Từ cách cắt ghép này, HS sẽ tìm ñược một cách khác ñể chứng minh công thức diện tích hình thang dựng hình chữ nhật có kích thước bằng chiều cao và ñộ dài ñường trung bình của hình thang,[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO YÊN LẠC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ YÊN ðỒNG _ CHUYÊN ðỀ DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG THỰC HÀNH GIẢI TOÁN A A D N M M I h B H N E I h/2 a C B H a Người viết: Lê Mạnh Hà Người dạy minh họa: Cao Thị Hồng Thắm NĂM HỌC 2012-2013 C (2) A PHẦN MỞ ðẦU I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ðỀ Thực trạng giảng dạy toán trường THCS Yên ðồng Giải pháp II PHẠM VI VÀ MỤC ðÍCH CỦA CHUYÊN ðỀ B PHẦN NỘI DUNG I ðẶC ðIỂM CHƯƠNG TRÌNH, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC II DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ðịnh hướng phương pháp diện tích Xây dựng công thức tính diện tích số ña giác ñặc biệt Một số kết có nhiều ứng dụng Một số bài toán giải phương pháp diện tích 4.1 Dạng bài cắt và ghép hình, vẽ ña giác có diện tích diện tích ña giác cho trước 4.2 Dạng bài tính toán 4.3 Dạng bài chứng minh tính chất 4.4 Dạng bài tìm ñiểm hay tập hợp ñiểm thỏa mãn tính chất cho trước 4.5 Dạng bài bất ñẳng thức và cực trị hình học C PHẦN KẾT LUẬN (3) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” A PHẦN MỞ ðẦU I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ðỀ Thực trạng giảng dạy toán trường THCS Yên ðồng Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng HSG trường THCS Yên ðồng, chúng tôi thấy có nhiều học sinh chưa ñạt ñược kết mong muốn, có kết yếu kém Tìm hiểu thực tế giảng dạy và học tập học sinh, chúng tôi thấy các nguyên nhân sau: Về phía học sịnh: có em không nhớ số kiến thức bản, có em chưa biết ñến bài toán có nhiều ứng dụng, có em thì khả suy luận yếu, các thao tác tư chưa thành thạo, có em thì lười học, có em thì ñạo ñức yếu, gia ñình thiếu quan tâm… Về phía giáo viên: ða số giáo viên toán trường THCS Yên ðồng có ý thức tự bồi dưỡng thường xuyên ñể nâng cao trình ñộ chuyên môn nghệp vụ và có trách nhiệm công việc Phương pháp giảng dạy ñã có ñổi theo hướng tích cực hóa các hoạt ñộng học sinh, song bên cạnh ñó còn gặp khó khăn công tác giảng dạy và giáo dục học sinh Kết học tập học sinh chưa ñược mong muốn, có học sinh hư, ñạo ñức còn yếu kém, thiếu ý thức học tập và rèn luyện thân Giải pháp Dạy toán phải nhằm mục ñích ñào tạo người ñộng, sáng tạo Học sinh phải biết phương pháp học tập và nghiên cứu môn Quá trình tìm lời giải cho bài tốn yêu cầu phải cĩ khả phán đốn và tư nhạy bén, đĩ cĩ hai điều kiện quan trọng phải có, ñó là: Nắm ñược kiến thức sở: bao gồm các kiến thức (ñịnh nghĩa, ñịnh lý, tính chất, quy tắc, công thức, thuật toán); các bài toán (bài toán mà ñó có kết phương pháp giải nó có thể vận dụng ñể giải các bài toán khác) Nắm ñược phương pháp suy luận: bao gồm các thao tác tư (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…); các phương pháp vận dụng kiến thức sở ñể giải bài toán Khi gặp bài toán thì ñòi hỏi phải biết phân tích, tìm hiểu bài toán và huy ñộng ñược các kiến thức sở có liên quan ñến bài toán, từ ñó giúp ta nhìn nhận bài toán cách ñúng ñắn, ñi ñến phương pháp giải bài toán ñó Từ tư tưởng nêu trên, chúng tôi thấy cần phải giúp học sinh nắm ñược kiến thức và phương pháp vận dụng ñể giải toán Môn toán có nhiều kiến thức phải nhớ, giáo viên phải biết kiến thức nào quan trọng nhất, có nhiều ứng dụng nhất, ñể chú trọng ñặc biệt quá trình giảng dạy và bồi dưỡng Chương trình toán lớp 8, chúng tôi thấy diện tích ña giác và phương pháp vận dụng diện tích ña giác là mảng kiến thức quan trọng, có nhiều ứng dụng kể (4) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” thực tiễn ñời sống và toán học Có nhiều bài toán giải phương pháp diện tích dễ hơn, sáng tạo phương pháp khác Do ñó chúng tôi chọn chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” II PHẠM VI VÀ MỤC ðÍCH CỦA CHUYÊN ðỀ Phạm vi: Do có hạn chế thời gian nên chuyên ñề ñề cập ñến diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán hình học Mục ñích: Thực chuyên ñề này nhằm chia sẻ, trao ñổi chuyên môn với ñồng nghiệp, giúp giáo viên nâng cao trình ñộ chuyên môn Học sinh nắm ñược khái niệm diện tích và phương pháp vận dụng diện tích giải toán, qua ñó giúp học sinh phát triển tư toán học B PHẦN NỘI DUNG I ðẶC ðIỂM CHƯƠNG TRÌNH, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC Không xây dựng hình học khoa học suy diễn túy (tức là không xuất phát từ hệ tiên ñề các chứng minh chặt chẽ ñể ñi ñến các ñịnh lí, tính chất) Giảm nhẹ chứng minh, yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh tăng dần Giúp học sinh khả phát triển tư lôgic, khả diễn ñạt chính xác ý tưởng mình, khả tưởng tượng và bước ñầu hình thành cảm xúc thẩm mỹ qua học tập môn toán Không dạy hình học không gian mà giúp học sinh nhận biết số vật thể không gian, qua ñó dần hình thành số khái niệm hình học không gian Nội dung cụ thể chia làm chương: Chương Tứ giác (25 tiết), không dạy bài “Dựng hình thước và compa” Chương ða giác Diện tích ña giác (9 tiết) Chương Tam giác ñồng dạng (19 tiết) Chương Hình lăng trụ ñứng Hình chóp ñều (14 tiết) II DIỆN TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ðịnh hướng phương pháp diện tích 1.1 Vận dụng khái niệm diện tích ña giác và các tính chất diện tích ña giác: - Hai tam giác thì có diện tích - Nếu ña giác ñược chia thành ña giác không có ñiểm chung thì diện tích nó tổng diện tích ña giác ñó - Nếu chọn hình vuông có cạnh là 1cm, 1dm, 1m,… làm ñơn vị ño diện tích thì ñơn vị diện tích tương ứng là 1cm2, 1dm2, 1m2,… 1.2 Phương pháp cắt ghép hình (5) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” 1.3 Phương pháp vẽ ña giác có diện tích diện tích ña giác cho trước 1.4 Xây dựng công thức tính diện tích số ña giác ñặc biệt và vận dụng 1.5 Rèn luyện suy luận chứng minh và phương pháp tính Xây dựng công thức tính diện tích số ña giác ñặc biệt 2.1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật A Ta thừa nhận công thức tính diện tích hình chữ nhật: S ABCD = AB.BC = ab a B b GV ñặt câu hỏi: Từ công thức tính diện tích hình chữ nhật, có suy công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông không? D C HS thực hiện: Hình vuông ABCD có cạnh a là hình chữ nhật, nên ta có: S ABCD = AB.BC = a.a=a Từ tam giác ABC vuông B, AB=a, BC=b, ta vẽ hình chữ n ABCD, ñó ta có: ∆ABC = ∆ADC ⇒ S ABC = S ADC a A A D C a B S ABCD = S ABC + S ADC = S ABC ⇔ ab = S ABC ⇔ S ABC B b = ab D C * Tính dtích hình vuông là vận dụng công thức tính dtích hình chữ nhật, tính dtích tam giác vuông là theo phương pháp cắt ghép hình 2.2 Công thức tính diện tích tam giác A GV ñặt câu hỏi: Ta ñã biết công thức tính diện tích tam giác vuông, với tam giác nhọn, tam giác tù thì sao? h Giáo viên cho học sinh vẽ tam giác nhọn ABC, ñường cao AH Yêu cầu HS quan sát hình và nhận xét? HS nhận xét vẽ ñường cao AH, tam giác ABC ñược chia thành hai tam giác vuông AHB và AHC GV yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC? HS thực hiện: S ABC = S AHB + S AHC = 1 1 AH BH + AH CH = AH BC = ah 2 2 B a H C (6) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” là góc tù, ñường cao AH Yêu cầu Giáo viên cho học sinh vẽ tam giác tù ABC, C HS quan sát hình và nhận xét? HS nhận xét vẽ ñường cao AH, tam giác vuông AHB ñược chia thành hai tam giác, gồm tam giác vuông AHC và tam giác tù ABC GV yêu cầu HS tính diện tích tam giác ABC? A HS thực hiện: h S ABC + S AHC = S AHB ⇔ S ABC = S AHB − S AHC = 1 1 AH BH − AH CH = AH BC = ah 2 2 B a C H GV yêu cầu HS tổng quát hóa từ các trường hợp trên, hãy rút công thức tính diện tích tam giác? HS thực hiện: Với tam giác ABC bất kỳ, ñường cao AH, ta có công thức tính diện tích sau: S ABC = 1 AH BC = a.h (trong ñó BC=a, AH=h) 2 * Phần xây dựng công thức tính diện tích tam giác trên là vận dụng tính chất diện tích ña giác và công thức dtích tam giác vuông Xây dựng công thức tính diện tích tam giác phương pháp cắt ghép hình GV hướng dẫn HS xây dựng công thức tính diện tích tam giác phương pháp cắt ghép hình GV giao cho các nhóm HS bìa hình tam giác (ñủ các dạng tam giác vuông, nhọn, tù), kéo, băng dính và yêu cầu HS cắt bìa hình tam giác thành các mảnh ñể ghép lại thành hình chữ nhật? Từ kết nhận ñược, hãy ñưa công thức tính diện tích tam giác? HS thực hiện: Nhóm (tam giác nhọn) Cắt tam giác nhọn thành ba mảnh gồm hình thang và hình tam giác vuông ghép lại ñược hình chữ nhật có kích thước là a và h/2 Từ kết trên, cho thấy diện tích hình tam giác diện tích hình chữ nhật, tức là S ABC = a.h A A D N M M I h B H N E I h/2 a C B H a C (7) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Qua hoạt ñộng này, HS có thể tìm cách khác ñể chứng minh công thức diện tích tam giác (dựng hình chữ nhật có diện tích diện tích hình tam giác) Cụ thể sau: Dựng hình chữ nhật BCED cho ñường thẳng DE trùng với ñường trung bình MN tam giác ABC Khi ñó ñường cao AH ⊥ DE I, BD=AH/2=h/2 Ta có ∆BDM=∆AIM, ∆CEN=∆AIN ⇒ S BDM = S AIM , SCEN = S AIN ⇒ S ABC = S BMNC + S AIM + S AIN = S BMNC + S BDM + SCEN = S BCED = ah Nhóm (tam giác nhọn) Cắt tam giác nhọn thành ba mảnh gồm hình ngũ giác và hình tam giác vuông ghép lại ñược hình chữ nhật có kích thước là a/2 và h Từ kết trên, cho thấy diện tích hình tam giác diện tích hình chữ nhật, tức là S ABC = a.h a/2 A A N M P Q M N h h B D H a E C B D H a E C Từ cách cắt ghép này, HS tìm ñược cách khác ñể chứng minh công thức diện tích tam giác C Nhóm (tam giác vuông) Cắt tam giác vuông thành mảnh gồm hình thang vuông và hình tam giác vuông ghép lại ñược hình chữ nhật có kích thước là c và b/2 C N M N P M b b/2 Từ kết trên, cho thấy diện tích hình tam giác diện tích hình chữ nhật, tức là S ABC = b.c A c B A c B Từ cách cắt ghép này, HS tìm ñược cách khác ñể chứng minh công thức diện tích tam giác Nhóm (tam giác tù) Cắt tam giác tù thành mảnh gồm hình thang và hình tam giác vuông ghép lại ñược hình bình hành có hai cạnh là a và c/2 Cắt hình bình hành nhận ñược thành mảnh gồm hình thang vuông và hình tam giác vuông ghép lại ta ñược hình chữ nhật có kích thước là a và h/2 (8) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Từ kết trên, cho thấy diện tích hình tam giác diện tích hình bình hành và diện tích hình chữ nhật, tức là S ABC = a.h M A A A N M P N P Q M R h C h/2 a H C B a N H C B B a H Từ cách cắt ghép này, HS tìm ñược cách khác ñể chứng minh công thức diện tích tam giác Cuối cùng GV và HS cùng khẳng ñịnh kết ñạt ñược 2.3 Công thức tính diện tích hình thang GV cho hình thang ABCD, AB//CD Hãy chia hình thang ABCD thành tam giác tính diện tích hình thang theo hai ñáy và ñường cao? HS thực hiện: S ADC = 1 AH CD , S ABC = AH AB 2 ⇒ S ABCD = S ADC + S ABC = B A Kẻ ñường chéo AC, ñó hình thang ABCD ñược chia thành hai tam giác không có ñiểm chung Ta có: D H C AH ( AB + CD ) * Phần xây dựng công thức tính diện tích hình thang trên là vận dụng tính chất diện tích ña giác và công thức dtích tam giác Xây dựng công thức tính diện tích hình thang phương pháp cắt ghép hình GV hướng dẫn HS xây dựng công thức tính diện tích hình thang phương pháp cắt ghép hình GV giao cho các nhóm HS bìa hình thang, kéo, băng dính và yêu cầu HS cắt bìa hình thang thành các mảnh ñể ghép lại thành hình chữ nhật? Từ kết nhận ñược, từ ñó hãy ñưa công thức tính diện tích hình thang? HS thực cắt ghép hình: B a A Q B S F G F A G h h D N H b O C D N O C (9) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Từ kết ghép hình, HS thấy diện tích hình thang diện tích hình chữ nhật, kích thước hình chữ nhật nhận ñược là h và Tức là: S ABCD = a+b , a+b h = AH ( AB + CD ) 2 Từ cách cắt ghép này, HS tìm ñược cách khác ñể chứng minh công thức diện tích hình thang (dựng hình chữ nhật có kích thước chiều cao và ñộ dài ñường trung bình hình thang, sau ñó chứng minh hai hình có diện tích nhau) GV yêu cầu HS từ công thức tính diện tích hình thang, hãy suy công thức tính diện tích hình bình hành ABCD? HS thực hiện: B A Vì hình bình hành là hình thang nên ta có: AH ( AB + CD ) = AH ( AB + AB ) = AH AB S ABCD = H D C GV có thể yêu cầu HS thực việc cắt ghép hình ñể tìm công thức tính diện tích hình bình hành 2.4 Công thức tính diện tích tứ giác có hai ñường chéo vuông góc GV cho tứ giác ABCD có hai ñường chéo vuông góc H Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AC và BD? HS thực hiện: ðường chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác không có ñiểm chung Ta có: S ADB = 1 AH BD , S DCB = CH BD 2 A B D 1 AH BD + CH BD 2 1 = ( AH + CH ) BD = AC.BD 2 ⇒ S ABCD = S ADB + S DCB = H C GV yêu cầu HS thực việc cắt ghép hình ñể tìm công thức tính diện tích tứ giác có hai ñường chéo vuông góc (tương tự ñã làm trên) GV yêu cầu từ công thức tính diện tích tứ giác có hai ñường chéo vuông góc, hãy suy công thức tính diện tích hình thoi ABCD? (10) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” HS thực hiện: A Vì hình thoi có hai ñường chéo vuông góc, nên tương tự theo cách tính trên, ta có S ABCD = AC.BD B D O H GV ñặt câu hỏi: Còn công thức nào khác ñể tính diện tích hình thoi không? C HS có thể tính diện tích hình thoi theo công thức tính diện tích hình bình hành, S ABCD = AH CD GV yêu cầu HS thực việc cắt ghép hình ñể tìm công thức tính diện tích hình thoi (tương tự ñã làm trên) Một số kết có nhiều ứng dụng(bài toán có nhiều ứng dụng) 3.1 Tam giác ABC, có M nằm trên cạnh BC Ta có 3.2 3.3 S ABM BM , ñặc biệt M là trung ñiểm BC thì S ABM = S ACM = S ACM CM Tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD) ⇔ SACD=SBCD ABCD là hình bình hành, M là ñiểm trên cạnh AB Khi ñó ta có S MCD = S ABCD 3.4 Tam giác ABC có M, N là trung ñiểm AB, AC Khi ñó ta có S AMN = S ABC 3.5 Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng k thì tỉ số diện tích hai tam giác k2 Một số bài toán giải phương pháp diện tích 4.1 Dạng bài cắt và ghép hình, vẽ ña giác có diện tích diện tích ña giác cho trước Phương pháp và ý tưởng giải các bài toán dạng này ñã nêu phần “xây dựng công thức tính diện tích số ña giác ñặc biệt” Xin giới thiệu thêm số bài toán sau: Bài (Bài 11 SGK) Cắt hai tam giác vông từ bìa Hãy ghép tam giác ñó ñề tạo thành: a) Một tam giác cân b) Một hình chữ nhật c)Một hình bình hành Diện tích các hình này có không? Vì sao? Lời giải (11) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Diện tích các hình tam giác cân, hình chữ nhật, hình bình hành ñều nhau, vì chúng cùng hai lần diện tích tam giác vuông Các hình tam giác cân, hình chữ nhật, hình bình hành ñã ñược ghép từ hai tam giác vuông Bài (Bài 33 SGK) Vẽ hình chữ nhật có cạnh ñường chéo hình thoi cho trước và có diện tích diện tích hình thoi ñó Từ ñó suy cách tính diện tích hình thoi Lời giải - Giả sử cho trước hình thoi ABCD có hai ñường chéo cắt O - Dưng qua A, C hai ñường thẳng vuông góc với AC B A - Dựng qua D ñường thẳng vuông góc vơi hai ñường thẳng ñã dựng trên F, E O C F D E - Khi ñó ACEF là hình cần dựng Thật vậy: Theo cách dựng ta có ACEF là hình chữ nhật ∆AFD=∆CED=∆BOA=∆BOC ⇒SABCD=SACEF=AF.AC= AC.BD Bài (Bài 34 SGK) Cho hình chữ nhật Vẽ tứ giác có các ñỉnh là trung ñiểm các cạnh hình chữ nhật Vì tứ giác này là hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ ñó suy cách tính diện tích hình thoi Bài (Bài 42 SGK) Vẽ tam giác có diện tích diện tích tứ giác ABCD cho trước 4.2 Dạng bài tính toán Bài (Bài 24 SGK) Tính diện tích tam giác cân có cạnh ñáy a và cạnh bên b A Lời giải Tam giác ABC cân A, AB=AC=b, BC=a Kẻ ñường cao AH, ta có BH=CH= b a B a 4b − a = 2 Theo ñịnh lý Pytago ta có AH= b − H a C (12) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” 1 4b − a Từ ñó ta có SABC= AH.BC = a = a 4b − a 2 2 Bài (Bài 25 SGK) Tính diện tích tam giác ñều có cạnh a Lời giải A Tam giác ABC ñều cạnh a Kẻ ñường cao AH, ta có BH=CH= Theo ñịnh lý Pytago ta có AH= a − Từ ñó ta có SABC= AH.BC = a a2 a = B H C a a2 Bài (Bài 30 SBT) Cho tam giác ABC, AB=3AC Tính tỷ số hai ñường cao xuất phát từ các ñỉnh B và C Lời giải A E Kẻ các ñường cao BD, CE ta có: 2 D SABC= BD.AC = CE.AB C BD ⇔BD.AC=CE.3AC⇔BD=3CE⇔ =3 CE B Bµi (Bài 53 SBT) Qua t©m O cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, kÎ ®−êng th¼ng l c¾t c¹nh AB và CD lần l−ợt M và N Biết MN=b Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh hình vuông đến đ−ờng thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo) Lêi gi¶i Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng c¹nh a; M vµ N lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng l víi AB vµ CD; gäi h1 vµ h2 lÇn l−ợt là các khoảng cách từ A, B đến l; s là tổng cần tính (gãc cã Ta có AM=CN (đối xứng qua O), AMP= CNR cạnh t/− song song) Do đó ∆AMP=∆CNR, AP=CR=h2 T−¬ng tù cã BQ=DS=h1 §Ó tÝnh tæng h1+h2, ta tÝnh SAOB theo hai c¸ch kh¸c nhau: a B h2 h1 10 S R N O Q P h1 M h2 A a a2 2a a b h h h h s h h ⇒ = + ⇒ + ⇒ = + = = ( ) ( ) 2 b b S AOB = b ( h1 + h2 ) S AOB = C D l (13) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Bài M Q Cho tứ giác ABCD, trên tia ñối tia AB lấy ñiểm M cho AM=AB, trên tia ñối tia BC lấy ñiểm N cho BN=CB, trên tia ñối tia CD lấy ñiểm P cho CP=CD, trên tia ñối tia DA lấy ñiểm Q cho DQ=AD Tính SMNPQ , biết SABCD=1 D A N B C P Lời giải: Trong ∆AQM có MQ là ñường trung tuyến nên SAMQ= 2SAMD, mà AM=AB nên SAMD= SABD Suy SAMQ=2SABD Tương tự ta có: SCPN= 2SBCD Suy ra: SAMQ+ SCPN=2SABD+2SBCD=2SABCD Chứng minh tương tự ta có SBNM+ SDQP=2SABCD Suy ra: SMNPQ= SAMQ+ SCPN +SBNM+ SDQP+SABCD=5SABCD=5.1=5 M Bài Cho tứ giác ABCD và ñiểm O nằm tứ giác Gọi M , N , P , Q là các ñiểm ñối xứng O qua trung ñiểm các cạnh tứ giác Hãy tính SMNPQ Biết SABCD=12 (cm2) N B E A F O Lời giải: Gọi E, F, G, H là trung ñiểm AB, BC, CD và AD 4 Q C H G P D Ta dễ thấy SBEF= SBAC, SCFG= SCBD, SDGH= SDCA, SAHE= SADB 2 Suy ra: SBEF +SCFG+ SDGH+ SAHE= SABCD ⇒SEFGH= SABCD=6 (cm2) 4 1 4 1 1 Suy ra: SOEF +SOFG +SOGH +SOHE= SOMN + SONP + SOPQ + SOQM 4 4 ⇒SEFGH= SMNPQ⇒SMNPQ =4SEFGH=24(cm2) Lại có: SOEF= SOMN, SOFG= SONP, SOGH= SOPQ, SOHE= SOQM Bài Từ ñỉnh B và C tam giác cân ABC (AB= AC) ta nối với trung ñiểm O ñường cao AH Các ñường ñó cắt AC, AB D , E Hãy tính SAEOD Biết SABC = 12 (cm2) A E D O F Lời giải: Vì tam giác ABC là tam giác cân nên AH là ñường cao vừa là ñường trung tuyến nên BH=HC Từ H kẻ ñường thẳng song song với BD cắt AC F Trong ∆BCD có HF//BD và BH=HC ⇒ FC=FD Trong ∆AH F có OD//HF và OA=OH ⇒ AD=DF Do suy AD = B H C 1 AC, cho nên SAOD= SAOC (1) (vì chung ñường cao hạ từ O) 3 11 (14) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” SABC (2) 1 Từ (1) và (2) ⇒ SAOD = SABC Suy luận tương tự ta có SAOE = SABC 12 12 Suy ra: SAEOD= SAOD +SAOE= SABC=2(cm ) Dễ thấy SAOC = C Bài Trong tam giác ABC có diện tích D là ñiểm thuộc cạnh BC, cho ñoạn AD cắt trung tuyến CF M thỏa mãn ñiều kiện CF=4FM Tìm diện tích tam giác ABD P D N E M B F A Lời giải: Gọi N là trung ñiểm CF, từ F và N kẻ ñường thẳng song song với AD cắt BC E và P Trong ∆ABD có FE //AD và FA=FB nên E là trung ñiểm BD (1) Trong ∆ FCE có FN = NC và NP//FE nên P là trung ñiểm CE (2) Trong hình thang FNPE có FM= 1 FC và FN= FC cho nên FM= FN, hay M là 2 trung ñiểm FN, mà MD//FE cho nên D là trung ñiểm PE (3) Từ (1),(2) và (3) suy PD=DE=EB= PC ⇒ BD = Suy ra: SABD= BC 2 SABC = vì chung ñường cao hạ từ A 5 4.3 Dạng bài chứng minh tính chất Bài (Bài 17 SGK) Cho tam giác AOB vuông O, ñường cao OM Hãy giải thích vì ta có ñẳng thức AB.OM=OA.OB Lời giải B Ta có SABC= OA.OB , SABC= OM.AB M Suy AB.OM=OA.OB A O Bài (Bài 18 SGK) Cho tam giác ABC và ñường trung tuyến AM Chứng minh SAMB=SAMC Lời giải A Hai tam giác ABM và ACM có cùng chiều cao là AH và có hai cạnh ñáy BM=CM Suy SAMB=SAMC B 12 H M C (15) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Bài (Bài 46 SGK) Cho tam giác ABC, gọi M và N là trung ñiểm AC, BC Chứng minh SABNM= SABC Lời giải Cách A Kẻ ñường cao CH, CH cắt MN K H M K Theo gt suy MN//AB, MN= AB, CK= CH C N B 1 1 SCMN= CK.MN= ( CH.AB)= SABC 4 Suy SABNM= SABC Cách 2 MA=MC ⇒SAMN=SCMN⇒SCMN= SACN 4 NB=NC⇒SABN=SACN ⇒SCMN= SABC Suy SABNM= SABC Bài (Bài 37 SBT) Chứng minh ñường thẳng ñi qua trung ñiểm ñường trung bình hình thang và cắt hai ñáy hình thang chia hình thang ñó thành hai hình thang có diện tích Hướng dẫn: Hình thang ABCD, AB//CD, AH là ñường cao, O là trung ñiểm ñường trung bình EF, ñường thẳng qua O cắt AB, CD M và N M A B O E F Từ công thức diện tích hình thang ta có SAMND= AH.EO, D C N SBMNC= AH.FO Suy ñpcm Bài (Bài 51 SBT) Cho tam giác ABC Các ñường cao AA’, BB’, CC’ cắt H Chứng minh HA' HB ' HC ' =1 + + AA' BB ' CC ' Lời giải Ta cã: S HBC S HAC S HAB =1 + + S ABC S ABC S ABC A HA' BC HB ' AC HC ' AB + + =1 AA' BC BB ' AC CC ' AB HA' HB ' HC ' + + =1 ⇔ AA' BB ' CC ' C' ⇔ B' H B 13 A' C (16) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Bµi Chøng minh r»ng mét tam gi¸c c©n, tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kì trên cạnh đáy đến hai cạnh bên không phụ thuộc vào vị trí điểm đó trên cạnh đáy Lời giải Tam gi¸c ABC c©n t¹i A, M lµ ®iÓm bÊt k× trªn c¹nh BC KÎ MI, MH vu«ng gãc víi AB, MJ vu«ng gãc víi AC Ta cã SABC=SMAB+SMAC ⇒CH.AB=MI.AB+MJ.AC= MI.AB+MJ.AB=(MI+MJ)AB Suy MI+MJ=CH (không đổi) Do đó ta có đpcm A H J I B C M Bµi (më réng bµi 6) Chøng minh r»ng tæng kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt k× tam giác tới các cạnh nó là không đổi Lời giải A Tam giác ABC đều, đ−ờng cao AH M là điểm bất kì tam gi¸c ABC KÎ MI, MJ, MK lÇn l−ît vu«ng gãc víi BC, AC, AB Ta phải chứng minh MI+MJ+MK không đổi Ta cã: J SABC=SMAB+SMBC+SMCA K M ⇒AH.BC=MK.AB+MI.BC+MJ.AC=(MK+MI+MJ)BC ⇒MK+MI+MJ=AH (không đổi) I B H C Bµi Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Trªn CD vµ DA lÇn l−ît lÊy hai ®iÓm M, N cho AM=CN Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ CN Chøng minh IB lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC Lời giải KÎ BH vµ BK lÇn l−ît vu«ng gãc víi AM vµ CN Ta cã: S ABCD ⇒ S MAB = S NBC S NBC = S ABCD ⇒ BH AM = BK CN ⇒ BH = BK B C S MAB = K M H I A N D Suy ∆BHI=∆BKI(c¹nh huyªn-c¹nh gãc vu«ng) suy IB lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC Bµi Cho tam gi¸c ABC víi AB=c, BC=a, CA=b vµ ba ®−êng cao t−íng øng víi ba cạnh đó có độ dài là hc, ha, hb Gọi r là khoảng cách từ giao điểm ba đ−ờng phân giác đến cạnh tam giác Chứng minh Lời giải 14 1 1 + + = hb hc r (17) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” V× kho¶ng c¸ch tõ giao ®iÓm O cña ba ®−êng ph©n gi¸c đến các cạnh tam giác và r, Ta có: SABC=SOAB+SOBC+SOCA A r 1 1 = rc + + rb = r ( a + b + c ) 2 2 1 L¹i cã: SABC= a = hb b = hc c 2 r O r B C H Từ đó suy ra: r(a+b+c)=aha=bhb=chc⇔ 1 1 a+b+c a b c a+b+c ⇔ + + = = = = = 1 1 1 hb hc r + + r hb hc hb hc Bài 10 Cho hình thang ABCD (AB // CD), các ñường chéo cắt O Qua O, kẻ ñường thẳng song song với hai ñáy, cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự E và F Chứng minh OE = OF Lời giải A Kí hiệu trên hình vẽ Ta có SADC = SBDC B F Cùng trừ ñi S5 ñược : S1 + S2 = S3 + S4 (1) Giả sử OE >OF thì S1>S3 và S2 >S4 nên S1+S2>S3+S4, trái với (1) E O D C Giả sử OE< OF thì S1< S3 và S2< S4 nên S1+S2<S3+S4, trái với (1) Vậy OE = OF Bài 11 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung ñiểm hai ñường chéo AC và BD Từ M kẻ ñường thẳng song song với BD, từ N kẻ ñường thẳng song song với AC Hai ñường này cắt O Chứng minh ñoạn thẳng nối ñiểm O với trung ñiểm các cạnh chia tứ giác thành bốn phần có diện tích A G D H N O M F B E C Lời giải Gọi E, F, G, H là trung ñiểm các cạnh BC, CD, DA và AB 1 các cạnh ∆BDC nên SCFE = SBCD 1 ∆MEF có các cạnh tương ứng các cạnh ∆ABD nên SMEF= SABD ∆CFE có các cạnh tương ứng MO//BD và EF//BD ⇒ OM // FE nên SOEF=SMEF SOECF= SOE F + SCFE= 1 (SABD + SBCD)= SABCD 4 15 (18) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Chứng minh tương tự : SOFDG= SOHAG= SOEBH= SOECF= SABCD Từ ñó suy ñiều phải chứng minh Bài 12 Cho tam giác ABC, D là trung ñiểm AB, trên AC lấy ñiểm E cho AE=2CE Gọi giao ñiểm CD và A D BE là O Chứng minh: OE= BE E O Lời giải Dễ thấy SBOC= SAOC, SAOC= 3SEOC Do ñó SBOC=3SEOC ⇒ OB = 3OE hay BE=4OE C B Bài 13 ( ðịnh lý Ta-let ) Nếu ñường thẳng song song với cạnh tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó ñịnh trên hai cạnh các ñoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Lời giải Ta có: S ABN AN S ACM AM = , = S ABC AC S ABC AB (1) A MN//BC ⇒ SBMN=SCMN ⇒ SBMN+SAMN=SCMN+SAMN⇒SABN=SACM (2) Từ (1) và (2) suy AM AN = AB AC Tương tự ta chứng minh ñược AM AN BM CN = , = MB NC AB AC M N B C Bài 14 Tam giác ABC có AC = AB Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh DC= DB Lời giải Kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC suy DI=DK Xét ∆ADC và ∆ADB : các ñường cao DI = DK, các ñáy AC = AB nên SADC = SADB Hai tam giác trên có chung ñường cao kẻ từ A ñến BC, SADC = 2SADB nên DC=2DB A K I B C D Giải tương tự trên, ta chứng minh ñược bài toán tổng quát : Nếu AD là phân giác ∆ABC thì DB AB = (tính chất ñường phân giác tam giác ) DC AC Bµi 15 Cho tø gi¸c ABCD, c¸c ®−êng th¼ng AB vµ CD c¾t tai E Gäi F vµ G theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c ®−êng chÐo AC vµ BD Chøng minh r»ng SEFG= SABCD 16 (19) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” Lời giải A Ta cã SEFG=SAEG-SAFG-SAEF=SABG+SEGB- SAFG-SAEF 1 (SADE-SAGCE)= (SADG+SGDC) 2 1 1 = ( SABD+ SCBD)= (SABD+SCBD)= SABCD 2 4 B = (SABD+SEBD-SACG-SACE) = F G E C D Bµi 16 (më réng bµi 15) Cho tø gi¸c ABCD, c¸c ®−êng th¼ng AB vµ CD c¾t tai E, c¸c ®−êng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i H Gäi F vµ G theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c ®−êng chÐo AC vµ BD Chøng minh r»ng SEFG=SHFG H Lời giải VËn dông kÕt qu¶ cña bµi 1, ta cã: A 1 SEFG= SABCD, SHFG= SABCD 4 B F Suy SEFG=SHFG E G C D 4.4 Dạng bài tìm ñiểm hay tập hợp ñiểm thỏa mãn tính chất cho trước Bài (Bài SGK) Cho hình vuông ABCD cạnh 12 cm, E nằm E A D trên cạnh AD, AE=x cm Tìm x cho SABE = SABCD Lời giải: B 1 SABE = SABCD ⇔ AB.AE = AB ⇔ x = AE = AB = 8cm 3 Bài (Bài 21 SGK) Tính x cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE Lời giải: C E 2cm A D H SABCD=3SADE⇔ AB.AD = EH.AD ⇔ x = AB = 3cm x B Bài (Bài 22 SGK) Cho tam giác PAF Hãy ra: a) Một ñiểm I cho SPIF=SPAF b) Một ñiểm O cho SPOF=2SPAF c) Một ñiểm N cho SPNF= SPAF Lời giải 17 C (20) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” O A I A A N P H K F P Lấy ñiểm I trên mặt phẳng cho khoảng cách từ I ñến PE chiều cao AH ∆APE Khi ñó ta có SPIF=SPAF H E P F Lấy ñiểm O trên mặt phẳng cho khoảng cách từ O ñến PE lần chiều cao AH ∆APE Khi ñó ta có SPOF=2SPAF H K F Lấy ñiểm N trên mặt phẳng cho khoảng cách từ N ñến PE nửa chiều cao AH ∆APE Khi ñó ta có SPNF= SPAF Bài (Mở rông bài 3) Cho tam giác PAF Tìm tập hợp các ñiểm I cho SPIF=SPAF Lời giải: I A Giả sử có ñiểm I cho SPIF=SPAF Khi ñó ta có Khoảng cách từ I ñến PE luôn không ñổi chiều cao AH Suy tập hợp các ñiểm I là hai ñường thẳng song song với PE và cách PE khoảng AH P H K F Bài (Bài 23 SGK) Cho tam giác ABC Hãy số vị trí ñiểm M nằm tam giác ñó cho: SAMB+SBMC=SMAC Lời giải Giả sử có ñiểm SAMB+SBMC=SMAC B M nằm ∆ABC cho E M F Mặt khác ta có: SAMB+SBMC+SMAC=SABC Từ ñó suy S 1 S ABC ⇔ MH = BH (không ñổi) Vậy M nằm trên MAC = 2 A H K C ñường trung bình EF ∆ABC 4.5 Dạng bài bất ñẳng thức và cực trị hình học Bài (Bài 15 SGK) Tại các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn Lời giải: Theo gt ta có, gọi kích thước hình chữ nhật là a, b thì cạnh hình vuông có cùng chu a+b (không ñổi) vi với các hình chữ nhật là 18 a+b b a (21) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” a+b a−b Khi ñó có: S-S’= − ab = ≥ ⇔ S ≥ S ' Dấu “=” xảy a=b, tức là hình chữ nhật trở thành hình vuông Vậy các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn Bài (Bài 36 SGK) Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao? Lời giải: Vì hình thoi và hình vuông có cùng chu vi, nên gọi cạnh hình thoi và hình vuông là a, chiều cao hình thoi là h Gọi S là dtích hình vuông (không ñổi), S’ là dtích hình thoi Khi ñó có: S-S’=a2-ah=a(a-h)≥0 (do a≥h) h a a ⇔S≥S’ Dấu “=” xảy a=h, hình thoi trở thành hình vuông Bài (Bài 41 SBT) Một hình chữ nhật và hình bình hành ñều có kích thước là a và b Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Lời giải: tương tự trên b h b a a Bài (Bài 42 SBT) Trong hình thoi có chu vi nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn Lời giải: Gọi cạnh hình thoi a, chiều cao hình thoi là h, S là dtích hình thoi Ta có S=ah≤a2 (không ñổi), Dấu “=” xảy a=h, hình thoi trở thành hình vuông Vậy hình thoi có chu vi nhau, hình có diện tích lớn là hình vuông h a Bµi Cho tam gi¸c ABC, M lµ ®iÓm bÊt k× trªn c¹nh BC §−êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AC t¹i P, ®−¬ng th¼ng ®i qua M song song víi AC c¾t AB t¹i Q Chøng minh r»ng SAPMQ ≤ S ABC Lời giải A A P Q P Q B B M C M H G Tr−êng hîp b Tr−êng hîp a XÐt hai tr−êng hîp: 19 C (22) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” a) Khi M lµ trung ®iÓm cña BC, dÔ thÊy SBMQ=SMCP= S ABC Từ đó suy SAPMQ = S ABC (1) b) Khi M kh«ng lµ trung ®iÓm cña BC th× MB<MC hoÆc MB>MC Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö MB<MC Trªn ®o¹n MC lÊy H cho MH=MB Qua H kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB, ®−êng th¼ng nµy c¾t AC t¹i K, c¾t QM kÐo dµi t¹i G Ta cã, ∆QMB=∆GHM (gcg) Từ đó suy 2SAPMQ=SAKGQ=SAKHMQ+SQBM=SAKHB<SABC (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy SAPMQ ≤ S ABC Bµi Cho tam gi¸c ABC cã hai gãc nhän B, C Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ cho M∈AB, N∈AC cßn P,Q∈BC H·y t×m vÞ trÝ cña M cho SMNPQ lín nhÊt Lời giải C¸ch KÎ ®−êng cao AH, K lµ giao ®iÓm cña MN vµ AH VËn dông kÕt qu¶ cña bµi cho hai tam gi¸c ABH A vµ ACH, ta cã: S MKHQ ≤ S ABH , S KNPH ≤ S ACH , 2 M K N Suy S MNPQ = S MKHQ + S KNPH ≤ S ABH + S ACH B Q H P C ⇒ S MNPQ ≤ S ABC dấu đẳng thức xảy M là trung điểm AB, N là trung điểm AC VËy SMNPQ lín nhÊt b»ng S ABC M lµ trung ®iÓm cña AB C¸ch §Æt MQ=x, MN=y, AH=h, BC=a Ta cã: a h 2 a a h h ah a h Nªn cã SMNPQ=xy= (h − x)x = − − x ≤ = = S ABC h h h h h Dấu đẳng thức xảy − x = ⇔ x = hay M là trung điểm AB, N là trung 2 ®iÓm cña AC VËy SMNPQ lín nhÊt b»ng S ABC M lµ trung ®iÓm cña AB SABC=SAMN+SBMNC ⇔ah=y(h-x)+(y+a)x⇔ y = ( h − x ) Bµi Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm M tuú ý §Æt S = AM BC + BM AC + CM AB a) Chøng minh r»ng S ABC ≤ S b) Từ đó suy vị trí điểm M để S đạt giá trị nhỏ Lời giải 20 (23) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” A a) Kẻ BH, CK vuông góc với AM Khi đó, ta có: 2 SABM+SAMC= AM ( BH + CK ) ≤ AM BC (1) M H (vì BH+CK≤BC, dấu đẳng thức xảy AM⊥BC) C B T−¬ng tù ta cã: SABM+SBMC ≤ BM AC (2) SCMA+SBMC ≤ CM AB (3) K 4 Tõ (1),(2) vµ (3) suy S ABC ≤ ( AM BC + BM AC + CM AB ) = S b) Tõ c©u a, ta cã S≥4SABC DÊu b»ng x¶y mµ dÊu b»ng x¶y c¸c B§T (1), (2) vµ (3) AM ⊥ BC Tøc lµ BM ⊥ AC ⇔ M lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC CM ⊥ AB VËy S nhá nhÊt b»ng 4SABC M lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC A Bài Cho ∆ABC, trên các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự ñó ta lấy các ñiểm D, E, F cho AD= kAB, BE=kBC, CF= kAC (0< k < 1) Xác ñịnh k ñể SDEF có giá trị nhỏ nhất, biết SABC=1 D F B E C Lời giải Ta có SABE=kSABC (1) vì BE = kBC và chung ñường cao hạ từ A AD = k.AB ⇒ BD=(1- k)AB ⇒ SBDE= (1- k)SABE (2) Từ (1) và (2) suy SBDE= k(1-k)SABC Tương tự : SCFE= k(1-k)SABC , SADF = k(1-k) SABC 1 SDE F=SABC – (SBDE +SCFE +SADF)=1-3k(1- k)= 3k - 3k+1= k- + ≥ với k 2 4 1 Vậy giá trị nhỏ SDE F là k = 2 Bài Nhận dạng tam giác ABC biết ha+hb+hc=9r Trong đó ha,hb,hc là các ®−êng cao, r lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c Lời giải §Æt AB=c, BC=a, CA=b vµ ba ®−êng cao t−íng øng víi ba c¹nh đó có độ dài là hc, ha, hb Vì khoảng cách từ tâm O đ−ờng tròn nội tiếp đến các cạnh cña tam gi¸c b»ng vµ b»ng r, Ta cã: 2 2 A r r SABC=SOAB+SOBC+SOCA= rc + + rb = r ( a + b + c ) r B 21 O H C (24) Chuyên ñề “Diện tích và phương pháp diện tích thực hành giải toán” 2 Lại có: SABC= a = hb b = hc c Từ đó suy ra: r(a+b+c)=aha=bhb=chc ⇔ 1 1 a+b+c a b c a+b+c ⇔ + + = = = = = 1 1 1 hb hc r + + r hb hc hb hc 1 1 + + = 9r = (1) r hb hc Suy ( + hb + hc ) MÆt kh¸c, theo B§T Bunhiacopski ta cã: ( + hb + hc ) h a + 1 + ≥ , dấu “=” ha=hb=hc (2) hb hc Từ (1) và (2) suy tam gíc ñã cho là ñều Bài 10 Cho tam gi¸c ABC, I lµ ®iÓm bÊt k× n»m tam gi¸c, AI, BI, CI theo thø tù c¾t c¸c c¹nh BC, CA, AB t¹i M, N, P Chøng minh r»ng C IA IB IC + + ≥6 IM IN IP PHẦN KẾT LUẬN Trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, ñể có kết tốt thì dạy học phải xác ñịnh rõ trọng tâm kiến thức Việc chọn kiến thức chương trình toán THCS mà có nhiều ứng dụng giải toán thực tiễn ñể xác trọng tâm bồi dưỡng cho học sinh là việc làm cần thiết vì: - Dạy nhiều, dàn trải làm cho học sinh bị quá tải, dẫn ñến ức chế học tập, dẫn ñến hiệu giảng dạy và học tập thấp - Dạy và bồi dưỡng kiến thức ñược xác ñịnh là có nhiều ứng dụng, dạy ñúng phương pháp ñạt ñược hiệu cao, học sinh không bị quá tải Kiến thức mà học sinh học ñược là vững Chuyên ñề ñã ñưa ñược tư tưởng phương pháp diện tích thực hành giải toán, có thể áp dụng dạy bài mới, dạy bài luyện tập và bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên ñề ñã ñề cập ñến dạng toán giải phương pháp diện tích Trong dạng ñều có bài tập và nâng cao, bài tập nâng cao có ñính Giáo viên dạy cần vào các hoàn cảnh cụ thể ñể áp dụng soạn và giảng dạy cho phù hợp với học sinh mình Chuyên ñề này không áp dụng cho dạy học sinh lớp mà còn có thể mở rộng phạm vi ñể áp dụng cho dạy học sinh lớp Dù ñã có nhiều có gắng việc nghiên cứu và viết chuyên ñề, khả còn hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong ñược ñồng nghiệp ñóng góp ý kiến ñể chuyên ñề ñược hoàn thiện và ứng dụng có hiệu giảng dạy Trân trọng cảm ơn! Ngày tháng 12 năm 2012 LÊ MẠNH HÀ 22 (25)