Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TỐN LỚP (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 ĐS7 CHUYÊN ĐỀ 1- DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT – DÃY PHÂN SỐ ĐS7.I DÃY CÁC SỐ TỰ NHIÊN PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT A Dãy số mà số hạng cách (dãy cộng) Lý thuyết a1 + d ; a3 = a2 + d ; a4 = a3 + d ; Dãy số a1; a2 ; a3 ; ; an a2 = Dãy số dãy số cách khoảng cách d * Số hạng thứ n dãy biết d ; a1 an = a1 + ( n − 1) d * Số số hạng dãy n= ( an − a1 ) : d + * Tổng số hạng dãy cộng: = S ( a1 + an ).n : Chú ý: * Công thức tổng quát: A =1 + + + + … + n = n ( n + 1) : B Dãy số mà số hạng không cách *Một số công thức tổng quát: A= 1.2 + 2.3 +…+ ( n − 1) n= A= ( n − 1) n ( n + 1) : 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + ( n - 1) n ( n + 1) = ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) : PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Dãy số mà số hạng cách (dãy cộng) I.Phương pháp giải * Số hạng thứ n dãy biết d ; a1 an = a1 + ( n − 1) d * Số số hạng dãy n= ( an − a1 ) : d + * Tổng số hạng dãy cộng: = S ( a1 + an ).n : Chú ý: * Công thức tổng quát: A =1 + + + + … + n = n ( n + 1) : II Bài tốn Bài 1: Tính tổng dãy số: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang a) A =1 + + + + … + 100 b) B = + + + + 245 Lời giải a) A =1 + + + + … + 100 Số số hạng tổng là: (100 − 1) :1 + = 100 (số hạng) A =1 + + + + … + 100 =(100 + 1) 100 : =5050 b) B = + + + + 245 240 (số hạng) Số số hạng tổng là: ( 245 − ) :1 + = B = + + + + 245 = ( 245 + ) 240 : = 30120 Bài 2: Tính tổng dãy số: a) C = + + + + …+ 99 b) D = + + + + 98 Lời giải a) C = + + + + …+ 99 Số số hạng tổng là: ( 99 − 1) : + = 50 (số hạng) C = + + + + … + 99 = (1 + 99 ) 50 : b) D = + + + + 98 33 (số hạng) Số số hạng tổng là: ( 98 − ) : + = D = + + + + 98 = ( 98 + ) 33: = Bài 3: Cho tổng S =1 + + + + 199 a) Tìm số hạng thứ 50 tổng b) Tính S Lời giải Cho tổng S =1 + + + + 199 a) Số hạng thứ 50 tổng là: + ( 50 − 1) = 148 b) Số số hạng tổng là: (199 − 1).3 + =67 ( số hạng) S =1 + + + + 199 =(199 + 1) 67 : =6700 Bài 4: Tính tổng dãy số: a) A =1 + + + + … + 200 ; b) B = + + + + 144 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Lời giải a) A =1 + + + + … + 200 Số số hạng tổng là: ( 200 − 1) :1 + = 200 (số hạng) A =1 + + + + … + 200 =( 200 + 1) 200 : = 20100 b) B = + + + + 144 Số số hạng tổng là: (166 − 1) : + = 56 (số hạng) B = + + + + 144 = (144 + ) 56 : = 4172 Bài 5: Tính tổng dãy số: a) E = + + + + …+ 99 ; b) F =1 + + + + 91 Lời giải a) E = + + + + …+ 49 Số số hạng tổng là: ( 49 − 1) : + = 25 (số hạng) E = + + + + … + 99 = ( 99 + 1) 25 : = 1250 b) F =1 + + + + 91 31(số hạng) Số số hạng tổng là: ( 91 − 1) : + = F =1 + + + + 91 =( 91 + 1) 31: =1426 Bài 6: a) Tính tổng số tự nhiên nhỏ 50 ; b) Tính tổng số tự nhiên chẵn khơng vượt 100 ; c) Tính tổng số tự nhiên lẻ nhỏ 200 Lời giải a) Tính tổng số tự nhiên nhỏ 50 + + + + 49 49 (số hạng) Số số hạng tổng là: ( 49 − 1) :1 + = + + + + 49= ( 49 + 1).49 : 2= 1225 b) Tính tổng số tự nhiên chẵn khơng vượt 100 + + + + 100 Số số hạng tổng là: (100 − ) : + = 50 (số hạng) + + + + 100 = (100 + ).50 : = 2550 c) Tính tổng số tự nhiên lẻ nhỏ 200 + + + + 199 100 (số hạng) Số số hạng tổng là: (199 − 1) : + = + + + + 199 = (199 + 1).100 : = 10000 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Bài 7: Cho tổng M =1 + + + + 166 a) Tìm số hạng thứ 41 tổng b) Tính M Lời giải M =1 + + + + 166 a) Số hạng thứ 41 tổng là: + ( 41 − 1) = 121 56 (số hạng) b) Số số hạng tổng M là: (166 − 1) : + = M =1 + + + + 166 =(166 + 1) 56 : = 4676 Dạng Dãy số mà số hạng không cách I.Phương pháp giải *Một số công thức tổng quát: A= 1.2 + 2.3 +…+ ( n − 1) n= A= ( n − 1) n ( n + 1) : 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + ( n - 1) n ( n + 1) = ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) : II.Bài tốn Bài 1: Tính tổng: a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n ( n + 1) + n ( n + 1) (n + 2) với n số tự nhiên khác không b) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… Lời giải a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n ( n + 1) = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + + n ( n + 1) ( ( n + ) − ( n − 1) ) : = 1.2.3 -1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + …… − n ( n + 1)( n + ) : = n ( n + 1)( n + ) : + n ( n + 1) (n + 2) b) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… = 1.2.3 ( − ) + 2.3.4 ( − 1) + 3.4.5 ( − ) + … + n ( n + 1)( n + ) ( ( n + 3) − ( n − 1) ) : = n ( n + 1)( n + )( n + 3) : Bài 2: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 8.9 + 9.10 Lời giải 3A= (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang 3A = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + 4.5 ( − 3) + 5.6 ( − ) + 6.7 ( − 5) +7.8 ( − ) + 8.9 (10 − ) + 9.10 (11 − ) = 1.2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5 −… + 8.9.10 − 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 = A 990 = : 330 Ta ý tới đáp số 990 = 9.10.11 , 9.10 số hạng cuối A 11 số tự 10 , tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Bài 3: Tính tổng dãy số: = A 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + … + 8.9.10 nhiên kề sau Lời giải A =1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 ) = 4A 1.2.3 ( − ) + 2.3.4 ( -1) + … + 8.9.10 (11 − ) (1.2.3.4 − 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 2.3.4.5 + … -7.8.9.10 + 8.9.10.11) = 4A 4A = 8.9.10.11 Vậy A 8.9.10.11: = = 1980 Bài 4: Tính tổng: A= 1.2 + 3.4 + … + 99.100 Giải A= 1.2 + 3.4 + … + 99.100 = 3A 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + …+ 99.100 (101 − 98 ) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + + 99.100.101 − 98.99.100 = 99.100.101 = ⇒A 99.100.101 = 333300 Trong tốn này, ta khơng nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Cách 2: A= 2 + 2 ( + 1).4 + 4 ( + 1 ) 6 +…+ 98 ( +1).100 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + + … + 98.100 + 1 00 = ( 2.4 + 4.6 + …+ 98.100 ) + 2 ( + 4 + 6 + 8 +…+ 1 00 ) Cách 3: A= ( 3 −1 ) + 3 ( 5 −1 ) + 5 ( 7 −1 ) +…+ 99 (101 −1 ) = 1.3 −1 + 3.5 − 3 + 5.7 − 5 +… + 99.101 − 99 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang = (1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 99.101) − 1 ( + 3 + 5 + 7 +…+ 99 ) Bài 5: Tính tổng: B = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 Ta có: B = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 B =+ ( + 1) + ( + 1) + + ( 98 + 1) 100 B =2 + 2.4 + 1.4 + 4.6 + 1.6 + + 98.100 + 1.100 B= ( 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 ) + ( + + + + 100 ) Đặt M = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 6M = 2.4(6 − 0) + 4.6(8 − 2) + 6.8(10 − 4) + + 98.100(102 − 96) 6M = 2.4.6 − + 4.6.8 − 2.4.6 + 6.8.10 − 4.6.8 + + 98.100.102 − 96.98.100 = 6M 98.100.102 = ⇒M 98.100.102 = 166600 Đặt N = + + + + 100 = (100 + ) 50 : = 2550 Do B= 166600 + 2550= 169150 Bài 6: Tính tổng: E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 97.99 + 98.100 Lời giải E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 97.99 + 98.100 E = 1(1 + ) + ( + ) + ( + ) + + 97 ( 97 + ) + 98 ( 98 + ) E = (1.1 + 1.2 ) + ( 2.2 + 2.2 ) + ( 3.3 + 3.2 ) + + ( 97.97 + 97.2 ) + ( 98.98 + 98.2 ) E= (1.1 + 2.2 + 3.3 + + 97.97 + 98.98 ) + (1 + + + + + 97 + 98 ) Đặt A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 98.98 B =1 + + + + + 97 + 98 Tính thay vào E Bài 7: Tính tổng: a) A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 b) = B 1.3.5 + 3.5.7 +… + 5.7.9 +… + 95.97.99 Lời giải: A= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + 99.100.101).4 = 4A 1.2.3 ( − ) + 2.3.4 ( -1) + … + 99.100.101 (102 − 98 ) = 4A 1.2.3.4 − 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 2.3.4.5 + … - 98.99.100.101 + 99.100.101.102 4A = 99.100.101.102 Vậy A 99.100.101.102 = : 25497450 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang b) = B 1.3.5 + 3.5.7 +… + 5.7.9 +… + 95.97.99 = 8B 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +… + 95.97.99.8 = 8B 1.3.5 ( + 1) + 3.5.7 ( − 1) + 5.7.9 (11 − 3) +…+ 95.97.99 (101 − 93) = 8B 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 −1 .3.5.7 + 5.7.9.11 − 3.5.7.9 +…+ 95.97.99.101 − 93.95.97.99 8B = 15 + 95.97.99.101 B= 11517600 (15 + 95.97.99.101) : = Bài 8: Tính tổng N=1.99+2.98+3.97+…+97.3+98.2+99.1 Lời giải: N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+…+98.(99-97)+99.(99-98) N=(1.99+2.99+3.99+…+98.99+99.99)-(1.2+2.3+…+97.98+98.99) = N 99 (1 + + + …+ 98 + 99 ) − N = 99 98.99.100 99.100 98.99.100 99.100.101 − = = 166650 Bài 9: Tính tổng H = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 50.50 Lời giải: H = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 50.50 H= 1.99 + ( 99 − 1) + ( 99 − ) + + 50 ( 99 − 49 ) H= 1.99 + ( 2.99 − 1.2 ) + ( 3.99 − 2.3) + + ( 50.99 − 49.50 ) H= (1.99 + 2.99 + 3.99 + + 50.99 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 49.50 ) H= 99 (1 + + + + 50 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 49.50 ) H= 99 (1 + 50 ) 50 : − ( 49.50.51) : 3 H = 99.1275 − 41650 = 84575 Bài 10: Tính tổng tự nhiên a, A = + 99 + 999 + + 999 ( 10 chữ số 9) b, B =1 + 11 + 111 + + 111 (10 số 1) Lời giải a) Ta có: A = + 99 + 999 + + 999 ( 10 chữ số 9) A= = (10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) (10 + 10 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 −= 10 111 100 ( số 1) b) B =1 + 11 + 111 + + 111 (10 số 1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Ta có: B =9 + 99 + 999 + + 9999 99 ( 10 chữ số 9) 9B = = (10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) (10 + 10 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 −= 10 11111111100 ( chữ số 1) = ⇒ B 11111111100 = : 12345678900 Bài 11: Tính tổng tự nhiên a) C = + 44 + 444 + + 444 (10 chữ số 4) b) D = + 22 + 222 + + 222 (10 chữ số 2) Lời giải a, Ta có: C = (1 + 11 + 111 + + 111 11) ( 10 chữ số 1) 9C= ( + 99 + 999 + + 999 99 ) ( 10 số 9) 9= C (10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) = (10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 4.[111 10= − 10] 44444444400 ( chữ số 4) = ⇒ C 44444444400 = : 4938271600 b, Ta có : D = + 22 + 222 + + 222 (10 chữ số 2) D = (1 + 11 + 111 + + 111 11) (10 chữ số 1) D= ( + 99 + 999 + + 999 99 ) (10 chữ số 9) 9= D (10 − 1) + (102 − 1) + (103 − 1) + + (1010 − 1) = (10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 2.[111 10= − 10] 22222222200 ( chữ số 2) = ⇒ D 22222222200 = : 2469135800 ĐS7.II DÃY CÁC PHÂN SỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Với a,b ∈ Z ; b ≠ 0; n ∈ N , ta có: n n n a a 1 + =n ⇒ =n ; b b b b 1 1 + b n ; n = = n −1 b b b b b n +1 Với a,b,c ∈ N * , ta có: a + = a ; b b Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang + + + b−a = a.b b+a = a.b c−a = a.b.c 1 − ; a b 1 + ; a b 1 − a.b b.c PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Dãy phân số mà mẫu số sau gấp mẫu số trước số không đổi I Phương pháp giải Để thu gọn tổng A gồm phân số mà mẫu số sau gấp mẫu số trước số m không đổi, ta lấy A.m A m II Bài toán 1 1 + + + + 100 7 7 Bài Tính tổng : A = Lời giải Ta có: 1 1 1 A = + + + + 100 + 101 7 7 7 1 1 1 1 A= − + − + + 100 − 100 + − 101 7 7 7 7 7 100 −1 ⇒ A = 7101 7100 − ⇒ A = 100 6.7 A− Bài Tính tổng: B = 5 5 + + + + 20 3 3 Lời giải Ta có: 5 5 B = + + + + 20 + 21 3 3 3 5 5 5 5 5 B − B= − + − + + 20 − 20 + − 21 3 3 3 3 3 20 5.3 − ⇒ B =21 3 20 5.3 − ⇒ B = 20 2.3 Bài Thu gọn tổng sau: 2017 1 1 1 1 a, D = − + − + − + + − 7 7 7 7 Lời giải 1 1 a, Ta có: D =1 − + − + + 2016 − 2017 7 7 1 1 1 D = − + − + + 2017 − 2018 7 7 7 1 −1 −1 −1 D+ D = + + + + + 2017 + 2017 7 7 7 7 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1 1 1 b, E = − + − + − + 50 − 51 3 3 3 + 1 − 2018 Trang CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Dạng Sử dụng tính chất vng góc chứng minh điểm thẳng hàng A I.Phương pháp giải Nếu AB ⊥ a ; AC ⊥ A ba điểm A, B, C thẳng hàng B C a II.Bài tốn (hình 3) = AC Gọi M trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Vẽ hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: - Chứng minh AM , PM , QM vuông góc BC A - Hoặc AP, AQ tia phân giác góc BAC LỜI GIẢI a) Chứng minh AM ⊥ BC ∆ABM ∆ACM có: AB = AC (gt) AM chung MB = MC MB = MC ( M trung điểm BC ) ∆ACM (c.c.c) Vậy ∆ABM = Suy ra: AMB = AMC (hai góc tương ứng) = = P B / M / C Q Hình Mà 1800 (hai góc kề bù) nên AMB + AMC = AMB = AMC = 900 Do đó: AM ⊥ BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng ∆CPM (c.c.c) Chứng minh tương tự ta được: ∆BPM = = PMC (hai góc tương ứng), mà PMB + PMC = = PMC = 900 Suy ra: PMB 1800 nên PMB Do đó: PM ⊥ BC Lập luận tương tự QM ⊥ BC Từ điểm M BC có AM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) ⊥ BC , PM ⊥ BC , QM ⊥ 1 Bài Cho ∆ABC vuông A ,BC = AB gọi D điểm nằm cạnh AC cho ADB = ABC Lấy E điểm nằm cạnh AB cho ACE = , BD cắt CE F , I K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ F đến BC AC Vẽ điểm G H cho I trung điểm FG , K trung điểm FH Chứng minh điểm H , D, G thẳng hàng LỜI GIẢI Theo đề ∆ABC vng A có BC = AB nên 60 = ABC = ; ACB 300 1 =400 ABD = ABC =200 ⇒ DBC 1 = ABD = ABC = 100 ⇒ DBC 200 ∆CIF ∆CIG có IF = IG ( gt ) CIF = CIG = 900 ; IC cạnh chung G B I E F A K D H Trang C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ⇒ ∆CIF = ∆CIG ( c.g c ) = KCF = 100 ⇒ CG = CF KCH = 600 (1) + FCH = 2 Từ suy CG = CH GCF ACB = 600 , CHG = DKH = 900 , KD cạnh chung, DF = DH ∆DKF = ∆DKH có KF = KH ( giả thiết ), DKF , ∆CDF = ∆CDH ( c.c.c ) = CFD Suy CHD = 70o ⇒ CDF = 1100 ABD = 200 ⇒ DB ∆ABD vng A có =1800 − CDF = 600 (2) − FCD =1800 − 1100 − 100 =600 CHD ⇒ CFD mà hai tia HD, HG nằm nửa mặt phẳng bờ Từ (1) (2) suy CHD = 60 = CHG đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa ba điểm H , D, G thẳng hàng Dạng 4: Sử dụng tính chất tia phân giác chứng minh điểm thẳng hàng I.Phương pháp giải - Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy ba điểm O, A, B thẳng hàng = xOB ba điểm O, A, B - Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA thẳng hàng II.Bài toán Bài Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy x LỜI GIẢI: Xét ∆BOD ∆COD có: O OB = OC (gt) OD chung BD = CD ( D giao điểm hai đường trịn tâm B tâm C bán kính) Vậy ∆BOD = ∆COD (c.c.c) = COD Suy : BOD B / = = = = A D / C y Hình 10 Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, A, D thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A , có A < 90° Kẻ BD vng góc với AC , kẻ CE vng góc với AB , gọi K giao điểm BD CE Chứng minh a, ∆BCE = ∆CBD b, ∆BEK = ∆CDK c, AK phân giác góc BAC d, Ba điểm A, K , I thẳng hàng ( với I trung điểm BC ) LỜI GIẢI a) Xét ∆BCE ∆CBD có: Trang CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG BEC = CDB = 900 = DCB EBC BC cạnh chung ⇒ ∆BCE = ∆CBD ( cạnh huyền , góc nhọn ) b) ∆BCE = ∆CBD ⇒ BE = CD ∆BKE ∆CDK có: = CDK = 900= = CKD BEK ; BE CD; BKE A ⇒ ∆BKE = ∆CDK (góc nhọn, canh góc vng ) c) ∆BKE = KD ∆CKD ⇒ KE = ∆AEK ∆ADK có AEK = ADK = 900 ; D E K B = DAK AI chung; KE = KD ⇒ ∆AED = ∆ADK ⇒ EAK (1) Hay AK tia phân giác BAC C I d) ∆ABI ∆ACI có AB = AC cạnh chung ; BI = CD ⇒ ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) (2) = hay AI tia phân giác BAC CAI ⇒ BAI Từ (1) (2) suy A, K , I thẳng hàng Bài Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D Nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng LỜI GIẢI x Xét ∆BOD ∆COD có: B OB = OC ( gt ); OD cạnh chung BD = CD ( D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C bán kính) = COD Vậy ∆BOD = ∆COD (c.c.c), suy BOD nên tia OD nằm hai tia Ox Điểm D nằm góc xOy Oy A D O y C Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A Vẽ điểm D E cho BD vng góc BA , vng góc BC Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE Chứng minh A, D, M thẳng hàng LỜI GIẢI Kẻ MK ⊥ AB; MH ⊥ AC ; ∆BMC (c.c.c) Ta có M trung điểm CE nên ∆BME = = CBM = 450 ⇒ EBM =900 ⇒ KBE + Mặt khác EBC ABC =900 Trang CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG = Mà ACB + ABC 900 , suy =HCM = KBE ACB ⇒ KBM E Lại có BM = MC ⇒ ∆KBM = ∆HCM ( cạnh huyền, góc nhọn ) ⇒ MK = MH K M ⇒ ∆AKM = ∆AHM (cạnh huyền, cạnh góc vng) B D = HAM ⇒ AM tia phân giác góc A ⇒ KAM =450 ⇒ AD Mặt khác, ∆BAD vuông cân A ⇒ BAD tia phân giác góc A ⇒ A; D; M thẳng hàng ( A; D; M thuộc tia phân A H C giác góc A ) Dạng 5: Sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng chứng minh điểm thẳng hàng I.Phương pháp giải Nếu K trung điểm BD, K ’ giao điểm BD AC Nếu K ’ trung điểm BD K ’ ≡ K A, K , C thẳng hàng II.Bài tốn Bài Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K , C thẳng hàng LỜI GIẢI Cách 1: Kẻ ME ⊥ BC ; NF ⊥ BC ( E ; F ∈ BC ) A M ∆BME ∆CNF vng E F có: ( = NCF BM = CN (gt), MBE ACB ) Do đó: ∆BME = ∆CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF = B K' K E F C = hình 11 N Gọi K ’ giao điểm BC MN ' = FNK ' ( so le ME / / FN ) ∆MEK ’ ∆NFK ’ vng E , F có: ME = NF (cmt), EMK Vậy ∆MEK ’ = ∆NFK ’ (g-c-g) Do đó: MK ’ = NK ’ Vậy K ' trung điểm MN , mà K trung điểm MN nên K ≡ K ’ Do ba điểm B, K , C thẳng hàng A Cách (hai góc đồng vị) Kẻ ME / / AC ( E ∈ ACB = MEB BC ) ⇒ = MEB Vậy ∆MBE cân M nên MBE Mà ACB = ABC Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K ' giao điểm BC MN ∆MEK ’ ∆NCK ’ có: ' ' K ME = K NC (so le ME / / AC ) ' = NCK ' (so le ME / / AC ) MEK M = B E Hình 12 K' K C = N ME = CN (chứng minh trên) Do : ∆MEK ’ = ∆NCK ’ (g.c.g) ⇒ MK ’ = NK ’ Vậy K ' trung điểm MN , mà K trung điểm MN nên K ≡ K ’ Trang CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Do ba điểm B, K , C thẳng hàng ∆NCK vơ tình thừa nhận Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ∆MEK = B, K , C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý sai = 1080 , Gọi O điểm nằm tia phân giác góc Bài Cho tam giác ABC cân A , BAC = 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO ) C cho CBO Chứng minh ba điểm C , A, M thẳng hàng = OCM từ suy tia CA tia CM trùng Hướng dẫn: Chứng minh OCA LỜI GIẢI Tam giác ABC cân A nên 180°−108° M = 36° ( tính chất tam giác cân ) ABC = ACB = Mà CO tia phân giác ACB =18° Do BCO =150° Nên ACO = BCO =60° ∆BOM nên BOM A = = 108° / = 360° − (150° + 60°= Vậy MOC ) 150° O / 12° B // C Hình 13 = MOC =150° ∆BOC ∆MOC có OB = OM (vì ∆BOC đều) BOC OC chung , ∆BOC = ∆MOC = OCM mà OCB = OCA nên OCM = OCA Suy OCB nên tia CA CM = OCA Hai tia CA CM cung nằm nửa mặt phẳng bờ OC OCM hai tia trùng Vậy ba điểm C , A, M thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC , trung tuyến AM , gọi N trug điểm CA Trên AM lấy điểm I cho AI = MI Chứng minh: B, I , N thẳng hàng HD: Ta có BN trung tuyến tam giác ABC , ta cần I trọng tâm ∆ABC LỜI GIẢI Vì N trung điểm CA BN trung tuyến ∆ABC Gọi G trọng tâm ∆ABC Theo tính chất trung tuyến tam giác ta có AG = 2GM Mà theo giả thiết I AM AI = IM ⇒ I trùng với G Vậy B, I , N thẳng hàng A N I G B C M BÀI TẬP THỰC HÀNH CUỐI CHUYÊN ĐỀ B Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tai A vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác BCM cân M có góc đáy 15° Trên nửa mặt phẳng AB điểm C , vẽ tam giác ABN Chứng minh ba điểm B, M , N thẳng hàng M N HD : Tính góc ABN = 600 =600 mà BN ; BM thuộc nửa mặt ⇒ ABM = ABC + CBM A phẳng bờ AB nên tia BM trùng với tia BN Vậy B, M , N thẳng hàng Trang 10 C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ( ) = DE = EC Bài 2: Cho ∆ ABC cân A A > 900 , cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H ∈ AD, K ∈ AE ) , BH cắt CK G Chứng minh: a, ∆ADE cân b, BH = CK c, Gọi M trung điểm BC Chứng minh: A, M , G thẳng hàng d, Chứng minh: AC > AD HD: A c, Vì AB = AC nên A nằm đường trung trực BC Tương tự cho G nằm đường trung trực BC Do đó: A, M , G thẳng hàng M B góc nhọn d, ∆ CEK vuông K nên E D E H góc tù => AC > AE = AD Khi E C K G Bài 3: Cho ∆ ABC , M trung điểm AB , N trung điểm AC , tia đối tia NM , lấy điểm D cho NM = ND a, CMR: ∆AMN = ∆CDN => MB = CD b, CMR: MN / / BC MN = BC c, CMR: BD qua trung điểm MC A HD: = AM = MB a, ∆AMN = ∆CDN ( c.g.c) => CD M =C => AB / / CD Và A 1 b ∆DCM = ∆BMC (c.g.c) N D I B 1 = = = >M C > MN / / BC và= MN = MD BC 2 c, Gọi I giao BD MC => ∆IMB =∆ICD (g.c.g) => IM = IC Trang 11 C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Bài 4: Cho ∆ABC , M trung điểm BC , tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA CMR: a, AC = EB AC / / BE b, Gọi I điểm AC , K điểm EB cho AI = EK , CMR: I , M , K thẳng hàng = 500 , MEB = 250 Tính HEM , BME c, Từ E kẻ EH vng góc với BC , biết HBE HD: (đ2) a, ∆AMC = AMC = EMB ∆EMB có AM=EM(gt)=> A BM = MC (gt) nên ∆AMC = ∆EMB ( c.g c ) => AC = EB I = = Vì ∆AMC = ∆EMB = > MAC MEB > AC / / BE b, Xét ∆AMI ∆EMK có ME = MA (gt) =MEK , AI = EK ( gt ) => ∆AMI =∆EMK (c.g.c) MAI B M H C , mà == + IME = => AMI + IME 1800 > EMK 1800 AMI = EMK K Vậy I , M , K thẳng hàng ( E ) =900 , HBE =500 =HBE =900 − HBE =400 c, Trong ∆BHE H = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 => HEM góc ngồi đỉnh M ∆HEM nên BME = HEM + MHE =150 + 900 =1050 BME Bài 5: Cho ∆ABC có trung tuyến AD , đường thẳng qua D song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AD E , AE cắt BD I Gọi K trung điểm đoạn EC a, CMR : ∆ABD = ∆EDB b, IA = IE A c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng HD: a, ∆ABD = ∆EDB (g.c.g) B b, ∆AIB = ∆EID (g.c.g) => AI = EI c, ∆AEC có CI trung tuyến DC = 2 I IC D C K Nên D trọng => AD đường trung tuyến => AD qua E Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Hay A, D, K thẳng hàng Bài 6: Cho ∆ABC cân A , Từ A hạ AH vng góc với BC , Trên tia đối HA lấy điểm M cho HM = HA , Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = BC a, Chứng minh C trọng tâm ∆AMN b, Gọi I trung điểm MN , CMR: A; C ; I thẳng hàng HD: a, HB = HC => = HC 1 BC CN = 2 A CN = > = = > C trọng tâm ∆AMN NH B N C H b, Vì C trọng tâm ∆AMN I => AC đường trung tuyến ứng với MN M => AC qua I hay A; C ; I thẳng hàng Bài 7: Cho ∆ABC ( AB < AC ) Gọi M trung điểm BC , tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ∆DCM a, CMR: ∆ ∆ABM = b, CMR: AC / / BD c, Trên nửa mp bờ AD không chứa B , vẽ tia Ax / / BC tia Ax lấy điểm H cho AH = BC CMR: H ; C ; D thẳng hàng HD: x A ∆DCM (c.g.c) a, ∆ABM = H b, => ∆AMC =∆DMB (c.g.c) =D => AC / / BD => A 1 B M ∆BCA (c.g.c) c, ∆HAC = { AB / / HC = > = > H ; C ; D thẳng hàng AB / / CD D = 600 , vẽ AH ⊥ BC Bài 8: Cho ∆ABC vng A , có B a, Tính số đo HAB Trang 13 C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG b, Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AH , gọi I trung điểm HD , CMR: ∆AHI = ∆ADI c,Tia AI cắt HC K , CMR: ∆AHK = ∆ADK từ => AB / / KD d, Trên tia đối tia AH , lấy điểm E cho HE = AH , CM: H trung điểm BK điểm D; K ; E thẳng hàng HD: = = a, ∆AHB vuông H có B 600 = > BAH 300 A b, ∆AIH = ∆ADI (c.c.c) c, ∆AHD cân A có AI đường trung tuyến AI đường trung trực HD , D I B H C K Mà K ∈ AI => KH =KD => ∆AHK =∆ADK (c.c.c) = AHK = 900 = > KDA { E KD ⊥ AC = > = > KD / / AB AB ⊥ AC d, Vì ∆AHK = A2 = A3 ∆ADK (cmt) => = = mà HAC B > A2 == A3 300 => ∆AKC cân K => KA = KC = A A2 = A3 =300 => ∆ABK => AB = AK có AH đường cao => AH đường trung trực => HB = HK => H trung điểm BK => (hai góc tương ứng) =A ∆AHB = ∆EHK (c.g.c) => E , A so le nên EK / / AB; KD / / AB => D; K ; E thẳng hàng Mà E Bài 9: Cho ∆ABC vuông A , đường phân giác BD , kẻ DE vng góc với BC ( E ∈ BC ) ;(trên tia đối tia AB lấy điểm F cho AF = CE , CM: a, ∆ABD = ∆EBD b, BD đường trung trực AE c, AD < DC d, Ba điểm E ; D; F thẳng hàng BD vng góc với CF ( AD + AF ) > CF F HD: a, ∆ABD = ∆EBD ( cạnh huyền- góc nhọn) A Trang 14 D CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG b, => AB = BE ( hai cạnh tương ứng) B thuộc đường trung trực AE Và DA = DE ( hai cạnh tương ứng) D thuộc đường trung trực AE Vậy BD đường trung trực AE c, ta có: ∆DEC vng E => DC > DE mà DE == DA > DC = DA ∆DEC ( hai cạnh góc vng) d, Ta có : ∆DAF = = + + =D , mà D D ADE = 1800 = >D ADE = 1800 = > FDE 1800 , hay E ; D; F thẳng hàng 2 ∆ABE có AB =EB => AF =EC => BF =BC => ∆BFC cân B => BD đường trung trực => BD ⊥ FC BD tia phân giác FBC => Ta có : AD + AF > DF = > ( AD + AF ) > DF = > ( AD + AF ) > DF + DC > FC , AC lấy điểm N cho Bài 10: Cho ∆ABC có AB < AC , AM tia phân giác BAC AN = AB ∆AMN a, CMR: ∆AMB = b, Qua N kẻ tia Nx song song với AM cắt MC P CM ∆PMN cân c, CM: BN ⊥ NP , Từ so sánh BN BP d, Từ C kẻ đường thẳng d vng góc với AM cắt MN I , giả sử MN ⊥ AC , CMR: A; B; I thẳng hàng HD: x ∆AMN (c.g.c) a, ∆AMB = +N = N 900 = B1 = > = >P P b, MN = MB => N1 = 90 P1 + B1 = A N ∆PMN cân { AM ⊥ BN = > BN ⊥ NP , c, Ta có: AM / / NP Khi ∆BNP vng N => BN < BP 1 B M P C I Bài 11: Cho ∆ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC =5cm a, ∆ABC tam giác sao? ( D ∈ BC ) , Qua A vẽ đường b, Kẻ AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) , gọi AD phân giác BAH thẳng song song với BC , lấy điểm E cho AE = BD ( E C phía AB Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG c, CM : DE = AB d, Chứng minh ∆ADC cân e, Gọi M trung điểm cảu AD , I giao điểm AH DE , Chứng minh điểm C ; I ; M thẳng hàng HD : M b, ∆ABD = ∆DAE (c.g.c) => DE = AB = c, Ta có : B A3 , E A AB = a, ∆ABC có = > BC = 25 =+ AB AC AC = 16 ∆ABC vuông A B I D C H +A =B + mà ADC =B A2 = A3 + A2 =DAC => ∆ADC cân d, ∆ADC có I trực tâm DI ⊥ AC MC vừa trung tuyến vừa đường cao=> MC qua I Hay C ; I ; M ba điểm thẳng hàng Bài 12: Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH , Trên tia đối AH lấy điểm D cho AD = AH , Gọi E trung điểm HC ; F giao điểm DE AC a, CMR: H ; F trung điểm M DC ba điểm thẳng hàng b, CMR: HF = DC c, Gọi P trung điểm AH , CMR: EP vng góc AB d, CMR: BP vng góc DC CP vng góc với DB D HD: a, ∆DHC , DE; CA , hai đường trung tuyến cắt F A nên F trọng tâm, nên H ; F trung điểm M DC thẳng hàng b, Ta có : HF = HM P B H mà ∆DHC vng H có HM đường trung tuyến ứng Trang 16 M F E C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG = MD = MC => HM = với cạnh huyền nên HM DC 2 DC DC = 3 => HF = c, Vì PE đường trung bình ∆AHC = > PE / / AC mà AC ⊥ AB = > PE ⊥ AB > BP ⊥ AE , AE / / DC = > BP ⊥ DC d, Theo câu c=> P trực tâm ∆ABE = Xét ∆DBC có AH BP hai đường cao nên P trực tâm=> CP ⊥ AB Bài 13: Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH , tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = AH , Gọi E trung điểm đoạn thẳng HC , F giao điểm DE AC a, Chứng minh: điểm H ; F trung điểm M đoạn CD ba điểm thẳng hàng b, CM: HF = DC c, Gọi P trung điểm đoạn thẳng AH , CM: EP ⊥ AB d, CM: BP ⊥ DC , CP ⊥ DB HD : a, ∆DHC có DE đường trung tuyến, AC đường trung tuyến Mà DE cắt AC F => F trọng tâm ∆DHC HF qua trung điểm M DC D Hay H ; F trung điểm M CD ba điểm thẳng hàng b, ta có : HF = HM , ∆HDC vng H A có HM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC 2 DC DC HM = = > HF = HM = = 3 P M F B H E c, ∆AHC có P trung điểm AH , E trung điểm HC => PE đường trung bình ∆AHC PE / / AC = > PE ⊥ AB AC ⊥ AB { d, Từ câu c=> P trực tâm ∆ABE => BP ⊥ AE , mà AE / / DC AE đường trung bình ∆HDC = > BP ⊥ DC Từ ∆ DBC có hai đường cao DH BM cắt P => CP ⊥ BD Trang 17 C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Bài 14: Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH , tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = AH , Gọi E trung điểm HC ; F giao điểm DE AC a, CMR: H ; F trung điểm M DC ba điểm thẳng hàng b, CMR: HF = DC c, Gọi P trung điểm AH , CM EP ⊥ AB, B P ⊥ DC D d, Tính CA2 + DE theo DC HD : d, Ta có: CA2 = AH + HC , DE = DH + HE A Cộng theo vế ta được: P M F CA2 + DE = AH + HC + DH + HE = ( AH + HE ) + ( HC + DH 2 2 ) DC DC = AE + DC = + DC = B H C E 2 Bài 15: Cho ∆ABC có góc B góc C hai góc nhọn, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a, CMR: BE = CD b, Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD , CMR: A; M ; N thẳng hàng c, Ax tia nằm tia AB AC , gọi H K hình chiếu B C Ax , CMR: BH + CK ≤ BC d, Xác định vị trí Ax để BH + CK có GTLN HD: D E ∆ADN b, Chứng minh ∆ABM = = = > AM = AN , MAB NAD A M N K + NAD = mà BAN 1800 C B H nên A; M ; N thẳng hàng x c, Gọi I giao BC Ax , ta có : BH ≤ BI , CK ≤ CI = > BH + CK ≤ BI + CI = BC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG d, Theo câu c, BH + CK ≤ BC nên BH + CK lớn BC , hay BH = BI CK = CI => H trùng I K trùng I Hay Ax vng góc với BC = Bài 16: Cho ∆ABC vuông A , AC lấy điểm D cho ABC ABD , cạnh AB lấy điểm E cho ACB = ACE , Gọi F giao điểm BD CE , I giao điểm đường phân giác ∆BFC a, Tính BFC b, CM: ∆BFE = ∆BFI c, Chứng minh ∆IDE tam giác cắt BF d, Gọi Cx tia đối tia CB , M giao điểm FI BC , tia phân giác FCx K , CMR : MK phân giác FMC e, MK cắt CF N , CM : B; I ; N thẳng hàng HD : ( ) +C = = a, B 900 = > B +C = 600 = > BFC 1200 K b, ∆BFC có I tâm đường nội tiếp 600 = = == F >F F 600 ∆BEF = ∆BIF ( g.c.g) A D E c, Từ câu b=> FE = FI F => BF đường trung trực EI N => DE = DI B I 2 M Chứng minh tương tự: = = F F > FD = FI => ED = EI ∆IDE = 600 => FK , CK phân giác góc ngồi ∆MFC Kéo dài MF => F Hay MK phân giác góc M Trang 19 x C CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG d, ∆FBM có MK CF đường phân giác góc ngồi cắt N nên BN phân giác góc FBM nên B; I ; N thẳng hàng Và BI tia phân giác FBM Bài 17: Cho ∆ABC có cạnh a, điểm M ; N ; P thuộc cạnh AB; AC ; BC cho AN = BM = CP a, ∆MNP tam giác gì? Hãy chứng minh b, CMR ∆ABC ∆MNP có trọng tâm c, Lấy điểm E Q cho AB AC đường trung trực NE PQ , Gọi D giao điểm EA CQ CMR: điểm B; G; D thẳng hàng d, Tính độ dài BD theo a HD : A D E 60 a, Ta có: AB = BC = CA BM = CP = AN M trừ theo vế ta được: Q N = > AB − BM =− BC CP = CA − AN = > AM = NC = BP G Khi ba tam giác ∆AMN = ∆BPM = ∆CNP Đôi ( c.g.c) = > MN = PN = MP ( hai cạnh tương ứng) => ∆MNP tam giác 60 B P b, Gọi G trọng tâm ∆ABC Khi G giao đường phân giác, trung trực, trung tuyến ∆ABC = > GA == GB GC Khi ∆GMA = ∆GPB ( c.g.c) => GM = GP = GP = GN => G trọng tâm ∆MNP Chứng minh tương tự ta có: GM = = ∆AMN => MAE c, ∆AME = MAN 600 = > A3 = 600 =600 => ∆ACD => D nằm đường trung trực AC Tương tự C ∆ABC có BG đường trung trực AC nên A ; B; C thẳng hàng HẾT Trang 20 C ... gian: a) Ta thấy: 1 075 0 < 10850= (4. 27) 50= (22.33 )50= 2100.3150 (1) 73 75 > 72 75= (8.9 )75 = (23.32 )75 = 2225.3150 (2) Từ (1) (2) ⇒ 1 075 0 < 2100.3150 < 2225.3150 < 73 75 1 075 0 < 73 75 b) Ta thấy 90... = 3 .7 7.11 11.15 83. 87 87. 91 Lời giải 5 5 K= + + + + + 3 .7 7.11 11.15 83. 87 87. 91 5 4 4 = K + + + + + 3 .7 7.11 11.15 83. 87 87. 91 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039. 373 .2038... sau: 20 17 1 1 1 1 a, D = − + − + − + + − 7? ?? 7? ?? 7? ?? 7? ?? Lời giải 1 1 a, Ta có: D =1 − + − + + 2016 − 20 17 7 7 1 1 1 D = − + − + + 20 17 − 2018 7 7 7 1 −1
Ngày đăng: 16/01/2023, 16:48
Xem thêm:
