80 Chủ đề 7 THANH CHỊU LỰC DỌC TRỤC PHẦN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 7 1 GIỚI THIỆU CHUNG Những chi tiết chịu lực dọc trục là những chi tiết chịu tác dụng của lực dọc theo đường tâm trục của nó như trụ cọc ch[.]
Chủ đề THANH CHỊU LỰC DỌC TRỤC PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 7.1 GIỚI THIỆU CHUNG Những chi tiết chịu lực dọc trục chi tiết chịu tác dụng lực dọc theo đường tâm trục trụ cọc chịu tác dụng đầu búa (hình 7.1a), chi tiết bị ngàm hai đầu bị nung nóng (hình 7.1b) chi tiết liên kết khớp nối hai đầu (hình 7.1c)… a) b) c) Hình 7.1: Các chi tiết chịu lực dọc trục 7.2 NỘI LỰC TRONG THANH CHỊU LỰC DỌC TRỤC Trong chịu lực dọc trục mặt ngang có thành phần nội lực lực dọc trục N Nội lực N qui ước dương từ mặt cắt hướng ngồi hình 7.2a Biểu đồ phân bố nội lực dọc theo chiều dài trục gọi biểu đồ nội lực dọc trục a) b) Hình 7.2: Lực dọc biểu đồ lực dọc 7.3 ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TRONG THANH CHỊU LỰC DỌC TRỤC 7.3.1 Ứng suất pháp Trên mặt cắt ngang chịu dọc trục có ứng suất pháp, xác định theo cơng thức sau: N (7.1) avg A Trong đó, N nội lực dọc trục mặt cắt, A diện tích tiết diện mặt cắt, ứng suất mặt cắt 80 Hình 7.3: Phân bố ứng suất mặt cắt Phân bố ứng suất mặt cắt thể hình 7.3 Ta thấy ứng suất lực phân bố toàn mặt cắt nội lực N hợp lực hệ lực phân bố 7.3.2 Biến dạng dài Biến dạng dài tuyệt đối độ giãn dài thanh, hình 7.4 Biến dạng dài tương đối thành ký hiệu tính: (7.2) L Trong đó: L chiều dài Theo định luật Hooke: E N E A.E (7.3) Kết hợp (7.2) ta được: N L A.E (7.4) Hình 7.4: Biến dạng dài chịu lực dọc trục Với có nhiều tiết diện khác hay vật liệu khác tính sau: i N i Li Ai Ei (7.5) Trong đó: i số đoạn thanh, E modul đàn hồi kéo nén Trong trường hợp tổng quát: L N ( x) dx E ( x) A( x) (7.6) Ví dụ 1: Một thép A-36 gồm hai đoạn có tiết diện khác (hình 7.5a) AAB = in2 ABD = in2 Hãy xác định biểu đồ nội lực dọc trục, ứng suất đoạn AB, BC CD, khoảng cách B so với C điểm cuối A so với D Biết modul đàn hồi thép A-36 E = 29(103) ksi Hình 7.5: Minh họa ví dụ 81 Giải: Vì lực tác dụng dọc trục đoạn AB, BC CD khác nên ta áp dụng phương pháp mặt cắt phương trình cân đoạn để xác định lực dọc đoạn hình 7.5b Hai đoạn AB BC chịu kéo đoạn CD chịu nén Trong đó: NAB = 15 kip, NBC = kip, NCD = -9 kip Biểu đồ nội lực xây dựng hình 7.5c - Ứng suất đoạn xác định sau: AB N AB 15 15 ksi AAB BC N BC 3.5 ksi ABC CD N CD 4.5 ksi ACD - Khoảng cách từ điểm B so với C: B /C N BC LBC 7(1.5)(12) 0.00217 in ABC E 2(29)(103 ) - Khoảng cách từ điểm cuối A so với D: A/ D A/ B B /C C / D N AB LAB N BC LBC N CD LCD AAB E ABC E ACD E 15(2)(12) 7(1.5)(12) (9)(1)(12) 0.0127 in 1(29)(103 ) 2(29)(103 ) 2(29)(103 ) Ví dụ 2: Xác định biến dạng chịu lực hình 7.6a Biết làm từ vật liệu có E = 29(10)3 ksi Giải: Chia làm đoạn, AB, BC, CD, dùng mặt cắt đoạn để tìm nội lực đoạn thanh, hình 7.6c Xét cân cho đoạn ta xác định nội lực: N1 = 60 kip, N2 = -15 kip, N3 = 30 kip Xác định biến dạng dài toàn bộ: i PL 1NL N L N L i i 1 2 3 Ai Ei E A1 A2 A3 60 12 15 12 30 16 29(10)3 0.9 0.9 0.3 75.9(10) 3 in Hình 7.6: Minh họa ví dụ 82 Ví dụ 3: Thanh cứng tuyệt đối BDE treo hai AB CD Thanh AB làm nhôm (EAB = 70 GPa) tiết diện ngang 500 mm2 Thanh CD làm thép (ECD = 200 GPa) có tiết diện ngang 600 mm2 Một lực 30 kN tác dụng vào E Hãy xác định ứng suất AB, CD chuyển vị B, D E Giải: Hình 7.7: Minh họa ví dụ Khi tác dụng lực vào hai treo AB CD chịu lực dọc trục Giải phóng liên kết xét cân BDE ta có: Fy N AB NCD 30 N AB 60 kN NCD (0.2) 30(0.6) N CD 90 kN M B Như vậy: AB bị nén CD chịu kéo Ứng suất thanh: AB N AB 60(103 ) 120 MPa AAB 500(10-6 ) CD NCD 90(103 ) 150 MPa ACD 600(10-6 ) Chuyển vị B độ giãn dài AB: B N AB LAB 60(103 )(0.3) 514(106 ) m 0.514 mm AAB E AB 500(10-6 )70(109 ) Chuyển vị D độ giãn dài CD: 83 D NCD LCD 90(103 )(0.4) 300(106 ) m 0.3 mm ACD ECD 600(10-6 )200(109 ) Để tìm chuyển vị E ta dựa vào quan hệ chuyển vị: BB BH 0.514 200 x x 73.7 mm DD HD 0.300 x EE HE 400 73.7 E E 1.928 mm DD HD 0.300 73.7 7.4 ỨNG SUẤT CHO PHÉP – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN 7.4.1 Ứng suất cho phép Ta gọi ứng suất nguy hiểm, ký hiệu o, trị số ứng suất mà ứng với vật liệu xem bị phá hoại Đối với vật liệu dẻo o = ch, vật liệu dòn o = b Nhưng chế tạo, vật liệu thường khơng đồng chất hồn tồn trình sử dụng tải trọng tác dụng vượt tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc kết cấu hay chi tiết chưa xem xét đầy đủ, giả thiết tính tốn chưa với làm việc kết cấu Vì ta khơng tính tốn theo o Chúng ta phải chọn hệ số an toàn n lớn để xác định ứng suất cho phép kí hiệu [] để tính tốn Khi đó: [ ] o n (7.7) Hệ số an toàn thường nhà nước hay hội đồng kỹ thuật nhà máy qui định 7.4.2 Ba toán a Kiểm tra bền: Để đảm bảo làm việc an toàn chịu kéo (nén) tâm, ứng suất phải thoả mãn điều kiện bền: max N A (7.8) b Chọn kích thước tiết diện: Khi biết trước ứng suất cho phép tải trọng tác dụng, ta tính tốn kích thước chi tiết để làm việc an tồn theo công thức sau: A P [ ] (7.9) c Chọn tải trọng cho phép: Khi biết kích thước vật liệu chi tiết, ta chọn giới hạn tải trọng phù hợp để chi tiết làm việc an tồn theo cơng thức: P A (7.10) Ví dụ 4: Cho trịn đặc thép A-36 có đường kính d chịu lực hình vẽ a Cho d = 50 mm [] = MPa Kiểm tra bền cho b Nếu cho [] = MPa, xác định đường kính d Giải: 84 Nội lực đoạn xác định biểu đồ nội lực hình vẽ a Kiểm tra bền cho trục: Ta có: kN N 12(103 ) max max A / (50)(103 ) 6.1(106 ) Pa 6.1 MPa 12 kN kN Hình 7.8: Minh họa ví dụ Vì max = 6.1 MPa < [] = MPa nên trục đủ bền b Xác định đường kính d thanh: max N max 12(103 ) 5(106 ) A / 4d 12(103 ) d 55.2(103 ) m d 55.2 mm 5(106 ) 7.5 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 7.5.1 Khái niệm Kết cấu siêu tĩnh kết cấu có số liên kết nhiều mức cần thiết để kết cấu tồn cân ổn định Số liên kết thừa gọi số bậc siêu tĩnh Kết cấu siêu tĩnh có độ cứng lớn so với kết cấu tĩnh định Ví dụ kết cấu siêu tĩnh thể hình 7.9 a) b) Hình 7.9: Các kết cấu siêu tĩnh 7.5.2 Cách xác định phản lực liên kết Những kết cấu siêu tĩnh (statically indeterminate) phản lực liên kết xác định đơn từ điều kiện cân tĩnh thông thường Để giải tốn siêu tĩnh, ngồi việc thiết lập phương trình cân tĩnh cịn cần phải thiết lập phương trình tương thích chuyển vị Thơng thường, kết cấu siêu tĩnh, liên kết thừa thay phản lực tương ứng xem chúng ngoại lực (chưa biết giá trị) Khi đó, kết cấu trở kết cấu tĩnh định thông thường với ngoại lực gồm phản lực từ liên kết thừa Chuyển vị kết cấu tĩnh định phải tương thích với chuyển vị kết cấu siêu tĩnh tương ứng Ví dụ, với kết cấu hình 7.9a điều kiện chuyển vị độ giãn dài tồn (vì bị ngàm hai đầu) 85 Ví dụ 5: Một dầm tuyệt đối cứng treo thép A-36 AB, CD EF có tiết diện là: 50 mm2, 30 mm2 50 mm2 Nếu tác dụng vào dầm lực 15 kN hình 7.10, xác định nội lực Hình 7.10: Minh họa ví dụ Giải: Giải phóng liên kết dầm cứng xét cân dầm ta có: Fy N N C N E 15 A M C N A (0.4) 15(0.2) N E (0.4) (1) (2) Mặt khác, tải trọng làm cho đường thẳng nằm ngang ACE di chuyển xuống nằm nghiêng A’C’E’ Theo quan hệ hình học ta có: C N L 1 N L N L A E C A E N C 0.3 N A 0.3N E 30 E 50 E 50 E (3) Giải phương trình (1), (2) (3) ta được: NA = 9.52 kN, NC = 3.46 kN, NE = 2.02 kN Ví dụ 6: Một trục thép có E = 200 GPa, đường kính 10 mm ngàm A Trước chịu lực tác dụng, khoảng cách B tường B’ 0.2 mm Hãy xác định phản lực A B’ trục thép chịu tải trọng 20 kN hình vẽ Bỏ qua kích thước gờ C Giải: Giải phóng liên kết trục thép hình 7.11 Ở ta giả thiết rằng, lực P đủ làm cho trục thép tác dụng vào tường B’ Ta có phương trình: Fx FA – FB 20(103 ) 86 Hình 7.11: Minh họa ví dụ (1) Ta thấy rằng, lực P làm cho điểm B di chuyển đến diểm B’ Nghĩa trục thép giãn khoảng = 0.2 mm Ta có: FA LAC FB LCB FA (0.4) FB (0.8) 0.0002 AE AE (0.005) 200(10 ) (0.005) 200(109 ) Hay: FA (0.4) FB (0.8) 3141.59 (2) Từ (1) (2) ta có: FA = 16 kN, FB = 4.05 kN Vì FB nên điểm B tiếp xúc với tường B’ 7.5.3 Ứng suất biến dạng nhiệt gây Sự thay đổi nhiệt độ gây nên thay đổi chiều dài hay gọi biến dạng nhiệt (thermal strain) Biến dạng nhiệt không gây ứng suất trừ kết cầu bị ràng buộc biến dạng Thay ràng buộc thừa phản lực áp dụng nguyên lý cộng tác dụng T T L (7.11) PL AE Trong đó: hệ số giãn nở nhiệt T mức thay đổi nhiệt độ Biến dạng nhiệt phản lực thừa sinh phải tương thích: P PL 0 AE (7.12) P E T E T A (7.13) T P T L Ví dụ 7: Một thép A-36 (E = 29(103) kip/in2) bị ngàm hai đầu chịu nhiệt độ T1 = 60oF (hình 7.13) Nếu tăng nhiệt độ lên T2 = 120oF, xác định ứng suất xuất Giải: Hình 7.12: Xác định biến dạng nhiệt Hình 7.13: Minh họa ví dụ 87 Giải phóng liên kết cho thanh, ta thấy hai phản lực A B ngược chiều FA = FB = F Vì bị ngàm hai đầu nên A/B = Thanh bị giãn tăng nhiệt độ T bị nén lại lực F F Như ta có: A/B = T - F = Với: T T L F F L A.E F L F T A.E A.E 6.6(106 )(120 60)(0.5)2 29(103 ) 2.87 kip Thay vào ta được: T L Ứng suất xuất là: F 2.87 11.5 ksi A 0.52 88 PHẦN B: BÀI TẬP CHỦ ĐỀ Bài 1: Một trục làm hợp kim nhôm 6061-T6 (E = 68.9 GPa) có cấu tạo sau: đoạn AB CD trục đặc có đường kính 20 mm, BC trục rỗng có mặt cắt ngang a-a hình vẽ Hãy xây dựng biểu đồ nội lực xác định khoảng dịch chuyển D so với A Bài 2: Một trục thép A.36 (E = 200 GPa) có đường kính 20 mm chịu lực hình vẽ Hãy xác định biểu đồ nội lực khoảng dịch chuyển điểm C so với A Bài 3: Một trục bao gồm đoạn ống (1) với đường kính ngồi do1 = 1.25 in đường kính bên di1 = 0.875 in, tròn đặc đoạn (2) với d2 = 1.25 in đoạn tròn đặc (3) với đường kính d3 = 0.875 in Xác định ứng suất đoạn trục 1, Nếu L1 = L2 = L3 = 20 in E = 30(10)3 ksi, xác định chuyển vị điểm D Bài 4: Dầm AB dài 12 ft trọng lượng Wb = 180 lb dùng để giữ máy điều hòa khơng khí có trọng lượng Wa = 900 lb Dầm treo (1) (2) Nếu đường kính d = 0.5 in có độ dài L1 = L2 = ft, hai làm thép có E = 30(10)3 ksi, xác định chuyển vị A B góc xoay dầm AB 89 A Bài 5: Một dầm AB tuyệt đối cứng với tổng chiều dài m treo dọc hai đầu chịu lực C P = 60 kN Đường kính treo d1 = 25 mm d2 = 20 mm, hai làm thép (E = 210 GPa) Bỏ qua trọng lượng dầm AB a) Khoảng cách x phải để uB = uA (u độ dịch chuyển điểm) b) Xác định ứng suất xuất treo Bài 6: Một dầm AB tuyệt đối cứng với tổng chiều dài m treo dọc hai đầu chịu lực C P = 60 kN Đường kính treo d1 = 25 mm Cả hai treo làm thép (E = 210 GPa) Bỏ qua trọng lượng dầm AB Nếu uB = 2uA, xác định đường kính, d2 treo B Điểm C dịch chuyển khoảng bao nhiêu? Bài 7: Cho trịn đặc thép có E = 200 GPa đường kính d chịu lực hình a Vẽ biểu đồ nội lực b Cho d = 50 mm Hãy xác định độ giãn dài c Nếu cho d = 50 mm [] = 35 MPa, kiểm tra bền cho Bài 8: Một thép tuyệt đối cứng giữ hai cột BD CE có đường kính 100 mm E = 75 GPa Nếu lực P = 50 kN cung cấp vào đầu A, xác định ứng suất cột độ dịch chuyển điểm A 90 Bài 9: Một trục bị ngàm hai đầu với đoạn AB làm thép có Es = 200 GPa, αs = 11.7(10-6)/oC đoạn BC làm đồng có Eb = 105 GPa, αb = 20.9(10-6)/oC Nếu nhiệt độ trục tăng lên 50oC, xác định ứng suất đoạn trục Biết ban đầu trục không bị giãn hay nén Bài 10: Ba treo làm thép A.36 (E = 200 GPa) có tiết diện 450 mm2 Xác định ứng suất pháp trung bình dầm tuyệt đối cứng chịu lực hình vẽ Bài 11: Nếu độ hở C tường cứng D 0.15 mm, xác định phản lực A D cung cấp vào lực P = 200 kN Thanh cấu tạo thép A-36 (E = 200 GPa) Bài 12: Dầm cứng AD giữ chốt D thép điểm A C Bỏ qua trọng lượng dầm treo có ứng suất P = Xác định lực F1, F2 treo sau tải P cung cấp độ giãn (1) Đồng thời xác định góc xoay dầm Biết: a = 0.5 m, b = 1.5 m, E1 = E2 = 210 GPa, P = 50 kN, A1 = A2 = 500 mm2, L1 = m, L2 = m Bài 13: Hai thép (A = 0.05 in2, E = 30(10)3 ksi, = 6.5(10)-6/oC) gắn điểm A C vào cứng vuông, khung giữ chốt B Xác định ứng suất (1) (2) nhiệt độ (1) giảm 50oC 91 ... vào ta được: T L Ứng suất xuất là: F 2.87 11.5 ksi A 0.52 88 PHẦN B: BÀI TẬP CHỦ ĐỀ Bài 1: Một trục làm hợp kim nhơm 6061-T6 (E = 68.9 GPa) có cấu tạo sau: đoạn AB CD trục đặc