Pp chn dim ri

() w w w M A TH V N c om Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức Tài liệu này được biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum 1 KỸ THU T CH N ĐIỂM R I TRONG CHỨNG MINH B T Đ[.]

www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức co m KỸ THU T CH N ĐIỂM R I TRONG CHỨNG MINH B T ĐẲNG THỨC Trong trình chứng minh bất đẳng thức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” kĩ thuật quan trọng, chọn điểm rơi nghĩa dự đoán dấu đẳng thức xảy để ta có đánh giá từ đưa phương pháp hợp lí Với lưu ý phép chứng minh bất đẳng thức nào, khơng “bảo tồn” dấu đẳng thức phép chứng minh bạn bị phủ nhận hoàn toàn Kĩ thuật chọn “điểm rơi” kĩ thuật sơ đẳng bạn “siêu” bất đẳng thức, lại kĩ thuật bạn bắt đầu tiếp cận với bất đẳng thức Nên hy vọng tài liệu có ích với cần N Chúc cộng đồng yêu Toán sức khỏe hạnh phúc! Các bạn tìm đọc tài liệu đăng lên mạng tác giả, bao gồm: Một số cách sáng tạo hệ phương trình … AT HV Dùng đạo hàm giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Chúc bạn sức khỏe hạnh phúc! §1 KỸ THU T CH N ĐIỂM R I TRONG B T ĐẲNG THỨC CAUCHY A Ví dụ minh h a ww w M Ví dụ Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a  a Giải 1 ◊ Sai lầm thư ng gặp: S  a   a  a a ◊ Nguyên nhân sai lầm: MinS   a   mâu thuẫn với giả thiết a  a ◊ Phân tích tìm tịi lời giải: Nhận thấy a tăng S lớn (bằng cách thử trực tiếp) từ dẫn đến dự đốn a  S nhận giá trị nhỏ Do bất đẳng thức Côsi xảy dấu điều kiện tham số tham gia phải nhau, nên “điểm rơi: a  ” ta sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho hai số a a 1   Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số   a,  cho “điểm rơi: a  1 a  ”  a  Với a     a  a  8a a 8.3 10    ◊ L i giải đúng: S  a       a a 9 a 10 Với a  MinS  Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x  2x Giải Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức 1  x  2x 2x 1 x  ◊ Nguyên nhân sai lầm: Đẳng thức xảy x  2x Như lời giải khơng dự đốn dấu đẳng thức xảy đâu, hay nói cách khác chọn sai “điểm rơi” ◊ L i giải đúng: Ta dự đoán dấu xảy x  , ta phải chọn số a cho ax  2x Cho x  ta a  Từ ta có lời giải x x 5 y  3x   x   x2  x 1  1  2x 2 2x 2 2x 2 Vậy y  x  N co m ◊ Sai lầm thư ng gặp: Ta có: y  x  AT HV Ví dụ Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 P  5x  y   x y Giải Ta thấy vai trò x, y giả thiết x  y  bình đẳng vai trị x, y biểu thức 10 P  x  y   khơng bình đẳng, dấu không xảy x  y  , mà dấu x y xảy điểm “biên” x  1, y  x  2, y  Từ cho ta cách biến đổi sau: 10  x 10   y  Ta có P  x  y    ( x  y )         x y x  2 y  M Áp dụng bất đẳng thức TBC-TBN ta có: Suy P   10   P  29 Vậy P đạt GTNN 29 x  2, y  Và x 10 x 10  2  10 2 x x y y  2 4 y y ww w Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c    a 2b c Giải Do a  2b  3c  20 nên ta dự đoán P đạt a  2, b  3, c  Từ phân tích P sau: 1 3 b   c 4 3 P  abc    a b c a      a 2b c 4 a   2b   c  4 1   a  2b  3c      20   13 4 Dấu “=” xảy a  2, b  3, c  Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho x; y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức    A  1   1    x  y  co m Giải Do A đa thức đối xứng với điều kiện x  y  nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ 1 x  y  Và x  y  A  Vậy ta cần chứng minh dự đoán đúng, tức 2    chứng minh 1   1     x  y  Vậy A  x  y   AT HV BĐT  x  y  xy  N    Thật 1   1      x  1 y  1  x y   x  y  x y  x  y  2 Do   x  y  , nên cần chứng minh   x  y   x  y  x y  xy 1  xy   Ví dụ Cho a, b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Sai lầm thường gặp : P  Vậy P  Giải ab ab  ab a  b ab ab a  b ab  2  ab a  b ab a  b ab ab    a  b   ab  a  ab  b2   a  b  Vơ lí ab a  b Lời giải : Do P biểu thức đối xứng theo a, b nên ta dự đoán dấu “=” xảy a  b M  ab ab   Nên ta tìm hệ số m cho  m ab a  b  m  a  b  ab ab ab ab  a  b  a  b ab 3.2 ab     2   ab a  b ab a  b ab ab a  b ab Dấu “=” xảy a  b w Ta có P  ww  a, b  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Ví dụ Cho  a  b ab a  b  Giải 1 4   Ta có: P       42  2 a b 2ab 2ab a  2ab  b 2ab (a  b)  a  b 2 a  b  2ab 1   a  b   MinP  a  b  Dấu “=” xảy  a  b 2 a  b   Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức 1  a  b  2ab ( a  b )    Dấu “=” xảy   Vô nghiệm a  b  a  b  Vậy không tồn MinP ? ? 1 a  b 2  1 4      2 6ab 3ab a  6ab  b  3ab (a  b)   4ab 3ab  ab Mặt khác ab     Vậy P     ab 2     ab 3     AT HV 1  a  b  6ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b    N L i giải Ta có: P  co m  a, b  1  Ví dụ Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2  a  b 2ab a  b  Giải 1 4     2 L i giải Ta có: P  2 2  a  b 2ab a  2ab  b  (a  b)   a, b  1   4ab Ví dụ Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 a  b ab a  b  Sai lầm thư ng gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 4   P    4ab    4ab    4ab  2 a  b 2ab 2ab a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab  Mặt khác 1  4ab  4ab  2 Vậy P   2 nên MinP  2(2  2) 2ab 2ab w M Sai lầm 2: 1   1 1 Dấu    4ab     4 2  6 4ab P  2 4ab  4ab (a  b) 2ab 4ab 4ab 4ab a  b ab  a  b  2ab  1   a  b  Thay a  b  vào ta P   MinP  xảy  a 2b  16 2  a  b  ab Nguyên nhân sai lầm: ww 1   thói quen để ab 2ab 2ab a  b   2 làm xuất a  b  2ab  (a  b) MinP   2    4ab  VN Dấu “=” bất đẳng  2ab a  b  thức không xảy  không kết luận MinP   2 Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu a  b  số hạng MinP  a  b  nên tách co m đúng, bước cuối học sinh làm sai ví dụ (1  x)2  x  x , dấu xảy x   Min ( x  1)  x   1?? Lời giải đúng: Do P biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt a  b  , ta có: 1   1    4ab    4ab  7  2 a  b 2ab  4ab  4ab (a  b) 2ab  ab 4    a  b  2ab  1  ab Dấu xảy  a 2b  16  a  b   a, b  1 Ví dụ 10 Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  3   a  b a b ab a  b  Sai lầm thư ng gặp: 1 2 2 1  Ta có: S  3      3    2 2 2 a  b 3a b 3ab 3a b 3ab a  b  3a b  3ab  a b ab  1 1 59       9   a  b  ab  a b   ab ab 3     a  b3  3a 2b 59   a  b (vn) Nguyên nhân sai lầm: MinS  a  b   Lời giải AT HV N P , ta thấy a  b3  3a 2b  3ab   a  b  ta muốn 1 vậy: xuất  a  b  ; ta áp dụng bất đẳng thức 3   a  b 2a b 2ab 1    , ta không đánh giá tiếp ta phải áp dụng 3 a  b 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) bất đẳng thức cho số: 1 1 25 25 S 3       20 2 a  b 2a b 2ab 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) a  b   a  b  Dấu xảy a  b  ww w M Ta dự đoán dấu xảy a  b  a, b, c  Ví dụ 11 Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c  2 abc a  b  c  Sai lầm thư ng gặp: 1  abc  4 abc 4 P  abc abc abc abc Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức AT HV N co m Nguyên nhân sai lầm: Dấu “=” xảy a  b  c  không với giả thiết Lời giải đúng: Do biểu thức P đối xứng với a, b, c a  b2  c2  nên ta dự đoán dấu „=” xảy 1 abc 3 , abc 1 Từ ta tìm hệ số điểm rơi sau: a  b  c  Cho a  b  c  mabc Ta m  1 8  abc  Vậy P  a  b  c   4 abc  abc 9abc 9abc 9abc a  b2  c2   4 3 Vậy P  a  b  c  ww w M  x, y , z   Ví dụ 12 Cho  1 Tìm giá trị lớn biểu thức x  y  z   1 P   2x  y  z x  y  z x  y  2z Sai lầm thư ng gặp:  1   1   1   1  10             Sai lầm 1: Ta có P          x y z   x y z   x y z  18  x y z  10  MaxP  Sai lầm 2: 1 1  1  1  1  1  1  10 P                N 3 xyz 3 x.2 yz 3 xy z 3  x y z  3  x y z  3  x y z  guyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi 2 x  y  z 2 y  x  z  10 10 MaxP   2 z  x  y (vn) , tức không tồn ( x, y, z )  D : P  9 1 1    4  x y z Lời giải đúng: Từ hai lời giải với dự đoán MaxP đạt x  y  z  nên tách số x  x  x cho dấu xảy 1 1 1 1        , tương tự ta có: Ta có x  y  z x  x  y  z 16  x x y z   1     1                   16  x y z   x y z   x y z   Dấu “=” xảy x  y  z  P Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức Với  ,  ,   N  : Cách làm tương tự 3, ta tách  x  x  x   soá co m Nhận xét: Ta mở rộng 3:  x, y , z  1    Cho  1 Tìm GTLN P   x   y   z  x   y  z  x  y   z x  y  z    x , Nếu  ,  ,   R  , tốn có cịn giải khơng? Câu trả lời dành cho độc giả phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi BCS” Ví dụ 13 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  Giải a  b  c Ta dự đoán dấu xảy  abc a  b  c  Khi a  b  b  c  c  a  2 Từ tốn viết lại thành:  a  b   b  c   c  a   3 Áp dụng BĐT AM – GM ta được: 2 ab bc ca 2 3 , , a  b  b  c  c  a        3 Cộng ba BĐT lại vế theo vế với a  b  c  ta đpcm AT HV N Chứng minh Ví dụ 14 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Giải Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b  b  c  c  a b  c 11 a  b 11 , bc  , 3 2a  b  c   Suy P  3 a  b   Dấu “=” xảy b  c    a  b  c     Vơ lí c  a   ab  ca  c  a 11 M Sai lầm thường gặp: ww w Phân tích lời giải Do P biểu thức đối xứng theo a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a  b  c , đồng thời a  b  c 1 a  b  c  2 Suy a  b  , b  c  , c  a  3 Từ cho ta lời giải sau: 2 ab  2 3 a  b  3  a  b  3 2 bc  2 3 b  c  3 b  c   3 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức co m 2 ca  2 3 c  a  3  c  a   3 2a  b  c   18 Suy P  Dấu “=” xảy a  b  c  AT HV N a, b, c  Ví dụ 15 Cho  Chứng minh a  2b  b  2c  c  2a  3 a  b  c  Sai lầm thương gặp:    a  2b   a  2b  Ta có: 1.1  a  2b   , tương tự ta có 3  a  2b  b  2c  c  2a a  2b  b  2c  c  2a     5, 3 mà  3  đề sai ? ? a  2b  b  2c   MaxP    (vn) , P  c  a  a  b  c  a  b  c Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” bất đẳng thức xảy  a  b  c   a  b  c   a  2b  Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a  2b,3,3 ta có: 1    a  2b   a  2b a  2b  3 3.3  a  2b    , tương tự ta có 9 33  a  2b  b  2c  c  2a P    3 , dấu xảy a  b  c  3 3 9 ww w M a, b, c, d  Ví dụ 16 Cho  Tìm giá trị lớn biểu thức a  b  c  d  P  2a  b  2b  c  2c  d  2d  a Sai lầm thương gặp:  2a  b     2a  b  Ta có: 2a  b   2a  b  1.1  , tương tự ta có: 3  a  b  c  d   11  2a  b  2b  c  2c  d  2d  a  3  2a  b  2b  c  11    a  b  c  d    3.1  Vô lý MaxP      c d  2d  a  Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b  c  d   2a  b  3 Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số 2a  b, , ta có: 4 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức N co m 3 2a  b   16 3 16 4 , tương tự ta có a  b   2a  b   4 3 3 3 3 3  2a  b   2b  c   2c  d   2d  a     16 4 4 4 4 P    3 3    16  a  b  c  d   3  23 Dấu xảy a  b  c  d   x, y , z  x2 y2 z2    Ví dụ 17 Cho  Chứng minh 1 y 1 z 1 x  xyz  Sai lầm thư ng gặp: AT HV 1  y  y  x y z ( xyz )    33 Sai lầm 1: P  , mặt khác 1  z  z , suy ra: 1 y 1 z 1 x (1  y )(1  z )(1  x)  1  x  x (1  y )(1  z )(1  x)  xyz  Vậy P  , dấu “=” xảy x  y  z  2  x 1  y  (1  y )  x   y  (1  z )  y  P  2( x  y  z )  ( x  y  z )   x  y  z  , Sai lầm 2: ta có:  1  z  z2  (1  x)  z  x   2 M mặt khác x  y  z  3 xyz   P  Nguyên nhân sai lầm: sai lầm 1: Học sinh quên tính chất bất đẳng thức: a  b   w x  y  z  y2 z2  x   y,   z,   x (vn) sai lầm 2: Dấu “=” xảy   y z x    1   xyz  1  a b ww Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy x  y  z  Vì áp dụng Cauchy cho x2 1 y     4 :  1 y   1 y Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com x2 1 y www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức co m  x2  y 1  y   x   y  z 3 3   y  P  ( x  y  z)  ( x  y  z)   ( x  y  z)   Ta có:  4 4 1  z  z 1 x  z  1  x Dấu “=” xảy x  y  z  1 1 1  b2   c   3 a  b2  c2  2 b c a b c a AT HV S  a2  N  a , b, c   Ví dụ 18 Cho  Tìm giá trị lớn biểu thức a  b  c  1 S  a   b2   c2  b c a Sai lầm thư ng gặp:  36 a2 1 b 2 c  2 b c a Nguyên nhân sai lầm: 1 Dấu “=” xảy a  b  c     a  b  c   a b c Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy a  b  c  Vì áp dụng Cauchy cho 1  a  Cho a     16 a 1 Nên S  a   b   c  b c a 1 1 1    b2     c2    2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a  1717 a M  a2  1  1717 b 16 32  1717 c 16 32 32 16 b 16 c 16 a 16 17  2a  2b  2c  217     15 ww  w  a b c  17  17 17 16  17 16  17 16   17 17 5  16 a b c 16 c 16 a   16 b 217  2a.2b.2c   17 Dấu “=” xảy a  b  c  1 Cách khác: Ta có S  a   b   c   b c a 3  abc  3  abc  1  a  b  c       a b c 2 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 10 www.MATHVN.com  abc  Ta có t   abc  Dấu “=” xảy a  b  c  Khi S  3  abc  3 15 17   16  abc  1 15 15 15  3  3 t 3 t  t  16t 16t 16t 16t 16t t N Dấu “=” xảy a  b  c   abc       2 co m Đặt t  Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức B BƠi t p vƠ hướng d n a2 AT HV Bài Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a  Giải 1 nên ta áp dụng Côsi cho ba số dạng  a   a  a a 1 Dự đoán dấu “=” xảy a   a     a  a a  6a a a 6.2 Khi S  a         33   8 a a 8 a  Với a  MinS  1 Bài Cho  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  2a  a Giải 1 Do có a nên ta áp dụng Côsi cho ba số dạng  a   a  a a 1 Dự đoán dấu “=” xảy a   a     a   1 Khi S  2a    8a  8a    14a  3 8a.8a  14  a  a  a Vậy với a  MinS  w M Do có a ww Bài Cho a  10; b  100; c  1000 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 y  a b c a b c Giải Xét riêng biểu thức P  a  với điều kiện a  10 , ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ a  10 a a Từ ta cần tìm số  cho  , với a  10 ta   100 , từ ta phân tích P sau:  a Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 11 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức P 99 a 99 a 99 99 101 a   a2  a  10   (làm tương tự cho hai biểu 100 100 a 100 100 a 100 100 10 thức lại.) co m Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P  abc   a b c Giải N Vì vai trị a, b, c bình đẳng a  b  c  nên ta dự đoán dấu xảy a  b  c  Nên ta phải biến đổi biểu thức P cách khéo léo để đảm bảo dấu xảy a  b  c  1 1 1             Ta có P   9a     9b     9c     a  b  c    9a     9b     9c     10 a  b  c a  b  c   Dấu xảy a  b  c  P  ab  bc  ca AT HV Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức Giải w M Vì vai trị a, b, c bình đẳng a  b  c  nên ta dự đoán dấu xảy a  b  c  ab 3 Ta có ab  3 ab  3 3 bc 3 Tương tự bc  3 bc  3 3 ca 3 ca  3 ca  3 3 Cộng vế theo vế ta 1 1 P  ab  bc  ca  3   a  b  c     3 3 2 15 Vậy GTLN P  a  b  c  Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a  b  c  ww 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c    a b c Giải Cách Ta có 1 1 1 15 S  a  b  c     4a   4b   4c    a  b  c       Vậy a b c a b c 2 15 MinS  a  b  c  2 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 12 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức 2 a 1 1 1 31 1   a b c      a b c 4a 4b 4c  a b c  1 9 15 2 b 2 c   111  4a 4b 4c a  b  c 43 2 15 Vậy MinS  a  b  c  2 Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a  b  c  1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b  c      a b c Giải N Ta có co m Cách Ta có S  a  b  c  1 2    18a   18b   18c   17  a  b  c  a b c a b c  12  12  12 17.1  19 Vậy MinS  19 a  b  c  AT HV S  abc Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1  a  Ta có a3  1  b   b3 2    1  a  a 1  b  b3 1  c  1  c  c3 c3 1 a 1 a   a 8 Giải 1 b 1 b   b 8 1 c 1 c   c 8 w M Suy P  3   a  b  c     a  b  c   P  4 1 Vậy MinP  a  b  c  ww Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  y  z Giải 1 Ta có x  y  xy , x  z  xz , y  z  yz 2 2 Cộng vế theo vế ta 3x  y  z   xy  yz  zx   2.5  10 Dấu „=‟ xảy x  y  1, z  Bài 10 Cho x; y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Giải Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 13 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức  x  y  16 Mà ta lại có P  x  y  x  y  , từ ta tìm x  y  8 x  y  suy co m  x  y Ta có  x  y  xy  x  y  8 x  y   x y2 Đẳng thức xảy  x  y  x  y  xy   2 Bài 11 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  ab  ab Giải 15 1 15 15 17  ab       ab  16ab 16ab ab 16 16ab 16  a  b  AT HV Ta có S  ab  N Vậy P  x  y  Hoặc ta giải sau:  ab  Đặt t  ab  t  ab       Khi tốn tr thành : Cho t  M 1 Tìm giá trị nhỏ S  t  t 1 Dự đoán dấu xảy t   t     16 t 1 17 1 S  t   16t   15t  16t  15  t 4 t t 1 17 Vậy với t  hay a  b  MinS  4 ww w Bài 12 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b   a b Giải 1 1 Ta có P  a  b    8a  8a   8b  8b   15  a  b  a b a b 1  3 8a.8a  3 8b.8b  15  a  b   3.4  3.4 15.1  a b Hoặc ta giải sau: Ta có P  ab  (Dấu “=” xảy a = b) ab ab  Khi ta thu Đặt t  ab ,  t  ab  2 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 14 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức 2  16t  16t   30t t t  3 16t.16t 30  9 t2 Dấu đẳng thức xảy t  1 ab 2 Bài 13 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c  Giải co m P  2t  1   a b2 c2 AT HV Đặt t  abc ,  t  abc  P  3t  N 1 1 1    8a  8a   8b  8b   8c  8c   15  a  b  c  a b c a b c 1 27  3 8a.8a  3 8b.8b  3 8c.8c  15  a  b  c   3.4  3.4  3.4  15  a b c 2 Hoặc ta giải sau: Ta có P  3 abc  (Dấu “=” xảy a  b  c )  abc  Ta có P  a  b  c  abc  Lúc ta thu 3  24t  24t   45t t t 27  3 24.24.3  45  2 Dấu đẳng thức xảy t  1 abc 2 Bài 14 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  c  M 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c    a b c Giải w Do P biểu thức đối xứng theo a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a  b  c  đổi P sau: 1 1 1 31 1 P  a    b2    c2        8a 8a 8b 8b 8c 8c  a b c  nên ta biến 1 1 1 9 27  3 b2  3 c2     8a 8a 8b 8b 8c 8c a  b  c 4 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  ww  33 a2 Bài 15 Cho a; b số thực thỏa mãn  a  ,  b  11 a  b  11 Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab Giải Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 15 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức Từ giả thiết  a  ,  b  11 a  b  11, ta dự đoán P đạt giá trị lớn a  3; b  , 8a  3b , nên ta biến đổi P sau: 3  a  b   5a   33  5a    33  5.3  24 1  8a  3b    P  8a.3b  96 96 24 24 96 Vậy max P  24 a  3, b  2 co m Bài 16 Cho a  0, b  0, c  số thực thỏa mãn a  b  c  Chứng minh abc  Giải Ta dự đoán đẳng thức xảy a  b  , c  a  b  c ab a  b a  b  c Ta có    a  b  Mặt khác theo giả thiết c  a  b   4 4 27 (đpcm) a  b  c  c  suy a  b  nên abc   4 2 c N  a  b abc  27 AT HV Bài 17 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    a  b  b  2c   b  c  c  2a   c  a  a  2b  Giải a a  b b  2c Ta có    a 18  a  b  b  2c  12 b3 b  c c  2a    b 18  b  c  c  2a  12 c3 c  a a  2b    c 18  c  a  a  2b  12 Cộng vế theo vế ta P   a  b  c 3 a  b  c    a  b  c 12 18 M 1  a  b  c    6 Dấu “=” xảy a  b  c  P Bài 18 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức  ab  bc  ca     a  b  c  a  b3  c 16  1       1 a b c  Giải 3 Sử dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a  b    3. ab b3  c3    3. bc c3  a3    3. ca với  số thực dương Khi ta được: 2(a3  b3  c3 )  3  3. (ab  bc  ca) 3 a  b  c     ab  bc  ca 1 Bất đẳng thức tương đương với  3 1 a b     1 c  Mặt khác             (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM) a   b   c    ww w Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 16 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức 1 1 1      a  b  c         6   a  b  c  a b c   a b c 3 1 1  Từ (1) (2) ta (a  b  c )       1  6  3 a b c  Ta chọn  cho đẳng thức xảy ra, tức a  b  c   Chọn   nghiệm phương trình 9  9  a  b3  c  16  1  28  Vì P       1  a b c  28 Giá trị nhỏ P a  b  c  3  2 N co m  Bài 19 (ĐH – K.B – 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu x  y  z  thức P  x     y     z     zx   xy   yz  AT HV Giải Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta dự đốn dấu “=” xảy x  y  z x  x  x Khi x     x      , nên biểu thức P trở thành  x.x  x  yz  t2 x2 y2 z P      Ta nghĩ đến hàm đặc trưng có dạng f  t    t x y z Từ cho ta biến đổi P sau: x y z x  y  z x y z xy  yz  zx x2 y z x y z         P      2 yz zx xy 2 xyz 2 xyz x2 y z       x y z Xét hàm số f  t   t2  , t  Ta có f  t   f 1  , t  t M Nên P   2 Vậy P  x  y  z  Bài 20 (ĐH – K.B – 2009) Cho x, y số thực dương thay đổi thỏa mãn  x  y   xy  w Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  y  x y    x  y   ww Giải Do vai trò x, y bình đẳng nên ta dự đốn dấu “=” xảy x  y Thay vào giả thiết  x  y   xy  ta x  y  Mặt khác kết hợp giả thiết biểu thức A ta hệ bất PT đối xứng với x, y Nên ta định hướng biến đổi giả thiết biểu thức A có dạng tổng x  y xy 1 2 xy   x  y    x  y     x  y  Ta có   4 1 2 x  y   x  y    x  y     x  y   2 Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 17 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức Ta có  x  y   xy    x  y    x  y    x  y   3 2   x  y    x  y     x  y    x  y      x  y  1  x  y    x  y        x  y 1   x  y  1 2 Khi x  y   x  y    x  y     x  y     2 Khi A   x  y  x y   x  y    2     x  y    x  y    x  y     x  y     2 9   x2  y    x2  y    x2  y     x2  y    x2  y   4 1 Đặt t  x  y  Xét hàm số f  t   t   với t  2 1 Ta có f  t   f    , t    16 Vậy A  x  y  16    2   AT HV N  co m Bài 21 Cho x; y; z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  x3 y  y z  z x  xy  yz  zx3  Giải Nhận xét dấu xảy (chẳng hạn) x  y  1, z  , ta có Chứng minh x3 y  y z  z x  xy  yz  zx , nên ta hồn tồn sử dụng BĐT a  b   a  b  để loại bỏ thức mà bảo toàn dấu “=” tốn Khi tốn tương đương x3 y  y z  z x  xy  yz  zx3   xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   Mặt khác ta lại có xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   xy  x  y  z   yz  y  z  x   zx  z  x  y  M   xy  yz  zx   x  y  z  w Do ta cần chứng minh:  xy  yz  zx   x  y  z   Áp dụng BĐT AM – GM dạng  xy  yz  zx   x  y  z    a  b ab  , ta  xy  yz  zx   x  y  z  2 x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z   24     2 8 Bài toán chứng minh Dấu xảy x  y  1, z  hoán vị ww Bài 22 Chứng minh tam giác ABC ta ln có sin A  sin B  sin C  Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 3 18 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức co m Phân tích để đến l i giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác  A BC  Vì A  B  C   ta giảm bớt số biến sin C  sin A cos B  sin B cos A P  sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sin A cos B  sin B cos A , ta nghĩ đến: 2 sin A  cos A  ; A, B khơng cịn quan hệ ràng buộc, làm để xuất sin A, cos A , ta  2 sin B  cos B  a  b2 , sin A  sin B  , cos A  cos B  , Ta áp dụng Cauchy: 2   sin B  sin B  sin A  sin A  2      cos B cos A cos B cos A         3      Ta có: sin A  sin B  N nghĩ đến bất đẳng thức ab   3    sin A     sin B    Vậy:     ww w M AT HV   sin B     sin A 3   3 VT   cos B     cos A      sin A     sin B       4       Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 19 www.MATHVN.com Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức A Ví dụ minh h a co m §2 KỸ THU T CH N ĐIỂM R I TRONG B T ĐẲNG THỨC BUNHIAKSKY Ví dụ Cho x, y, z ba số dương x  y  z  Chứng minh x2  1  y   z   82 x y z Giải ◊ Sai lầm : Nhận xét: Chúng ta dùng bất đẳng thức Cauchy phần Vậy P  ?  1    x  y  z         2  x y z  1 1    3 x y z  x  y  z AT HV Tương tự ta có: P  N 1 1  1   2   x   1     x    x   x   x  x  x x x x 2   x y z   ,  ,  ◊ Nguyên nhân sai lầm: P    x y z (vn) x  y  z   ◊ Lời giải Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  z  , biểu thức gợi cho     ta sử dụng BCS:  x          x   với  ,  số thỏa mãn: x  y   1 x x     x   , chọn   1,     x  1 9 1  9   Ta có  x   12  92    x    x   x  x  x x x 82     1   Tương tự ta có P  9  x  y  z        82   x y z  1 Do x  y  z  1,    nên ta tách x y z w M  x  y  z   1  80  1          9 x y z   x y z  ww Vậy P  82 , dấu “=” xảy x  y  z   1  80     82  x y z x yz  x  y  z  x, y , z   Ví dụ Cho  1 Tìm giá trị lớn biểu thức x  y  z 1  1 P   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải Tài liệu biên soạn b i Phạm Bình Nguyên – GV trư ng THPT Kon Tum www.DeThiThuDaiHoc.com 20