Chuyên đề Thực hiện dãy tính, tính nhanh Toán lớp 6

CHUYÊN ĐỀ THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Với bài toán thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong việc phối hợp nhiều phép tinh như[.]

CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Với tốn thực phép tính kì thi học sinh giỏi, địi hỏi học sinh phải nhanh nhạy việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ phân số, tối giản phân số, tính tổng theo quy luật…thứ tự thực phép tính KIẾN THỨC BỔ TRỢ: 1/ Cơng thức tính lũy thừa số tự nhiên: am.an = am+n     (a.b)m = am.bm   (am)n = am.n  m am a    n b b  b    hay (a : b)m = am : bm  2/ Một số công thức đặt thừa số chung a.b + a.c + a.d + … + a. k = a.(b + c + d + … + k)  1 a a a      a      x1 x xn xn   x1 x 4/ Một số cơng thức tính tổng a) Tổng số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + … + an (1) Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều)  Số số hạng trong tổng là n =  a n  a1  : d  a1 là số hạng thứ nhất  an là số hạng thứ n  Tổng S = n.(a1 + an) : Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d b) Tổng có dạng: S = + a + a2 + a3 + ….+ an (2) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.  a.S = a + a2 + a3 + a4 + ….+ an + 1        (3)  B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được:  a.S – S = an + 1 – 1 =>  S  a n 1    a 1 c) Tổng có dạng: S = + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n (4) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a  ta được.  a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + 2   B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được:      (5)  2n + 2 a S – S = a a 2n    – 1 =>  S    a 1 d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + (6) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.  a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + 3       (7)  B2: Lấy (7) trừ (6) vế theo vế được:  a2.S – S = a2n + 3 – a =>  S  a 2n   a   a 1 d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1) n (8) Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1  => Nhân vào hai vế của đẳng thức (8) với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.  3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3  = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)]  + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]  = (n – 1).n.(n + 1)   S  n  –  1 n  n    1   e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (9) Áp dụng công thức tổng (8) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+  n(n+1)  S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1)  = (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + 2 + 3 + …. + n)  = P + (1 + 2 + 3 + …. + n)   P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n)  Trong đó theo (8) thì S =  n  n + 1 n    2    Theo (1) thì (1 + 2 + 3 + …. + n) =   P =  n(n  1)   n(n  1)  2n  1   f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 (10) với k chẵn k ∈ N Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k  = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]  = 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2)  = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2  = 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2]  = 2.S   S =   k  –  1 k  k    1  => S =   k  –  1 k. k    1   A  mà theo (8) thì tổng  A  g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1 an (11) * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = S = a1.(a1 + 2) + a2 (a2 + 2) + a3 (a3 + 2) + a4 (a4 + 2) + ….+ an-1 (an - + 2) =  a12  a 22  a 32   a 2n 1    a1  a  a   a n 1  = S1 + k S2 Trong đó tổng S1 =  a12  a 22  a 32   a 2n 1   S2 =  a1  a  a   a n 1   * Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.  h) Tổng có dạng: S = 1 1     a1a a a a a a n 1a n (12) * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = 1 thì:  S= 1 1 1 1 1           a1 a a a a a a n 1 a n a1 a n * Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > thì: 1 1 1 1 1  1 1       S =          k  a1 a a a a a a n 1 a n  k  a1 a n  B.BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài Tính tổng :  S  27.4500  135.550.2       18 Bài Tính:  a)A  101  100  99  98       101  100  99  98     b)B  423134.846267  423133   423133.846267  423134 Bài Kết quả của phép tính         99  100 bằng:  A 50      B.  50   C.  100     D. 0  Bài Tính tỉ số  A 1 1 1 1 , biết:  A     ;B        B 3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 A     B A B.  A  1  B   C.  A    B   D.  A  20   B Bài Tính hợp lý  b)  2100  550  2100  11  550   a)53.81  47.14  81.47  14.53  20162016 2017 2016   2016 2016 2017.2017 2016  c)     2017   2017 2016   20172017 2017   2017 2017 2016  d) 636  50.540  10.534  3030.104 100.155  4.35    Bài 5.42017  42018  Cho biểu thức  A   Chứng tỏ rằng biểu thức A có giá trị là một số nguyên.    42   42016 Bài Khơng quy đồng hãy tính tổng sau:  A 1 1 1 1 1 1        20 30 42 56 72 90 Bài Tính giá trị các biểu thức sau:  a)A  68.74  27.68  68     b)B  23.53  539  639  8. 78 : 76  20170      151515 179   1500 1616  c)C    10        161616 17   1600 1717        d)D    1  1  1  1   2     100  Bài 92   1 1   :      Tính:  92         10 11 100   45 50 55 500   Bài 10 Thực hiện phép tính  a) A  14 5. 22.32   2    22.3  34 5.228.318  7.229.318    12 12 12 5   12   289  85  13  169  91  158158158 : b) B  81    4 6  711711711  4   6    289 85 13 169 91   Bài 11 3 3 3 3 Cho  A                2 2 2 2 2 2012 3  và  B    2 Tính B - A Bài 12 Tính giá trị các biểu thức sau:  a)A   1  1  1  1  1 2010  1 2011    131313 131313 131313  b)B  70       565656 727272 909090  c)C  2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d       biết   3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Bài 13 1.Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất:  A 2010.2011  1005   2010.2010  1005      2.Thực hiện phép tính:  B  33    1   1         99  Bài 14 Tính giá trị biểu thức sau:  1  1 a)4   12      7 b)       2014         2011    1       c)    1               10  15   780  Bài 15 Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:  a) 102  112  12  : 132  142    b)1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.82   16 c)  3.4.2  11.213.411  169   2013 : 2  d)1152   374  1152    65  374   e)13  12  11  10            Bài 16 Cho  A  Tỷ số  A.  7 11       và  B    7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A là:   B      B.        C.          D.  11   Bài 17 Tính giá trị biểu thức sau:  2017   1 1   B   2017        :         2020   20 25 30 35 10100   Bài 18 a) Tính nhanh:  32 32 32 32       1.4 4.7 7.10 97.100 b)  B   528   12    211  540  2225   c)  M    32  33   32012   32014  d)  D  2 2 2        20 30 42 56 72 90 Bài 19 Tính giá trị của các biểu thức sau:  1)           2013  2014  2015  2016 1  1  1  1        2)B    1 :   1 :   1 :   1 : .:   1 :   1 :   1   2  3  4  5   98   99   100  Bài 20 Cho  E  Và  F  1 1       1.101 2.102 3.103 10.110 1 1 E     Tính tỉ số    1.11 2.12 3.13 100.110 F Bài 21 Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)  a)1968 :16  5136 :16  704 :16     b)23.53  400   673  23  78 : 76      Bài 22     19    21  23  25   39 Tính giá trị biểu thức  A  Bài 23 Tính:  A  1 1       4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 24 12 12 12 5   12   289  85  13  169  91  158158158 : Thực hiện phép tính  A  81    4 6 6  4   6    711711711 289 85 13 169 91   Bài 25 Thực hiện phép tính:  A  14 5. 22.32   2    22.3  34 5.228.318  7.229.318   Bài 26 Thực hiện phép tính  a)  32.56  32.25  32.19   b)24.5  131  13        93.253 c)   18 1252 Bài 27 Cho  A  2 2     11.15 15.19 19.23 51.55 Tính tích  A.B   Bài 28 33.53.7.8   3.53.24.42  2  Rút gọn phân số:  Bài 29 Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:  a) A  1 1 1 1 1 1      20 30 42 56 72 90     11   ; B       1    3 3  b) B  13     2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 30   Tính giá trị các biểu thức sau:  a) A   1  1  1  1  1 2010  1 2011    131313 131313 131313  b) B  70       565656 727272 909090  2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d       biết  3b 4c 5d 2a    3b 4c 5d 2a   Bài 31 c )C  Thực hiện phép tính  A  540 :  23,  19,    42 132  75  36   7317 B   210.13  210.65 28.104 Bài 32 Tính tổng  A  1.2  2.3  3.4   98.99   Bài 33 Rút gọn biểu thức:  10.11  50.55  70.77   11.12  55.60  77.84 Bài 34 Tính hợp lý  a)21.7  11.7  90.7  49.125.16 b) 5.415.99  4.320.89   5.29.619  7.229.27   Bài 35 Tính giá trị các biểu thức sau:  a) A  5 1   11   : 6  20 4   b) B  23.53  400   673  23  78 : 76      13 c )C      2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 36 Thực hiện phép tính  a) A  14  22.32   2   2. 22.3 34 5.228.318  7.229.318    12 12 12 5   12   289  85  13  169  91  158158158 : b)  B  81    4 6  711711711  4   6    289 85 13 169 91   Bài 37 Thực hiện phép tính  3 3 3    24.47  23 11 1001 13   a) A  9 9 24  47  23    9 1001 13 11 b) M    22  23   22012 22014  Bài 38   Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)  a)1968 :16  5136 :16  704 :16     b)23.53  400  673  23  78 :  70     Bài 39 Tính  N  14  22.32   22    2.3 316 5.228.319  7.229.318   Bài 40 Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:  a) 102  112  122  : 132  142    b)1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.82   16 c)  3.4.2  11.213.411  169   d )1152   374  1152    65  374    e)13  12  11  10            Bài 41 Thực hiện các phép tính sau:   a)  2181.729  243.81.27   234  18.54.162.9  723.729 2 b)  1 1           1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 c)  5.415  99  4.320.89   5.29.619  7.2 29.276 Bài 42 Tính nhanh: A  Bài 43 Tính tổng:  1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 Bài 44 Tính giá trị biểu thức  212.13  212.65 310.11  310.5  210.104 39.2 Bài 45 Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí :  A  =    636363.37  373737.63       2006 12 12 12 4   12    4    19 37 53 : 17 19 2006  124242423   B =    41         237373735 37 53 17 19 2006           Bài 46 Tính:  C =  101  100  99  98     ;    101  100  99  98     D =  1 1        2 100 Bài 47 Tính tổng S =  27  4500  135  550.2    14  16  18   1 1 Bài 48 Tính tổng A      100 3 3 Bài 49 Tính:  A=  5 5       11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 B=         12 20 30 42 C =  1 1        1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 ...   423133 846267  423134 Bài 55 Tính? ?nhanh:   3 3 3+ - + 24.47 - 23 11 1001 13    a)  A = 9 9 24 + 47 - 23 - + - +9 1001 13 11 b)  B =  -3 29  +  -1 5  +  -1 01 + 440 + 2019   c)  M   ...   Bài 37 Thực? ?hiện? ?phép? ?tính? ? 3 3 3    24.47  23 11 1001 13   a) A  9 9 24  47  23    9 1001 13 11 b) M    22  23   22012 22014  Bài 38   Thực? ?hiện? ?phép? ?tính? ? (tính? ?hợp lý nếu có thể) ... 2a Bài 13 1 .Thực? ?hiện? ?tính? ?A bằng cách hợp lý nhất:  A 2010.2011  1005   2010.2010  1005      2 .Thực? ?hiện? ?phép? ?tính:   B  33    1   1         99  Bài 14 Tính? ?giá trị biểu thức sau: