O đường tròn Gọi N trung điểm AC , M động O O ngoại tiếp I Các đường thẳng qua I vng góc theo thứ tự Chứng minh M , N , P nằm cố định, AB cố định khác đường kính, C di động hình chiếu N BC Tìm quỹ tích M C di (Đề thi khảo sát đội tuyển THPT chuyên Thái Bình) Bài 30 Tam giác ABC nhọn, D nằm tam giác thỏa mãn ADB 60 ACB DA BC DB AC Chứng minh DC AB AD BC (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Cho tam giác BCD nội tiếp đường tròn O Dựng hình bình hành ABCD Gọi d đường phân giác , d cắt đường thẳng CD F cắt đường thẳng BC G Gọi đường góc BAD Bài 31 thẳng qua C vng góc với d ; cắt O điểm thứ hai E Gọi I , J , K hình chiếu E lên đường thẳng CB, CD, BD Chứng minh rằng: I , J , K thẳng hàng E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CFG (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng, vòng 2) Bài 32 Cho tam giác ABC nhọn, điểm M tam giác AM cắt BC N X , Y , Z , T hình chiếu N AB, MB, AC , MC Chứng minh AM BC X , Y , Z , T đồng viên X , Y , Z , T thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Đường tròn O1 tiếp xúc với cạnh AB, AC P, Q Bài 33 tiếp xúc với O S Gọi giao điểm AS PQ D CDQ Chứng minh BDP (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Trên đường tròn O lấy hai điểm A, M khác đường kính Điểm I đoạn OA I O, A Hai Bài 34 đường tròn I , IA IM cắt B, C Các tia MB, MI , MC cắt O D, E , F theo thứ tự Đường thẳng DF cắt ME , MA, AE T , S , Q Chứng minh rằng: SD SF ST SQ B, C , Q thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Bài 35 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng vng góc với IA A cắt BI , CI K , M Gọi B ', C ' giao điểm hai cặp đường thẳng BI , AC , CI , AB Đường thẳng B ' C ' cắt ABC N , E Chứng minh bốn điểm M , N , E, K thuộc đường tròn (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Bài 36 Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt H Trên tia FB, EC theo thứ tự lấy điểm P, Q cho FP FC , EQ EB BQ cắt CP K I , J theo thứ tự trung điểm BQ, CP IJ cắt BC , PQ theo thứ tự M , N Chứng minh rằng: HK IJ JAN IAM (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Cho tam giác ABC nội tiếp O , trực tâm H D chân đường cao kẻ từ đỉnh B ABC , điểm Bài 37 P O Q, R, S điểm đối xứng với P qua trung điểm cạnh AB, AC , BC theo thứ tự AQ cắt HR F Chứng minh HS DF (Đề thi chọn đội tuyển Đà Nẵng) Cho nửa đường trịn đường kính AB R Gọi C điểm tùy ý nửa đường trịn, D hình chiếu vng góc C lên AB Tia phân giác góc ACD cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai E , cắt tia phân giác góc ABC H Tia phân giác góc CAB cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai F , cắt CE I Tính diện tích tam giác FID Trên đoạn BH lấy điểm K cho HK HD Gọi J giao điểm AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I , J , K đến AB lớn (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 38 Cho tam giác ABC Trên AB, BC lấy M , N cho AM CN Hai đường tròn BCM ABC BAN cắt B, D Chứng minh BD phân giác Bài 39 (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 40 Cho tam giác ABC có phân giác AD Gọi E , F hình chiếu D lên AB, AC Gọi H giao điểm BF , CE Chứng minh AH BC (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 1) Bài 41 Cho tam giác nhọn ABC , M trung điểm BC D, E hình chiếu vng góc M lên AB, AC Đường tròn O1 qua A, B, E Đường tròn O2 qua A, C , D Chứng minh O1O2 BC (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Bài 42 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB theo thứ tự D , E , F Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng AD đường tròn O ; N , P theo thứ tự giao điểm thứ hai MB, MC với O Chứng minh ba đường thẳng MD, NE , PF đồng quy (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Cho tam giác ABC nội tiếp O Tiếp tuyến O B, C cắt S Trung trực AB, AC cắt phân giác góc BAC M , N BM , CN cắt P Chứng minh SA qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 43 Cho hai đường tròn O1 , O2 cắt A, B I trung điểm O1O2 Gọi C điểm đối xứng Bài 44 với B qua I Một đường tròn O qua A, C cắt O1 , O2 M , N Chứng minh CM CN (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) 10