SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÁT HIỆN ĐÚNG HƯỚNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Người thực hiện Tạ Thị Thú[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÁT HIỆN ĐÚNG HƯỚNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Người thực hiện: Tạ Thị Thúy Chinh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT DTNT TỈNH SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn Học THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC I MỞ ĐẦU………………………………………………………………….1 Lý chọn đề tài…………………………………………………………1 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu……………………………………….2 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… Điểm sáng kiến kinh nghiệm………………………………… II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………….3 Cơ sở lý luận…………………………………………………………… 2.Thực trạng vấn đề…………………………………………………………3 Các biện pháp giải vấn đề………………………………………….4 3.1 Cách định hướng tìm lời giải toán quan hệ song song …….4 3.2 Các cách định hướng lượng giải dạng toán tiêu biểu lượng, quan hệ vng góc……………………………………………………………10 3.3 Bài tập áp dụng……………………………………………………… 17 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………………………… 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………………… 18 Phụ lục: Bài kiểm tra 45 phút …………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 23 skkn I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Từ thực tế giảng dạy Mơn tốn trường THPT nói chung, mơn hình học khơng gian nói riêng giữ vai trị quan khơng việc cung cấp kiến thức kỹ giải toán cho học sinh mà cịn rèn luyện đức tính, phẩm chất người lao động như: cẩn thận xác, có kỷ luật, có phê phán, có sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, tư sáng tạo cho học sinh Trong sách giáo khoa hình học 11 chương trình nay, phần véc tơ khơng gian hình học khơng gian trình bày chi tiết, cụ thể, khuyến khích học sinh sử dụng phương pháp véc tơ để giải tập hình học Song sách giáo khoa, kể sách tập chưa đưa phương pháp cụ thể cho dạng tập dẫn đến học sinh áp dụng phương pháp vào việc giải toán Chất lượng học sinh trường THPT DTNT Tỉnh Thanh Hóa thường hạn chế mơn tự nhiên, đặc biệt mơn Tốn so với trường THPT miền xi Khi học hình học khơng gian đa số em thường lúng túng việc dùng lời giải, đặc biệt dùng phương pháp véc tơ để giải tập Trong đề thi đại học năm gần đây, số dạng tốn hình học khơng gian ln xuất hiện, cụ thể tính góc, tính khoảng cách, tính thể tích hay tỉ số thể tích hình khơng gian Đề thi học sinh giỏi tỉnh có số dạng tập Điều đáng nói em biết sử dụng phương pháp véc tơ vào giải tốn lời giải ngắn gọn đặc biệt tránh việc phải vẽ hình phức tạp 1.2 Từ thực tế khách quan Trong đề thi đại học năm gần thường có tốn hình học khơng gian tính góc, khoảng cách…nhưng đáp án đưa khơng giải phương pháp vec tơ Điều làm cho giáo viên học sinh trọng vào phương pháp, học sinh chưa thấy ưu việt phương pháp skkn Việc sử dụng phương pháp véc tơ ngồi việc phát triển tư cịn làm nhanh số tập tính góc, khoảng cách khó( khơng phải vẽ thêm đường phụ) Học sinh giải tốn phương pháp véc tơ hình học 11 tiền đề tốt để học chương véc tơ tọa độ không gian hình học lớp 12 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nội dung sáng kiến kinh nghiệm người học nắm lựa chọn, cơng cụ thích hợp, lựa chọn kiến thức học để vận dụng giải tập hình học cơng cụ vectơ Ngồi cịn giúp người học phân dạng tập, mối liên hệ tập với tập Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 11A 11G năm học 2021-2022 trường THPT DTNT Tỉnh Thanh Hóa + Phạm vi nghiên cứu là: Chương 2: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song Chương 3: Quan hệ vuông góc khơng gian( Hình Học 11 chương trình bản, NXB Giáo Dục) Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu sử dụng phương pháp chủ yếu sau: 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận + Nghiên cứu tài liệu + Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy + Nghiên cứu số quan điểm, tư tưởng sáng tạo 4.2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập + Nghiên cứu toán khai thác tri thức cội nguồn + Nghiên cứu toán sử dụng bất biến + Nghiên cứu toán theo tương đương afin + Nghiên cứu toán nhờ phép tương tự Điểm sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu để định hướng hướng giải tốn hình học phổ thơng nhờ cơng cụ vec tơ nhằm giúp học sinh phát hiện, huy động kiến thức học, tập biết cách giải vào việc giải tập skkn Đưa số dạng tập cách nhận biết hướng giải tập đó, hệ thống tập có liên quan II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Trong chương trình hình học THPT, dạy giải tập tốn nói chung, giải tập tốn cơng cụ vectơ nói riêng học sinh thường gặp khó khăn việc trả lời câu hỏi sau: - Làm để phát cơng cụ thích hợp cho việc giải toán cho? - Dựa vào sở để lưạ chọn kiến thức biết để giải toán dã cho? - Biến đổi tốn để đưa tốn dạng quen thuộc? - Có dạng tốn lựa chọn cơng cụ vec tơ để giải? Thực trạng vấn đề Qua trình giảng dạy nhận thấy học sinh giải số tốn hình khơng gian thường gặp phải số vấn đề sau: khó vẽ hình, đặc biệt vẽ thêm đường phụ, lúng túng việc lựa chọn phương pháp, khơng phân loại dạng tốn, khơng liên hệ toán tương tự, toán liên quan Với tập dạng trắc nghiệm phương pháp giải học sinh cịn nhớ dạng bỏ qua số bước chứng minh để tìm lời giải nhanh Vì việc hướng dẫn phát hướng giải tốn hình học phổ thơng phương pháp vec tơ giúp người học có tư việc hệ thống hóa dạng tốn, giải tốn hình học cách đơn giản mà việc giải phương pháp tổng hợp cơng kềnh hình vẽ phức tạp Ngồi phương pháp giúp giáo viên học sinh hoạt động giảng dạy học tập môn hình học đạt hiệu cao Vì tơi mạnh dạn đưa số giải pháp thông qua sáng kiến '' Hướng dẫn học sinh phát hướng giải tập hình học khơng gian phương pháp véc tơ'' skkn Các biện pháp giải vấn đề 3.1 Cách định hướng tìm lời giải tốn quan hệ song song 3.1.1 Định hướng toán chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng AB , ⃗ AC , ⃗ ADtrong có hai vectơ khác Định hướng: Ta xét hệ ba véctơ ⃗ AC , ⃗ AD Khi chứng minh tồn cặp số (x ; y) phương chẳng hạn ⃗ AB=x ⃗ AC+ y ⃗ AD cho ⃗ Ví dụ 1.1 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N hai điểm thuộc AD AM BN BB’ cho AB = BB ' =k Gọi I, J trung điểm AD C’D’ Chứng minh M, N, I, J thuộc mặt phẳng Định hướng: (Hình 1.1) Ta thấy ⃗ℑ,¿⃗ khác phương từ ta chứng minh ⃗ IJ =x ⃗ ℑ + y ⃗¿ Lời giải: Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AD= ⃗b ,⃗ AA ' =⃗c ⃗ ⃗c Ta có: ⃗ IJ =⃗ AD ' =b+ −1 −1 ⃗ ⃗ ℑ= ⃗ IA +⃗ AN = ⃗a + k b⃗ ⇔ ⃗ ℑ= ⃗a + b k 2k (2) 1 ¿⃗ =⃗ IB+ ⃗ BN = ⃗a + k ⃗c ⇔ ¿⃗ = ⃗a + c⃗ k 2k (3) Từ (1), (2), (3) suy 1 ⃗ IJ = ⃗ ℑ + ¿⃗ (2) k k hay bốn điểm M, I, N, J đồng phẳng skkn Ví dụ 1.2 Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm cạnh AB CD R, AR BS S điểm thuộc thuộc hai cạnh AC BD cho AC = BD Chứng minh bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng PQ =x ⃗ PR+ y ⃗ PS Định hướng: Ta tìm cặp số x,y chứng minh: ⃗ A Lời giải: (Hình 1.2) P Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AC=⃗b , ⃗ AD =⃗c AR BS Và AC = BD =k suy S B ⃗ AR=k ⃗ AC , ⃗ BS=k ⃗ BD D R −1 −1 1 PQ =⃗ PA +⃗ AQ = ⃗a + ( b⃗ + ⃗c )= a⃗ + b⃗ + ⃗c (1) Ta có ⃗ 2 2 −1 ⃗ PR =⃗ PA+⃗ AR= ⃗a + k ⃗b C Q Hình 1.2 (2) 1 ⃗ PS=⃗ PB+ ⃗ BS= ⃗a + k ( ⃗c −⃗a ) =( −k ) ⃗a +k c⃗ 2 (3) 1 PQ = ⃗ PR + ⃗ PS hay P, Q, R, S đồng phẳng Từ (1), (2), (3) suy ⃗ 2k 2k 3.1.2 Định hướng toán chứng minh song song - Định hướng chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng Do song song bất biến Afin nên ta dùng tọa độ Afin để giải tốn (chọn hệ vectơ khơng đồng phẳng chung gốc) Gọi u⃗ véctơ phương đường thẳng a: ⃗p , ⃗q cặp véctơ phương mặt phẳng (P) Ta lập luận chứng minh u⃗ , ⃗p , q⃗ đồng phẳng điểm A thuộc a mà không thuộc (P) - Định hướng chứng minh hai mặt phẳng (P), (Q) song song Do song song bất biến Afin nên ta dùng tọa độ afin để giải toán (chọn hệ vectơ không đồng phẳng chung gốc) skkn Giả sử u⃗ , ⃗v cặp véc tơ phương (P), ⃗p , ⃗q véc tơ phương (Q) Ta chứng minh hai vectơ ( u⃗ , ⃗p , q⃗ ), ( ⃗v , ⃗p , ⃗q) đồng phẳng tồn điểm A thuộc (P) khơng thuộc (Q) Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P trung điểm cạnh AD, BB’ C’D’ a) Chứng minh MN//(BDC’) b) Chứng minh (MNP)//(BDC’) MN , ⃗ BD ,⃗ BC ' ' đồng Định hướng: Để chứng minh MN//(BDC’) ta chứng minh ⃗ MN =m ⃗ BD +n ⃗ BC ' phẳng hay tồn cặp số (m;n) cho: ⃗ A M B D C A’ N D’ P B’ C’ Hình 1.3 Để chứng minh (MNP) // (BDC’) ta chứng minh cho 1 ⃗ MN =⃗ AN +⃗ AM =⃗a + b⃗ + ⃗c ⃗ MP=p ⃗ BD+ q ⃗ BC ' 2 Lời giải: (Hình 1.3) Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AC=⃗b , ⃗ AD =⃗c 1 MN =⃗ AN −⃗ AM =⃗a− b⃗ + ⃗c (1) Ta có ⃗ 2 1 ⃗ MP=⃗ AP−⃗ AM = a⃗ + b⃗ +⃗c (2) 2 ' ⃗ BD= ⃗b−⃗a ,⃗ B C = ⃗b+ c⃗ (3) a) Ta có M khơng thuộc (BDC’) từ (1) (3) ta có ⃗ MN =−⃗ BD+ ⃗ BC ' MN , ⃗ BD , ⃗ BC ' đồng phẳng hay MN // (BDC’) Suy ⃗ b) Theo câu a MN // (BDC’) skkn −1 ⃗ ⃗ MP= BD + BC ' suy MP // (BDC’) Mặt khác từ (2) (3) ta có ⃗ hay (MNP) // (BDC’) Ví dụ 1.4 / / / / Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi M , N trung điểm CD DD / / / / / Gọi G1 ,G2 trọng tâm tứ diện A D MN BCC D Chứng ¿ ¿ minh: G1 G2 //( ABB A ) Định hướng: Ở vị dụ ta dùng phương pháp hình học tổng hợp việc vẽ hình để xác định hai điểm G, G’ rối Nếu dùng phương pháp vectơ ta cần chứng minh:⃗ ¿ ' =x ⃗ AB + y ⃗ AA ' Lời giải: (Hình 1.4) / Ta có G khơng thuộc (ABB’A’) Đặt : AB a , AD b , AA c B G1 trọng tâm tứ diện A / D / MN nên M AG1 ( AA / AD / AM AN ) A D G trọng tâm tứ diện / B’ / BCC D nên AG2 N / / ( AB AC AC AD ) ⃗ C A’ C’ D’ Hình 1.4 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ¿ ¿ ¿ ¿ G G 2= AG − AG = ( A B + D C +MC + ND ) Ta có: ⃗ ⃗ 1 1 ( a c a c a c c ) (5 a c ) AB AA / 2 8 / / G1G2 //( ABB A ) 3.1.3 Định hướng cho toán tỉ số đoạn thẳng phương Định hướng: skkn MA Nếu toán cho giả thiết M nằm trêm đoạn AB MB =k ta biến đổi MA=−k ⃗ MB để áp dụng vào giải tốn sang ngơn ngữ véc tơ sau: ⃗ MA Nếu toán chứng minh tỷ số MB =k ta chứng minh theo đẳng MA=−k ⃗ MB thức véctơ ⃗ Tương tự hệ thức chứa nhiều tỷ lệ đoạn thẳng khác Ví dụ 1.5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành B’, D’ trung điểm SB, SD Mặt phẳng (A’BD) cắt SC C’ Chứng minh SC = 3SC’ SC ' Định hướng: Ở ta phải chứng minh SC = hay chứng minh ⃗ SC '= ⃗ SC Lời giải: (Hình 1.5) S Đặt ⃗ SA=⃗a , ⃗ SB=b⃗ , ⃗ SD=⃗c C’ D’ SC ' Đặt SC =m, ta chứng minh m= B’ SC '= ⃗ SC hay ⃗ D C Thật : 1 ⃗ SB '= ⃗b , ⃗ SD = ⃗c 2 A B SC '=m ⃗ SC=m ( ⃗ SB+ ⃗ BC ) Và ⃗ Hình 1.5 ¿ m ( ⃗b−⃗a + c⃗ ) Theo giả thiết A, B’, C, D’ đồng phẳng Khi tồn ba số ( α , β , γ ), α + β+ γ =1 thỏa mãn: β γ ⃗ SC '=α ⃗ SA+ β ⃗ SB+ γ ⃗ SD ⇔−m a⃗ + m b⃗ + m c⃗ =α ⃗a + b⃗ + ⃗c 2 skkn −β m = α= y x x ⇔ α + β =0 ⇔ β= − y m y x γ β n + =0 γ= n y x { { Kết hợp α + β+ γ =1ta x + y=m+n (điều phải chứng minh) 3.2 Các cách định hướng lượng giải dạng toán tiêu biểu lượng, quan hệ vng góc 3.2.1 Chứng minh vng góc Để chứng minh hai đường thẳng a, b có véctơ phương u⃗ , ⃗v ta có cách sau: Cách 1: u⃗ ⃗v = Cách 2: : AB ⊥ CD ⇔ AC 2− AD 2=BC 2−BD2 2 2 Thật AC 2− AD 2=BC 2−BD ⇔ ⃗ AC −⃗ AD =⃗ BC −⃗ BD ⇔ (⃗ AC −⃗ AD )( ⃗ AC + ⃗ AD ) =(⃗ BC −⃗ BD )( ⃗ BC + ⃗ BD ) ⇔⃗ DC ( ⃗ AC + ⃗ AD )=⃗ DC ( ⃗ BC + ⃗ BD ) ⇔ ⃗ DC ( ⃗ AC + ⃗ AD−⃗ BC −⃗ BD ) =0 ⇔⃗ DC ( ⃗ AC + ⃗ AD + ⃗ CB +⃗ DB )=0 ⇔ ⃗ DC ⃗ AB=0 ⇔ AB ⊥CD Ví dụ 2.1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Chứng minh AC’⊥ BD A Định hướng: Ta giải tốn sau theo D B C cách cách trình bày Lời giải: (Hình 2.1) A’ D’ Cách 1: Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AD= ⃗b ,⃗ AA ' =⃗c Ta có: a⃗ ⃗b=0 , ⃗a ⃗c =0 , ⃗b ⃗c =0 , D’ |⃗a|=|⃗b|=|⃗c|= a Hình 2.1 C’ ⃗ ⃗c , ⃗ ⃗ AC '=⃗a + b+ BD= ⃗b−⃗a ⃗ ⃗c )( ⃗b−⃗a ) =−⃗a2 + b⃗ 2=0 ⇔ AC ' ⊥ BD ⃗ AC ' ⃗ BD=( ⃗a + b+ 10 skkn Cách 2: Ta có BA 2−BC' 2=a 2−2 a2=−a2 '2 2 DA −DC =a −2 a =−a Suy B, D nằm mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AC’ Hay A C' ⊥ BD Ví dụ 2.2 Cho hình chóp S ABC tam giác ABC có SA ⊥ ( ABC ) Gọi H ,K trực tâm SBC Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) S Định hướng: (Hình 2.2 ) Để chứng minh HK ⊥ ( SBC ) K Ta chứng minh: C A ⃗ HK ⃗ SC=0 ⊥ SC hay {HK { ⃗ HK ⊥ BC HK ⃗ BC =0 H B Lời giải: Ta có Hình 2.2 ⃗ HK ⃗ SC=( ⃗ HB + ⃗ BK ) ⃗ SC=⃗ HB ( ⃗ SA+ ⃗ AC ) + ⃗ BK ⃗ SC ¿⃗ HB ⃗ SA+ ⃗ HB ⃗ AC + ⃗ BK ⃗ SC=0(1) ⃗ HK ⃗ BC =( ⃗ HA + ⃗ AS+ ⃗ SC ) ⃗ BC ¿⃗ HA ⃗ BC + ⃗ AS ⃗ BC + ⃗ SK ⃗ BC =0 (2) Từ (1) (2) suy HK ⊥ ( SBC ) 3.2.2 Định hướng tốn tính khảng cách hai đường thẳng chéo 11 skkn Cho hai đường thẳng a b có đoạn vng góc chung AB Khi độ dài đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng Trong trường hợp dựng đường vng góc chung gặp khó khăn tốn hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ sau: ta chuyển sang ngôn ngữ vectơ nhờ phép chuyển ngơn ngữ từ tính độ dài AB AB ¿ √⃗ AB Ví dụ 2.3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N a trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Định hướng: Lời giải: (Hình 2,3) ⃗ Đặt → ⃗ → ⃗ → → → → → → → OA =a ,OB =b , OS =c Ta có : a c =0 , b c =0 ,a b=0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MN =MA + AC +CN = ⃗ 1 ⃗ SD + AC + CB 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ( SO +OD )+AC + (CO +OB ) 2 S E 3→ 1→ =− a− c 2 ⃗ → M AC =−2 a I Gọi PQ đường vng góc chung D A MN AC , ta có: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ PQ =PM +MA + AQ =x MN + SD + y AO → → 1→ → → =x (− a − c )+ (−c −b )− y a 2 → 1→ → =−( y + x )a− (x +1 )c − b 2 O B D N Hình 2.3 12 skkn ⃗ { PQ MN =0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⃗ 1→ a2 a √2 2 ⇒ PQ =− b ⇒ PQ = OB = ⇒ PQ= ⃗ Chú ý: Tương tự tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta định hướng sau: Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Độ dài AH khoảng cách từ A đến (P) Chuyển sang ngôn ngữ véc tơ ta tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) cách tính AH sau: AH ¿ √⃗ AH Ví dụ 2.4: Cho ¿ hình S ABCD chóp đáy hình thang, ¿ ABC =BAD =90 , BA=BC=a , có SA=a √2 Gọi AD =2 a Cạnh bên SA vng góc với đáy A hình chiếu vng góc H SB Tính lên khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ) Định hướng: ⃗ HI ⃗ SC=0 ( ) ⃗ ⃗ HI SD =0 ( ) Gọi I hình chiếu H lên mặt phẳng (SCD) Ta có ⃗ SI =x ⃗ SC + y ⃗ SD(3) { Để tìm độ dài HI trước hết ta biểu diễn đẳng thức (1), (2), (3), qua HI qua véc tơ a⃗ , b⃗ , c⃗ véc tơ sở ⃗ AB=⃗a , ⃗ AD= ⃗b , ⃗ AS=⃗c Sau biểu diễn ⃗ HI suy khoảng cách cần tìm Cuối bình phương vơ hướng ⃗ Lời giải: (Hình 2.4) ⃗ → ⃗ → S ⃗ → Đặt AB =a , AD =b , AS =c → → → → → → Ta có: a c =0 , b c =0 ,a b=0 D H A B skkn C Hình 2.4 13 ⃗ ⃗ → → → 1→ → ⃗ → → SB =a −c , SC =a + b −c , SD =b −c Gọi I hình chiếu vng góc hạ từ H Lên mặt phẳng (SCD )⇒ d( H ;( SCD ))=HI Khi : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ HI =HS + SI ⃗ ⃗ ⃗ =− SB +x SC + y SD → → → x =( x− )a +( + y )b +( −x − y )c 3 { HI SC = ¿ ¿ ¿ ¿ ⃗ ⃗ 1→ → 1→ → 1→ → a HI = a + b + c ⇒ HI= (a + b +c ) = 12 6 √ 3.2.3: Định hướng tốn góc *) Gọi góc hai đường thẳng a b, u1 ,u hai vec tơ cos cos(u1 , u ) u1 u u1 u phương a,b Khi đó: *) Gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Định hướng 1: Ta xác định hình chiếu a’ a lên mặt phẳng (P) Góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc hai đường thẳng a a’ Định hướng 2: Ta xác định đường thẳng a a’ u1 ,u hai vec tơ phương hai cos cos(u1 , u ) u1 u u1 u Khi đó: *) Gọi góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta xác định u1 ,u hai véc tơ nằm hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) cos cos(u1 , u ) u1 u u1 u Khi đó: 14 skkn Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh SA SA (ABC ) Gọi M , N trung điểm AB, BC Tính góc hai đường thẳng SM AN Lời giải: (Hình 2.5) Đặt : AB a , AC b , AS c Ta có: a c 0, b c 0, a b 16 SM SA AM c 1 1 a SM ( c a ) 2 S (a b ) AN 1 2 SM AN ( c a ) ( a b ) a a b 12 2 4 SM Gọi góc hai đường thẳng AN , AN ⃗ ⃗ c C b A N a M B Hình 2.5 ⃗ |SM AN| 12 cosα=|cos( SM , AN )|= ⃗ ⃗ = = ⇒α=45 √ 3.2 √ √2 |SM|.|AN| ⃗ 3.2.4 Định hướng tốn quỹ tích Đối với tốn tìm quỹ tích thõa mãn điều kiện tốn ta chuyển tốn ta chuyển sang ngơ ngữ véc tơ quỹ tích theo ngơn ngữ véc tơ sau: MA=α ⃗a, A cố định, a⃗ cho trước α Tập hợp điểm M cho: ⃗ tham số đường thẳng ∆ qua A với véc tơ phương a⃗ OM =x ⃗ OA + y ⃗ OA , x ≥ , y ≥ , x + y=1 đoạn thẳng Tập hợp điểm M cho: ⃗ AB (O điểm ) MA ⃗ AB=0 đường thẳng vng góc với AB Tập hợp điểm M thỏa mãn ⃗ A (đối với tốn mặt phẳng), mặt phẳng vng góc với AB A (đối với tốn khơng gian) OM|=R với O điểm cố định R dương không Tập hợp điểm M thỏa mãn |⃗ đổi đường trịn tâm O bán kính R (đối với toán mặt phẳng), mặt cầu tâm O bán kính R (đối với tốn khơng gian) 15 skkn MA|=|⃗ MB| , với A,B cố định đường trung trực Tập hợp điểm M thõa mãn |⃗ đoạn thẳng AB (nếu toán mặt phẳng), mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB (nếu tốn khơng gian) Ví dụ 2.6 Cho hình chóp S.ABCD Tìm tập hợp điểm M không gian thỏa MS +⃗ MA +⃗ MB+⃗ MC +⃗ MD|=k mãn: |⃗ Định hướng: MS+ ⃗ MA + ⃗ MB +⃗ MC+ ⃗ MD cho ta liên Đối với toán ta thấy từ tổng véc tơ ⃗ tưởng đến trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, S Tìm điểm từ hệ thức tốn ta suy tập hợp điểm M Lời giải : (Hình 2.6) S Gọi O tâm hình vng ABCD MA+ ⃗ MB+⃗ MC +⃗ MD=4 ⃗ MO Ta có ⃗ Suy ⃗ MS+ ⃗ MA + ⃗ MB +⃗ MC+ ⃗ MD=⃗ MS + ⃗ MO ¿⃗ MG+ ⃗ GS + (⃗ MG+ ⃗ GO ) A G D ¿ 5⃗ MG+ ⃗ GS +4 ⃗ GO B GS + ⃗ GO=⃗0 ⇔ ⃗ GS =−4 ⃗ GO Vì ⃗ O C Hình 2.6 ⃗ MA+ ⃗ MB+⃗ MC +⃗ MD=5 MG hay G cố định thuộc đoạn OS cho GS=4 GO Vậy ⃗ k MG|= MS +⃗ MA +⃗ MB+⃗ MC +⃗ MD|=|5 ⃗ MG|=k ⇔ |⃗ Suy |⃗ Vậy tập hợp điểm M mặt cầu tâm G bán kính k2 3.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 ,G2 ,G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh : (G1 G2 G3 ) // (BCD) 16 skkn S ABCD Bài 2: Cho hình chóp SO ⊥( ABCD ) Cạnh bên SB=a có đáy hình thoi cạnh a tâm O, E,F , gọi trung điểm SA , SC Chứng minh (BED )⊥( BFD) Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB =AD =a , SD ⊥( ABCD ) , ( AB