Phương trình, bất phương trình mũ T¹ Minh §øc THPT CÈm Khª CÈm Khª Phó Thä Trang 1 / 4 Ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh logarit I Ph−¬ng ph¸p mò hãa, ®−a vÒ cïng c¬ sè Ví dụ 1 Giải các phương trình 1) 2[.]
Tạ Minh Đức THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ Phơng trình, bất phơng trình logarit I Phơng pháp mũ hóa, đa số Vớ d Giải phương trình 1) log x ( 5x − 8x + ) > 2) log1− cos x ( cos 2x + sin x + ) = ) ( 4) log x + 3 − − 2x + x = ( 3) log − x = log − x − ) 5) log x + log x + log x = log10 x ⎡ π⎞ ⎤ ⎛ 7) (SP2'94) log sin x ⎢ sin ⎜ x + ⎟ − 1⎥ = 4⎠ ⎦ ⎝ ⎣ 6) log ( x +1 − 4.3 x − ) ≤ 3x + 8) (A.Giang'B'00) ln ( 2x − ) + ln ( − x ) = ln ( 2x − ) + ln ( − x ) 9) log x2 − x +1 2x − 2x − < 10) 11) (QGHN'A'97) Giải biện luận x log a ( ax ) Ví dụ Giải phương trình 1) (A'07) 2.log ( 4x − ) + log ( 2x + ) ≤ log ≥ ( ax ) 2x − log ( x + ) ⎧log − x < log ( − x ) ⎪⎪ 3 ⎛ 2x − ⎞ 16) (SP2'97) Tìm x đồng thời thỏa mãn ⎨ 17) log x ⎜ ⎟>1 ⎝ x −1 ⎠ ⎪ x + số nguyên 18) (QHQT'A'00) log ( x + x + 1) + log ( x − x + 1) = log ( x + x + 1) + log ( x − x + 1) 19) (QGHN'A'98) log ( x + 3x + ) + log ( x + x + 12 ) = + log Ví dụ Giải phương trình 1) (BCVT'00) log ( x − x + ) = 2) (BK'00) log ( x + 1) + = log 2 x −1 + log x − l log 2 − x + log ( + x ) 3 log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 1 5) log ( x + ) + log ( x − 1) = log ( 4x ) Ví dụ Giải phương trình 1) (ĐHSP2-98) log ( x − 1) log 25 ( x +1 − ) = 4) (DB'B'07) log ( x − 1) + log 3) 2) log ( log x ) = log ( log x ) Trang / ( 2x 1) = Tạ Minh Đức THPT CÈm Khª - CÈm Khª - Phó Thä x ⎛ ⎞ 3) log ⎜ sin − sin x ⎟ + log ( cos x + cos 2x ) = ⎝ ⎠ 5) log x + log x + log x = log x.log x.log x 1 log ( x − 1) 2x − − sin 2x − sin x = log7 − x2 sin 2x.cos x 4) log 25 ( x − 1) ≥ log 6) log7 − x2 + log x + log x +1 Ví dụ Giải phương trình 1) log + x = log7 x 2) 3log + x + x = log x 7) log ( x − 1) + ( ( 4) log6 ) ) = ( x + x = log x 7) log7 x = log ( x +2 ( ) ) 3) log cot gx = log cos x 5) log + x = log x ) 8) log (x 2+ 6) log6 − 2x − ) = log + (x ( ) x + x = log x − 2x ) II Phơng pháp biến đổi, đặt ẩn phơ Ví dụ Giải phương trình 1) x log x 16.log x = x + 15 2) 5( 4) log x 5) log x 64 + log x2 16 ≥ 3 ( 5x − 18x + 16 ) > log5 x ) + xlog5 x ≤ 10 3) log x + log x = log 3.log 225 6) log x − x2 ( − x ) > ⎛ x3 ⎞ ⎛ 32 ⎞ 7) log 24 ( x ) − log 12 ⎜ ⎟ + log ⎜ ⎟ < log 21 ( x ) ⎝x ⎠ 2 ⎝ ⎠ 8) log 9) (A'08) log x −1 ( x + x − 1) + log x +1 ( x − 1) = 10) (YHN'B'00) log 2 11) (KTQS'99) log ( x+2 − x ) ≤ log x +1 12) 13) (DB'A'08) ( log x + log x ) log 2x ≥ x + log x + log ( 3x ) = 3 ( x − 1) log 2x − 3x + 16) (KTr'97) log ( x + 1) − log ( x + 1) 17) (BK'97) >0 x − 3x − x−5 log ( x −4 ) −1 ≥ log ( x + 1) 14) log x ( x ) + log 32 x < 11 1 < 15) log ( x + 3x ) log ( 3x − 1) 19) + log ( x − 1) = 25 2 log ( x − 3x + ) log x + log >2 18) log 2 + log ( 4x ) = x 20) 2log5 ( x + 3) = x ≥0 Ví dụ Giải phương trình sau 1) + =1 − lg x + lg x Ví dụ Giải phương trình 1) xlog2 = x 3log2 x − xlog2 2) log x + 10 log x + = c log0 ,04 x + + log0 ,2 x + = 2) xlog7 + 5.2log7 x − = 3) x + xlog2 = xlog2 ( ) 5) (QGHN'A'01) log x + log x = + log x.log x 7 4) (Luật HCM'A'01) ( ) − x log2 = 2.3 Ví dụ Giải cá phương trình, bất phương trình Giải phương trình, bất phương trình log x a) log x log ( 2x + 3x + ) + > log ( 2x + 3x + ) d) log x − log 3x − = b) log x − log x + e) 2.x log x Ví dụ Giải phương trình, bất phương trình 1) log 22 x + ( −1) log x + 2x − = 2) + 2.x =0 −3log8 x c) log 2 + log 4x = −5 =0 log 22 x + log x − > ( log x − ) Trang / x Tạ Minh Đức THPT Cẩm Khê - CÈm Khª - Phó Thä III Dïng hμm sè, NhËn xÐt, chøng minh nhÊt Giải phương trình x −2 1) log ( + sin x ) = 3) l o g ( x − x − ) + x = l o g ( x + ) − 2) log x ( x + 1) = lg 1,5 ( ) 5) x + lg x − x − = + lg ( x + ) 4) ( x + ) log 32 ( x + ) + ( x + ) log ( x + ) = 16 6) log ( x + 1) + log ( 2x + 1) = 7) ( x + ) log ( x + 1) + ( x + 1) log ( x + 1) − 16 = 8) Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt − x − k log (x − 2x + ) + − x +2 x log ( x − k + ) = IV Các bi toán chứa tham số v dạng kh¸c 1) Tìm m để phương trình ( m − ) log 12 ( x − ) − ( 2m + 1) log ( x − ) + m + = có hai nghiệm x1 2 x2 thỏa mãn < x1 < x2 < 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm log 2+ ( x − m + 1) + log ( mx − x ) = 2− 3) (A'02) cho phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − = a) Giải phương trình với m= b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ⎡1;3 ⎤ ⎣ ⎦ 2 4) Tìm GTNN y = log x2 +1 ( − x ) + log 3− x2 ( x + 1) 5) (AN'99) Trong nghiệm phương trình log x2 + y ( x + y ) ≥ , tìm nghiệm có x + 2y lớn 6) (Mỏ ĐC'01) Tìm tích nghiệm phương trình xlog6 ( x ) − 36.5 x7 = 7) Giải phương trình, bất phương trình 3⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ a) log ⎜ x + ⎟ + log ⎜ x − ⎟ = b) log ( x + x − 1) = − x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 8) Tìm x để log a x − 5a x + − a = log + a2 − x − nghiệm với a π⎞ ⎛ 9) Tìm m ∈ ( 2;5 ) cho phương trình log ( − cos mx ) = cos ⎜ π x − ⎟ có nghiệm x ∈ [ 2;3] 6⎠ ⎝ 10) ( ) − x + + x − log ( x − x ) = ( 11) (QGHN'A'00) + ) log x ( + x − ) log x = + x2 V Hệ phơng trình mũ vμ l«garit ⎧log 22 x − log x < ⎪ 1) (ĐN'A'97) Giải hệ bất phương trình ⎨ x ⎪ − 3x + 5x + > ⎩3 ⎧ 5−x ≤0 ⎪log⎛ + sin π − x ⎞ ⎟ ⎪ ⎜⎝ ⎠ 1+ 1+ x 2) (HVQY'00) Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình ⎨ ⎪4x2 + 5x + > 3x + ⎪⎩ x+3 3) Giải hệ phương trình ⎧log x + log y + log z = ⎧ 4−x ⎧⎪log x ( 3x + y ) = ⎪ x + − 3y = ⎪ a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨log y + log z + log x = x ⎪⎩log y ( 2x + y ) = ⎪log z + log x + log y = ⎪log x + y = ⎩ 16 16 ⎩ ( ) Trang / Tạ Minh Đức THPT Cẩm Khê - CÈm Khª - Phó Thä ⎧⎪ x + log y = 4) Giải hệ phương trình ⎨ x ⎪⎩( y − y + 12 ) = 81y ⎧log ( x + y ) − log ( x ) + = log ( x + y ) ⎪ 5) (Mỏ ĐC'99) ⎨ x ⎪log ( xy + 1) − log ( y + y − x + ) = log − y ⎩ ⎧1 ⎪ log x − log y = 7) Cho hệ phương trình ⎨ ⎪ x + y − ay = ⎩ a) Giải hệ với a = b) Tìm a để hệ có nghiệm 3x ⎧ x log + log y = y + log log8 y log8 x ⎪ ⎧x +y =4 ⎪ 8) (HVTC'A'00) ⎨ 9) (TL'A'00) ⎨ ⎩log x − log y = ⎪ x log 12 + log x = y + log y 3 ⎪⎩ x y ⎧ y+ x ⎪⎧log − x ( − y ) > ⎪⎧log x xy = log y x ⎪ = 32 10) ⎨ 11) ⎨ 2log x 12) ⎨4 y = 4y +3 ⎪⎩log − y ( 2x − ) > ⎪⎩ y ⎪⎩log ( x + y ) = − log ( x + y ) ⎧log x − log y = ⎧lg x + lg y = ⎧log x + log y = + log 13) ⎨ 14) 15) ⎨ ⎨ 2 ⎩x + y = ⎩ x + y = 29 ⎩x − y + = ⎧⎪lg ( x + y ) = + 3lg ⎧⎪4 x + y = 128 16) ⎨ 17) ⎨ x − y −3 =1 ⎪⎩5 ⎪⎩lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg ⎧⎪5 x + y = 125 18) ⎨ ( x − y )2 −1 =1 ⎪⎩4 ⎧⎪32 x − y = 77 19) ⎨ x y ⎪⎩3 − = ⎧⎪2 x +1 + y − = 3.2 y + x 21) ⎨ ⎪⎩ 3x + + xy = x + ⎧ x + y = 12 20) ⎨ ⎩x + y = ⎧⎪9 log2 ( xy ) − = ( xy )log2 22) ⎨ 2 ⎪⎩( x + 1) + ( y + 1) = Trang / ... cá phương trình, bất phương trình Giải phương trình, bất phương trình log x a) log x log ( 2x + 3x + ) + > log ( 2x + 3x + ) d) log x − log 3x − = b) log x − log x + e) 2.x log x Ví dụ Giải phương. .. (AN''99) Trong nghiệm phương trình log x2 + y ( x + y ) ≥ , tìm nghiệm có x + 2y lớn 6) (Mỏ ĐC''01) Tìm tích nghiệm phương trình xlog6 ( x ) − 36.5 x7 = 7) Giải phương trình, bất phương trình 3⎞ 3⎞ ⎛... Tìm m để phương trình sau có nghiệm log 2+ ( x − m + 1) + log ( mx − x ) = 2− 3) (A''02) cho phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − = a) Giải phương trình với m= b) Tìm m để phương trình có