CHUYÊN ĐỀ THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Với bài toán thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong việc phối hợp nhiều phép tinh như[.]
CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Với tốn thực phép tính kì thi học sinh giỏi, địi hỏi học sinh phải nhanh nhạy việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ phân số, tối giản phân số, tính tổng theo quy luật…thứ tự thực phép tính KIẾN THỨC BỔ TRỢ: 1/ Cơng thức tính lũy thừa số tự nhiên: am.an = am+n (a.b)m = am.bm (am)n = am.n m am a n b b b hay (a : b)m = am : bm 2/ Một số công thức đặt thừa số chung a.b + a.c + a.d + … + a. k = a.(b + c + d + … + k) 1 a a a a x1 x xn xn x1 x 4/ Một số cơng thức tính tổng a) Tổng số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + … + an (1) Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều) Số số hạng trong tổng là n = a n a1 : d a1 là số hạng thứ nhất an là số hạng thứ n Tổng S = n.(a1 + an) : Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d b) Tổng có dạng: S = + a + a2 + a3 + ….+ an (2) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được. a.S = a + a2 + a3 + a4 + ….+ an + 1 (3) B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được: a.S – S = an + 1 – 1 => S a n 1 a 1 c) Tổng có dạng: S = + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n (4) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được. a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + 2 B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được: (5) 2n + 2 a S – S = a a 2n – 1 => S a 1 d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + (6) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được. a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + 3 (7) B2: Lấy (7) trừ (6) vế theo vế được: a2.S – S = a2n + 3 – a => S a 2n a a 1 d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1) n (8) Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức (8) với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được. 3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)] = (n – 1).n.(n + 1) S n – 1 n n 1 e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (9) Áp dụng công thức tổng (8) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1) S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1) = (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + 2 + 3 + …. + n) = P + (1 + 2 + 3 + …. + n) P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n) Trong đó theo (8) thì S = n n + 1 n 2 Theo (1) thì (1 + 2 + 3 + …. + n) = P = n(n 1) n(n 1) 2n 1 f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 (10) với k chẵn k ∈ N Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k] = 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2) = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2 = 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2] = 2.S S = k – 1 k k 1 => S = k – 1 k. k 1 A mà theo (8) thì tổng A g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1 an (11) * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = S = a1.(a1 + 2) + a2 (a2 + 2) + a3 (a3 + 2) + a4 (a4 + 2) + ….+ an-1 (an - + 2) = a12 a 22 a 32 a 2n 1 a1 a a a n 1 = S1 + k S2 Trong đó tổng S1 = a12 a 22 a 32 a 2n 1 S2 = a1 a a a n 1 * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu. h) Tổng có dạng: S = 1 1 a1a a a a a a n 1a n (12) * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = 1 thì: S= 1 1 1 1 1 a1 a a a a a a n 1 a n a1 a n * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > thì: 1 1 1 1 1 1 1 S = k a1 a a a a a a n 1 a n k a1 a n B.BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài Tính tổng : S 27.4500 135.550.2 18 Bài Tính: a)A 101 100 99 98 101 100 99 98 b)B 423134.846267 423133 423133.846267 423134 Bài Kết quả của phép tính 99 100 bằng: A 50 B. 50 C. 100 D. 0 Bài Tính tỉ số A 1 1 1 1 , biết: A ;B B 3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 A B A B. A 1 B C. A B D. A 20 B Bài Tính hợp lý b) 2100 550 2100 11 550 a)53.81 47.14 81.47 14.53 20162016 2017 2016 2016 2016 2017.2017 2016 c) 2017 2017 2016 20172017 2017 2017 2017 2016 d) 636 50.540 10.534 3030.104 100.155 4.35 Bài 5.42017 42018 Cho biểu thức A Chứng tỏ rằng biểu thức A có giá trị là một số nguyên. 42 42016 Bài Khơng quy đồng hãy tính tổng sau: A 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 Bài Tính giá trị các biểu thức sau: a)A 68.74 27.68 68 b)B 23.53 539 639 8. 78 : 76 20170 151515 179 1500 1616 c)C 10 161616 17 1600 1717 d)D 1 1 1 1 2 100 Bài 92 1 1 : Tính: 92 10 11 100 45 50 55 500 Bài 10 Thực hiện phép tính a) A 14 5. 22.32 2 22.3 34 5.228.318 7.229.318 12 12 12 5 12 289 85 13 169 91 158158158 : b) B 81 4 6 711711711 4 6 289 85 13 169 91 Bài 11 3 3 3 3 Cho A 2 2 2 2 2 2012 3 và B 2 Tính B - A Bài 12 Tính giá trị các biểu thức sau: a)A 1 1 1 1 1 2010 1 2011 131313 131313 131313 b)B 70 565656 727272 909090 c)C 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d biết 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Bài 13 1.Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất: A 2010.2011 1005 2010.2010 1005 2.Thực hiện phép tính: B 33 1 1 99 Bài 14 Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 a)4 12 7 b) 2014 2011 1 c) 1 10 15 780 Bài 15 Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) 102 112 12 : 132 142 b)1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 16 c) 3.4.2 11.213.411 169 2013 : 2 d)1152 374 1152 65 374 e)13 12 11 10 Bài 16 Cho A Tỷ số A. 7 11 và B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A là: B B. C. D. 11 Bài 17 Tính giá trị biểu thức sau: 2017 1 1 B 2017 : 2020 20 25 30 35 10100 Bài 18 a) Tính nhanh: 32 32 32 32 1.4 4.7 7.10 97.100 b) B 528 12 211 540 2225 c) M 32 33 32012 32014 d) D 2 2 2 20 30 42 56 72 90 Bài 19 Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2013 2014 2015 2016 1 1 1 1 2)B 1 : 1 : 1 : 1 : .: 1 : 1 : 1 2 3 4 5 98 99 100 Bài 20 Cho E Và F 1 1 1.101 2.102 3.103 10.110 1 1 E Tính tỉ số 1.11 2.12 3.13 100.110 F Bài 21 Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể) a)1968 :16 5136 :16 704 :16 b)23.53 400 673 23 78 : 76 Bài 22 19 21 23 25 39 Tính giá trị biểu thức A Bài 23 Tính: A 1 1 4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 24 12 12 12 5 12 289 85 13 169 91 158158158 : Thực hiện phép tính A 81 4 6 6 4 6 711711711 289 85 13 169 91 Bài 25 Thực hiện phép tính: A 14 5. 22.32 2 22.3 34 5.228.318 7.229.318 Bài 26 Thực hiện phép tính a) 32.56 32.25 32.19 b)24.5 131 13 93.253 c) 18 1252 Bài 27 Cho A 2 2 11.15 15.19 19.23 51.55 Tính tích A.B Bài 28 33.53.7.8 3.53.24.42 2 Rút gọn phân số: Bài 29 Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) A 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 11 ; B 1 3 3 b) B 13 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 30 Tính giá trị các biểu thức sau: a) A 1 1 1 1 1 2010 1 2011 131313 131313 131313 b) B 70 565656 727272 909090 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d biết 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Bài 31 c )C Thực hiện phép tính A 540 : 23, 19, 42 132 75 36 7317 B 210.13 210.65 28.104 Bài 32 Tính tổng A 1.2 2.3 3.4 98.99 Bài 33 Rút gọn biểu thức: 10.11 50.55 70.77 11.12 55.60 77.84 Bài 34 Tính hợp lý a)21.7 11.7 90.7 49.125.16 b) 5.415.99 4.320.89 5.29.619 7.229.27 Bài 35 Tính giá trị các biểu thức sau: a) A 5 1 11 : 6 20 4 b) B 23.53 400 673 23 78 : 76 13 c )C 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 36 Thực hiện phép tính a) A 14 22.32 2 2. 22.3 34 5.228.318 7.229.318 12 12 12 5 12 289 85 13 169 91 158158158 : b) B 81 4 6 711711711 4 6 289 85 13 169 91 Bài 37 Thực hiện phép tính 3 3 3 24.47 23 11 1001 13 a) A 9 9 24 47 23 9 1001 13 11 b) M 22 23 22012 22014 Bài 38 Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể) a)1968 :16 5136 :16 704 :16 b)23.53 400 673 23 78 : 70 Bài 39 Tính N 14 22.32 22 2.3 316 5.228.319 7.229.318 Bài 40 Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) 102 112 122 : 132 142 b)1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 16 c) 3.4.2 11.213.411 169 d )1152 374 1152 65 374 e)13 12 11 10 Bài 41 Thực hiện các phép tính sau: a) 2181.729 243.81.27 234 18.54.162.9 723.729 2 b) 1 1 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 c) 5.415 99 4.320.89 5.29.619 7.2 29.276 Bài 42 Tính nhanh: A Bài 43 Tính tổng: 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 2 2 1.4 4.7 7.10 97.100 Bài 44 Tính giá trị biểu thức 212.13 212.65 310.11 310.5 210.104 39.2 Bài 45 Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : A = 636363.37 373737.63 2006 12 12 12 4 12 4 19 37 53 : 17 19 2006 124242423 B = 41 237373735 37 53 17 19 2006 Bài 46 Tính: C = 101 100 99 98 ; 101 100 99 98 D = 1 1 2 100 Bài 47 Tính tổng S = 27 4500 135 550.2 14 16 18 1 1 Bài 48 Tính tổng A 100 3 3 Bài 49 Tính: A= 5 5 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 B= 12 20 30 42 C = 1 1 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 ... 423133 846267 423134 Bài 55 Tính? ?nhanh: 3 3 3+ - + 24.47 - 23 11 1001 13 a) A = 9 9 24 + 47 - 23 - + - +9 1001 13 11 b) B = -3 29 + -1 5 + -1 01 + 440 + 2019 c) M ... Bài 37 Thực? ?hiện? ?phép? ?tính? ? 3 3 3 24.47 23 11 1001 13 a) A 9 9 24 47 23 9 1001 13 11 b) M 22 23 22012 22014 Bài 38 Thực? ?hiện? ?phép? ?tính? ? (tính? ?hợp lý nếu có thể) ... 2a Bài 13 1 .Thực? ?hiện? ?tính? ?A bằng cách hợp lý nhất: A 2010.2011 1005 2010.2010 1005 2 .Thực? ?hiện? ?phép? ?tính: B 33 1 1 99 Bài 14 Tính? ?giá trị biểu thức sau: