Đang tải... (xem toàn văn)
Mô tả biểu diễn phụ hợp của đại số Lie G giải được 7 chiều có căn lũy linh là g4⊗g1 Trần Nam Hưng* Ngày 11 tháng 2 năm 2021 Tóm tắt nội dung Đại số Lie g4 ⊗g1 có cấu trúc Lie như sau g4 ⊗g1 = Span{X1[.]
Mô tả biểu diễn phụ hợp đại số Lie G giải 7-chiều có lũy linh g4 ⊗ g1 Trần Nam Hưng* Ngày 11 tháng năm 2021 Tóm tắt nội dung Đại số Lie g4 ⊗ g1 có cấu trúc Lie sau g4 ⊗ g1 = Span {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } : [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X2 ] = X4 Lấy G đại số Lie giải 7-chiều có lũy linh g4 ⊗ g1 Gọi sở G {Xi }i=1 Khi ta có G đẳng cấu với đại số Lie L trình bày phần phụ lục Biểu diễn phụ hợp G đồng cấu đại số Lie ad : G → G , g 7→ adg, adg xác định adg(h) = [g , h] , ∀h ∈ G Ta có định lý đẳng cấu Định lí (Định lý đẳng cấu) Cho đồng cấu đại số Lie ϕ : G → G ′ Khi G /Kerϕ ∼ = Imϕ Đối với biểu diễn phụ hợp, ta dễ dàng tính Ker(ad) = Z(G ) Khi đó, G /Z(G ) ∼ = Imϕ Mục tiêu báo cáo 1) Xác định tâm G , 2) Xác định đại số Lie ảnh Im(ad) Từ ta có kết luận tính đẳng cấu với tập ảnh Mục lục Các kết L1 2 Các kết L2 3 Các kết L3a 4 Các kết L4ab 5 Các kết L5a 6 Các kết L6 7 Các kết L7a 8 Các kết L8aδ 9 Các kết L9 10 a 10 Các kết L10 11 11 Các kết L11 12 a 12 Các kết L12 13 * hungb1906052@student.ctu.edu.vn 1 Các kết L1 Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X5 ] = X5 , (1) [X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X2 ] = −2X2 , [X7 , X3 ] = −X3 , [X6 , X7 ] = X4 Tâm L1 Z(L1 ) = Span{X4 } Ma trận biểu diễn L1 Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L1 Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 − 2x7 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 − x7 X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = adg(X5 ) = [g , X5 ] = x6 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x5 X5 − x7 X4 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 + 2x2 X2 + x3 X3 + x6 X4 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x7 0 −2x7 −x2 x1 −x7 L1 /Span{X4 } ∼ = x1 −x3 0 0 0 0 −x1 0 0 0 0 −x7 2x2 x3 x6 : x1 , , x7 ∈ R 0 x6 −x5 0 0 0 (result) Các kết L2 Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , (2) [X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X6 , X7 ] = X5 Tâm L2 Z(L2 ) = Span{X5 } Ma trận biểu diễn L2 Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L2 Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x7 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x3 X3 − 2x4 X4 + x6 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x7 0 x6 0 −x2 x1 x6 + x7 L2 /Span{X5 } ∼ = x1 x6 + 2x7 −x3 0 0 0 0 0 −x2 −x3 −x4 −x7 0 0 −x1 −x3 −2x4 : x1 , , x ∈ R x6 (result) Các kết L3a Các móc Lie không tầm thường với tham số a 6= [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , (3) [X7 , X1 ] = aX1 , [X7 , X3 ] = aX3 , [X7 , X4 ] = 2aX4 , [X7 , X5 ] = X5 Tâm L3a Z(L3a ) = Ma trận biểu diễn L3a Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L3a Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 − ax7 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + ax7 )X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2ax7 )X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −ax1 X1 − ax3 X3 − 2ax4 X4 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta ax 0 0 −ax x6 0 −x −x x x + ax 0 −x −ax 3 a∼ : x , , x ∈ R , a = L3 = −x x 2ax + x −x −2ax 7 4 0 x7 −x5 0 0 0 0 0 0 (result) Các kết L4ab Các móc Lie khơng tầm thường với tham số a , b 6= [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X7 , X2 ] = bX2 , [X7 , X3 ] = bX3 , [X7 , X4 ] = bX4 , (4) [X7 , X5 ] = X5 Tâm L4ab Z(L4ab ) = Ma trận biểu diễn L4ab Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L4ab Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + (ax6 + bx7 )X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + bx7 ]X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + bx7 ]X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − ax2 X2 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −bx2 X2 − bx3 X3 − bx4 X4 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x 0 0 −x ax + bx 0 −ax −bx 2 −x x (1 + a)x + bx 0 (−1 − a)x −bx 3 ab ∼ L4 = −x3 x1 (a + 2)x6 + bx7 (−a − 2)x4 −bx4 : x1 , , x7 ∈ R , a , b 6= 0 x7 −x 0 0 0 0 0 0 (result) 5 Các kết L5a Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = 2X3 , [X6 , X4 ] = 3X4 , [X6 , X5 ] = aX5 , (5) [X7 , X5 ] = X5 , [X7 , X1 ] = X2 Tâm L5a Z(L5a ) = Ma trận biểu diễn L5a Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L5a Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 + x7 X2 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + 2x6 X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = 3x6 X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = (ax6 + x7 )X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − x2 X2 − 2x3 X3 − 3x4 X4 − ax5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X2 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x 0 0 −x x7 x6 0 −x −x −x x 2x 0 −2x a∼ L5 = : x , , x ∈ R , a = −x x 3x −3x 0 ax6 + x7 −ax5 −x5 0 0 0 0 0 0 (result) Các kết L6 Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , (6) [X7 , X1 ] = X1 + X5 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X5 ] = X5 Tâm L6 Z(L6 ) = Ma trận biểu diễn L6 Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L6 Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 + x7 X5 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − (x1 + x5 )X5 − x3 X3 − 2x4 X4 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x 0 0 −x x6 0 −x −x x x + x 0 −x −x 3 L6 ∼ : x , , x ∈ R = −x x x + 2x −x −2x 7 4 x7 0 x7 −x1 − x5 0 0 0 0 0 0 (result) Các kết L7a Các móc Lie không tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = X5 , (7) [X7 , X5 ] = X5 , [X7 , X2 ] = X4 Tâm L7a Z(L7a ) = Ma trận biểu diễn L7a Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L7a Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + ax6 X2 + x7 X4 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (1 + a)x6 X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (2 + a)x6 X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = (x6 + x7 )X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − ax2 X2 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 − x5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X4 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x 0 0 −x ax 0 −ax −x x (1 + a)x 0 (−1 − a)x a∼ L7 = −x3 x7 x1 (2 + a)x6 (−2 − a)x4 −x2 : x1 , , x7 ∈ R , a 6= (result) 0 x + x −x −x 5 0 0 0 0 0 0 8 Các kết L8aδ Các móc Lie khơng tầm thường với tham số a 6= , δ = ±1 [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , [X6 , X5 ] = aX5 , (8) [X7 , X2 ] = δ X4 , [X7 , X5 ] = X5 Tâm L8aδ Z(L8aδ ) = Ma trận biểu diễn L8aδ Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L8aδ Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 + δ x7 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + x6 X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = x6 X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = (ax6 + x7 )X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − ax5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −δ x2 X4 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta L8aδ 0 0 0 x 0 −x −x x x 0 −x ∼ = −x3 δ x7 x1 x6 −x4 −δ x2 : x1 , , x7 ∈ R , a 6= , δ = ±1 0 ax + x −ax −x 5 0 0 0 0 0 0 (result) Các kết L9 [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , (9) [X6 , X5 ] = X5 , [X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X2 ] = X5 Tâm L9 Z(L9 ) = Ma trận biểu diễn L9 Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L9 Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x6 X2 + x7 X5 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = x6 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x2 X5 − x3 X3 − 2x4 X4 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x7 0 0 x6 0 −x x x + x 0 ∼ L9 = −x3 x1 x6 + 2x7 x7 0 x6 0 0 0 0 10 −x2 −x3 −x4 −x5 0 −x1 −x3 −2x4 : x1 , , x7 ∈ R −x2 (result) a 10 Các kết L10 Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = aX5 , [X7 , X2 ] = X2 + X5 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = X4 , (10) [X7 , X5 ] = X5 a Tâm L10 a Z(L10 ) = a Ma trận biểu diễn L10 a Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L10 i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2 + x7 X5 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + x7 ]X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + x7 ]X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = x7 X5 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X2 − (x2 + x5 )X5 − x3 X3 − x4 X4 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x 0 0 −x x 0 0 −x −x x (1 + a)x + x 0 (−1 − a)x −x 3 a ∼ L10 = −x3 x1 (2 + a)x6 + x7 (−2 − a)x4 −x4 : x1 , , x7 ∈ R , a 6= x7 0 x −x − x 0 0 0 0 0 0 (result) 11 11 Các kết L11 Các móc Lie không tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X2 ] = X2 , [X6 , X3 ] = X3 , [X6 , X4 ] = X4 , [X6 , X5 ] = X5 , (11) [X7 , X1 ] = X1 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = 2X4 , [X7 , X5 ] = X4 + X5 Tâm L5a Z(L11 ) = Ma trận biểu diễn L11 Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L11 Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x7 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + (x6 + x7 )X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = (x6 + 2x7 )X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = (x6 + x7 )X5 + x7 X4 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x2 X2 − x3 X3 − x4 X4 − x5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x1 X1 − x3 X3 − (2x4 + x5 )X4 − x5 X5 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta x7 0 0 0 x6 −x x x + x 0 ∼ L11 = −x3 x1 x6 + 2x7 x7 0 x6 + x7 0 0 0 0 0 −x2 −x3 −x4 −x5 0 12 −x1 −x3 −2x4 − x5 : −x5 0 x1 , , x7 ∈ R , a 6= (result) a 12 Các kết L12 Các móc Lie khơng tầm thường [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 , [X6 , X1 ] = X1 , [X6 , X2 ] = aX2 , [X6 , X3 ] = (1 + a)X3 , [X6 , X4 ] = (2 + a)X4 , [X6 , X5 ] = (2 + a)X5 , [X7 , X2 ] = X2 , [X7 , X3 ] = X3 , [X7 , X4 ] = X4 , (12) [X7 , X5 ] = X4 + X5 a Tâm L12 a Z(L12 ) = a Ma trận biểu diễn L12 a Ta tính ảnh sở qua đồng cấu adg Giả sử g = ∑ xi Xi , ∀xi ∈ R với C = {Xi }i=1, ,7 sở L12 i=1 adg(X1 ) = [g , X1 ] = −x2 X3 − x3 X4 + x6 X1 adg(X2 ) = [g , X2 ] = x1 X3 + x7 X2 adg(X3 ) = [g , X3 ] = x1 X4 + [(1 + a)x6 + x7 ]X3 adg(X4 ) = [g , X4 ] = [(2 + a)x6 + x7 ]X4 adg(X5 ) = [g , X5 ] = (2 + a)x6 X5 + x7 X3 + x7 X4 adg(X6 ) = [g , X6 ] = −x1 X1 − (1 + a)x3 X3 − (2 + a)x4 X4 − (2 + a)x5 X5 adg(X7 ) = [g , X7 ] = −x2 X2 − (x3 + x5 )X3 − (x4 + x5 )X4 Đồng adg với ma trận biểu diễn ứng với sở C, ta a ∼ (result) L12 = x 0 0 −x ax6 + x7 0 −ax −x 2 −x x (1 + a)x + x 0 (−1 − a)x −x 3 −x3 : x , , x ∈ R , a = 0 x (2 + a)x + x x (−2 − a)x −x − x 7 4 5 0 (2 + a)x6 + x7 (−2 − a)x5 −x5 0 0 0 0 0 0 13 Kết luận Hầu đại số Lie G giải 7-chiều đẳng cấu với tập ảnh (chỉ trừ L1 L2 ) Phụ lục lệnh sử dụng Maple #Load some libraries with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras): #Creat and setup a new Lie algebra #Examle of L1 StructureEquations := [[x1, x2] = x3, [x1, x3] = x4, [x1, x7] = -x1, [x2, x7] = 2*x2, [x3, x7] = x3,[x5, x6] = -x5, [x6, x7] = x4] L1 := LieAlgebraData(StructureEquations, [x1], x2, x3, x4, x5, x6, x7], g); DGsetup(L1) #Find a centre of Lie algebra Center(L1) #Find adjoint transformation eval(x1*Adjoint(e1)+x2*Adjoint(e2)+x3*Adjoint(e3)+x4*Adjoint(e4) +x5*Adjoint(e5)+x6*Adjoint(e6)+x7*Adjoint(e7)) Phụ lục đại số Lie L giải 7-chiều có lũy linh g4 ⊗ g1 14 G giải 7-chiều có luỹ linh g4 × g1 Đại số Lie g4 × g1 có cấu trúc sau g4 × g1 = span{X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } : [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = X4 Lấy G đại số Lie giải 7-chiều, có lũy linh g4 × g1 Khi đó, G đẳng cấu với đại số Lie liệt kê đây1 Kí hiệu A B L1 L2 La3 Lab diag(0, 0, 0, 0, 1) diag(0, 1, 1, 1, 0) diag(0, 1, 1, 1, 0) diag(1, a, + a, + a, 0) La5 diag(1, 1, 2, 3, a) L6 diag(0, 1, 1, 1, 0) La7 diag(1, a, + a, + a, 1) Laδ diag(0, 1, 1, 1, a) diag(1, −2, −1, 0, 0) diag(1, 0, 1, 2, 0) diag(a, 0, a, 2a, 1) diag(0, b, b, b, 1) 1 δ Các móc Lie xác định trường hợp lũy linh g5,3 đề tài [X, Y ] Điều kiện X4 X5 0 a 6= b 6= 0 0 δ = ±1 Kí hiệu A L9 diag(0, 1, 1, 1, 1) La10 diag(1, a, + a, + a, a) L11 diag(0, 1, 1, 1, 1) La12 diag(1, a, + a, + a, + a) B 1 1 1 [X, Y ] 0 0 Điều kiện