Luận văn nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

Mở đầu Lý chọn đề tài BEC trạng thái lượng tử vĩ mô số lượng lớn hạt vi mô phần lớn hạt boson chiếm mức lượng thấp nhiệt độ hệ hạt nhỏ nhiệt độ tới hạn Trạng thái lượng tử đặc biệt liên quan mật thiết tới nhiều đặc tính quan trọng vật chất chẳng hạn siêu dẫn (superconductivity), rối lượng tử (quantum entanglement), độ trung thành lượng tử (quantum fidelity) Vì vậy, nghiên cứu BEC có ứng dụng quan trọng lĩnh vực công nghệ then chốt vật liệu, điện tử, thông tin lượng tử Khơng lâu sau thành cơng thí nghiệm tồn BEC (1995), pha phân tách hệ BEC hai thành phần nghiên cứu lý thuyết (1998) [1, 2] sau nghiên cứu thực nghiệm (1999) [3–12] Kể từ đó, nghiên cứu BECs thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học toàn cầu đạt nhiều thành tựu Nhiều cơng trình nghiên cứu tính chất tĩnh, tính chất động lực học BECs cơng bố [13–44] Trong điển hình nghiên cứu trạng thái bản, sức căng bề mặt [2, 16, 40–44], dao động kích thích bề mặt (sóng bề mặt) [13, 15, 17, 20, 28, 29] Từ đây, nhiều tượng vật lý quan trọng BECs khám phá chẳng hạn chuyển pha ướt (wetting phase transition) [42–44], bất ổn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylor instability), bất ổn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability) [18, 24–27] Sử dụng phương pháp MFA phương pháp gần khác (DPA, TPA), nghiên cứu sức căng bề mặt chuyển pha ướt hệ BECs không giới hạn giải cách có hệ thống [40–42], sau phát triển thêm [43, 44] với nhiều kết quan trọng Tuy nhiên, tất nghiên cứu chưa xem xét tới ảnh hưởng giới hạn khơng gian tới đặc tính vật lý hệ Trong đó, tượng chuyển pha đặc tính vật lý hệ lượng tử không gian giới hạn nghiên cứu chuyên sâu ý nghĩa đặc biệt phát triển cơng nghệ [45–59] Do vậy, hình thành lĩnh vực nghiên cứu Vật lý hệ lượng tử khơng gian giới hạn Vì lý nêu trên, định chọn đề tài luận án Nghiên cứu hiệu ứng không gian giới hạn ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần Lịch sử vấn đề BEC tiên đoán lý thuyết Bose S N Einstein A cách 90 năm [60] Thí nghiệm BEC khí boson siêu lạnh (87 Rb, 23 Na, Li) tạo sau 70 năm [61–66] Những kết thí nghiệm xác nhận tồn BEC ghi nhận giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho Conell E A., Wieman C E Ketterle W thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí lỗng ngun tử kiềm [64] Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm khí siêu lạnh phát triển mạnh mẽ, người ta tạo BEC từ hai thành phần khí khác Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển hầu hết tham số quan trọng, chẳng hạn cường độ tương tác hai thành phần, nhằm tạo trạng thái theo ý muốn [12] Nhờ đó, nhiều tượng lượng tử hệ BECs bất ổn định, hình thành xốy (votex), vách ngăn (domain wall) hai thành phần, trạng thái soliton, đơn cực (monopole) [67–76] kiểm chứng thực nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho nhà khoa học nghiên cứu loại vật chất đặc biệt Bước phát triển quan trọng nghiên cứu lý thuyết BEC đánh dấu thành công Gross E P Pitaevskii L P việc thiết lập GPE(s) dựa MFA [59, 65, 66] GPE(s) cho thấy hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn phương trình thủy động lực học [65,66] Thực nghiệm xác nhận BEC có tính chất tương tự với chất lỏng lượng tử (4 He) Từ mở hướng nghiên cứu đầy triển vọng nghiên cứu tượng lượng tử BEC tương tự với tượng biết thủy động lực học cổ điển, có sức căng bề mặt chuyển pha ướt Để nghiên cứu đặc tính vật lý hệ BECs, việc quan trọng phải tìm hàm sóng hệ hạt trạng thái ngưng tụ thông qua lời giải GPEs Tuy nhiên, GPEs hệ phương trình vi phân bậc hai phi tuyến tính liên kết nên việc tìm lời giải xác thách thức, ta giải số trường hợp đặc biệt [43], chủ yếu phải dựa vào tính số kết hợp với phương pháp gần [2, 29, 43, 44, 77] Bằng giải pháp tuyến tính hóa tham số trật tự phía mặt phân cách, Ao P Chui S T tìm nghiệm gần GPEs cho hệ BECs, từ tính sức căng mặt phân cách hệ có số hạt xác định bị giam giếng hữu hạn [2] Trên sở xem xét giới hạn phân tách yếu phân tách mạnh BECs, Barankov R A tìm lời giải cho GPEs điều kiện tương ứng xác định sức căng mặt phân cách hệ theo hàm sóng ngưng tụ [16] Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ tường quang học (optical wall), hay gọi chuyển pha ướt hệ BECs, Indekeu J O Schaeybroeck B V đề cập [40], sau tiếp tục phát triển dựa tính toán sức căng bề mặt lý thuyết GP Schaeybroeck B V [41], nghiên cứu hoàn thiện [42] Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa tham số trật tự Ao P Chui S T [2], Indekeu J O cộng xây dựng thành công phương pháp DPA [43], sau mở rộng thành TPA [44], nhờ tìm nghiệm giải tích gần GPEs Từ đây, tác giả tính tốn cách chi tiết sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt ngưng tụ tường cứng, dựa qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha ướt So sánh với kết thu từ tính tốn lý thuyết GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt DPA TPA tiệm cận với kết tính số trạng thái phân tách hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation) [43, 44] Kết nghiên cứu có điểm chung sức căng mặt phân cách lượng tương tác hai thành phần ngưng tụ đơn vị diện tích mặt phân cách, đóng góp thành phần vào sức căng mặt phân cách tỉ lệ thuận với độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ tương ứng [2, 16, 41–45] Trong luận án này, mở rộng phương pháp DPA để nghiên cứu hệ BECs bị giới hạn tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng giới hạn không gian tới tính chất vật lý bề mặt tĩnh tượng chuyển pha ướt hệ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hưởng giới hạn không gian tới tính chất vật lý hệ BECs bị giới hạn tường cứng song song với mặt phân cách, trạng thái cân Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn tường cứng hai tường cứng • Nhiệm vụ nghiên cứu: ♦ Tìm hàm sóng ngưng tụ hệ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Robin tường cứng; ♦ Xác định sức căng mặt phân cách hai thành phần; ♦ Xác định sức căng bề mặt ngưng tụ tường cứng; ♦ Vẽ giản đồ chuyển pha ướt ngưng tụ bề mặt tường cứng; ♦ Chỉ ảnh hưởng giới hạn khơng gian tính chất vật lý hệ; ♦ Đề xuất mơ hình thí nghiệm kiểm chứng kết nghiên cứu số vấn đề nghiên cứu • Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs nhiệt độ cực thấp, không phụ thuộc thời gian, GCE CE Phương pháp nghiên cứu Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với hỗ trợ phần mềm tính tốn Đóng góp luận án Luận án đóng góp kết nghiên cứu tính chất vật lý hệ BECs bị giới hạn tường cứng, đóng góp trình bày phần Kết luận luận án Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận án trình bày chương: Chương Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein 1.2 Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn 1.3 Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn 1.4 Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn tường cứng 1.5 Năng lượng dư mặt phân cách hệ BECs Chương Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt hệ BECs bị giới hạn tường cứng 2.1 Trạng thái hệ BECs bị giới hạn tường cứng 2.2 Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt hệ BECs tập hợp tắc lớn 2.3 Sức căng mặt phân cách hệ BECs tập hợp tắc Chương Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ BECs bị giới hạn hai tường cứng 3.1 Trạng thái hệ BECs bị giới hạn hai tường cứng 3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet hai tường cứng Lực Casimir-like 3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin hai tường cứng Chương Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương trình bày vấn đề có liên quan trực tiếp tới nghiên cứu chương tiếp theo, bao gồm nội dung sau: Tổng quan BEC; Lý thuyết GP phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn; Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn tường cứng; Năng lượng dư (excess energy) mặt phân cách hệ BECs GCE CE Trong trọng tâm GPEs phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn tường cứng 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein Trong hệ khí boson lý tưởng (khơng tương tác) gồm N hạt có spin nguyên chiếm thể tích V tuân theo quy luật thống kê Bose-Einstein, số hạt có lượng từ εk đến εk + dε dN (εk ) = n ¯ (εk )ρ(εk )dε, n ¯ (εk ) = e εk −µ kB T (1.1) −1 công thức thống kê Bose-Einstein xác định số hạt trung bình lấp đầy mức lượng khoảng (εk , εk + dε), ρ(εk ) = gV (2m)3/2 1/2 εk 4π ~3 (1.2) Ở đây, µ hóa học, kB số Boltzmann, T nhiệt độ tuyệt đối hệ, g bội suy biến (phụ thuộc vào spin) lượng εk , m khối lượng hạt, ~ số Planck rút gọn Vì N hạt chiếm tất mức lượng có nên số hạt hệ xác định Z+∞ Z+∞ Z+∞ gV (2m)3/2 ε1/2 dε N= dN (ε) = n ¯ (ε)ρ(ε)dε = ε−µ 4π ~3 kB T e − 0 (1.3) Sử dụng (1.2) (1.3) ta tính tổng số hạt hệ theo nhiệt độ tới hạn Tc (nhiệt độ µ = 0) N = 2.31 g(mkB Tc )3/2 V √ 2π ~3 (1.4) nhiệt độ tới hạn theo mật độ hạt Tc ≈ 3.31 ~2 n2/3 , g 2/3 mkB với n = N/V mật độ hạt (1.5) Trong khoảng nhiệt độ ≤ T ≤ Tc , số hạt có lượng ε > hệ xác định tương tự (1.4) N (ε > 0) = 2.31 g(mkB T )3/2 V √ 2π ~3 (1.6) Năng lượng hạt âm nên số hạt lại tồn trạng thái ε = 0, số hạt h  T 3/2 i N (ε = 0) = N − N (ε > 0) = N − Tc (1.7) Nếu nhiệt độ hệ hạt boson nhỏ nhiệt độ mà hóa học (T < Tc ) phần lớn số hạt hệ chiếm trạng thái có mức lượng thấp Hiện tượng gọi tượng ngưng tụ Bose-Einstein BEC xảy hạt fermion trường hợp chúng kết cặp với tạo thành hạt "giả" boson [45] Dựa vào (1.5) ta ước lượng nhiệt độ xuất chuyển pha BEC nhỏ, 10−3 (K), tương đương với nhiệt độ nguyên tử lạnh vũ trụ Các thí nghiệm xác nhận nhiệt độ BEC cỡ 10−4 (K) Vì boson hạt có spin nguyên, số hạt chiếm trạng thái lượng tử không bị khống chế nguyên lý loại trừ Pauli, nên số hạt ngưng tụ lớn tổng số hạt (N ) hệ nhiều nhiệt độ (T ) hệ nhỏ so với nhiệt độ tới hạn Tc , tất hạt hệ trạng thái ngưng tụ T = 0(K), khơng có hạt trạng thái ngưng tụ T > Tc Bước sóng de Broglie vi hạt xác định thông qua nhiệt độ hệ s λT = 2π ~2 , mkB T (1.8) bước sóng cỡ với khoảng cách trung bình hạt trạng thái ngưng tụ 1.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii phương trình thuỷ động lực học hàm sóng ngưng tụ a Phương trình Gross-Pitaevskii Để mô tả trạng thái ngưng tụ hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE R MFA từ Lagrangian L = Ld~x [65, 66] Ở đây, V L= i~  ∗ ψ ∂t ψ − ψ∂t ψ ∗  − Hb , (1.9) √ với ψ = ψ(~x, t) = N ϕ(~x, t) hàm sóng hệ hạt, ϕ(~x, t) hàm sóng đơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, G ~2 ∗ ψ ∇ ψ + U (~x)|ψ|2 + |ψ|4 Hb = − 2m (1.10) mật độ Hamiltonian, U (~x) mật độ ngoài, G = 4π ~2 a/m cường độ tương tác hạt, a độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kiểu tương tác hạt (a > ứng với tương tác đẩy, a < ứng với tương tác hút) R Tác dụng S hệ xác định S = L dt Trong phép biến đổi trường ψ → ψ + δψ , tác dụng S biến đổi S → S + δS Các biến đổi δS phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ = 0, biến đổi tác dụng S gây nên biến đổi trường Từ ta có phương trình Euler-Lagrange  ∂L  ∂L − ∂ν = 0, ∂ψ ∂(∂ν ψ) (1.11) với ν = (x, y, z˜, t) Sử dụng (1.11) tìm phương trình ~2 i~∂t ψ = − ∇ ψ + U (~x)ψ + G|ψ|2 ψ 2m (1.12) gọi GPE phụ thuộc thời gian Nếu biểu diễn hàm sóng hệ hạt dạng ψ = Ψ(~x)e−iµt/~ , Ψ(~x) hàm thực, (1.12) trở thành ~2 − ∇ Ψ(~x) + U (~x)Ψ(~x) + G|Ψ(~x)|2 Ψ(~x) = µΨ(~x) 2m 10 (1.13) Sử dụng cơng thức từ (3.8) đến (3.11) để xác định sức căng mặt phân cách ∆Ω = γ˜12 = AP ξ1 Z+h [(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ]dz −h +2[−(ap + am − 4)h + (ap − am )z0 ], (3.12) γ˜12 = 4(I1 + ξ I2 ) + 2[−(ap + am − 4)h + (ap − am )z0 ] (3.13) Ở Z+h I1 = (∂z φ1 )2 dz, I2 = (3.14a) −h Z+h (∂z φ2 )2 dz (3.14b) −h Tìm tích phân Ij (j = 1, 2) cách thay (3.2), (3.3) vào (3.14), √ √ √  2√2h √ I1 = 2A1 e ( 2sinh(2 2h− ) + 4h− ) + 2A1 e 2(3h−2z0 )  √ √ √ 2√2h √ √ √ 2h − −2A1 e ( − 4h− ) + 2(e − 1) + A22 ηe−2 ηh (2 ηh+ √ (3.15a) +sinh(2 ηh+ )), √ −2 2(3h+z ) √ √ h ξ √ −2 ηh− i e 2h B12 √ 2√ξηh h √ I2 = ηe ηh− − ξ sinh + B2 (− 2ξe ξ ξ ξ 2ξ √ √ √ √ √ √ 2(2h+z0 ) 2(5h+2z0 ) 2(3h+2z0 ) 2h ξ +8h+ e ξ + 2ξe ) − 2B2 ξe ξ + 2B2 e ξ (4h+ √ √ i √ √ 2(3h+z0 ) 2h + 2ξ) − 2ξ(e ξ − e ξ ) , (3.15b) √ √ η ± = η ± Hình 3.4 vẽ cách sử dụng (3.13) cơng thức liên quan, biểu sức căng mặt phân cách biến thiên nhanh theo khoảng cách hai tường cứng h ξ , biến thiên chậm dần h > ξ , h± = h ± z0 , √ 61 (a) (b) Hình 3.4: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1(a) ξ = 3(b) với giá trị khác K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm) 62 sức căng mặt phân cách khơng cịn phụ thuộc vào h h  ξ Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào khoảng cách hai tường cứng gọi hiệu ứng kích thước hữu hạn Trường hợp K = 1, ξ = h đủ lớn, khai triển (3.13) theo h ta √ 1 √ 2 (3.16) γ˜12 ≈ + − + + O , h h h h √ γ˜12 ≈ h → +∞ Trong giới hạn h → +∞, (3.13) trở thành  √ γ˜12 = − √ √ (1 + ξ), 2+ η √ √ √ cho K → +∞ ta tính γ˜12 = 2(1 + ξ), γ˜1W = 2, γ˜2W = 2ξ Những kết khác với (32) (34) [43] Điều hiển nhiên khác biệt rõ ràng (3.1) với (1.28) 3.2.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc Từ (1.55) ta tính sức căng mặt phân cách cho hệ BECs có số hạt xác định, bị giới hạn hai tường cứng z = ±h (hình 3.1) Γ12 ∆E = = P ξ1 A Z+h dz(−φ1 ∂z2 φ1 − ξ φ2 ∂z2 φ2 ) −h Z+h dz[(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ] = P ξ1 −h = P ξ1 (I1 + ξ I2 ), (3.17) Ij (j = 1, 2) cho (3.15) Với K = 1, ξ = h đủ lớn, khai triển (3.17) theo h ta tìm √ 1 √ 2 Γ 12 ˜ Γ12 = ≈ 2+ − + +O (3.18) P ξ1 h 2h2 h h 63 Nếu hai tường cứng xa (h → +∞) √ ˜ 12 = √ 2η +√1 (1 + ξ) Γ η+ (3.19) Sử dụng cơng thức tính áp suất P = gjj n2j0 /2 cơng thức tính số hạt thành phần r Nj = ~ nj0 2mj gjj Z+h φ2j dz, (3.20) −h (3.17) trở thành Γ12 = X σj0 j=1,2 σj0 = mj gjj ~ +h R  N 3 j Nj Ij , (3.21) đại lượng có thứ nguyên với sức căng mặt φ2j dz xác định cách sử dụng (3.2) (3.3), phân cách, Nj = −h N1 = √ √ √ √ √ (2A21 e2 2h ( 2sinh(2 2h− ) − 4h− ) + 2A1 (e 2h (3 − 4h− ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ −2 2e 2(2h−z0 ) + 2e 2(3h−2z0 ) − 2e 2z0 ) + 2e 2h− (e 2h− − 4) √ √ √ √ A22 e−2 ηh (sinh(2 ηh+ ) − ηh+ ) +4h− + 2) + , √ η √ √ √ √ √ √ 2(2h+z0 ) 2(3h+2z0 ) 2h − 2(3h+z 0) ξ ξ ξ ξ (B2 (−( 2ξe + 8h+ e − 2ξe )) N2 = e √ √ √ √ √ √ 2(5h+z0 ) 2(2h+z0 ) 2(4h+z0 ) 2h ξ ξ ξ +4 2ξe − 2B2 ξ(e − 2e − 2e ξ ) √ √ √ √ √ √ 2(5h+z0 ) 2(3h+z0 ) 2h −2B2 e ξ (4h+ + 2ξ) − 2ξe ξ + e ξ (4h+ − 2ξ))  −2√ηh  B12 2√ξ2h − −√ e ξ sinh − 2h− η ξ Trường hợp m1 = m2 = m, g11 = g22 = g , σ10 = σ20 = σ0 , từ (3.21) ta có  n 3/2 i h 20 ˜ Γ12 = I1 + I2 , N1 n10 64 (3.22) ˜ 12 = Γ12 /σ0 N13 Γ Nếu số hạt hai thành phần có chênh lệch lớn, chẳng hạn N1  N2 h đủ lớn cho n20 /n10  dẫn tới ξ → +∞, (3.22) trở thành ˜ 12 ≈ I1 Γ (3.23) N13 ˜ 12 theo h, với K = ξ = 1(a), ξ = 3(b), Trên hình 3.5 đồ thị Γ cho thấy sức căng mặt phân cách giảm đơn điệu theo h tiến tới hai tường cứng dịch xa Nguyên nhân tượng tương tác hai thành phần ngưng tụ làm cho áp suất hệ tăng thể tích giảm, ngược lại, thể tích hệ tăng áp suất giảm xuống, hạt phân bố đồng sức căng mặt phân cách giảm xuống Sử dụng (3.13), (3.17) công thức liên quan để so sánh sức căng mặt phân cách GCE với sức căng mặt phân cách CE ta có 2[(ap − am )z0 − (ap + am − 4)h] γ12 =4+ Γ12 I1 + ξ I2 Tỉ số γ12 Γ12 (3.24) không kết tìm cho hệ bán hữu hạn chương cho hệ vô hạn [41, 42] Hình 3.6 vẽ biến thiên ˜ 12 theo 1/K với giá trị khác h ξ cho thấy γ˜12 4Γ rõ tượng Sự xuất số hạng thứ hai bên vế phải (3.24) tác động hai tường cứng, số hạng tiến tới h → +∞, hiệu ứng kích thước hữu hạn tỉ số Γγ12 bị triệt tiêu Các công thức 12 → (3.16), (3.18) cho thấy trường hợp K = ξ = Γγ12 12 h → +∞ Cũng hình 3.6, sức căng mặt phân cách không biến K → 1, kết khác so với kết tìm hệ BECs vơ hạn với điều kiện biên (1.28), sức căng mặt phân cách tiến tới K → [43] Điều hiển nhiên, cho dù hai tường cứng hình (3.1) xa cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên (3.1) khác cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên (1.28), thể rõ vùng không gian lân cận với hai tường cứng 65 (a) (b) Hình 3.5: (CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 66 (a) (b) Hình 3.6: (GCE, CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K ξ = 1(a) ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch) Màu xanh màu đỏ tương ứng với GCE CE 67 3.2.3 Lực Casimir-like Các hình 3.4 3.5 cho thấy lượng tương tác hai thành phần ngưng tụ phụ thuộc mạnh vào khoảng cách hai tường cứng khoảng cách hai tường cứng đủ nhỏ, phụ thuộc dẫn tới hệ hai thành phần ngưng tụ tác dụng lực lên hai tường cứng Hiện tượng tương tự với hiệu ứng Casimir [81, 82], ta gọi lực tác dụng lên hai tường cứng lực Casimir-like Lực Casimir-like tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng GCE CE xác định theo công thức F˜GCE = − ∂h γ˜12 , ˜ 12 F˜CE = − ∂h Γ (3.25a) (3.25b) Thay (3.13) công thức liên quan vào (3.25a) ta vẽ hình 3.7, thay đổi lực Casimir-like theo h với giá trị khác K ξ Từ hình vẽ ta nhận thấy trường hợp hệ phân tách yếu (K < 3), lực Casimir-like lực hút hai tường cứng gần (h ∼ ξ h lớn ξ khơng nhiều), trở thành lực đẩy hai tường tiến xa (h  ξ ) Trong trường hợp hệ phân tách mạnh (K > 3), lực Casimir-like ln lực hút Những tính chất khác với lực Casimir, lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào đặc điểm điều kiện biên điều hòa hay phi điều hòa [82] Lực Casimir-like triệt tiêu với tham số hệ h → +∞ Để kiểm chứng hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BECs bị giới hạn tường cứng, ta thiết lập mơ hình thí nghiệm sử dụng hai tường cứng quang học kết hợp với điều hoà để giam giữ hạt thể tích định Cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển tham số Tuy nhiên, giải pháp tốt điều chỉnh cường độ tương tác hạt giữ tham số khác cố định, thay đổi gjj dẫn tới thay đổi hai tham số quan trọng K ξ , việc thay đổi gjj dẫn tới biến đổi tuyến tính K hạn chế mát 68 (a) (b) Hình 3.7: (GCE) Sự phụ thuộc lực Casimir-like đơn vị diện tích tường cứng vào h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường chấm) 69 hạt ngưng tụ vùng không gian mặt phân cách [42] Trong thí nghiệm, thay khảo sát sức căng mặt phân cách ta nên khảo sát lực Casimir-like việc cho biết sức căng mặt phân cách mà cho biết phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào khoảng cách hai tường cứng 3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin hai tường cứng 3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc lớn Bằng phương pháp sử dụng để tìm (3.9) (3.11), từ (1.43), (1.44) điều kiện biên (3.4) ta tìm đẳng thức ( 2(φ1 − 1)2 + ηφ22 z > z0 , 2 (∂z φ1 ) + ξ (∂z φ2 ) = (3.26) 2(φ2 − 1)2 + ηφ21 z z0 , số chuyển động (1.33) MDPA Nhờ đó, tính sức căng mặt phân cách ∆Ω =4 γ˜12 = AP ξ1 Z+h [(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ]dz = 4(I1 + ξ I2 ) (3.27) −h Thay (3.5) (3.6) vào (3.27) ta √ γ˜12 = 2(M ξ + N ), 70 (3.28) √ √ √ √ ( η+2 2)(h+z0 ) ηz0 √ 2(h+z 0) − ξ (e ξ − 1) e (e ξ ( η(h − z0 ) + ξ) M = M√ ηh √ −e ξ ( η(z0 − h) + ξ)), √ √ √ √ √ ( η + 2)h + ( − η)z0 √ M = (( η + 2) cosh( ) ξ √ √ √ √ √ ( − η)h + ( η + 2)z0 √ +( η − 2) cosh( )) ξ √ √ √ 2(h + z0 ) 2(h + z0 ) ) + ξ cosh( )), ( 2(h − z0 ) sinh( ξ ξ √ √ √ 2√2h √ − e2 2z0 )2 e( η+2 2)(−h−z0 ) ( η(h + z0 ) (e N √ √ +e2 η(h+z0 ) ( η(h + z0 ) − 1) + 1), √ √ √ √ √ √ N = (( η + 2) cosh(( η + 2)h + ( η − 2)z0 ) √ √ √ √ √ √ +( η − 2) cosh(( − η)h − ( η + 2)z0 )) √ √ √ ( 2(h + z0 ) sinh( 2(h − z0 )) + cosh( 2(h − z0 ))) N = √ √ √ Áp dụng cho hệ BECs vô hạn, h → +∞, (M , N ) → η/( + η) Nếu thêm điều kiện hệ phân tách hồn tồn (M , N ) → 1, (3.28) trùng với (32) (34) [43] Kết có cấu hình ngưng tụ hình 3.3 trùng với cấu hình ngưng tụ hệ vô hạn với điều kiện biên (1.28) h → +∞ Từ (3.28) ta vẽ đồ thị phụ thuộc sức căng mặt phân cách hai ngưng tụ vào tham số hệ hình 3.8 3.9, chúng cho thấy γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h hai tường cứng gần Khoảng biến thiên khoảng cách hai tường cứng mà γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h rộng phân tách hệ yếu Trường hợp h  ξ , sức căng mặt phân cách tiến tới K → Trường hợp h ξ h lớn ξ không nhiều, sức căng mặt phân cách không biến K → Những tượng cho thấy tương tác bị ảnh hưởng mạnh giới hạn không gian khoảng cách ngắn 71 3.0 K=3.0 2.5 ξ = 1, ϕ1 (-h) = ϕ2 (h)= Pξ1 γ12 2.0 ∂ z ϕ1 z=h = ∂ z ϕ2 z=-h = 1.5 K=1.1 1.0 K=1.0 0.5 0.0 10 12 h Hình 3.8: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1, với giá trị khác K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm-gạch) ξ=1 1.2 1.0 h→+∞ 0.8 h=10 0.6 0.4 Pξ1 h=4 0.0 0.95 γ12 h=7 0.2 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 ϕ1 ( h) = ϕ2 (h)= z ϕ1 z
h = z ϕ2 z
h = 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.9: (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K ξ = với h = 4, 7, 10 h → ∞ 72 h=10, ϕ1 (-h) = ϕ2 (h)= ∂ z ϕ1 z=h = ∂ z ϕ2 z=-h = ξ=1 ξ=0.5 Pξ1 γ12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.10: (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K h = 10 với ξ = 0.5, Tác động độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ đến sức căng mặt phân cách thể hình 3.10 3.3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc Sử dụng (3.14) với hàm sóng ngưng tụ cho (3.5) (3.6) ta tính √ √ √ I1 = e−2 ηh (2A22 η(h + z0 ) − A22 η sinh(2 η(h + z0 ))) √ √ √ √ √ √ 2(2h−z0 ) 2h 2z0 + A1 (− 2A1 e − 8A1 e (h − z0 ) + 2A1 e −2 √2 √ √ e 2(2h−z0 ) + 2e 2z0 ), (3.29a) √ √  η(z0 − h) √ ηh √ I2 = B12 ηe ξ (ξ sinh( ) + η(h − z0 )) ξ ξ √ √ 2h √ 2(h + z0 ) −2B2 ( B2 e− ξ ( 2ξ sinh( ) + 4(h + z0 )) ξ √ √ 2(2h+z0 ) 2(h+z0 ) − ξ ξe (e ξ − 1)  √ + ) , (3.29b) 73 Z+h N1 = φ21 dz −h √ √ √ √ √ 2 2h = (2A1 e ( 2sinh(2 2h− ) − 4h− ) + 2A1 (e 2h (3 − 4h− ) √ √ √ √2(3h−2z ) √ √2z √ √2h √2h 2(2h−z0 ) 0 −2 2e + 2e − 2e ) + 2e − (e − − 4) √ √ √ √ A22 e−2 ηh (sinh(2 ηh+ ) − ηh+ ) +4h− + 2) + (3.30) √ η ∂z ϕ1 0.25 z=h = ∂z ϕ2 z=-h =0 n21 = 1, ξ = N31 σ10 Γ12 0.20 K=3 K=2 K=1.1 0.15 0.10 0.05 0.00 10 12 h Hình 3.11: (CE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào h n21 = 1, ξ = với K = 1.1, 2.0, 3.0 Thay (3.29), (3.30) vào (3.22) ta vẽ hình 3.11 mơ tả phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào tham số hệ Các đồ thị cho thấy áp suất hệ tăng (giảm) theo tăng (giảm) thể tích mà cịn cho thấy tác động lớn cường độ tương tác hạt đến áp suất hệ ˜ 12 = I1 + ξ I2 , công thức (3.27) γ˜12 = 4(I1 + Từ (3.17) ta có Γ ξ I2 ) Ở đây, tích phân Ij (j = 1, 2) cho (3.29), ta 74 ˜ 12 = 4, giống kết tìm cho hệ vơ hạn tính tỉ số γ˜12 /Γ hệ bán hữu hạn Tổng kết chương Dưới tổng kết thảo luận kết quan trọng đạt chương • Với điều kiện biên Dirichlet (3.1), điều kiện biên Robin (3.4) tường cứng điều kiện liên tục mặt phân cách, cấu hình ngưng tụ MDPA tiệm cận với cấu hình ngưng tụ tìm phương pháp giải số TIGPEs lý thuyết GP lần khẳng định tính đắn phương pháp MDPA, phương pháp cho kết tốt áp dụng cho hệ BECs với cấu hình khơng gian (vơ hạn, bán hữu hạn, hữu hạn) • Sự xuất tường cứng làm cho độ lệch khỏi z = mặt phân cách tỷ lệ với bất đối xứng độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ hai thành phần, mặt phân cách nằm z = số trường hợp đặc biệt, ξ = h → +∞ • Sự phụ thuộc tương tác vào khoảng cách hai tường cứng đáng kể khoảng cách ngắn hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách thể rõ hai tường cứng gần (h ∼ ξ ) Hiện tượng phù hợp với kết tìm thấy cho hệ bán hữu hạn chương hệ tường cứng (hình 2.1) hệ hai tường cứng (hình 3.1) trường hợp hai tường cứng xa nhau, hiệu ứng kích thước hữu hạn gần bị triệt tiêu • Hiệu ứng kích thước hữu hạn cịn thể rõ xuất số ˜ 12 hạng phụ thuộc mạnh vào h công thức xác định tỉ số γ˜12 /Γ (3.24), số hạng tiến tới hai tường cứng dịch xa 75 ... tử không gian giới hạn Vì lý nêu trên, chúng tơi định chọn đề tài luận án Nghiên cứu hiệu ứng không gian giới hạn ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần Lịch sử vấn đề BEC tiên đoán lý thuyết Bose. .. hai thành phần xuất vùng không gian mà hai ngưng tụ chồng lấn lên Đây nguồn gốc sức căng mặt phân cách hai thành phần Trong GCE, hệ BECs xem tiếp xúc với khối ngưng tụ vơ hạn, hóa học thành phần. .. mở đầu kết luận, nội dung luận án trình bày chương: Chương Tổng quan ngưng tụ Bose- Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose- Einstein 1.2