Microsoft Word HH9 C4 CD3 DI?N TÍCH VÀ TH? TÍCH C?A HÌNH C?U docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU A TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hình cầu Khi[.]
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hình cầu - Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố điịnh ta thu hình cầu - Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu - Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng - Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn - Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn, đó: + Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường tròn lớn) Diện tích, thể tích Cho hình cầu bán kính R - Diện tích mặt cầu: S 4 R - Thể tích hình cầu: V R II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan Phương pháp giải: Áp dụng công thức S 4 R V R để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan 1.1 Điền vào ô trông bảng sau: Bán kính hình cầu 0,4 mm 6dm Diện tích mặt cầu 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 0,2 m 100 km 6hm 50 dam Thể tích hình cầu 1.2 Dụng cụ thể thao loại bóng cho bảng có dạng hình cầu Hãy điền vào trơng bảng sau (làm trịn kết đến chữ sơ' thập phân thứ hai): Quả Quả Quả Loại bóng bóng gơn Đường Quả khúc cầu bóng Quả bia ten-nít bàn 42,7mm 6,1 cm kính Độ dài đường trịn lớn 23 cm Diện tích 1697 cm2 Thể tích 36 nem3 2.1 Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2) số đo thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu 2.1 Một hình cầu có diện tích bề mặt 1007 m2 Tính thể tích hình cầu Dạng Bài tập tổng hợp Phương pháp giải: Vận dụng công thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu 3.1 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N a) Chứng minh MON APB hai tam giác vuông đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2 c) Tính tỉ số S MON R AM S APB d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quan AB sinh 3.2 Cho tam giác ABC vuông cân A có cạnh góc vng a Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh cạnh BC III BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Một hình cầu có bán kính 3cm Một hình nón có bán kính đáy 3cm có diện tích tồn phần diện tích mặt cầu Tính chiều cao hình nón Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số giữa: a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ; b) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ Cho hình câu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số phần trăm giữa: a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương; b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương a) Tìm diện tích mặt cầu thể tích hình cầu, biết bán kính hình cầu 4cm b) Thể tích hình cầu 512 cm2 Tính diện tích mặt cầu HƯỚNG DẪN 1.1 Ta thu kết bảng sau: Bán kính hình 0,4mm cầu Diện tích mặt cầu 16 25 6dm 0,2m 144 25 dm2 mm2 Thể tích hình cầu 32 375 mm 100km 6hm 50dam 40000 144 10000 km2 hm2 dam2 4000000 288 500000 m2 288 dm3 1.2 Ta thu kết bảng sau: 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 375 m km hm2 dam3 Quả bóng gơn Quả khúc cầu Đường kính 42,7mm Độ dài đường trịn lớn 134,08 Diện tích 5728,03 Loại bóng Quả Quả bia ten-nít Quả bóng 7,32cm 13cm 6cm 61cm 23cm 13 cm 61 mm 168,33 cm2 169 36 cm2 3721 mm mm2 Thể tích cm2 40764,51 205,36 mm3 cm3 2197 cm3 cm2 36 cm3 226981 mm3 2.1 Tính R = 3cm 2.2 Tính V 500 m3 3.1 a), b) HS tự chứng minh c) AM S R 25 MON S APB 16 d) V R 3 3.2 Tính S = 2a2 4.1 Tính h 2cm a) Tính S 1 S xq a) Tính V S 78,5% b) Tính hc 52, 4% S xq Vhlp a) Tính S 64 cm V b) Tính Vhc Vht 256 cm3 b) Tính S 211,32 cm B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY • Tính diện tích Mặt cắt chứa trục hình nón tam giác Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón Cắt hình cầu tâm O mặt phẳng ta hình trịn tâm K, đường kính AB Biết OK = 9cm diện tích hình trịn tâm K 16% diện tích mặt cầu Tính diện tích mặt cầu 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Người ta cắt địa cầu cũ mặt phẳng theo vĩ tuyến phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo 24cm độ sâu chảo 8cm Tính diện tích bể mặt địa cầu • Tính thể tích Một hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh 12cm Tính thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu Một hình cầu nội tiếp hình trụ Biết diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 Tính thể tích hình cầu Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền l,2m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền khơng? • Tính độ dài, tính tỉ số Cho hình cầu tâm O, bán kính OA 10 cm Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với OA trung điểm M OA ta đường trịn Tính độ dài đường trịn Một hình cầu có số đo thể tích (tính m3) số đo diện tích mặt cầu (tính m2) Tính độ dài đường trịn lớn 10 Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước Trong bình có vật rắn hình cầu ngập hồn tồn nước Khi người ta lấy vật rắn khỏi bình mực nước bình giảm 48,6mm Biết đường kính bên đáy bình 50mm, tính bán kính vật hình cầu 11 Vĩ độ Thanh Hố 20° Bắc Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hố biết bán kính Trái Đất 6370km HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Vì mặt cắt chứa trục hình nón tam giác nên gọi bán kính đáy hình nón R độ dài đường sinh l = 2R chiều cao hình nón h 2R R Diện tích tồn phần hình nón là: Stp R l R R 2R R 3R Diện tích mặt cầu là: S d R 3R Vậy diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón 5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Xét ∆AOB cân O có KA = KB nên OK AB Gọi R bán kính hình cầu, r bán kính hình trịn (K) Xét ∆KOA vng K ta có: r R OK R 81 Diện tích hình trịn (K) là: S1 r R 81 Diện tích mặt cầu là: S2 4R2 Vì S1 = 16%S2 nên R 81 16 4R 100 Thu gọn phương trình ta 36R 8100 Suy R 225 Do diện tích mặt cầu S 4R 900 cm Mặt cắt qua tâm hình trịn tâm O với AB đường kính miệng chảo Vẽ bán kính OC AB K Ta có KA = KB = 24: = 12 (cm) Gọi R bán kính địa cầu Xét ∆KOA vng K ta có: OA OK AK R R 8 122 R R 16R 64 144 16R 208 R 13(cm) Diện tích bề mặt địa cầu là: S 4R 4..132 676 cm Vì độ dài cạnh hình lập phương 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp 6cm Thể tích hình lập phương là: V1 123 1728 cm Thể tích hình cầu là: V2 .63 288 cm Thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương là: V V1 V2 1728 288 824 cm 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Nhận xét: Ta có V1 288 V2 1728 Tổng quát, ta chứng minh hình cầu nội tiếp hình lập phương tỉ số thể tích chúng Gọi bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là: Rl 12R Diện tích mặt cầu là: 4R Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên 12R 4R R cm Thể tích hình cầu là: V 4 R .3 36 cm 3 Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R Vì diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 nên ta có: 2R 2R R 384 R 384 R cm Thể tích hình cầu là: V 4 2048 R .8 cm 3 3 Bán kính thuyền thúng là: 1,2: = 0,6 (m) = (dm) 4 Thể tích thuyền là: V R .63 144 dm 452dm 3 Tổng Khối lượng thuyền, người cá là: 45 + 65 + 240 = 350 (kg) Khối lượng riêng thuyền là: 350: 452 = 0,8 (kg/dm3) Khối lượng riêng nước là: kg/dm3 Vậy khối lượng riêng thuyền nhỏ khối lượng riêng nước nên nước không ngập đến mép thuyền Xét ∆OBC có OB = OC OM BC nên MB = MC Ta có: MC2 OC2 OM 10 5 2 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 225 Suy MC = 15(cm) Độ dài đường tròn (M) là: 2π.15 = 30π (cm) Gọi bán kính hình cầu R Vì số đo tích số đo diện tích mặt cầu nên ta có: R 4R R m Độ dài đường tròn lớn là: C 2R 2.3 6 m 10 Gọi r bán kính vật hình cầu Thể tích vật hình cầu là: V1 r Thể tích khối nước rút xuống là: V2 .502.48,6 121500 mm Ta có phương trình: r 121500 r 91125 Do r 91125 45 mm 11 Gọi R bán kính Trái Đất, gọi r bán kính vĩ tuyến 20° qua Thanh Hoá AOB 20 Ta có HBO Xét ∆HBO vng H có: r = HB = OB cos20° = Rcos20° Do độ dài vĩ tuyến 20° là: 2r 2Rcos20 .6370.cos20 37610 km C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu Cho hình cầu có đường kính d = 6cm Diện tích mặt cầu A 36p (cm ) B 9p(cm ) C 12p(cm ) D 36p (cm ) Câu Cho mặt cầu tích V = 288p(cm ) Tính đường kính mặt cầu 8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A 6cm B 12cm C 8cm D 16cm Câu Cho mặt cầu tích V = 972p(cm ) Tính đường kính mặt cầu A 18cm B 12cm C 9cm D 16cm Câu Cho mặt cầu có số đo diện tích với số đo thể tích Tính bán kính mặt cầu A B C D 12 Câu Cho mặt cầu có số đo diện tích hai lần với số đo thể tích Tính bán kính mặt cầu A B C D Câu Cho mặt cầu có bán kính 3cm Một hình nón có bán kính đáy 3cm có diện tích tồn phần diện tích mặt cầu Tính chiều cao hình nón A B C 72 D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ A B C D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ 9. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A B C D Câu Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình trụ A B C D Câu 10 Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Biết chiều cao hình trụ ba lần bán kính đáy bán kính đáy hình trụ bán kính hình cầu Tính tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình trụ A B C D Câu 11 Cho hình cầu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình lập phương A p B C p D Câu 12 Cho hình cầu hình lập phương ngoại tiếp Nếu diện tích tồn phần hình lập phương 24cm diện tích mặt cầu là: 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Độ dài đường trịn lớn 23 cm Diện tích Thể tích Bài Một hình cầu có diện tích mặt cầu 100pcm Tính thể tích hình cầu Bài Một hình cầu tích 228p(dm ) Tính diện tích mặt cầu Bài Hai hình cầu có bán kính tương ứng a 3a (cm) Tính tỉ số thể tích hai hình 2d (m) d (m) cầu Bài Một hình cầu đường kính d (m) đặt hình trụ có chiều cao 2d (m) Tính tỉ số Vcau Vtru Bài Hai hình cầu có hiệu bán kính 3cm hiệu thể tích 1332 cm Tính hiệu diện tích hai mặt cầu Bài Một hình cầu nội tiếp hình nón bán kính đáy cm đường sinh 10cm Chứng minh diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn đường kính AD Gọi H giao điểm AD BC Quay hình vẽ vịng quanh đường kính AD cố định ta hai hình nón nội tiếp hình cầu Biết AH 24 cm ; DH cm , tính: a) Thể tích hình cầu tạo thành; b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy hình trịn đường kính BC Bài 10 Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ Bài 11 Cho đoạn thẳng AB 24 cm Lấy điểm C nằm A B Vẽ phía AB ba nửa đường trịn đường kính AB, AC BC Quay tồn hình vẽ vịng quanh đường kính AB cố định ta ba hình cầu Tìm thể tích lớn phần khơng gian giới hạn ba hình cầu 17. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 12 Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45 kg , người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền 1,2 m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? Biết khối lượng riêng nước kg/dm3 HƯỚNG DẪN Bài Bán kính hình 0,4 0,2 100 50 cầu mm dm m km hm dam Diện tích mặt 16 25 144 25 40000 144 10000 km2 hm dam cầu dm2 mm2 Thể tích hình cầu m2 288 32 375 mm3 375 4000000 m3 km3 mm3 288 hm3 500000 dam3 Bài Loại bóng Đường kính Độ dài đường trịn lớn Diện tích Thể tích Quả bóng Quả khúc Quả ten Quả bóng gơn cầu nít bàn 42,7 mm 7,32 cm 6,5 cm 40 mm 61 mm 67,07 mm 23 cm 10,21 cm 62,83 mm 95,82 mm 5728,03 168,33 132,73 5026,55 11689,87 mm2 cm cm2 mm2 mm2 40764,51 205,36 143,79 33510,32 118846,97 mm3 cm cm3 mm3 mm3 Bài S = 4pR 4pR = 100p R = 25 R = 5(cm ) Thể tích hình cầu: V = 500p pR = (cm ) 3 Bài V = pR 3 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Quả bia pR = 228p R = 216 R = 216 R = 6(cm ) Diện tích mặt cầu S = 4pR = 4p62 = 144p(cm ) Bài Thể tích V1,V2 hai hình cầu V1 = 4 pa ,V2 = p(3a )3 = 36pa 3 pa = 3 = Do đó: 27 V2 36pa V1 Nhận xét: Nếu R1 R2 = k V1 = k3 V2 Bài Thể tích hình cầu là: Vcau = pR = pd (m ) ỉd = pr h = p ỗỗỗ ữữữ 2d = pd (m ) è ø÷ Thể tích hình trụ là: Vtru Do đó: Vcau Vtru = Bài Gọi bán kính hình cầu lớn R bán kính hình cầu nhỏ r Ta có R – r hay R r 4 Thể tích hình cầu lớn là: V1 R Thể tích hình cầu nhỏ là: V2 r 3 Vì V1 – V2 1332 ( cm ) nên R r 1332 R r 999 Do r 3 – r 999 r 3r – 108 Giải r1 –12 (loại); r2 (chọn) 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy bán kính hình cầu nhỏ 9cm Bán kính hình cầu lớn 12cm Diện tích mặt cầu lớn là: S1 4 R 4. 122 576 ( cm ) Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2 4 r 4. 92 324 ( cm ) Hiệu diện tích hai mặt cầu là: S S1 – S2 576 – 324 252 ( cm ) A Bài Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH BC , OD AB Ta có AH AB BH 102 62 8(cm) Gọi bán kính đáy hình nón R bán kính hình cầu r E D O B C H Ta có BH BD R cm; OH OD r AD AB BD 10 cm AOD ∽ ABH g.g Do OD AD BH AH r r r 3(cm) r 3(cm) 8 Diện tích đáy hình nón là: S1 R 62 36 ( cm ) Diện tích mặt cầu là: S2 4 r 4. 32 36 ( cm ) Vậy diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Bài a) Tam giác ABC cân A , AD đường kính nên AD BC A ABD 90 (vì AD đường kính) Ta có Xét ABD vng B ta có: O BH HA.HD 24.6 144 Suy BH 13 cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC R 24 : 15 cm B H D 4 Thể tích hình cầu tạo thành là: V1 R 153 4500 cm3 3 1 b) Thể tích hình nón đỉnh A là: V2 r h 12 2.24 1152 cm3 3 Bài 10 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C ... Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương; b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương a) Tìm diện tích mặt cầu thể tích hình cầu, biết bán kính hình cầu 4cm b) Thể tích hình cầu... bên hình lập phương Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu Một hình cầu nội tiếp hình. .. hình trụ đường kính hình cầu nên h = 2R với R bán kính hình cầu bán kính đáy hình trụ Thể tích hình cầu Vc = pR ; thể tích khối trụ Vt = pR 2R = 2pR 3 pR Vc Tỉ số thể tích hình cầu thể tích hình