Đề thi đại số tuyến tính: Đề 7 docx

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN CA 3 Câu 1 : T rong kh ông gian IR 4 vớ i tích v ô hướn g chính tắc, c ho kh ông g ian con F = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) |x 1 +x 2 −x 3 −2 x 4 = 0 & 2 x 1 +x 2 −3 x 3 −5 x 4 = 0 & 3 x 1 +x 2 −5 x 3 −8 x 4 = 0 } Tìm chiều v à một cơ s ở TRỰC C HUẨN của F . Câu 2 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    −1 4 −2 −3 4 0 −3 1 3    . Ch éo hoá án h xạ tuyến tính f. Câu 3 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    1 1 2 2 3 0 3 5 −4    . Tìm cơ sở v à số chie àu của Imf . Câu 4 : C ho A v à B là hai m a tr ận đồng dạn g. C hứn g tỏ rằng A chéo ho á được khi và chỉ khi B ch éo hoá đươ ïc. Câu 5 : T ìm m để ma tr ận A =    1 4 −1 4 m 2 −1 2 4    có ít nha át một trò r iêng âm . Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , biết f ( x) = f( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( −x 2 + 2 x 3 , −2 x 1 + x 2 + 2 x 3 , x 1 − x 2 + x 3 ) . Tìm m để v éctơ x = ( 2 , 2 , m) là véctơ r iêng củ a f. Câu 7 : C ho án h xạ tuyến tính f là phé p đối xứn g tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳn g 2 x−3 y = 0 . Tìm tất cả các trò riên g và cơ sở củ a các kh ông g ian con r iêng của f. Giải thích rõ. Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ) . T ìm một cơ s ở tùy ý củ a F: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Dùn g quá trìn h Gram- Schm idt đưa về cơ s ở trực g iao: E 1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Ch uẩn ho ùa, có cơ sở tr ực chuẩn: E 2 = { 1 √ 6 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , 1 √ 67 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } Câu 2(1. 5đ) . C héo ho ùa ma trận (1 .0 đ) A = P · D · P −1 , P =    2 1 1 3 1 3 3 1 4    . D =    2 0 0 0 1 0 0 0 3    . Cơ sở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma tr ận của f tron g B là D. C ác cột cu ûa P là các VTR của A, p hải đổi san g cơ sơ û chính t ắc!! Câu 3(1. 5đ) . Dim (Im f) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >= 1 =< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cơ sở củ a Im( f) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách khác: Vì Dim( Imf) = r( A) = 3 , nên I m( f) là IR 3 và cơ s ở của Im ( f) là cơ sở chính tắc của IR 3 . Câu 4( 1.0 đ). A đồng d ạng B ⇔ ∃Q : B = Q −1 · A · Q. Giả s ử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P −1 . Khi đó B = Q −1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) −1 · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G −1 · D · G →đpcm. Câu 5 ( 1.5 đ). Ma trận đối xứ ng thực. Dạng toàn phươn g tươ ng ứng f( x, x) = x 2 1 + mx 2 2 + 4 x 2 3 + 8 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 . Đưa về chính tắc bằn g biế n đổi Lag rang e f( x, x) = ( x 1 + 4 x 2 − x 3 ) 2 + 3 ( x 3 + 2 x 2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x 2 2 . A có m ột TR âm ⇔ m < 2 8 . Câu 6 (1 .5đ) . x l à VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m) ⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2 Câu 7 ( 1.5 đ).f : IR 2 −→ IR 2 . VTR là v éctơ q ua p hép b iến đ ổi có ảnh cu øng ph ương vơ ùi v éctơ ban đầu. Các vé ctơ cùng p hương với véctơ ch ỉ p hương a = ( 3 , 2 ) của đườn g th ẳng là tất cả các VTR tương ứn g với TR λ 1 = 1 ; các véctơ cùn g phươn g với v éctơ pháp tuyến n = ( 2 , −3 ) củ a đườ ng thẳn g là tất cả các VTR tươn g ư ùng v ới λ 2 = −1 . Vì f là axtt của k hông g ian 2 chie àu n ên k hôn g còn VT R kh ác. Kluận : Cơ s ở của E λ 1 : ( 3 , 2 ) của E λ 2 : ( 2 , −3 ) . 2 . ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn g tài. kh ông g ian con r iêng của f. Giải thích rõ. Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ) . T ìm một cơ s ở. xạ tuyến tính f là phé p đối xứn g tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳn g 2 x−3 y = 0 . Tìm tất cả các trò riên g và cơ sở củ a các kh ông g ian con r iêng của f. Giải thích rõ. Đáp án đề thi