Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

Microsoft Word Dð ÁN PH¯�NG TRÌNH CHèA THAM SÔ LÚP 9 doc PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Trang 1/38 BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Ứng dụng hệ thức Vi ét Xét phươn[.]

BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Ứng dụng hệ thức Vi-ét: Xét phương trình bậc hai: ax  bx  c  * ,  a   ,   b  4ac b   S  x1  x2   a Gọi S , P tổng tích hai nghiệm x1 , x2 Hệ thức Viét:  c P  x x   a  Điều kiện PT * có hai nghiệm trái dấu  P     Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt dấu   P      Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt dương   S  P       Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt âm   S  P    Các hệ thức thường gặp:  x12  x2   x12  x1.x2  x2   x1.x2   x1  x2   x1.x2  S  P  x1  x2    x1  x2   x1 x2   S  P  x2  x1    x1  x2   x1 x2   S  P  x12  x2   x1  x2  x1  x2     x1  x2   x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2   x1  x2   x1.x2   S  S  3P     x14  x2   x12    x2    x12  x2   x12 x2   x1  x2   x1 x2   x12 x22   2  x1  x2   x1 x2   S S  P 2   S  2P   2P  1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P  1 x2  x1    x1 x2 x1 x2  x1  x2  x1 x2  x1 x2  S  4P P PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38   x1  x2  x1 x2 x12  x2  x1  x2  x1  x2      x2 x1 x1 x2 x1 x2  x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x2    x1  x2   x1  x2   x1.x2      x1  x2      x1  x2   x1 x2 x1 x2   x1 x2  x1  x2   x1.x2        S S  4P P  S  P  S  P    x14  x2   x12    x2    x12  x2  x12  x2     S  P  S S  P 2 II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1: Cho phương trình  2m  1 x  2mx   Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng  1;  Lời giải   phương trình trở thành  x    x    1;  Xét 2m    m  ta có: 2  '  m   2m  1  m  2m    m  1  m Xét 2m    m  Suy phương trình có nghiệm với m Ta thấy nghiệm x  không thuộc khoảng  1;  m  m 1 phương trình cịn có nghiệm x   2m  2m  Phương trình có nghiệm khoảng  1;  suy Với m    2m 1  0   1     2m    2m  m0 2m  2m   2m   Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng  1;  m  Câu 2: Cho phương trình x   2m  1 x  m   ( x ẩn số) a) Tìm điều kiện m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  x2 a)    2m  1   m  1   4m Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  5 x  x   2m  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  Theo đề bài: b) Phương trình hai nghiệm  m  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38  x1  x2   x1  3x2   x1  x2   x1 x2  x1  3x2   2m  1   m  1  x1  x2  x1  3x2   4m m 1   x1   x1  x2  2m   Ta có hệ phương trình:   x1  x2   4m  x  3( m  1)  2 m  3( m  1)    m2  2   m  1   m  1  m2    m  1 Kết hợp với điều kiện  m  1 giá trị cần tìm Câu 3: Tìm m để phương trình x  x  3m   ( x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  x1 x2  75    4.1  3m  1  29  12m Lời giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt     m   x  x  5 Áp dụng hệ thức Vi-ét   x1 x2  3m  Ta có: x13  x23  3x1 x2  75  29 12    x1  x2   x1  x2   x1 x2  3x1 x2  75   x1  x2  25  x1 x2   3x1 x2  75  25  x1  x2    x1  x2  x1 x2  x1 x2  75  x1  x2  Kết hợp x1  x2  5 suy x1  1; x2  4 Thay vào x1 x2  3m  suy m  5 giá trị cần tìm Cho phương trình x  10mx  9m  ( m tham số) a) Giải phương trình cho với m  b) Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện Vậy m  Câu 4: x1  x2  Lời giải a) Với m  phương trình cho trở thành x  10 x   x  Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt   x2  b)  '   5m   1.9m  25m  9m Điều kiện phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  '   25m  9m  (*) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 3/38 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Câu 5:    x2  m  x1  x2  10m 10 x2  10m  x2  m       x1  9m   x1  9m , (*)  m   x1  x2    x1  x2      x1 x2  9m  x1 x2  9m 9m  9m   m    m  Cho phương trình x  2(m  1) x  m  m   ( m tham số) a) Giải phương trình cho với m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện Lời giải a) Với m  , phương trình cho trở thành: x  x    '  ; x1,2   1  4 x1 x2 Vậy với m  nghiệm phương trình cho x1,2   b)  '  m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt     m    m  2  x1  x2  2( m  1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  m  Do đó: 1 2( m  1) x x  4 4 4 x1 x2 x1 x2 m  m 1 Câu 6: m  m  m   m  m      m   m   2(m  m  1)  2m  m      Kết hợp với điều kiện  m  1;   giá trị cần tìm   Cho phương trình x  (2m  1) x  m   ( m tham số) Khơng giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  11 Lời giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     2m  1  4.2  m  1   4m  12m     2m    m Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét giả thiết ta có: 2m    x1  x    m 1  x1 x     3x1  4x  11   13- 4m   x1   7m    x2  26 -8m  7m   13- 4m 3  26 -8m  11  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 4/38 Giải phương trình 13- 4m 7m  4  11 26 - 8m  m  2 Ta   m  4,125 Câu 7:  m  2 giá trị cần tìm Vậy   m  4,125 Cho phương trình x  2(m  1) x  m   ( m tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Lời giải a) Phương trình cho có nghiệm  '      m  1    m  3   2 m   m2 Vậy m  giá trị cần tìm b) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Gọi nghiệm phương trình cho a nghiệm 3a Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a  3a  2m    a.3a  m  m 1  m 1   3   m 3    m  6m  15   m  3  (thỏa mãn điều kiện) a Câu 8: Vậy  m  3  giá trị cần tìm 1 Cho phương trình x  mx  m  4m   ( m tham số) 2 a) Giải phương trình cho với m  1 1 b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2 x1 x2 Lời giải a) Với m  1 phương trình trở thành x  x    x2  x   2  x1  1  10   x2  1  10 b) Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt   1     m    m  4m  1   8m    m  2  Để phương trình có nghiệm khác  m  4m   m1  4   m2  4  Ta có  x1  x2  1   x1  x2   x1  x2  x1 x2  1    x1 x2  x1 x2   PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 5/38 m  2m     m  4  19 m  8m    m  4  19 m  Kết hợp với điều kiện ta   m  4  19 Câu 9: m  Vậy  giá trị cần tìm 19    m  Tìm tất số tự nhiên m để phương trình x  m x  m   ( m tham số) có nghiệm nguyên Lời giải     m   4.1  m  1  m  4m  Phương trình có nghiệm ngun   m  4m  số phương m  Nếu    (loại) m  Nếu m     22 (nhận) Nếu m  2m  m     2m  4m       m  4m        4m   m  2m     m   m  1     m  2  khơng số phương Vậy m  giá trị cần tìm Câu 10: Cho phương trình x  2(m  1) x  m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị nhỏ P  x12  x22 (với x1 , x2 nghiệm phương trình cho) Lời giải 2 3   '     m  1    m  3  m  3m    m     , m 2  Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  2( m  1)  x1  x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:    x1 x2  m   x1 x2  2m   x1  x2  x1 x2   không phụ thuộc vào m a) c) P  x12  x22   x1  x2   x1 x2   m  1   m  3 2  15 15    2m     , m 2 4  15 5 Do Pmin  dấu "  " xảy 2m    m  4 15 với m  Vậy Pmin  4 Câu 11: Cho phương trình x  mx  m   ( m tham số) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 6/38 a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức M  tìm m để M  b) Tìm giá trị m để biểu thức P  x12  x22  đạt giá trị nhỏ Lời giải x  x  m a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  x12  x22  Từ x12 x2  x1 x22 x  x22   x1  x2   x1 x2  m   m  1  Ta có M  21   x1 x2  x1 x22 x1 x2  x1  x2   m  1 m m  2m   m  1   m  m  1 m  m  1  m   m  1  m    m  Để M     m  m  1      m  m  m  1 m    m   b) Ta có P  x12  x22    x1  x2   x1 x2   m   m  1   m  2m    m  1  , m Do Pmin  dấu "  " xảy m    m  Vậy Pmin  với m  Câu 12: Cho phương trình x   2m   x  2m  ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Lời giải Điều kiện PT có nghiệm khơng âm x1 , x2 m2    '     x1  x2   2( m  1)   m  x x  2m     x  x   m  1 Theo hệ thức Vi-ét:   x1 x2  2m Ta có x1  x2   x1  x2  x1 x2   2m   2m   m  (thoả mãn) Vậy m  giá trị cần tìm Câu 13: Cho phương trình x   m  1 x  m  ( m tham số) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để A  x12 x2  x1 x22  2007 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải Ta có   [-(m+1)]2  4m  m  2m   ( m  1) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt     m  1   m  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38  x1  x2  m  Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m 2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  2007  x1 x2  x1  x2   2007 1  m  m  1  2007  m  m  2007  m  2.m   2006  4  8027 8027  , m  m    2 4  1 Dấu "  " xảy m    m  2 8027 với m   Vậy Amin  2 Câu 14: Cho phương trình x  2mx  2m   ( m tham số) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để A  x12 x2  x1 x22 đạt giá trị lớn Lời giải Ta có    2m   4.1  2m  1  4m  8m    m  1 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt     m  1   m   x1  x2  2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  2m  2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2     m  m  1  2007   2m  1 2m   4m  2m  4  m  m    1  1 1    4  m  2.m     4  m     , m 16 16  4 4   1 Dấu "  " xảy m    m  4 1 Vậy Am ax  với m  4 Câu 15: Cho phương trình x   m  1 x  2m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Lời giải a) Ta có    2  m  1   4.1  2m    4m  12m  22   2m   2.2m.3   13   2m  3  13  , m 2 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x  x  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có  (I)  x1 x2  2m  x 1  Theo giả thiết x1   x2     x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    (II)  x2   Thay (I) vào (II) ta có:  2m  5   2m      0.m   , với m Vậy với m phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Câu 16: Cho phương trình x  mx  m   ( m tham số) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 8/38 a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m x  x22  b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình thỏa mãn  x1  x2  Lời giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m   m  4.(m  2)  m  4m   ( m  2)    , m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với m b) Vì a  b  c   m  m   1  , m nên phương trình có nghiệm x1 , x2  , m Phương trình x  mx  m    x   mx  m x  x22  mx  m mx2  m m ( x1  1)( x2  1) Ta có 4 4    m   m  2 x1  x2  x1  x2  ( x1  1)( x2  1) Vậy m  2 giá trị cần tìm Câu 17: Cho phương trình x  mx   (1) ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1): x12  x1  x22  x2   x1 x2 Lời giải a) Ta có a.c   1  1  , với m nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với Tính giá trị biểu thức: P  m  x1  mx1  b) Ta có  x1 , x2 nghiệm phương trình (1)  x2  mx2  x  x1  x22  x2  mx1   x1  mx2   x2  Do P     x1 x2 x1 x2 x1  m  1 x2  m  1   m  1   m  1  x1 , x2  x1 x2 Vậy P  Câu 18: Cho phương trình x   2m  1 x  m   1 ( m tham số)   a) Tìm điều kiện m để phương trình 1 có nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình 1 thỏa mãn:  x1  x2   x1  x2 Lời giải a)      2m  1   4.1  m  1  4m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt    4m    m   x1  x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có   x1 x2  m  2 Ta có  x1  x2   x1  x2   x1  x2   x1 x2  x1  x2  x2   2m  1   m  1  2m   x2  6m   x2   x2  m 1 m  3m  Do  m   m    m  1 2 3m  Suy x1  (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 9/38 Vậy m  1 giá trị cần tìm Câu 19: Tìm m để phương trình x  x  2m   ( m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)  Lời giải    2   4.1  2m  1  8m Phương trình có hai nghiệm phân biệt    8m   m   x1  x2  (I) Theo hệ thức Vi-ét, ta có   x1 x2  2m  Ta có x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)    x1 x2   ( x12  x22 )    x1 x2   ( x1  x2 )  x1 x2   (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2( 2m  1)     2m  1    m  3m    m     m  So với điều kiện có nghiệm m  Vậy m  giá trị cần tìm Câu 20: Xác định giá trị m phương trình x  x  m  để  nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Lời giải Do  nghiệm phương trình nên thỏa: 4  3   8   m   m  13   m  13 Thay m  13 vào phương trình ta phương trình: x  x  13  *  '   4   1.13  x   Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là:   x2   Vậy x   giá trị cần tìm Câu 21: Cho phương trình x   2m  1 x  m  m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m cho A   x1  x2  x2  x1  đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Lời giải a) Ta có      2m  1   4.1  m  m  1   , m Nên phương trình ln có nghiệm với m  x1  x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  m  Ta có A   x1  x2  x2  x1   x1 x2   x12  x22   x1 x2   x1  x2    m  m  1   2m  1  m  m  11 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 10/38 ... thức Vi-ét giả thiết ta có: 2m    x1  x    m 1  x1 x     3x1  4x  11   1 3- 4m   x1   7m    x2  26 -8 m  7m   1 3- 4m 3  26 -8 m  11  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang... Ta có   [-( m+1)]2  4m  m  2m   ( m  1) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt     m  1   m  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38  x1  x2  m  Theo hệ thức Vi-ét, ta có:... biệt  m  5 x  x   2m  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  Theo đề bài: b) Phương trình hai nghiệm  m  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38  x1  x2   x1  3x2   x1  x2