Microsoft Word HH8 C1 CD9 ÐI XèNG TÂM docx ĐỐI XỨNG TÂM I TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Hai điểm đối xứng qua một điểm Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối ha[.]
ĐỐI XỨNG TÂM I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Hai điểm đối xứng qua điểm: Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm o o trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm A đối xứng với A' qua O O trung điểm AA’ Khi ta cịn nói: A' đối xứng với A qua O A A’ đối xứng qua O * Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O điểm O * Hai hình đối xứng qua điểm: Hai hình gọi đối xứng với qua điểm O điểm thuộc hình đối xứng vói điểm thuộc hình qua điểm O ngược lại * Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm * Hình có tâm đối xứng: Điếm O gọi tâm đối xứng cùa hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình qua điểm O thuộc hình H * Định lí: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành O tâm đối xứng hình bình hành ABCD II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO Dạng Chứng minh hai điểm hai hình đối xứng với qua điểm Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hai hình đối xứng với qua điểm Bài Cho tam giác ABC Gọi điểm D, E theo thứ tự trung điểm AB AC Lấy P đối xứng vói B qua tâm E Q đối xứng với qua tâm D Chứng minh hai điểm P, Q đối xứng với qua tâm A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Gọi E điểm nằm tứ giác, E điểm đối xứng với E qua M, G điểm đối xứng với E qua Q, H điểm đối xứng với G qua P Chứng minh E điểm đối xứng với H qua điểm N Dạng Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng vói qua đuờng thẳng Bài Cho tam giác ABC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB AC Một điểm M thuộc cạnh BC, có điểm đối xứng vói M qua điểm F Q điểm đối xứng M qua điểm F Q Chứng minh: a) A thuộc đường thẳng PQ; b) BCQP hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AD lấy điểm E cạnh CB lấy điểm E cho AE = CF Chứng minh hai điểm E, F đối xứng với qua giao điểm đường chéo AC, BD Dạng 3.Tổng hợp Bài Cho tam giác ABC điểm D thuộc cạnh BC Từ D kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AC E đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tai F Chứng minh hai điểm E F đối xứng với qua trung điểm I đoạn thẳng AD Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AD, BC E F Chứng minh E F đối xứng với qua O Bài Cho góc xOy Điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O Bài Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C Tia MA cắt DE N Chứng minh MC = NE HƯỚNG DẪN Ta có: BAPC CAFB hình bình hành AP / / BC FA / / BC Vậy F,A,P thẳng hàng Ta có EBFA, FAGD, GDHC hình hành Vậy BECH hình bình hành Vậy E đối xứng với H qua N a) Tương tự Ta chứng minh A thuộc đường thẳng PQ b) Ta có: PA//BM,PA= BM AQ//MC, AQ = MC Suy BCQP hình bình hành Ta có AEFC hình bình hành (AE//FC; AE= CF) đường EF cắt AC t trung điểm O AC nên E,O, F thẳng hàng O trung điểm c EF (ĐPCM) Ta chứng minh AEDF hình bình hành AD EF = I I trung điểm AD EF Suy E đối xứng với F qua I FOB Do E,O, F thẳng hàng mà B, O,D thẳng hàng nên EOD (2 góc đổi đỉnh) DOE = BOF (g-c-g) OE = OF Vậy E đối xứng với F qua O = 900 Để B đối xứng với Cqua O xOy Chú ý: BEDC hình bình hành Ta có: EAN = CAM (g - c - g) NE = MC B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài 1: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng điểm M không thuộc đường thẳng Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng A, B, C qua M Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Trên cạnh AB lấy điểm I, cạnh AC lấy điểm K cho AI = AK Chứng minh điểm I đối xứng với điểm K qua AH Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Vẽ E điểm đối xứng A qua B, F điểm đối xứng A qua D Chứng minh rằng: E điểm đối xứng F qua C Câu 4:Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F cạnh AD, BC cho AE = CF Chứng minh rằng: đường thẳng AC, BD, EF đồng quy Bài 5: Cho góc xOy khác góc bẹt điểm M nằm góc Hãy dựng qua M đường thẳng cắt Ox A, cắt Oy B cho M trung điểm AB Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm P AB Gọi M, N trung điểm AD, BC; E, F điểm đối xứng P qua M, N Chứng minh rằng: a) E, F thuộc đường thẳng CD b) EF = 2CD Bài 7: Cho tam giác ABC, D điểm cạnh BC Gọi E F theo thứ tự điểm đối xứng điểm D qua AB AC a) Chứng minh AE = AF; b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gi để điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi D điểm đối xứng với A qua C, E điểm đối xứng với B qua A, F điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, EK trung tuyến tam giác DEF a) Chứng minh ABKM hình bình hành b) Gọi G giao điểm BM EK Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác DEF Bài 9: Cho A B hai điểm thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy (AB khơng vng góc với xy) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua xy, C giao điểm A’B xy Gọi M điểm khác C thuộc đường thẳng xy Chứng minh rằng: AC CB AM MB Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), điểm D thuộc cạnh huyền BC Vẽ điểm M điểm N đối xứng với D qua AB AC Chứng minh rằng: a) M N đối xứng qua A b) Xác định vị trí điểm D để MN ngắn nhất, dài Hướng dẫn giải Bài 1: C B Giả sử A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, ta có A AB + BC = AC (1) Các đoạn thẳng A’B’, B’C’ A’C’ M đối xứng với đoạn thẳng AB, BC, AC qua điểm M nên ta có A’B’ = AB, B’C’ = BC, A’C’ = AC A' B' Kết hợp đẳng thức (1) ta A’B’ + B’C’ = C' A’C’ Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng Bài 2: Vì ABC cân A, AH đường cao nên AH tia phân giác góc A Lại có: IA = AK => IAK cân A, mà AH tia phân giác góc A (cmt) => AH đường trung trực IK => Điểm I đối xứng với điểm K qua AH A K I B C H Bài 3: A B D F C E +) E điểm đối xứng A qua B (gt) nên AB = BE AB CD AB CD Tứ giác ABCD HBH => BE CD => Tứ giác BDCE hình bình hành BE CD Mà AB = BE (cmt) => BD // EC BD = EC Chứng minh tương tự có BD // CF BD = CF Vì BD // EC BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C trung điểm EF => E điểm đối xứng F qua C Bài 4: Gọi O giao điểm cuả AC, BD Tứ giác ABCD hình bình hành(gt) => O trung điểm AC Tứ giác AECF có AE = CF, AE // CF nên hình bình hành (dhnb) mà O trung điểm AC nên O trung điểm EF EF qua O Vậy đường thẳng AC, BD, EF đồng quy điểm O Bài 5: y B I 1 O M A x Cách dựng: - Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox A Dựng đường thẳng AM cắt Oy B Chứng minh: Xét MAI MBO có: I ( hai góc so le trong) O 1 MO = MI ( Vì I O đối xứng qua M) M ( hai góc đối đỉnh) M MAI MBO (g.c.g) => MA = MB ( cạnh tương ứng) Bài tốn ln ln dựng có nghiệm hình Bài 6: a) +) M trung điểm AD PE suy tứ giác APDE hình bình hành => DE // AP +) N trung điểm BC PF suy tứ giác BPCF hình bình E hành => FC // PB Mặt khác CD // AB nên suy điểm E, F nằm đường thẳng CD A P B M D N C MP ME ( gt ) => MN đường trung bình PEF => EF = 2MN = 2CD NP NF ( gt ) Xét PEF có : F Bài 7: A E B D F C a) E đối xứng với D qua AB => AB trung trực ED => AE = AD F đối xứng với D qua AC => AC trung trực DE => AF = AD AE = AF => Xét AED cân A, có AB trung trực => AB đồng thời phân giác EAD A1 A2 Xét ADF cân A, có AC trung trực => AC đồng thời phân giác FAD => A3 A4 EAF A1 A2 A3 A4 A2 A3 BAC b) Để E đối xứng với F qua A E, A, F thẳng 1800 hàng EAF 1800 BAC 900 BAC Vậy ABC vuông A E đối xứng với F qua điểm A Bài 8: a/ BK đường trung bình tam giác CFD Suy BK//CD, BK CD Mà CD = CA, AM CA BK // AM, BK = AM Suy tứ giác ABKM hình bình hành b/ Gọi G giao điểm EK, BM I, H trung điểm BG, EG - Chứng minh tứ giác HMKI hình bình hành: Ta có: H trung điểm GE (gt) I trung điểm GB (gt) HI BE (1) => HI đường trung bình BEG HI BE MK AB MK AB +) Tứ giác ABKM hình bình hành ( cm câu a) Mà E đối xứng với B qua A => A trung điểm BE AB BE MK BE (2) MK BE Từ (1) (2) => tứ giác HMKI hình bình hành - Suy GH = GK, GI = GM, từ ta có GE DEF trọng tâm tam giác ABC Bài 9: 2 EK , GB BM G trọng tâm tam giác 3 B A y x C A' M B' A’ đối xứng với A qua xy xy đường trung trực AA’ AC = A’C, AM = A’M Ta có: AC + CB = A’C + CB = A’B (1) AM + MB = A’M + MB (2) Trong MAB có: A’B < A’M + MB (quan hệ cạnh tam giác) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AC + CB < AM + MB Bài 10: A N M B D C AM AD a) AM đối xứng với AD qua AB nên A1 A2 AN AD AN đối đối xứng với AD qua AC nên A3 A4 (1) (2) 2 2.900 1800 Từ (1) (2) AM AN MAN A2 A3 BAC điểm M, A, N thẳng hàng Mà AM = AN => M N đối xứng qua A MN = AD b) Vẽ AH BC , ta có AD AH MN AH Vậy MN ngắn AH D H ( hình a) Dựa vào quan hệ đường xiên hình chiếu , ta có AD AC MN AD AC Do MN dài 2AC D C ( hình b) M N A A M B C D≡H B D≡C≡N Hình a C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình vẽ ABCD hình bình hành Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua C B A D M C N Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM, CN Gọi D điểm đối xứng với B qua M, gọi E điểm đối xứng với C qua N Chứng minh điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh BC Gọi E điểm đối xứng với D qua AB, gọi F điểm đối xứng với D qua AC Chứng minh điểm E F đối xứng qua điểm A Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh đối AD, BC E, F Chứng minh điểm E F đối xứng qua điểm O Bài 5: Cho tam giác ABC, D điểm BC, Qua D vẽ DE //AB (E thuộc AC) vẽ DF//AC (F thuộc AB) Gọi I trung điểm AD Chứng minh E đối xứng với F qua điểm I Bài 6: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, E trung điểm AC Gọi O điểm nằm tam giác ABC Vẽ M đối xứng với O qua D, vẽ N đối xứng với O qua E Chứng minh MNCB hình bình hành Bài 7: Cho tam giác ABC có H trực tâm Qua B vẽ đường thẳng vng góc với AB, Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AC, hai đường thẳng cắt G Gọi I trung điểm BC Chứng minh G đối xứng với H qua I , điểm A nằm góc đó, Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua Bài 8: Cho xOy Oy a) Chứng minh OB = OC để B đối xứng với C qua O b) Tính số đo xOy Bài 9:Cho ABC có H trực tâm Gọi M trung điểm BC, K điểm đối xứng với H qua M ACK ABK ; Tính số đo Bài 10: Cho hình thang ABCD (AD//BC) Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD; E điểm cạnh đáy AD I,K điểm đối xứng với E qua M N Chứng minh độ dài IK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho hình vẽ ABCD hình bình hành Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua C Lời giải B A D M Ta có AB= CD (ABCD hình bình hành) C N Ta có AB// CD (ABCD hình bình hành) AB= BM (gt) CD= BM => BM// CD Xét tứ giác BDCM có CD=BM (cmt) CD//BM (cmt) Tứ giác BDCM hình bình hành BD//CM; BD=CM (1) Chứng minh tương tự ta có BD//NC; BD= NC (2) Từ (1) (2) theo tiên đề Ơclit suy N, C, M thẳng hàng CM = CN Do N đối xứng với M qua C Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM, CN Gọi D điểm đối xứng với B qua M, gọi E điểm đối xứng với C qua N Chứng minh điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A Lời giải A E N B D Xét tứ giác ABCD có AM= MC (BM trung tuyến tam giác ABC) M C BM= MD (D đối xứng với B qua M) Tứ giác ABCD hình bình hành AD//BC; AD=BC (1) Xét tứ giác ACBE có AN = NB (CN trung tuyến tam giác ABC) NE= NC (E đối xứng với C qua N) Tứ giác ACBE hình bình hành AE//BC; AE=BC (2) Từ (1) (2) Theo tiên đề Ơclit suy A,D,E thẳng hàng AD = AE Do D đối xứng với E qua A Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh BC Gọi E điểm đối xứng với D qua AB, gọi F điểm đối xứng với D qua AC Chứng minh điểm E F đối xứng qua điểm A Lời giải Ta có E đối xứng với D qua AB B D E 12 A C AB đường trung trực ED AE= AD (1) ADE cân A AB đường phân giác (2) A1 A Ta có F đối xứng với D qua AC F AC đường trung trực FD AF= AD (3) ADF cân A AC đường phân giác (4) A3 A A A A EAF A3 2 2( A A) 2.900 1800 Từ (1) (3) => AE= AF (5) A A Ta có EAF A3 A BAC (6) E,A,E thẳng hàng (7) Từ (5) (7) suy E đối xứng với F qua A Từ (2)(4) (6) suy Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh đối AD, BC E, F Chứng minh điểm E F đối xứng qua điểm O A B 1 E Lời giải F O D Ta có ABCD hình bình hành AD//BC C (2 góc so le trong) A 1 O giao điểm đường chéo C OA = OC O (2 góc đối đỉnh) O Xét AOE COF có (cmt) A1 C AOE = COF (g.c.g) OE = OF Do E đối xứng với F qua O OA = OC (cmt) Bài 5: Cho tam giác ABC, D điểm BC, Qua D vẽ DE //AB (E thuộc AC) vẽ DF//AC (F thuộc AB) Gọi I trung điểm AD Chứng minh E đối xứng với F qua điểm I Lời giải A Xét tứ giác AEDF có AF//DE (DE//AB) AE//DF (DF//AC) F I Tứ giác AEDF hình bình hành B E D Có I trung điểm đường chéo AD I trung điểm đường chéo EF Do E đối xứng với F qua điểm I Bài 6: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, E trung điểm AC Gọi O điểm nằm tam giác ABC Vẽ M đối xứng với O qua D, vẽ N đối xứng với O qua E Chứng minh MNCB hình bình hành Lời giải Xét tứ giác AOCN có A N M AE = EC (gt) E D OE = EN (N đối xứng với O qua E) O B C Tứ giác AOCN hình bình hành AO//NC; AO=NC (1) Xét tứ giác AOBM có AD = DB (gt) OD = DM (N đối xứng với O qua E) C Tứ giác AOBM hình bình hành AO//MB; AO=MB (1) Từ (1) (2) => BM//CN; BM=CN Xét tứ giác MNCB có BM//CN (cmt) BM=CN (cmt) Do tứ giác MNCB hình bình hành Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Qua B vẽ A đường thẳng vng góc với AB, Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AC, hai D đường thẳng cắt G Gọi I trung điểm BC Chứng minh E G đối xứng với H qua I H Lời giải Ta có BD AC (gt) CG AC (gt) BD//CG => BH//CG Ta có CE AB (gt) BG AB (gt) CE//BG => CH//BG BH//CG (cmt) B CH//BG (cmt) C I G =>Tứ giác BHCG hình bình hành Có I trung điểm đường chéo BC =>I trung điểm GH => G đối xứng với H qua điểm I Xét tứ giác BHCG có , điểm A nằm góc đó, Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua Bài 8: Cho xOy Oy a) Chứng minh OB = OC b) để B đối xứng với C qua O Tính số đo xOy Lời giải y C a) Ta có B đối xứng với A qua Ox Ox đường trung trực AB OA= OB (1) A O Ta có C đối xứng với A qua Oy Oy đường trung trực AC OA= OC (2) x B Từ (1) (2) suy OB = OC b) Từ (3)(4) (5) suy Xét AOB có OA= OB (cmt) O O O O BOC 2 3 2(O O ) => AOB cân O xOy Ta lại có Ox trung trực AB Ox tia phân giác AOB O O (3) Ta có OB= OC (cmt) Xét AOC Có Để B đối xứng với C qua điểm O OA= OC (cmt) => AOB cân O xOy 1800 1800 : xOy Ta lại có Oy trung trực AC 900 xOy Oy tia phân giác AOC O (4) O O O O BOC O Ta có BOC 1800 900 B đối xứng với C qua O Vậy xOy (5) Bài 9:Cho ABC có H trực tâm Gọi M trung điểm BC, K điểm đối xứng với H qua M Tính số đo ABK ; ACK Lời giải Xét tứ giác BHCK có MB = MC (gt) HM = MK ( H đối xứng K qua M) Tứ giác BHCK hình bình hành BH//CK; CH//BK (1) Ta có H trực tâm ABC BH AC ; CK AB (2) Từ (1) (2) suy CK AC; BK AB ABK 900 ; ACK 900 A H B C M K Bài 10: Cho hình thang ABCD (AD//BC) Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD; E điểm cạnh đáy AD I,K điểm đối xứng với E qua M N Chứng minh độ dài IK không phụ thuộc vào vị trí điểm E Lời giải B I C M A Xét tứ giác AIBE có K IM= ME (I đối xứng với E qua M ) N E D Tứ giác AIBE hình bình hành IB= AE; AE//IB (1) MA= MB (gt) CB//AD (gt) Xét tứ giác ECKD có Theo tiên đề Oclit => K, C, B thẳng hàng EN = NK ( E đối xứng với K qua N) I, K, C, B thẳng hàng CN= ND (gt) IK = IB+ CB+ CK Tứ giắc ECKD hình bình hành CK=ED; CK//ED (2) Ta có IB// AE (cmt) => IB//AD BC//AD (gt) Theo tiên đề Oclit => I, B, C thẳng hàng CK//ED (cmt) => CK//AD (3) Từ (1) (2) (3) IK= EA+CB+EB IK= AD+CB Vậy độ dài IK không phụ thuộc vào vị trí điểm E ... góc đổi đỉnh) DOE = BOF (g-c-g) OE = OF Vậy E đối xứng với F qua O = 900 Để B đối xứng với Cqua O xOy Chú ý: BEDC hình bình hành Ta có: EAN = CAM (g - c - g) NE = MC B.DẠNG BÀI NÂNG... EC Chứng minh tương tự có BD // CF BD = CF Vì BD // EC BD // CF => E, C, F thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit) Mà EC = CF (= BD) nên C trung điểm EF => E điểm đối xứng F qua C Bài 4: Gọi O giao điểm cuả... điểm EF EF qua O Vậy đường thẳng AC, BD, EF đồng quy điểm O Bài 5: y B I 1 O M A x Cách dựng: - Dựng điểm I đối xứng với O qua điểm M Qua I dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox A Dựng đường