Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176

Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176

Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 1.1 Hệ phương trình bậc Phương trình bậc hai ẩn Khái niệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức có dạng ax+by=c, a, b, c số biết (a≠0 b≠0) Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệm phương trình ax+by=c biểu diễn điểm Nghiệm (xo;yo) biểu diễn điểm có tọa độ (xo;yo) Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ax+by=c ln ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax+by=c, kí hiệu (d) a c Nếu a≠0 b≠0 (d) đồ thị hàm số bậc y = − x + b b Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm hai nghiệm của phương trình x+2y=1 Giải: Lần lượt cho y=0 y=1 ta x=1 x=−1 nên (1;0) (−1;1) hai nghiệm phương trình x+2y=1 Ví dụ 2: Cặp số (1;1) có phải nghiệm phương trình x+y=1 khơng? Giải: Ta có 1+1=2≠1 nên (1;1) khơng nghiệm phương trình x+y=1 Ví dụ 3: Cho phương trình (m−2)x+(m−1)y=1 (m tham số) Chứng minh đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình ln qua điểm cố định với giá trị m Giải: Gọi (d) đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình (m−2)x+(m−1)y=1 (d): (m−2)x+(m−1)y=1 Giả sử (d) qua M(xo;yo) với m Khi (m−2)xo+(m−1)yo=1 với m Suy (xo+yo)m−(2xo+yo+1)=0 với m  x o = −1  x o + yo =   2x o + yo + = y =1  ⇔ ⇔ o Vậy (d) qua điểm cố định M(−1;1) Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a) Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Cho hai phương trình bậc hai ẩn ax+by=c a′x+b′y=c′ ax+by=c Khi ta có hệ phương trình trình bậc hai ẩn  a'x+b'y=c' (I)  y = ax + b dạng biến đổi   y = cx + d Nếu hai phương trình cho có nghiệm chung (xo;yo) ta nói hệ (I) có nghiệm (xo;yo) Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm b) Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình trình bậc hai ẩn Cho (d):ax+by=c (d′):a′x+b′y=c′ Khi tập nghiệm hệ (I) biểu diễn tập hợp điểm chung (d) (d′) Nếu (d) cắt (d′) hệ (I) có nghiệm Nếu (d) song song với (d′) hệ (I) vơ nghiệm Nếu (d) trùng với (d′) hệ (I) có vơ số nghiệm Với hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng {ax+by=c(1)a′x+b′y=c′(2): – Hệ có nghiệm aa′ ≠ bb′ – Hệ vô nghiệm aa′ = bb′ ≠ cc′ – Hệ có vơ số nghiệm aa′ = bb′ = cc′ c) Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình tương đương chúng có tập nghiệm Nhắc lại: phép biến đổi tương đương: Quy tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạn tử Mở rộng: Qui tắc cộng : Trong phương trình, ta cộng (hay trừ) hai vế với số Lưu ý: Qui tắc chuyển vế trường hợp đặc biệt qui tắc cộng Quy tắc nhân với số: Trong phương trình, ta nhân (hoặc chia) hai vế với số khác * Ví dụ minh họa  y = 2x +  Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  y = x + Tìm số nghiệm hệ cho Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 Giải: Vì hai đường thẳng y=2x+1 y=x+2 cắt (2≠1) nên hệ cho có nghiệm hay số nghiệm hệ  x − 2y =  Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2x − 4y = Hỏi hệ phương trình cho có nghiệm? Giải: Vì hai đường thẳng x−2y=1 2x−4y=2 trùng nên hệ cho có vơ số nghiệm x + y =  Ví dụ 3: Cho hệ phương trình  x − y = Hỏi cặp số (1;0) có phải nghiệm hệ khơng? Giải: Do (1;0) nghiệm hai phương trình hệ nên nghiệm hệ  x − 2y = (I)  Ví dụ 4: Tìm giá trị a, b để hai hệ phương trình sau tương đương  x + y = ax − y = (II)  2x + by = , biết hệ (I) có nghiệm (2;1) Giải: Hệ (I) (II) tương đương nên nghiệm hệ (I) nghiệm hệ (II) Do ta x=2 y=1 vào hệ (II) a = a.2 − = a.2 = ax − y = (II)     ⇔ 2.2 + b.1 = ⇔ b = − ⇔ b = Khi 2x + by = Giải phương trình phương pháp + Biểu diễn ẩn từ hai phương trình qua ẩn + Thế biểu thức vừa tìm ẩn vào phương trình cịn lại (tức phương trình ẩn) + Giải phương trình ẩn suy nghiệm hệ Giải phương trình phương pháp cộng đại số + Nhân vế phương trình với số thích hợp cho hệ số ẩn phương trình đối + Áp dụng qui tắc cộng đại số để hệ có phương trình có hệ số ẩn (tức phương trình ẩn) + Giải phương trình ẩn suy nghiệm hệ Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 Sự vận dụng hợp lý Khi ta dùng phương pháp thế, dùng phương pháp cộng Tùy theo hệ phương trình cụ thể mà ta nên chọn phương pháp nào? Thông thường có sẳn biến có hệ số dễ dàng đưa ta dùng phương pháp Còn trường hợp mà ta dễ dàng đưa hệ số biến phương trình hệ số giống (hay đối nhau) dùng PP cộng đại số Vận dụng giải hệ phương trình bậc Giải hệ phương trình phương pháp Giải hệ PT phương pháp cộng đại số 3x − y = ⇔  2 x + y = 3x − y = ⇔  2 x + y = 3x − 2(5 − x) =   y = − 2x 3x − 10 + x = 7 x = 14 ⇔   y = − 2x  y = − 2x x = ⇔  y = − 2.2 7 x = 14  2 x + y = x = x = ⇔  2.2 + y = y = ⇔  ⇔  3x − y = ⇔  4 x + y = 10 ⇔  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x =  y = (x;y) = (2;1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x − y =  3 x + y = Giải  2x-3y=7 (1) 6x-9y=21 (3) (lay (1) x 3) 13y= -13 (6) (lay (4)-(3))  y=-1 ⇔ ⇔ ⇔  6x+4y=8 (4) ) 3x+2y=4 (2)  6x+4y=8 (4) (lay (2) x 2)   x=2 Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x − y = 1)  6 x − y = 2 x + y = 2)  4 x + y = 10  x − (1 + ) y = 5)  (1 − ) x + y = 3x − y + = 3)  5 x + y = 14 0,2 x + 0,1y = 0,3 6)  3x + y = 2 x + y = 4)  3x − y = 14 x  = 7)  y  x + y − 10 =  Bài 2: Giải hệ phương trình sau: Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 (3 x + 2)(2 y − 3) = xy 1)  (4 x + 5)( y − 5) = xy 2( x + y ) + 3( x − y ) = 2)  ( x + y ) + 2( x − y ) = (2 x − 3)(2 y + 4) = x( y − 3) + 54 3)  ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 y + 27  y − 5x +5= − 2x  4)   x + + y = y − 5x  1  ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 5)   xy − ( x − 2)( y − 2) = 32  2 ( x + 20)( y − 1) = xy 6)  ( x − 10)( y + 1) = xy 2 ( x + y ) = ( x − y )  7)  20 20 x + y + x − y =  Giải hệ phương trình cách đặt ẩn số phụ Ví dụ Giải hệ phương trình 3 x − + y = 13   x − − y = t= x − u = y Khi hệ pt cho viết lại 3t + 2u = 13 3t + 2u = 13 ⇔  ⇔   2t − u =  4t − 2u =  7t = 21 ⇔  2t − u = t=3   u = 2t − = Thế giá trị t u ta  t = x − x − = t x = 32 + = ⇔ ⇔    2  y=2 =4  y=u  u = y 2(x + y) + 3(x − y) = Ví dụ Giải hệ phương trình sau  (x + y) + 2(x − y) = Cách Đặt x+y=u, x-y=v, ta có hệ phương trình 2u + 3v = 2u + 3v = v = ⇔  ⇔  ⇔   u + 2v = 2u + 4v = 10 2u + 4v = 10 v =   10 − 4.6 = −7 u =  Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM x + y = −7 2x = −1 suy  ⇔  ⇔ x − y = x − y = ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 x = −1/  y = −13 / Cách 2(x + y) + 3(x − y) = 2x + 2y + 3x − 3y = 5x − y = ⇔ ⇔   (x + y) + 2(x − y) = x + y + 2x − 2y = 3x − y = 2x = −1 ⇔  3x − y = x = −1/  y = −13 / Có tập dùng ẩn số phụ làm cho việc tính tốn đơn giản có dùng ẩn số phụ khơng cần thiết, chí làm cho vấn đề rối rắm Bài tập: Bài 1 1  x + y = 12  1)   + 15 =  x y   x + y + y + 2x =  2)   − =1  x + y y + x  3x x +1 − y + =  3)   2x − =  x + y +  x + y = 13 4)  3x − y = −6 3 x + y = 16  x + y = 18 5)  6)  2 x − y = −11 3 x + y = 10 Bài Giải hệ phương trình sau 1)  x−y =  3 x − y = 2)  x + y = 16  4 x − y = −24 3) 4 x + y =  7 x − y = 4)  x − y = −5  −3x + y = 5)  x − y =   x + y = 6) 2 ( x − ) + ( + y ) = −2   ( x − ) − ( + y ) = −3 7) ( x + 1)( y − ) = ( x − 1)( y + )  ( x − )( y + 1) = ( x + 1)( y − ) 8) 1  x−y = 3  x + y = 9)  x −1 y  + =  x + − y −1 =  10) 1 1  + = x y  x+y =9  Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM 11)  2x + y − −    x + − y + = −4  ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 12) 2 x − y =   x + y = 13) 1  x + 2y + =   2 + =  x y + 14)   x + y + x − y = 74    + = 32  x + y x − y 15) 1 x + y =   3 − =  x y 16)  x − + x + y =   x − + x + y = 17)   x + y + y −1 =    − = −1  x + y y − 18)   x + + 2y − =    − =3  x + 2 y − 19)  3x x −1 − y + =    2x + =  x − y + 20)  x −1 y −  2x + − y + =    3x − + 2y − =  2x + y + 21)  −  x + y − = −1    + =7  x + y − 22 (TS10-Khánh Hòa-2015)  x − y =   x + y = Bài Giải hệ phương trình sau: − x + y = −4( x − 1) a)  5 x + 3y = −( x + y ) + 9 x − y = b)  3(4 x − 3y ) = −3 x + y + 3( x + 1) + y = − x c)  5( x + y ) = −3x + y − 2(2 x + 3y ) = 3(2 x − 3y ) + 10 d)  4 x − 3y = 4(6 y − x ) + ( − 2) x + y = e)   x + ( + 2)y = ( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1) f)  ( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4) 5  ĐS: a) vô số nghiệm b) vô nghiệm c) vô nghiệm d)  ;1 2  e) vô nghiệm f) (7;5) Bài Giải hệ phương trình sau: Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM 3 x − y = −2 b)  2 x + y = 2 x + y = 13 a)  3 x − y = ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 2 x − − y − = c)   x − + y − =   5  x + y − − x − y + =  x + y + x − y = d)  e)    − =1 + =  x + y x − y  x + y − x − y + ( x − 1)2 − y = f)  3( x − 1) + 3y =  33  ĐS: a) (2;3),  − ; −     10 19   77 63  d)  − ;  e)  ; −   3  20 20  b) (0;1) c) (2;2)  2 5 ;−  f)  ± 9  Bài Giải hệ phương trình sau: 3( x + 1) + y = − x a)  5( x + y ) = −3 x + y − 2 x + = −( x + y ) b)  6 x + 3y = y − 10  x − 3y = d)   x + 3y =  x − 2 y = e)   x + y = − 10 ĐS: a) vô nghiệm b) vô số nghiệm  x + y = −2( x − 1) c)   x + 3y = x + y +  −1 c) vô nghiệm d)  1;     2 − − 10  ; e)   5   Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: ax+by=c (1) Cho hệ phương trình  a'x+b'y=c' (2) • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x c − ax Từ phương trình (I) ax+by =c ⇒ y = (1a) b c − ax Thế (1a) ta a'x+b' =c' (2a) biến đổi dạng kx=q b • Giải phương trình (2a) biện luận theo m hệ i) Nếu hệ số theo x (k=0): (1) trở thành 0x = q - Nếu q= hệ có vơ số nghiệm - Nếu q ≠ hệ vơ nghiệm Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ii) Nếu hệ số theo x khác (k≠0)thì (1) ⇒ x = ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 q Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ k phương trình có nghiệm * Tất nhiên ta dùng phương pháp cộng đại số mx − y = 2m(1) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình:  4 x − my = m + 6(2) Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) a) Nếu m2 – ≠ hay m ≠ ± x = Khi y = - ( 2m + 3)( m − 2) 2m + = m+2 m2 − m 2m + m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m+2 m+2 m+2 b) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R c) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m ≠ ± hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m + m ;) m+2 m+2 - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + y = 3m − mx + y = 10 − m 1)  2)   x + my = m +  x + my = (m − 1) x − my = 3m − 3)  2 x − y = m +  x − my = + m  x + my = 3m 4)  5)  mx + y = + m mx − y = m − 2 x − y = + m 6)  mx + y = (m + 1) * Các định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ví dụ1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 mx + y = m +  2 x + my = 2m − HD Giải: 2mx + y = 2m + mx + y = m + ⇔  2 2 x + my = 2m − 2mx + m y = 2m − m (m − 4) y = 2m − 3m − = (m − 2)(2m + 1) ⇔ 2 x + my = 2m − để hệ có nghiệm m2 – ≠ hay m ≠ ± Vậy với m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm (m − 2)(2m + 1) 2m +  = 2− =  y = m+2 m+2 m −4  x = m − = −  m+2 m+2 Để x, y số nguyên m + ∈ Ư(3) = {1;− 1;3;− 3} Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m + 1) x + y = m −  2 m x − y = m + m Bài 2: Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx − (m + 1) y = m − n  (m + 2) x + 3ny = 2m − (HD Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n) a) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 (HD thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b) b) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + b HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết cho ax + b f(- ) = a Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 10 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ 3x + y = Bài 3: Cho hệ phương trình  2 x − y = m a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy mx + y = Bài 4: Cho hệ phương trình:   x + my = a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm  x + my = Bài 5: Cho hệ phương trình:  mx − y = a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m +3 Bài 6: Cho hệ phương trình: mx − y =  3x + my = a) Giải hệ phương trình m = m2 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m +3 3x − my = −9 Bài 7: Cho hệ phương trình  mx + y = 16 a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 14 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 2x − m y = Bài Giải biện luận hệ phương trình  − m x + 2y = −2 Giải toán cách lập phương trình, hệ pt bậc nhất_Phần Các bước giải: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) gồm u cầu: • Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; • Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; • Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng Giải phương trình (hoặc hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa mãn ĐK trả lời theo yêu cầu đề Ví dụ Hai ơtơ khởi hành lúc từ tỉnh A B cách 400 km ngược chiều gặp sau 5h Nếu vận tốc xe không thay đổi xe chậm xuất phát trước xe 40 phút hai xe gặp sau 5giờ 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc xe Tóm tắt Đổi 22 phút = 161 (giờ); 30 Vận tốc 161 40 141 − = (giờ) 30 60 30 Trường hợp ban đầu Thời Quãng gian đường Xe x 5x Xe y 5y Mối quan hệ Trường hợp giả định Thời Quãng đường gian 161 30 141 30 5(x+y)=400 161 x 30 141 y 30 161 141 x + y = 400 30 30 Giải Gọi vận tốc xe chậm x km/h Goị vận tốc xe nhan y km/h , điều kiện x,y>0 Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 15 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 Hai xe khởi hành lúc ngược chiều sau gặp nên ta có phương trình 5(x+y)=400 (1) Thời gian xe chậm hết 5h22 phút = Thời gian xe nhanh hết 161 30 161 40 141 − = 30 60 30 Quãng đường xe chậm 161 x 30 Quãng đường xe nhanh 141 y 30 161 141 x + y = 400 30 30 Kết hợp (1) và(2) ta có hệ phương trình Do ta có pt (2) (1) 5(x + y) = 400  161 141  30 x + 30 y = 400 (2) Từ (2) 161x+141y=1200 (3) Từ (1) x+y=400/5=80 ⇒ x=80-y (4) Thay (4) (3): 161(80‐y)+141y=1200 ⇒ 12800‐161y+141y=12000 ⇒ 20y=12880‐12000 ⇒ 20y=880 ⇒ y=880/20=44 km/h Thay y=44 vào (4) ta có x=80‐44=36 km/h Vậy vận tốc xe chậm 36km/h vận tốc xe nhanh 44km/h Ví dụ Một xe tải lớn chở chuyến xe tải nhỏ chở chuyến chuyển tất 85 hàng Biết chuyến xe tải lớn chở nhiều chuyến xe tải nhỏ 10 Hỏi loại xe chở hàng chuyến? Tóm tắt Số liệu chuyên chở Trường hợp so sánh Số Số Số hàng Số Số Số hàng chuyến /chuyến chuyển chuyến /chuyến chuyển Xe x 3x x 4x Xe y 4y y 5y Mối quan hệ 3x+4y=85 4x-5y=10 Lưu ý: Có thể bỏ cột (Số tấn/chuyến đem phía trước) Ở để lại cho trường hợp tổng quát số chuyến thay đổi Xem mở rộng sau ví dụ Giải Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 16 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 - Gọi x (tấn) số hàng xe lớn chở - Gọi y (tấn) số hàng xe nhỏ chở ĐK: x > 0; y > ; x > y 3x + 4y = 85 Theo đề ta có hệ phương trình:   4x - 5y = 10  x = 15 Giải hệ ta được:  (x =15; y = 10) thoả mãn ĐK  y = 10 Vậy xe lớn chở 15 Mỗi xe nhỏ chở 10 Ví dụ mở rộng: Một xe tải lớn chở chuyến xe tải nhỏ chở chuyến chuyển tất 195 hàng Nếu xe tải lớn chở chuyến xe chở tấn; đồng thời xe tải nhỏ chở 10 chuyến chở thêm số hàng tăng thêm 19 Hỏi loại xe chở hàng chuyến? Tóm tắt Xe Xe Mối quan hệ Số liệu chuyên chở Số Số Số hàng chuyến /chuyến chuyển x 7x y 9y 7x+9y=195 Trường hợp giả định Số Số hàng chuyển Số chuyến /chuyến x-2 8(x-2) 10 y+1 10(y+1) 8(x-2)+10(y+1)=214 Bài tập Bài Một hình chữ nhật có chu vi 70 m, giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 5m diện tích cũ Hãy tìm chiều rộng chiều dài ? ĐS: x=15 y=20 Giải toán cách lập pt,hpt_Bài tốn tỷ lệ Ví dụ 1: Lớp 9A có số học sinh nam số học sinh nữ số học sinh nữ học sinh Hỏi lớp 9A có học sinh? (ĐỀ MINH HỌA TS 10 2016.2017) Giải: Gọi x (hs) số học sinh nam y (hs) số học sinh nữ (x, y ∈ N*) 3  4 y = 24  x x= y y− y =6      4  = 4 Theo đề bài, ta có:  y ⇔  ⇔ ⇔ 3 3    x = y = 24 = 18 y − x = y − y = x = y    4 Vậy: số học sinh nam 18 hs; số học sinh nữ 24 hs ⇒ số học sinh lớp 9A 18 + 24 = 42 hs Bài giải cách dùng dãy tỉ số Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 17 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 gọi x (hs) số học sinh nam y (hs) số học sinh nữ (x, y ∈ N*) x y y−x x = =6 = ⇒ = = y 4 4−3 x = ⇒ x=6.3 =18 y ⇒ = ⇒y=6.4 = 24… ⇒ Bài tập A1 Trong lớp học tỉ số hs nữ nam , biết hs nam nhiều hs nữ em Hỏi lớp có học sinh? A2 Tìm số HS lớp 7A 7B biết số học sinh lớp 7B lớp 7A học sinh tỉ số học sinh lớp 7A 7B 7: A3 Sơ kết học kì I lớp 7A có số học sinh giỏi, khá, trung bình tỉ lệ với số 5; 7; 3, khơng có học sinh yếu, Tính số học sinh loại biết lớp có 45 học sinh A4 Trong khu vườn có trồng loại cam chanh Số cam 2/3 số chanh Tìm số cam số chanh trồng vườn biết tổng số cam chanh 45 A5 Số học sinh lớp 9A lớp 9B 85 học sinh Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 9A sang 9B số học 10 số học sinh lớp 9A Tính số học sinh lớp sinh lớp 9B Có thể lập phương trình, hệ phương trình hay dùng tỉ lệ thức A6 Bạn Nam đến nhà sách mua số tập bút Giá tập 7000 đồng giá bút 5000 đồng Tuy nhiên, đến nhà sách giá tập tăng lên thành 8000 đồng Tuy nhiên bạn Nam học sinh giỏi nên giảm giá 5% Do bạn mua tập khơng mua bút cịn dư 2000đồng Hỏi bạn Nam mang tiền mua tập A7 (TS10-Hịa Bình-20162017) Một lớp học có bạn học sinh xếp loại học lực Giỏi bạn học sinh xếp loại học lực Khá Biết bạn học sinh Giỏi chuyển số học sinh lại lớp học sinh Giỏi, bạn học sinh Khá chuyển số học sinh cịn lại lớp học sinh Khá Tính số học sinh lớp Giải tốn cách lập pt,hpt_Tính tuổi C1 Hiện nay, tuổi bố gấp lần tuổi Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi người C2 Mười năm trước, tuổi mẹ gấp lần tuổi Năm tuổi mẹ gấp đôi tuổi Hỏi sau năm số tuổi mẹ 1,8 lần tuổi con? C3 Bảy năm trước tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm Đến tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi Hỏi năm người tuổi? C4 Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Khi tuổi tuổi cha tổng số tuổi cha 112 Tính số tuổi cha, Sưu tầm biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email: nguyencongdien1976@gmai.com 18 Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176 176 Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM ĐT: 0919 556 176-0918 992 119 Giải tốn cách lập pt,hpt_Chuyển động Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB Giải Gọi thời gian dự định x (giờ), vận tốc xe lúc đầu y (km/h) (x, y >0), Thì chiều dài quãng đường AB xy (km) Khi xe chạy nhanh 10km vận tốc xe lúc là: y + 10 (km/h) Thời gian xe hết quãng đường AB là: x – (giờ) Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) Khi xe chạy chậm 10km vận tốc xe lúc là: y – 10 (km/h) Thời gian xe hết Quãng đường AB là: x + (giờ) Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ( x – 3)( y + 10 ) = xy (1) ⇔  ( x + )( y –10 ) = xy ( ) 10x − 3y = 30 ⇔  ⇔ −10x + 5y = 50  xy + 10x − 3y − 30 = xy   xy − 10x + 5y − 50 = xy 2y = 80 ⇔  10x − 3y = 30  x = 15   y = 40 Vậy thời gian xe dự định hết quãng đường AB 15 giờ, vận tốc xe lúc đầu 40km/h Quãng đường AB có độ dài là: 15.40 = 600 (km) Ví dụ Một ca nơ xi dịng 78km ngược dịng 44 km với vận tốc dự định Nếu ca nơ xi 13 km ngược dịng 11 km với vận tốc dự định Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Giải: Gọi vận tốc riêng ca nơ x (km/h, x>0) Và vận tốc dòng nước y (km/h, y>0; y