Skkn phương pháp nhớ công thức lượng giác và cách biến đổi phương trình lượng giác phù hợp để giúp học sinh yếu kém trong việc học lượng giác ở trung tâm gdnn gdtx cẩm thủy

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học tự nhiên gây nhiều hứng thú cho học sinh, môn học quan trọng khơng thể thiếu q trình học tập học sinh Trong mơn học trường phổ thơng, Tốn học xem môn bản, tảng để em học sinh học tập tiếp thu số môn học khác Tuy nhiên để học sinh học tập tốt mơn Tốn giáo viên cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết cho học sinh, cần đổi phương pháp dạy học, làm cho em trở nên u thích mơn Tốn hơn, có u thích em dành nhiều thời gian cho việc học Tốn, từ kích thích tính tự học, sáng tạo học sinh việc học Toán giành thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập học sinh thời đại Muốn đạt mục tiêu đó, cần phải đổi phương pháp dạy học theo hướng “ phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Luật Giáo dục 1998) Trong báo lao động số 209 (10/09/2007), tác giả Võ Nguyên Giáp, thấy: Chất lượng giáo dục nước ta “một vấn đề thời sự” Hiện tượng “ngồi sai lớp” , tỷ lệ học sinh yếu trường Trước thực trạng này, xã hội nói riêng ngành giáo dục đào tạo đặt yêu cầu chấn hưng giáo dục, vấn đề đặc biệt quan tâm cách mạng ba thực chất “học thật, dạy thật, thi thật” Việc dạy học trường THPT có nhiều cải tiến, song việc dạy học phân hoá, phân loại để bổ sung thêm kiến thức bị “hổng” cho học sinh yếu chưa thực cách thường xuyên làm cho em tự tin học tập Đối với học sinh GDTX cịn có khó khăn như: Kiến thức hổng, ý thức học tập chưa cao, thiếu quan tâm gia đình, cánh nhìn nhận xã hội mặc cảm thân Từ thực tế giảng dạy Toán Trung Tâm GDNN-GDTX Cẩm Thủy 18 năm thân rút kinh nghiệm phải có phương pháp đặc thù để nâng cao chất lượng dạy Tốn Đối với mơn Tốn lớp 10, lớp 11 học sinh thường gặp khó khăn phần lượng giác: Cụ thể phương pháp nhớ công thức lượng giác, cách biến đổi để đưa phương trình lượng giác Với mong muốn góp phần giải vấn đề mức độ phạm vi định, lựa chọn đề tài nghiên cứu là: "Phương pháp nhớ công thức lượng giác cách biến đổi phương trình lượng giác phù hợp để giúp học sinh yếu việc học lượng giác Trung Tâm GDNN-GDTX Cẩm Thủy" 1.2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu skkn 1.2.1 Mục đích nghiên cứu Đề xuất số giải pháp dạy học nhằm khắc phục tình trạng yếu Tốn phân mơn Đại số 10, Đại số Giải tích 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy 1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số lý luận phụ đạo học sinh yếu Xác định số giải pháp phân bậc, dạy học phân hóa dạy học Đại số 10, Đại số Giải tích 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến tình trạng yếu Toán học sinh Thực nghiệm sư phạm để bước đầu khẳng định tính khả thi hiệu biện pháp xây dựng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tình trạng yếu phần Đại số, Đại số Giải tích cho học sinh khối 10, khối 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy, từ đưa giải pháp khắc phục có hiệu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu lí luận dạy học Tốn, Giáo dục học, Tâm lý học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập chương trình Đại số 10, Đại số Giải tích 11 THPT, sách báo chất lượng học tập, tình trạng yếu Tốn, sai lầm phổ biến giải Toán, 1.4.2 Phương pháp điều tra quan sát Điều tra tình hình yếu Tốn học sinh sử dụng biện pháp dạy học phân hoá, phân bậc giáo viên dạy học Đại số 10, Đại số Giải tích 11 Qua giảng dạy thực tế thân, qua công tác dự thăm lớp, qua tham khảo ý kiến đồng nghiệp dạy học phân hoá, phân bậc hoạt động 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Dạy thử nghiệm số tiết chương trình Đại số 10, Đại số Giải tích 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy, Thanh Hóa 1.4.4 Phương pháp thống kê Sử dụng kiến thức phương pháp thống kê Toán học để: + Điều tra thực trạng trước thực giải pháp + Kiểm định kết sau thực nghiệm sư phạm NỘI DUNG skkn 2.1 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm + Khi gặp dạng Toán đa phần học sinh không xác định phương pháp nhớ công thức, cách giải cách rõ ràng khơng hình dung hướng khai thác nào, nên kết đạt thường không cao + Học sinh chưa biết vận dụng linh hoạt kiến thức học như: Công thức lượng giác, công thức nghiệm + Học sinh lớp 10, lớp 11 bắt đầu làm quen với cơng thức lượng giác khái niệm phương trình lượng giác, lượng kiến thức học nhiều, khả tư chậm, thời gian hoc lớp hạn chế Trước áp dụng đề tài này, khảo sát 68 học sinh khối 10, khối 11 Nội dung kháo sát: Cho học sinh làm câu hỏi sau: Câu hỏi 1: Kiểm tra cũ: Nhắc lại công thức lượng giác cụ thể công thức cộng; Công thức nhân đôi; Bảng giá trị lượng giác số cung (góc) đặc biệt Câu hỏi 2: Giải phương trình lượng giác sau: Kết nhận sau: Điểm Điểm - Điểm – Điểm – SL % SL % SL % SL % 35 51,47 15 22,06 16 23,53 2.94 Từ thực trạng trên, trình giảng dạy đề số biện pháp sau: 2.2 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.2.1 Trang bị cho học sinh kiến thức để sử dụng phương pháp Trong trình dạy học lớp, giáo viên cần quan tâm phát “lỗ hổng” kiến thức học sinh Có “ lỗ hổng” mà giáo viên bổ xung ngay, có “lỗ hổng” dù điển hình với học sinh yếu lớp chưa đủ thời gian giáo viên cần phải có kế hoạch khắc phục giành thời gian hợp lý vào buổi ngoại khóa để bổ sung kiến thức cho học sinh cho học sinh dễ thuộc dễ nhớ Thông qua trình học lí thuyết làm tập học sinh, giáo viên cần tập cho học sinh có ý thức tự phát “lỗ hổng” kiến thức tự bổ sung cách tự tra cứu sách vở, tài liệu để tự lấp “lỗ hổng” với phương châm “học - ôn cũ” song song với skkn Việc học tập có kết tiết học thường đòi hỏi tiền đề xuất phát kiến thức “nền” học sinh Giáo viên cần cho tái kiến thức Nhưng học sinh yếu nên tách thành khâu riêng, hình thức tái cách tường minh tức nói rõ kiến thức cần ơn luyện nhằm chuẩn bị cho việc học nội dung buổi học khố tới để tạo điều kiện thuận lợi cho việc hồ nhập vào tiến trình chung lớp Việc bổ sung kiến thức “ nền” mà học sinh quên nhằm giúp học sinh bắt kịp với u cầu chung, hồ nhập vào trình dạy học đồng loạt Theo tác giả Nguyễn Bá Kim , quan điểm hoạt động phương pháp dạy học thực bốn tư tưởng chủ đạo, là: Hoạt động hoạt động thành phần Động hoạt động Tri thức hoạt động Phân bậc hoạt động Bốn tư tưởng chủ đạo coi thành tố sở phương pháp dạy học hoạt động phương pháp dạy học hướng vào chúng, dựa vào chúng giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động Với mục đích khắc phục tình trạng yếu Tốn, đặc biệt trình độ học sinh không đều, quan tâm đến việc khai thác dạy học phân hóa phân bậc hoạt động mơn Tốn Bước 1: Ơn tập củng cố lí thuyết: Giáo viên ơn tập tồn cơng thức lượng giác, hướng dẫn học sinh phương pháp nhớ công thức Cho học sinh ghi nhớ bảng giá trị lượng giác Công thức cộng: sin(a b) = sina cosb cosa sinb cos(a b) = cosa cosb sinb Phương pháp nhớ: Sin sin cos cos sin Cos cos cos sin sin rõ ràng Cos đổi dấu hởi nàng Sin giữ dấu xin chàng nhớ cho Tan tổng tổng tan ta Chia trừ tích tan ta mà Cơng thức nhân đơi sin2a = 2sinacosa skkn sina cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  =  2sin2a Phương pháp nhớ: Sử dụng công thức cộng sin2a = sin(a+a)=sinacosa+cosasina =2sinacosa Công thức hạ bậc: Phương pháp nhớ: Từ công thức cos2a = 2cos2a  1; cos2a =  2sin2a ta rút Công thức biến đổi tích thành tổng:    Phương pháp nhớ: Sử dụng cơng thức cộng, cộng vế với vế sau biến đổi đưa cơng thức tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích:     Phương pháp nhớ: cos cộng cos cos cos; cos trừ cos trừ sin sin; sin cộng sin sin cos; sin trừ sin cos sin; lấy tổng trước, lấy hiệu sau Công thức lượng giác , , , Phương pháp nhớ: Từ công thức hạ bậc cộng vế với vế công thức ta rút công thức lượng giác skkn Một số cung liên quan đặc biệt Cung đối: (cos đối) Cung bù: (sin bù) Cung phụ: (phụ chéo) Cung khác : (khác tan) Phương pháp nhớ: cos đối sin bù phụ chéo khác pi tan Bảng giá trị lượng giác số cung (góc) đặc biệt 0 || || Đối với bảng giá trị lượng giác cách nhớ sin tăng từ ( giá trị chia cho chẳng hạn ; ; ; ; ) tất cos ngược lại sin Dạy cho em cần nhớ công thức sin cơsin, từ suy cơng thức tang côtang dựa vào mối quan hệ chúng Các cơng thức nhân em suy từ cơng thức cộng, cơng thức hạ bậc suy từ công thức nhân Các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng học thuộc lời Ví dụ dùng thơ để nhớ cơng thức Ngồi cịn sử dụng đường trịn lượng giác để nhớ giá trị lượng giác số cung (góc) đặc biệt skkn skkn Ví dụ: Trong hình ta có : Điểm A biểu diễn cho góc radian Điểm M biểu diễn cho góc radian Điểm B biểu diễn cho góc radian Điểm A’ biểu diễn cho góc radian Điểm B’ biểu diễn cho góc radian Chú ý: Mỗi điểm đường trịn lượng giác biễu diễn cho nhiều góc lượng giác Cụ thể hình biễu diễn vơ số điểm đường trịn lượng ứng với cung góc lượng giác skkn Những nội dung phần phương trình lượng giác - Phương trình lượng giác bản: - Phương trình: sin x = a Phương trình: cosx = a - Phương trình: tan x = a Phương trình: cot x = a - Một số phương trình lượng giác thường gặp: + Phương trình bậc hàm số lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác + Phương trình bậc sinx cosx Về phương pháp chung: Khi cho phương trình lượng giác học sinh định hướng hay nhận biết phương trình phương trình dạng nào, áp dụng cơng thức nghiệm để giải Có phương trình đề cho rơi vào dạng cung góc lượng giác đặc biệt áp dụng cơng thức nghiệm ln Cụ thể cơng thức nghiệm: Phương trình: sin x = a +) Khi phương trình vơ nghiệm +) Khi ta có: Hay: Đặc biệt: Phương trình: cosx = a +) Khi phương trình vơ nghiệm +) Khi ta có: cosx= a, cosx  x =   + k2, k  Z Hay: cosx = a  x =  arccos a + k2, k  Z Đặc biệt: skkn Phương trình: tan x = a, tan x = tanα  x =  + k, k  Z , k  Z) (Điều kiện: Hay tan x = a  x = arctan a + k, k  Z Phương trình: cot x = a, cot x= cot α  x =  + k, k  Z (Điều kiện: , k  Z) Hay cot x = a  x = arccot a + k, k  Z Ngồi cịn biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Cụ thể: *Nêu phương pháp chung để giải phương trình lượng giác + Phương trình bậc hàm số lượng giác: Đưa phương trình lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ + Phương trình bậc sinx cosx: Dùng cơng thức cộng để đưa phương trình bậc hàm số lượng giác 10 skkn Bước 2: Hướng dẫn học sinh giải số phương trình lượng giác đơn giản Giáo viên cho học sinh nhà giải số phương trình lượng giác đơn giản Sau sửa cho học sinh vào tiết luyện tập phụ đạo nhằm củng cố lí thuyết, để học sinh làm quen với dạng tập Bước 3: Hướng dẫn học sinh giải số phương trình dạng thường gặp Sau học sinh nắm phương pháp chung để giải phương trình lượng giác đơn giản, giáo viên bắt đầu cho em giải số phương trình lượng giác dạng nâng cao nhằm phát huy tính tư tích cực học sinh 2.2.2 Các dạng tốn điển hình Dạng 1: Phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng: at + b = (1) Trong a, b số (a 0), t hàm số lượng giác Định hướng cách biến đổi: Chuyển vế chia hai vế phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình dạng Bài tốn 1: Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Tất phương trình đưa phương trình lượng giác Qua tốn giúp cho học sinh phần hiểu cách sử dụng phương pháp chuyển phương thình lượng giác Tuy nhiên vấn đề học sinh gặp khó khăn tốn dạng là: Khi đưa dạng phương trình lượng giác lại khơng biết lấy nghiệm Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát vế phải phương trình rơi vào trường hợp đặc biệt để áp dụng cơng thức nghiệm lấy nghiệm cách xác Các toán luyện thêm dạng 11 skkn Bài toán 2: (Bài tập 1,3 SGK trang28 Đại số giải tích 11) Giải phương trình sau: Hình ảnh học sinh lớp 11A sau áp dụng phương pháp lên làm tập Chú ý: Khi giải toán cần lưu ý dùng đơn vị Radian, dùng đơn vị độ, không dùng hai đơn vị cơng thức nghiệm Dạng 2: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng: at + bt + c = Trong a, b, c, số (a 0) t hàm số lượng giác Định hướng cách biến đổi: Đặt t hàm số lượng giác, đặt điều kiện cho t giải phương trình bậc hai tìm t từ ta tìm x Cụ thể ta xét toán sau: Bài toán 1: (Bài tập SGK trang 36 Đại số Giải tích 11) Giải phương trình sau: Cách thức mà thực tế thân làm: Đặt với điều kiện nhận thấy nghiệm Với ta phương trình bậc hai theo nên áp dụng định lý viet phương trình có 12 skkn Với Qua cách làm tốn tơi cảm nhận nhiều học sinh có hứng thú giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác sau đặt ẩn phụ phương trình trở phương trình bậc hai ẩn quen thuộc xét hệ số tìm nghiệm t sau thay ngược trở lại phương trình lượng giác Các toán luyện thêm dạng Bài toán ( Bài 3.3/trang 35/Sách tập Đại số Giải tích11) Giải phương trình: Chú ý: Với dạng tốn phải áp dụng cơng thức để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác giải phương trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với u cầu tốn Hình ảnh em học sinh lớp 11B tích cực tập trung làm Dạng 3: Phương trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx + bcosx = c (1) Với a, b, c  R; (a + b  0) Cách giải Đặt Phương trình phương trình lượng giác Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2 Bài tốn 1: Giải phương trình: 13 skkn + Gợi ý cách giải: Chia vế phương trình cho quan sát + Kinh nghiệm giảng dạy từ PT: Ta chia vế phương trình cho ta được: Nhận xét: Đối với phương trình học sinh phải phát hệ số để từ biết cách biến đổi đưa pương trình cho dạng Bài tốn 2: Giải phương trình Gợi ý cách giải: Chia vế phương trình cho Kinh nghiệm giảng dạy: Vì hệ số sin3x nên ta đưa phương trình cho dạng Nhận xét: Đối với phương trình học sinh phải phát hệ số để từ biết cách biến đổi đưa phương trình cho dạng Các toán luyện thêm dạng Bài toán 3: (Bài tập SGK trang 37 Đại số Giải tích 11) Giải phương trình sau: b) Hình ảnh em học sinh khối 11 tự luyện 2.2.3 Bài toán tổng hợp 14 skkn Bài tập1: Giải phương trình sau: Lưu ý: Nếu cần đặt t=sinx t=cosx có điều kiện Nếu cần đặt t = tan x t = cot x khơng cần điều kiện t Tùy vào tốn cụ thể để có điều kiện thích hợp Bài tập 2: Giải phương trình sau: Chú ý Tùy đặt theo lý thuyết có số lại khơng nên dập khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp loại (cụ thể câu a, b) Tất dạng toán giáo viên nêu cách giải hướng dẫn học sinh đồng thời phải chỗ học sinh lúng túng Đặc biệt phải sữa sai cho học sinh Vì học sinh thường hay làm sai giáo viên sữa sai cho học sinh học sinh tiến Theo Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang ([7]) khảo cứu Kơmenxki khẳng định “bất kỳ sai lầm làm cho học sinh học giáo viên không ý đến sai lầm đó, cách hướng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa, khắc phục sai lầm” Còn Stôlia nhấn mạnh “không tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” 2.3 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục thân, đồng nghiệp nhà trường Với sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào giảng dạy cho học sinh trường chia sẻ tổ chuyên môn thu kết khả quan Rất nhiều em chủ động tìm tịi định hướng cách làm chưa có hướng dẫn giáo viên, em biết cách phát triển khai thác Toán nhiều cách khác nhau, giúp em học sinh hoàn thành tốt tập sách giáo khoa, tập sách tập, số sách tham khảo Sau trao đổi với đồng nghiệp nội dung sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp ủng hộ, vận dụng vào dạy lớp khác, tùy theo yêu cầu lớp mà giáo viên lựa chọn giảng dạy cho phù hợp, vào dạng đề tài mà giáo viên phát triển thành nhiều dạng phù hợp với yêu cầu lớp, dựa sở sử dụng phương pháp cách thức 15 skkn khai thác tập sáng kiến nêu Vì thu kết khả quan, đa số em học sinh làm tốt dạng Toán áp dụng phương pháp cho số dạng có liên quan, nhiều em biết tự tìm tịi khai thác tốn nhiều cách giải khác 2.4 Kết quả, minh chứng tiến học sinh áp dụng sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến vào thực tế bồi dưỡng 68 em học sinh Kết đạt cụ thể sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - KQ minh chứng SL % SL % SL % SL % Trước áp dụng sáng kiến 35 51,47 15 22,06 16 23,53 2,94 Sau áp dụng sáng kiến 10 14,71 12 17,65 38 55,88 11,76 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trình bày sáng kiến kinh nghiệm sở, động lực giúp tơi có thêm kinh nghiệm giúp học sinh phương pháp nhớ công thức lượng giác cách thành thạo, cách biến đổi giải phương trình lượng giác giảng dạy, bổ sung thêm phương pháp giải dạng Tốn q trình dạy học sinh, đồng thời cung cấp cho học sinh phương pháp giải nhiều dạng Tốn, thơng qua phát bồi dưỡng học sinh tốt Sáng kiến kinh nghiệm cơng tác giảng dạy mà tơi trình bày chắn nhiều hạn chế khiếm khuyết cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức … Mong nhận đóng góp chân thành bạn bè đồng nghiệp để bổ sung hồn thiện, góp phần cải thiện phương pháp nâng cao chất lượng giảng dạy 3.2 Kiến nghị Đề nghị Sở giáo dục đào tạo có kế hoạch nhân rộng mơ hình cho Trung Tâm GDNN - GDTX khác nghiên cứu thực Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm công tác giảng dạy mà thân tự đúc rút từ thực tiễn cơng tác mình, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Cẩm Thủy, ngày 10 tháng 05 năm 2022 16 skkn ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Mai Thị Thương 17 skkn ... pháp chung để giải phương trình lượng giác + Phương trình bậc hàm số lượng giác: Đưa phương trình lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ + Phương trình bậc... Kết luận Trình bày sáng kiến kinh nghiệm sở, động lực giúp có thêm kinh nghiệm giúp học sinh phương pháp nhớ công thức lượng giác cách thành thạo, cách biến đổi giải phương trình lượng giác giảng... Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Tất phương trình đưa phương trình lượng giác Qua toán giúp cho học sinh phần hiểu cách sử dụng phương pháp chuyển phương thình lượng giác Tuy nhiên vấn đề học sinh