1 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH Ký hiệu Tên tiếng Anh Tên tiếng Việt A, F Area Diện tích tiết diện a, b, c Dimensions, distances Khoảng cách C, G Centroid Tâm c Distance from neutral axis to outer su[.]
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH Ký hiệu A, F a, b, c C, G c D d e F, P g H h I Ix,Iy,Iz Ix1, Iy1 IO, JP k kO L M m N n O P p Q q, w R r, kO s T t v Tên tiếng Anh Tên tiếng Việt Area Dimensions, distances Centroid Distance from neutral axis to outer surface of a beam Diameter Diameter, dimension, distance Coefficient of restitution Force Acceleration of gravity Height, distance, horizontal force or reaction, horsepower, Angular momentum Height, dimensions Moment of inertia (or second moment) of a plane area Moments of inertia with respect to x, y, and z axes Moments of inertia with respect to x1 and y1 axes (rotated axes) Polar moment of inertia Spring constant, stiffness Radius of gyration Length, distance, linear impulse Bending moment, couple, mass Moment per unit length, mass per unit length Axial force Factor of safety, integer, revolutions per minute (rpm) Origin of coordinates Force, concentrated load, power Pressure (force per unit area) Force, concentrated load, first moment of a plane area Intensity of distributed load (force per unit distance) Reaction, radius Radius, radius of gyration Distance Tensile force, twisting couple or torque, temperature, kinetics Thickness, time, intensity of torque (torque per unit distance) Deflection of a beam, velocity Diện tích tiết diện Khoảng cách Tâm Khoảng cách từ trục trung hịa đến bề mặt ngồi dầm Đường kính Đường kính, khoảng cách Hệ số phục hồi Lực Gia tốc trọng trường Chiều cao, khoảng cách, lực ngang, công suất ngựa, mô men động lượng Chiều cao, khoảng cách Mơ men qn tính tiết diện Mơ men qn tính trục x,y,z Mơ men qn tính trục x1,y1 Mơ men qn tính cực (điểm) Hằng số đàn hồi, độ cứng lò xo Bán kính quán tính Chiều dài, khoảng cách, động lượng Mô men uốn, ngẫu lực, khối lượng Mô men đơn vị chiều dài, khối lượng đơn vị chiều dài Lực dọc Hệ số an toàn, số nguyên, vòng quay Gốc tọa độ Lực, tải trọng tập trung, công suất Áp suất Lực, lực tập trung, mô men tĩnh Cường độ lực phân bố Phản lực, bán kính Bán kính, bán kính quán tính Khoảng cách Lực căng, mô men xoắn, nhiệt độ, động Chiều dày, thời gian, cường độ mô men xoắn phân bố Độ võng dầm, vận tốc W w, q allow k s Force, weight, work Load per unit of area (force per unit area) Angle, coefficient of thermal expansion, angular acceleration Angle Normal stress Allowable stress Shear stress Normal strain Temperature differential Angle, angle of rotation of beam axis Radius, radius of curvature Angle, angle of twist of a bar in torsion Angular velocity Kinematic coefficient of friction Static coefficient of friction Lực, trọng lượng, công Cường độ lực đơn vị diện tích Góc, hệ số giãn nở nhiệt, gia tốc góc Góc Ứng suất pháp Ứng suất cho phép (ứng suất làm việc) Ứng suất tiếp Biến dạng Độ chênh nhiệt độ Góc, góc xoay Bán kính, bán kính đường cong Góc, góc xoắn Vận tốc góc Hệ số ma sát động Hệ số ma sát tĩnh Chủ đề CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TĨNH HỌC 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng, hệ quy chiếu hệ đơn vị a Chất điểm: Là điểm vật chất vô bé cho sai khác chuyển động phần tử thuộc chất điểm vô nhỏ, bỏ qua b Hệ chất điểm: Là hệ thống nhiều chất điểm, có ràng buộc (liên kết) lẫn cho chuyển động chất điểm không ảnh hưởng đến chất điểm khác c Vật rắn tuyệt đối: Là vật thể có hình dạng bất biến nghĩa khoảng cách hai phần tử ln ln khơng đổi d Vật rắn cân bằng: Là vật rắn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng so với hệ quy chiếu e Hệ quy chiếu: Là vật rắn chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vị trí vật khảo sát f Hệ đơn vị: Trong học, sử dụng đại lượng là: chiều dài, khối lượng, lực thời gian Những đại lượng liên hệ với định luật Newton Có hai hệ đơn vị mà người ta hay dùng hệ SI hệ US Hệ đơn vị SI: Là hệ thống đơn vị đo lường quốc tế viết tắt International System of Units Đây hệ đơn vị sử dụng phổ biến Hệ đơn vị US: Là hệ thống đơn vị Anh Mỹ (United States) thường sử dụng cho nước nói tiếng Anh Nó cịn ký hiệu FPS, viết tắt foot-pound-second Bảng 1.1 Bảng ký hiệu đơn vị đại lượng Đại lượng Chiều dài Khối lượng Lực Thời gian Hệ đơn vị SI Đơn vị Mét Kilogram Newton Giây Ký hiệu m kg N s Hệ đơn vị US Đơn vị Foot Slug Pound Second Ký hiệu ft slug lb sec Bảng 1.2 Một số tiền tố Tên gọi Tera Giga Mega Kilo Hecto Deka Deci Centi Milli Micro Nano Pico Femto Atto Ký hiệu T G M k h da d c m µ n p f a Quy đổi 10 12 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 Bảng 1.3 Một số đơn vị sử dụng học Đại lượng Chiều dài Khối lượng Lực Thời gian Góc Vận tốc Gia tốc Vận tốc góc Gia tốc góc Diện tích Mơ men lực Mơ men qn tính tiết diện Mơ men qn tính khối Động lượng Xung lượng Mô men động lượng Công, Năng lượng Công suất Áp suất, Ứng suất Tầng số Thể tích Khối lượng riêng Đơn vị Mét Kilogram Newton Giây Radian Mét/giây Mét/giây2 Radian/giây Radian/giây2 Mét2 Newton.mét Mét4 Kilogram.mét2 Kilogram.mét/giây Newton.giây Kilogram.mét/giây2 Jun Wat Pascal Hertz Mét3 Kilogram.mét3 Ký hiệu SI m kg N (kg.m/s2) s rad m/s m/s2 rad/s rad/s2 m2 N.m m4 kg.m2 kg.m/s N.s kg.m/s2 J (= N.m) W (= J/s) Pa (= N/m2) Hz (= s-1) m3 kg/m3 1.1.2 Lực, hệ lực, hệ lực cân Hướng a Lực: Độ lớn Là thước đo tác dụng tương hỗ học vật thể mà kết làm thay đổi hình dáng kích thước (biến dạng) trạng thái chuyển động vật thể Phương Hình 1.1: Cách biểu diễn lực Hay nói cách vắn tắt: Lực nguyên nhân gây biến đổi chuyển động biến dạng vật thể Lực có đặc trưng sau: - Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận tác dụng tương hỗ từ vật khác Hình 1.2: Cách biểu diễn điểm đặt lực - Phương, chiều: Biểu thị phương hướng chuyển động hay khuynh hướng chuyển động vật thể bị lực tác dụng - Độ lớn: Là thước đo tác dụng mạnh yếu lực biểu thị bội số lực lấy làm đơn vị Do dùng véctơ để biểu diễn đặc trưng lực, ví dụ như: F , P, hay F, P… (chữ hoa in đậm) b Hệ lực: F2 F1 Hệ thống nhiều lực tác dụng lên vật thể (chất điểm, vật rắn, hệ vật rắn) Ký hiệu: (F1, F2, F3, , Fn ) B (1.1) D A F3 C Fn c Hệ lực cân bằng: Hình 1.3: Hệ lực tác dụng lên vật rắn Là hệ lực tác dụng lên vật rắn cân mà không làm trạng thái cân Ký hiệu: (F1, F2 , F3, , Fn ) (1.2) d Hệ lực tương đương: Hai hệ lực coi tương đương với thay hệ lực hệ lực khác kết tác dụng lên vật thể không thay đổi Ký hiệu: (F1, F2, F3, , Fn ) (P1, P2, P3, , Pn) (1.3) e Hợp lực hệ lực: Là lực tương đương với hệ lực cho Ký hiệu: (F1, F2, F3, , Fn ) R (1.4) 1.2 MƠ MEN CỦA LỰC Mơ men lực quy ước đại lượng véctơ, đặc trưng cho tác dụng học làm vật thể quay bị biến dạng quanh điểm hay trục Hình 1.4: Minh họa mơ men 1.2.1 Mơ men lực điểm a Định nghĩa: Mô men lực F (đặt A) điểm (O) véctơ, ký hiệu mO (F ) (hoặc MO), có đặc trưng sau đây: - Phương: Vng góc với mặt phẳng chứa lực F điểm O - Chiều: Nếu nhìn từ điểm véctơ thấy lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ xác Hình 1.5: Cách biểu diễn mơ men định theo quy tắc vặn nút chai đinh vít - Độ lớn: Bằng tích độ lớn lực (F) nhân với khoảng cách từ lực tới điểm O (d) (1.5) mO ( F ) d F - Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft… - Quy ước: Mô men mang dấu dương thấy chiều quay quay ngược chiều kim đồng hồ cịn mơ men mang dấu âm ngược lại b Các tính chất mơ men: - Mơ men lực với điểm nằm đường tác dụng - Mơ men hai lực trực đối triệt tiêu - Hợp mô men nhiều lực điểm thực phương pháp cộng véctơ Ví dụ 1: Hãy xác định mô men lực tác dụng lên điểm O trường hợp cho hình 1.6 Giải: a M O F d 100(2) 200 N.m b M O F d 50(0.75) 37.5 N.m c M O F d 40(4 cos 300 ) 229 lb.ft d M O F d 60(1sin 450 ) 42.4 lb.ft e M O F d 7(4 1) 21.0 kN.m Hình 1.6: Minh họa ví dụ Ví dụ 2: Hãy xác định tổng mơ men tác dụng lên điểm P lực W1 đối trọng W2 Giải: - Phân tích lực tác dụng lên hệ hình vẽ - Hai lực gây mơ men điểm P là: W W - Lấy mô men P ta được: MP = D1W1 – D2W2 Hình 1.7: Minh họa ví dụ Ví dụ 3: Một lực F = 400 N tác dụng vào mã gia cường với góc hợp với phương thẳng đứng góc = 300 hình vẽ Hãy xác định mơ men lực F gây điểm O Giải: - Phân tích lực F thành thành phần Fx Fy với: Fx 400sin 300 N Fy 400cos 300 N Ta có: M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) - Bỏ dấu véctơ mô men ta được: M O 400sin 300 (0.2) 400cos 300 (0.4) -98.6 N.m Hình 1.7: Minh họa ví dụ 1.2.2 Mơ men lực trục a Định nghĩa: Mômen lực F trục ký hiệu m ( F ) đại lượng đại số có giá trị mơmen lực F' đối với điểm O, với F' hình chiếu lực F lên mặt phẳng vng góc trục O giao điểm trục mặt phẳng m ( F ) mO ( F ') (1.6) Mô men lực trục có giá trị dương làm cho vật có xu hướng quay ngược chiều kim đồng hồ nhìn đầu mút trục ngược lại có giá trị âm hay xác định theo quy tắc bàn tay phải O Hình 1.8: Mơ men lực trục b Tính chất: Mơ men lực trục không lực song song cắt trục Ví dụ 4: Xác định mơ men ba lực quanh trục x, y z Giải: Vì lực song song với trục nên ta xác định mô men trục cách dễ dàng: M x 60(2) 50(2) 220 lb.ft M y 50(3) 40(2) 230 lb.ft M z 40(2) 80 lb.ft My Mz mang dấu âm chứng tỏ véc tơ mô men có chiều ngược với trục tọa độ Hình 1.9: Minh họa ví dụ 1.3 NGẪU LỰC 1.3.1 Khái niệm ngẫu lực Ngẫu lực cặp lực song song trái chiều có cường độ Trong hệ lực không gian ngẫu lực quy ước đại lượng véctơ có đặc trưng sau: - Phương: Vng góc với mặt phẳng chứa lực - Chiều: Đứng từ đầu thấy ngẫu làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ (theo quy tắc bàn tay phải) Hình 1.10: Minh họa ngẫu lực - Cường độ: M = d.F (1.7) Với: d khoảng cách hai đường tác dụng hai lực ngẫu F giá trị lực - Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft 1.3.2 Các tính chất ngẫu lực a Tính chất 1: Mơ men điểm cặp ngẫu lực ln ln khơng đổi véctơ mô men ngẫu lực b Tính chất 2: Véctơ mơ men ngẫu lực véctơ mô men lực thành phần thứ điểm đường tác dụng lực thành phần thứ hai Hình 1.11: Minh họa tính chất 1,2 ngẫu lực c Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mơ men tương đương với Hình 1.12: Minh họa tính chất ngẫu lực Sự chuẩn xác nhận xét minh chứng hai tính chất sau: - Hai ngẫu lực nằm mặt phẳng, có chiều, giá trị tương đương - Tác dụng ngẫu lực không thay đổi ta dời ngẫu lực mặt phẳng hay đến mặt phẳng song song với Từ ta suy ra: - Ngẫu lực véctơ tự - Tác dụng ngẫu không thay đổi ta thực phép biến đổi mà không làm thay đổi phương chiều cường độ véctơ mô men d Tính chất 4: Hợp hai ngẫu lực ngẫu lực có véctơ mơ men tổng véctơ mô men hai ngẫu lực cho Ví dụ 5: Hãy xác định tổng ngẫu lực cặp ngẫu lực tác dụng vào phẳng hình 1.14 Hình 1.13: Minh họa tính chất ngẫu lực Giải: Trên hình vẽ thấy khoảng cách cặp ngẫu lực d 1, d2, d Chọn chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, có: M R M F1d1 F2 d F3d 200(4) 450(3) 300(5) 950 lb.ft Như vậy, tổng ngẫu lực tác dụng lên phẳng có độ lớn M R 950 lb.ft Dấu trừ chứng tỏ quay chiều kim đồng hồ 1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Hình 1.14: Minh họa ví dụ Toàn lý thuyết phần tĩnh học xây dựng tiên đề đây: 1.4.1 Tiên đề (Hệ hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ để hai lực cân chúng có đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, có cường độ điểm đặt (1.8) F1 F2 1.4.2 Tiên đề (Thêm bớt lực) Hình 1.15: Hình minh họa tiên đề Tác dụng lực không thay đổi ta thêm vào hay bớt hai lực cân Có thể mở rộng cho hệ lực: Tác dụng hệ lực không thay đổi thêm hay bớt hệ lực cân - Hệ 1: Khi ta trượt lực đường tác dụng tác dụng lực lên vật thể không thay đổi - Hệ 2: Khi hệ lực cân lực hệ lực lực trực hợp lực lực lại 1.4.3 Tiên đề (Hình bình hành lực) Hai lực tác dụng lên vật rắn điểm tương đương với lực đặt điểm chung có giá trị phương chiều biểu diễn véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực thành phần R F1 F2 (1.9) Từ tiên đề cho phép tìm hợp lực hệ gồm nhiều lực có điểm đặt, phân tích lực cho thành hai hay ba thành phần biết phương 10 Hình 1.16: Cách hợp lực hai lực P P P V Fy V P x P x L M M P L x M E 2 Tại tiết diện qua C hay x = L/2 M PL Tại tiết diện qua B hay x = L M = Ta vẽ biểu đồ lực cắt hình 9.5d biểu đồ mơ men hình 9.5e Chú ý: Ở trên, ta dùng phần cắt bên trái, phần AD phần AE, để tìm nội lực Kết nội lực hồn tồn tìm giống ta xét phần cắt bên phải, phần DB phần EB Ví dụ 2: Xây dựng biểu đồ nội lực cho dầm chịu lực hình 9.6a Giải: Giải phóng liên kết xác định phản lực hình 9.6d Xét đoạn dầm AB, dùng mặt cắt cắt đoạn dầm vị trí cách A khoảng x1 biểu diễn nội lực Xét điều kiện cân đoạn dầm bên trái (hình 9.6b) ta có: Fy 5.75 V 80 5.75 x1 M M V 5.75 kN M 5.75 x1 80 V 5.75 kN Tại A (x1 = m): M 80 kN.m V 5.75 kN Tại B (x1 = m): M 108.75 kN.m Xét đoạn dầm BC, dùng mặt cắt cắt đoạn (d) Hình 9.6: Minh họa ví dụ dầm vị trí cách A khoảng x2 biểu diễn nội lực Xét điều kiện cân đoạn dầm bên trái (hình 9.6c) ta có: 5.75 15 5( x2 5) V Fy x2 M 80 5.75 x2 15( x2 5) 5( x2 5) M V 15.75 x2 M 2.5 x2 15.75 x2 92.5 V 9.25 kN Tại B (x2 = m): M 108.75 kN.m V 34.25 kN Tại C (x2 = 10 m): M Biểu đồ lực cắt mơ men uốn biểu diễn hình 9.6d Chú ý: Ta dựa vào quan hệ sau lực tác dụng, lực cắt mô men uốn để kiểm tra lại biểu đồ hay thực để vẽ nhanh: - Nếu đoạn dầm khơng có lực phân bố (w = 0) biểu đồ lực cắt đường nằm ngang (hằng số), biểu đồ mô men đường bậc - Nếu đoạn dầm có lực phân bố (w = const) biểu đồ lực cắt đường bậc 1, biểu đồ mô men đường bậc - Nếu đoạn dầm có lực phân bố bậc (w = ax ) biểu đồ lực cắt đường bậc 2, biểu đồ mơ men đường bậc Nói chung biểu đồ mô men uốn, lực cắt, lực phân bố chênh bậc - Trong đoạn dầm biểu đồ mô men đạt cực trị vị trí có lực cắt - Ngồi ra, cịn có số điểm cần lưu ý vẽ biểu đồ sau: - Nếu có ngoại lực tập trung vị trí x0 dầm biểu đồ lực cắt có bước nhảy giá trị lực tập trung vị trí x0 - Nếu có mơ men tập trung vị trí x0 dầm biểu đồ mơ men uốn có bước nhảy giá trị mơ men tập trung vị trí x0 - Đường cong lồi đạo hàm bậc có giá trị âm ngược lại 9.3 UỐN PHẲNG THUẦN TÚY 9.3.1 Thí nghiệm dầm chịu uốn túy Xét biến dạng đoạn dầm hình 9.6 Hình 9.6: Biến dạng dầm chịu uốn túy mô men uốn M gây nên Vạch lên mặt thẳng chịu uốn hình 9.6a đường song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vng góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang Các đường tạo thành lưới ô vuông Sau biến dạng (hình 9.6b) ta nhận thấy đường thẳng song song với trục biến thành đường cong song song với trục thanh, đường vng góc với trục sau biến dạng cịn vng góc với trục thanh, nghĩa góc vng ln bảo tồn q trình biến dạng Ngồi quan sát thấy mặt bên bị dãn mặt bên bị co lại Như vậy, từ mặt bị dãn sang mặt bị co tồn mặt mà chiều dài không thay đổi trình biến dạng, gọi mặt trung hoà Giao tuyến mặt trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hịa Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hịa xem thẳng 9.3.2 Ứng suất dầm uốn phẳng túy Với uốn phẳng túy có ứng suất pháp xuất dầm mô men uốn M gây nên Với vật liệu nằm giới hạn đàn hồi, cơng thức dùng để tính ứng suất pháp lấy sau: Trong đó: M y I (9.1) M mô men uốn (N.m) I mơ men qn tính tiết diện quay quanh trục trung hịa (m4) y khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hịa (m) Hình 9.7: Ứng suất dầm chịu uốn Từ biểu thức (9.1) ta thấy rằng, ứng suất phân bố tuyến tính, xa trục trung hịa ứng suất lớn, trục trung hịa ứng suất Biểu đồ phân bố ứng suất thể hình 9.7b Ứng suất pháp lớn xác định: M M ymax I S I S modul chống uốn tiết diện (m3) ymax max Trong đó: (9.2) 1 (9.3) S bh Ah 6 Với dầm tiết diện tròn: S d3 (9.4) 32 Trong (9.3) cho thấy, hai dầm có diện tích mặt cắt dầm cao chống uốn tốt Với tiết diện hình chữ nhật: 9.4 UỐN NGANG PHẲNG 9.4.1 Thí nghiệm dầm uốn ngang phẳng Với dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang có ứng suất pháp mômen uốn M ứng suất tiếp lực cắt V gây nên gọi ứng suất cắt Hình 9.8 mơ tả tượng uốn ngang phẳng (trục bị uốn cong), làm cho MCN ban đầu không phẳng sau bị uốn ngang a) Trước chịu uốn b) Sau chịu uốn Hình 9.8: Dầm chịu uốn ngang phẳng Hình 9.9 cho ta thấy rằng: tác dụng lực P ba dầm khơng bị kết dính bị trượt lên Lúc dầm bị xơ lệch (hình 9.9a) Tuy nhiên, kết dính lại với dầm khơng bị xô lệch mà chịu uốn dầm đơn Sự xô lệch ứng suất cắt gây nên Hình 9.9: Thí nghiệm dầm chịu uốn ngang phẳng 9.4.2 Ứng suất pháp dầm chịu uốn ngang phẳng Ứng suất pháp ứng suất vng góc với mặt cắt mô men uốn M gây nên, xác định theo cơng thức (9.5) Cách tính giống uốn túy Trong đó: M y I (9.5) M mô men uốn (N.m) I mơ men qn tính tiết diện quay quanh trục trung hịa (m4) y khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hòa (m) 9.4.3 Ứng suất tiếp dầm chịu uốn ngang phẳng Ứng suất tiếp ứng suất nằm mặt cắt lực cắt V gây nên cịn gọi ứng suất cắt Hình 9.10: Ứng suất tiếp mặt cắt Khi xuất ứng suất cắt xy mặt đứng phân tố mặc nằm ngang có ứng suất tiếp yx xy (theo nguyên lý đối ứng suất tiếp) Thành phần ứng suất yx ứng suất cắt nằm dọc trục dầm Ứng suất tiếp mặt nằm ngang phân tố xác định cơng thức sau: VQ It (9.6) Trong đó: - V lực cắt xác định phương pháp mặt cắt phần trước (N) - Q y ' A ' mô men tĩnh (m3) - A’ diện tích phân tố (m2) - y ' khoảng cách tính từ trục trung hịa đến tâm diện tích A’ (m) - I mơ men qn tính tiết diện quanh trục trung hịa (m4) Hình 9.11: Minh họa cách tính ứng suất cắt - t chiều rộng mặt cắt nơi xác định ứng suất tiếp (m) Với tiết diện chữ nhật hẹp, ứng suất tiếp phân bố thể hình 9.12 Ứng suất tiếp đạt cực đại vị trí trục trung hồ b) Phân bố ứng suất tiếp toàn chiều a) Tiết diện dầm chữ nhật cao tiết diện Hình 9.12: Ứng suất tiếp với tiết diện chữ nhật hẹp max 3V 2A (9.7) Với A diện tích tiết diện (m2) 9.5 PHÂN TÍCH THIẾT KẾ DẦM CHỊU UỐN Khi dầm chịu uốn ứng suất pháp thường lớn nhiều so với ứng suất tiếp Do số trường hợp người ta bỏ qua ứng suất tiếp mà quan tâm đến ứng suất pháp Do đó, để tính tốn thiết kế dầm ta phải xác định vị trí tiết diện có mơ men uốn lớn Ứng suất pháp lớn dầm xác định: max M max I ymax M (9.8) max S Thiết kế dầm làm việc an toàn đòi hỏi ứng suất lớn phải nhỏ ứng suất cho phép [] vật liệu Điều kiện cho phép tìm tiết diện nhỏ cho dầm Điều kiện bền: max M max [ ] S S M (9.9) max [ ] Từ tiết diện dầm chọn thỏa mãn điều kiện bền, tiết diện có diện tích nhỏ tiết diện mang lại hiệu kinh tế cao Ví dụ 3: Một dầm AD có tiết diện hình chữ nhật (2a) đặt gối lăn B gối cố định D chịu lực hình 9.13 a Vẽ biểu đồ lực cắt mô men uốn dầm Xác định vị trí có mơ men uốn lực cắt lớn b Cho a = 100 mm [] = 95 MPa Kiểm tra bền cho dầm Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt c Nếu cho [] = 100 MPa, xác định kích thước a dầm Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt d Cho a = 100 mm Xác định ứng suất cắt lớn vị trí có lực cắt lớn Giải: a Vẽ biểu đồ nội lực: By Giải phóng liên kết dầm AD Xét cân dầm ta xác định phản lực: Dy Dx Dx = 0, Dy = 15 kN, By = 55 kN Sử dụng phương pháp mặt cắt ta xây dựng biểu đồ nội lực hình 9.13 Lực cắt lớn dầm nằm đoạn BC với Vmax = 35 kN, mô men uốn lớn B với Mmax = 60 kN.m 35 kN V 15 kN 20 kN 45 kN.m M b Kiểm tra bền cho dầm: Ta có: max M max S 60(103 ) (100)(10 3 ) (200)(10 3 ) 60 kN.m Hình 9.13: Minh họa ví dụ 60(103 )(6) 90(106 ) Pa 90 MPa (10-1 )(4)(10-2 ) Ta thấy: max 90 MPa [ ] 95 MPa nên dầm đủ bền c Xác định kích thước a dầm: Theo điều kiện bền: max M max [ ] S max M max 60(103 ) 60(103 )(6) 90(103 ) 100(10)6 3 S (4)( a ) ( a ) ( a)(2a ) a 90(10)3 0.9(10) 1 0.94 m 94 mm 100(10) d Xác định ứng suất cắt lớn nhất: Ta có: max 3V 3(35)(10 ) 26.25(105 ) Pa 2.63 MPa A 2(1)(2)(102 ) Ta thấy ứng suất pháp lớn nhiều so với ứng suất cắt Ví dụ 4: Một dầm AC có tiết diện hình chữ nhật (a×2a) đặt gối lăn B gối cố định A chịu lực hình 9.14 a Vẽ biểu đồ lực cắt mơ men uốn dầm Xác định vị trí có mơ men uốn lực cắt lớn b Cho a = 200 mm [] = 0.5 MPa Kiểm tra bền cho dầm Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt c Nếu cho [] = MPa, xác định kích thước a dầm Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt d Cho a = 200 mm Xác định ứng suất cắt lớn vị trí có lực cắt lớn Giải: a Vẽ biểu đồ nội lực: Giải phóng liên kết dầm AC Xét cân dầm ta xác định phản lực: Ax = 0, Ay = kN, By = kN Sử dụng phương pháp mặt cắt ta xây dựng biểu đồ nội lực hình 9.14 Lực cắt lớn dầm nằm B với Vmax = kN, mô men uốn lớn B với Mmax = kN.m kN kN V 5 kN 2.25 kN.m b Kiểm tra bền cho dầm: Ta có: max M M max S 4(103 ) kN.m (200)(10 3 ) (400)(10 3 ) 4(103 )(6) 0.75(10 ) Pa 0.75 MPa 2(10 -1 )(16)(10 -2 ) Hình 9.14: Minh họa ví dụ Ta thấy: max 0.75 MPa [ ] 0.5 MPa nên dầm khơng bền c Xác định kích thước a dầm: Theo điều kiện bền: max M max [ ] S max a M max 4(103 ) 4(103 )(6) 6(103 ) 2(10)6 3 S (4)(a ) (a ) ( a)(2a ) 6(10)3 3(10) 1 0.144 m 144 mm 2(10) d Xác định ứng suất cắt lớn nhất: Ta có: max 3V 3(5)(10 ) 0.94(105 ) Pa 0.094 MPa A 2(2)(4)(102 ) Ta thấy ứng suất pháp lớn nhiều so với ứng suất cắt Ví dụ 5: Một dầm chịu tác dụng lực đỡ hai đầu hình 9.15 Cho biết ứng suất pháp tiếp cho phép dầm [ ] 1800 psi [ ] 120 psi Xác định chiều cao tối thiểu dầm Giải: Vẽ biểu đồ lực cắt mô men uốn xác định vị trí nguy hiểm dầm Vmax kips M max 7.5 kip ft 90 kip in Xác định chiều cao dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp: M max 90(103 ) 1800 S 0.5833 d d 9.26in [ ] Xác định chiều cao dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp: [ ] Vmax 3000 120 A 3.5 d d 10.71in Như vậy: Chiều cao dầm phải tối thiểu là: d 10.71in Hình 9.15: Minh họa ví dụ 10 Chủ đề 10 THANH CHỊU LỰC TỔNG HỢP 10.1 GIỚI THIỆU CHUNG 10.1.1 Định nghĩa Thanh chịu lực phức tạp mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời tổ hợp thành phần nội lực lực dọc, mômen uốn mômen xoắn Khi chịu lực phức tạp, ảnh hưởng lực cắt đến độ bền nhỏ so với thành phần nội lực khác, nên tính tốn khơng xét đến lực cắt 10.1.2 Phạm vi nghiên cứu Trong chương xét chịu lực phức tạp mà q trình chịu lực cịn thỏa mãn điều kiện sử dụng nguyên lý cộng tác dụng, là: Hình 10.1: Thanh chịu lực phức tạp - Vật liệu phải đàn hồi tuyệt đối tuân theo định luật Hooke - Chuyển vị biến dạng phải bé để tính sơ đồ khơng biến dạng (sơ đồ chưa có tác dụng lực) Nguyên lý cộng tác dụng phát biểu sau: “Một đại lượng nhiều nguyên nhân tác dụng đồng thời gây tổng đại lượng nguyên nhân tác dụng riêng rẽ” Nhờ đó, chuyển vị hay ứng suất nhiều thành phần nội lực tác dụng đồng thời phân tích thành tổng chuyển vị hay ứng suất thành phần nội lực tác dụng riêng rẽ Mặt khác, sử dụng kết từ toán chịu lực đơn giản chịu kéo hay nén tâm, chịu uốn phẳng chịu xoắn túy Để việc nghiên cứu thuận lợi, toán chịu lực phức tạp xét theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp là: uốn xiên, uốn kéo (hay nén), kéo hay nén lệch tâm, uốn xoắn chịu lực tổng quát 10.2 UỐN XIÊN 10.2.1 Định nghĩa Thanh chịu uốn xiên mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực mômen uốn Mx mômen uốn My tác dụng mặt phẳng đối xứng yOz xOz (hình 10.3) Theo Cơ học lý thuyết, ta biểu diễn mơmen Mx My vectơ thẳng góc với mặt phẳng tác dụng chúng, tức trục x y, hợp hai mơmen Hình 10.2: Thanh chịu uốn mômen tổng Mu biểu diễn vectơ tổng hình học hai vectơ Mx, My Mu tác dụng mặt phẳng vOz, mặt phẳng thẳng góc với trục u chứa vectơ Mu chứa trục (hình 10.3) Hình 10.3: Các thành phần nội lực chịu uốn xiên Vậy nói: chịu uốn xiên mặt cắt ngang có mơmen uốn Mu tác dụng mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt phẳng quán tính trung tâm Như ta có: M u M x2 M y2 Đặc biệt, tiết diện trịn, đường kính trục đối xứng, nên mặt phẳng chứa trục mặt phẳng đối xứng Do đó, tiết diện trịn ln ln chịu uốn phẳng 10.2.2 Ứng suất pháp Tại điểm A (x,y) tiết diện, có Mx tác dụng gây ứng suất pháp M uốn túy mặt phẳng yOz z x y Tương tự, có My tác dụng Ix M ứng suất pháp uốn túy mặt phẳng xOz z y x Iy Khi Mx, My tác dụng, theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có: z M Mx y y x Ix Iy (10.1) Các số hạng công thức số đại số, dấu mômen uốn Mx, My tọa độ A(x,y) phải quy ước cho Mx My gây kéo điểm khảo sát ứng suất chúng gây phải dương ngược lại Như Mx, My lấy dấu dương chúng gây kéo điểm có y, x dương Trong tính tốn thực hành, thường dùng công thức kỹ thuật sau: z Mx Ix y My Iy x (10.2) Lấy dấu cộng (+) đại lượng gây kéo ngược lại, lấy dấu (–) 10.3 UỐN VÀ KÉO (NÉN) ĐỒNG THỜI 10.3.1 Định nghĩa Thanh chịu uốn cộng kéo (nén) đồng thời mặt cắt ngang có thành phần nội lực mômen uốn lực dọc 10.3.2 Ứng suất pháp Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy toán xét tổ hợp chịu uốn xiên kéo (nén) tâm Do đó, điểm mặt cắt ngang có tọa độ (x,y) chịu tác dụng ứng suất pháp tính theo cơng thức sau: z M Nz M x y y x F Ix Iy (10.3) Hình 10.4: Mắc xích chịu kéo uốn Hình 10.5: Nội lực chịu uốn kéo nén đồng thời Ứng suất pháp gây kéo quy ước dương Các số hạng công thức (10.3) số đại số, ứng suất Nz lấy (+) lực dọc kéo ngược lại lực nén lấy dấu trừ; ứng suất Mx, My lấy dấu công thức (10.1) uốn xiên, định hướng trục y,x dương phía gây kéo Mx, My lấy theo dấu y x Khi tính tốn thực hành, ta có cơng thức kỹ thuật: z Nz F Mx Ix y My Iy x (10.4) Các giá trị lấy giá trị tuyệt đối Còn lấy dấu “+” “-” trước số hạng tùy theo lực dọc kéo hay nén mômen uốn Mx, My gây ứng suất kéo hay nén điểm xét 10.4 UỐN – XOẮN ĐỒNG THỜI 10.4.1 Định nghĩa Một gọi xoắn uốn đồng thời Khi MCN có hai thành phần nội lực mômen xoắn mômen uốn (hình 5.8) 10.4.2 Ứng suất pháp với tiết diện trịn Ứng suất pháp mơmen uốn gây Ứng suất tiếp mômen xoắn gây nên phân bố trường hợp xoắn tuý (bỏ qua ảnh hưởng lực cắt Q) max M x2 M y2 M z2 Su Hình 10.6: Trục chịu uốn xoắn đồng thời M td ; M td M x2 M y2 M z2 Su (10.5) Ví dụ 10.1: Một khối trụ bỏ qua trọng lượng thân chịu tải trọng hình 10.7 Hãy xác định ứng suất pháp lớn điểm ABCD Hình 10.7: Minh họa ví dụ Giải: Dựa vào hình vẽ ta xác định độ lớn lực dọc mô men uốn là: Nz = 40 kN, Mx = 40(0.2) = kN.m, My = 40(0.4) = 16 kN.m Ứng suất pháp lực dọc gây là: P 40(103 ) 125 kPa A 0.8(0.4) Ứng suất pháp lớn mô men uốn kN.m gây là: max Mx 8(103 )(0.2) y 375 kPa Ix 12 0.8(0.4) Ứng suất pháp lớn mô men uốn 16 kN.m gây là: max My Iy x 16(103 )(0.4) 375 kPa 12 0.4(0.8) Biểu đồ phân bố ứng suất thể hình 10.7 Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất ta thấy C có ứng suất pháp lớn với độ lớn là: C 125 375 375 875 kPa Ví dụ 10.2: Một dầm chịu tải trọng tác dụng hình 10.7 Hãy xác định ứng suất C dầm Lực dọc Lực cắt Mô men n Hình 10.7: Minh họa ví dụ Giải: Dùng phương pháp mặt cắt ta xác định nội lực C dầm là: N = 16.5 kN, V = 21.93 kN, M = 32.89 kN.m Ứng suất C lực dọc gây có độ lớn là: C P 16.45(103 ) 1.32 MPa A 0.05(0.25) Theo biểu đồ phân bố ứng suất tiếp MCN hình chữ nhật C = Ứng suất C mơ men uốn gây có độ lớn là: C M 32.89(103 ) y 0.125 63.16 MPa A 0.05(0.25) 12 Ứng suất C là: C 63.16 1.32 64.5 MPa 10.5 ỨNG SUẤT TRONG THÀNH MỎNG Bình chứa hình trụ hình cầu sử dụng phổ biến ngành công nghiệp để phục vụ nồi hay két Dưới áp lực, vật liệu làm phải chịu tải trọng từ tất hướng Các bình chứa đa số sử dụng với thành mỏng Nói chung, thành mỏng đề cập có tỷ lệ định: bán kính chiều dày thành phải lớn 10 (r/t 10) Có hai dạng bình chứa là: dạng hình trụ dạng hình cầu 10.5.1 Bình chứa dạng hình trụ Xét két hình trụ hình 10.8a, có chiều dày t, bán kính r chịu áp lực p chất khí chứa bên Áp lực chất khí tác dụng vào thành theo hướng Có hai hướng cần xem xét theo chiều ngang két tạo nên ứng suất 1 dọc chiều dài két tạo nên ứng suất 2 Các ứng suất 1 2 xác định theo công thức: pr t pr 2 2t 1 (10.6) (10.7) Hình 10.8: Két hình trụ 10.5.2 Bình chứa dạng hình cầu Chúng ta phân tích nồi áp suất hình cầu cách tương tự Xét tàu có chiều dày t, bán kính r phải chịu áp lực p, hình 10.9 Lúc ứng suất thành két là: 2 pr 2t (10.8) Hình 10.9: Két hình cầu Ví dụ 3: Một bình áp lực hình trụ có đường kính ft chiều dày 0.5 in Xác định áp suất lớn mà chịu ứng suất theo chiều dọc khơng vượt q 20 ksi Với điều kiện tương tự, áp suất lớn mà bình hình cầu chịu bao nhiêu? Giải: Sử dụng công thức 10.6 để xác định áp suất bình hình trụ: 1 pr 20(0.5) p 0.417 ksi t 24 Sử dụng công thức 10.8 để xác định áp suất bình hình cầu: 2 pr 20(2)(0.5) p 0.833 ksi 2t 24 ... Phương trình chuyển động song phẳng vật rắn Phương trình chuyển động vật: x A x A (t ) y A y A (t ) (t ) (4.31) Hai phương trình đầu thể vật chuyển động tịnh tiến Phương trình. .. Minh họa ví dụ 2.6 BÀI TỐN SIÊU TĨNH Khi lập hệ phương trình cân cho vật hệ vật, nếu: - Số phương trình số ẩn ta có tốn tĩnh định - Số phương trình nhỏ số ẩn ta có tốn siêu tĩnh Một nguyên nhân... x x (t ) (4.1) y y (t ) x z z (t ) Hình 4.1 Các phương trình (4.1) phương trình chuyển động điểm phương trình quỹ đạo điểm viết dạng tham số tọa độ Descartes b Vận tốc điểm: Vận