Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI LỚP 10 (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: THU GỌN CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp giải Biến đối biểu thức dạng A2 = A , sau dựa vào dấu A để mở giá trị tuyệt đối có A, A ≥ = A= A −A, A < • • = A2B A = B A B với A, B ≥ • A2B = A B = −A B với A < 0, B ≥ • A A B với B > (khử thức mẫu) = B B M • A± B • • • A = B A B M ( A B A−B ) với A, B ≥ 0, A ≠ B (trục thức) với B ≠ AB = A B với B ≠ = A± 3B = A2 AB + B với A ≠ ±B A±B Bài tập Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) − − b) 23 + − c) 4−2 − d) 11 + − + e) P = 45 − − f) A = − + g) A= ( −2 − 12 + 27 ) Lời giải: a) − − = − 2.2 + − = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 52 − 2.2 + 22 − = ( −2 ) − Website: tailieumontoan.com −2− = =5 − − = −2 b) 23 + − = + 2.4 + 16 − = 72 + 2.4 + 42 − = = +4 − = +4− =4 c) − − = 32 − + − = − ( d) 11 + − + = ( +4 ) − −1 ) − =3 − − = (2 + ) − + = + − + 2 + 2.3 + − + = = + − + = 2 −1 e) P= 45 − − 5= 9.5 − − + 5= − ( ) 2− = − 2− = +2− = 2+2 f) A = 9−4 + = 2− + +2 = g) A= ( −2 = − 2.2 + + ( +2 ) ( ) +2 −2 )( = 2− ) + +2 −2+ +2 = ) − 12 + 27= ( − 4.3 + 9.3= ( ) − + 3= Chú ý: Để tính tốn biểu thức chứa cắn thức, ta cần biến đổi đưa đẳng thức (A + B ) ( A − B ) , sau phá dấu giá trị tuyệt đối tiếp tục tính tốn Bài 2: Rút gọn biểu thức: a) 3(x + y )2 với x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y x − y2 b) 5a − 4a + 4a với a > 2a − ( ) c) a a b với a, b > + ab + b b a d) 4y − 8xy + 4yx y với y > 0, x ≠ 81 − 2x + x Lời giải: 3(x + y )2 6 a) = x= +y (x = + y ) 2 (x − y )(x + y ) (x − y )(x + y ) x −y x −y b) = ( ) 2 2 3a − 4= a + 4a a 5= − 2a a − 2a 2a − 2a − 2a − ( ) a 5.(1 = − 2a ) 2a 2a − Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com c) a a b a a2 b a a a + ab + = + ab + = + ab + = ab + b b a b b b b b a d) y 4y − 8xy + 4yx = 81 − 2x + x = y 4y(1 − 2x + x ) = 92 (1 − x ) y − x y2 1−x 2 y y = 9 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A = b) B = c) C = d) D = e) E = (x y +y x )( x − y xy x3 − − x + x +1 ) với x, y > với x ≥ 0, x ≠ x + 2x − + x − 2x − với x ≥ x x −y y x − y x − 3x + x x +3 với x , y ≥ 0, x ≠ y với x ≥ Lời giải: a) A= (x y +y x )( xy x − y )= ( x3 − x − 13 b) B = = = x + x +1 x + x +1 x 2y + y 2x )( x − y xy )( ( )= xy ( x + y )( x − y xy ) x −1 x + x +1 = x + x +1 )= x −y x −1 c) C = x + 2x − + x − 2x − = x + 2 x − + x − 2 x − = x − + 2 x − + + x − − 2 x − + = = x −2 + + x x −y y d) D = e) E = x − y ( x −2 + ) + ( x −2 − x −2 − )( ( ) x − y x + xy + y x − y3 = = =+ x xy + y x − y x − y x − 3x + x − 3x + = = x x +3 x x + 33 ( x − 3x + == x + x + x −3 x +3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 )( ) x + x −3 ) Website: tailieumontoan.com DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải Sử dụng đẳng thức sau: ( • x − y= • x ± xy + y= • x x ± 1= )( x − y ( x + y x ± y x ± 1= ( ) ) )( x ±1 x x +1 ) A, A≥0 A= A = −A, A < • Bài tập x − + Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = − : x + 2 x + a) Tìm điều kiện b) Rút gọn A Hướng dẫn x − ≠ a) Điều kiện: x ≥0 x ≠ ⇔ x ≥0 : + −1 = + −1 b) A = : 2 x + 2 x + x x + + 2 x x − + x − = ( 2+ x −2 x −2 )( x +2 x − x +2 = x −2 Vậy A = x −2 ) : ) )( ( ( ( x − 2)( x + 2) x = −1 x +2 ) x + 2= −1 x x −2 x −2 Hướng dẫn Bài 2: Cho B = x x −1 + x +1 + x −1 1−x a) Tìm điều kiện b) Rút gọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 −1 Website: tailieumontoan.com x −1 ≠ x ≠ a) Điều kiện: 1 − x ≠ ⇔ x ≥0 x ≥ b) x B= x −1 x = + ( ) x +1 + x −1 = 1−x x x −1 x +1 + x −1−x −1 ( x −1 )( x +1 x −2 = x −1 x +1 ( Vậy B = x +1 ( x +1 + ( x −1 x −1 )( x +1 ) x + x + x −1−x −1 = ) ( x −1 x −1 = x −1 x +1 ) ( )( ) + )( )( x +1 ) ) x +1 x +2 x − x + − x x + x − Bài 3: Rút gọn biểu thức C = 2 − : Hướng dẫn x ≥ x ≥ ⇔ x ≠1 1 − x ≠ Điều kiện: x +2 x 2−2 x −2 = C = − 2 − : x x x x 1− x − + − + = −2 x 1− x : x − 1) (= ( x − 1)( x + 1) x +2− x −2 x 1− x : ( : ( x +2−x + x = x −1 x +1 )( ) x +2 x −1 )( x x −1 ( − x + 2 x +1 x ) ) = x −1 x Vậy C = x với x ≥ 0, x ≠ x x x x +1 − − x + x − x x + x − x − x − x + 1 + : Bài 4: Rút gọn biểu thức D = với ≤ x ≠ Hướng dẫn x x x x +1 1 + : − − D= x + 1 x − x x + x − x − 1 x − x + Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x x +1+ x : = − x −1 x +1 x x +1 − x +1 ( ) ( x +1+ x x = − : x +1 x −1 x +1 x −1 ) ) ( x +1 ) ( x +1 ) x +1+ x x +1−2 x : − x +1 x +1 x −1 )( ( ( x −1 x +1+ x : x +1 x +1 ( )( = x +1+ x x −1 Vậy D = ( ) ( ( − = x +1 x +2 x −1 )( ( x +1 x − x +1 ) x − x +1 x −1 x +1+ x x −1 : − x +1 x +1 x +1+ x x +1 − x +1 x −1 ) − )( ( ) x3 + − x − x +1 ) − x +1 x +1 ) ) x +1+ x − ( x +1 x −1 x − 1) )( = x +1+ x −x +1 = x −1 x +2 x −1 với x ≥ 0, x ≠ x − Bài 5: Rút gọn biểu thức E = x −2 x −4 : 1 − với x ≥ 0, x ≠ x − x − x + 1 Hướng dẫn x x −4 : 1 − E = − = x −2 x − x −2 x + ) ( x + 1)( x ( x +1 −5 x + x −2 : ) x +1 ( x − 2) ( x + 1)( x − 2) x −2 x + x −5 x + x +1 = x −2 x +1 x −2 ( )( ) x −4 x +4 x +1 = x −2 x +1 x −2 )( ( ) x −2 x +1 = x +1 x −2 Bài 6: = Rút gọn A x − xy + y x x +y y + x + xy + y x x −y y với x > y > Hướng dẫn A= x − xy + y x x +y y + x + xy + y x x −y y = x − xy + y x + y3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 + x + xy + y x − y3 x +1 x −2 Website: tailieumontoan.com x − xy + y = + x + y x − xy + y ) ( )( ( x + xy + y )( x − y 1 = + x + y x − y x + xy + y ) x − y + x + y x = x −y x + y x − y )( ( Vậy A = ) x với x , y > x −y x P = Bài 7: Cho biểu thức x x + x −x −1 x : 1 + Rút gọn P x + x + 1 − Hướng dẫn x x : = = P − 1+ x x + x −x −1 + x + x x x +1+ x − : x x +1 − x +1 x +1 x + 1 ( ) ( ) x x +1+ x x − (x + 1) x + + x = − = : : x +1 x +1 x + 1 x −1 x +1 x −1 x +1 )( ( = ( −x + x − − x +1 = x −1 x +1 x + x +1 )( ) 1− x Vậy P = )( ( ) x + x +1 ( x −1 x −1 ) − ( x − 1) ) = = x + x +1 x + x +1 3x + 9x − x + x −2 x +1 − x +2 + x −2 − 1 x − 1 − x a) Tìm điều kiện b) Rút gọn A Hướng dẫn 3x + 9x − = x + x −2 ( x + x −1 ( x −1 )( ) x +2 ) − x +1 x +2 x +1 − x +2 x −2 − 1 x − 1 − x + + x −2 x x −1 1− x x ≥ x ≥ ⇔ x ≠1 x − ≠ Điều kiện: b) A = ( x + x −1 ( x −1 )( x + x +1 với x ≥ 0, x ≠ Bài 8: Cho biểu thức = A a) = A 1− x ) x +2 ) − x +1 x +2 + x −2 x x −1 1− x Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ( x − )( ( x − )( x + 2) 3x + x − − ( ) x +1 )+( x −2 x ( 3x + x − − x − x −x + = x −1 x +2 x −1 )( ( ) ) ( ( ) Website: tailieumontoan.com x −1 ) 2x + x − x −1 )( x +2 + ) ( ) ( x −x x −1 ) 1 2 x − x + 2 x −1 2 x −x x −1 x −1 = + = + = 2 x −1 x −1 x +2 x −1 x −1 )( ( ) ( 2x − x + + x − = x −1 ) ( ) ( x −1 ) ( 2x − x ) Vậy A = ( 2x − x ( x −1 ) )( x − 1) + ( x − 1) x −1 với x ≥ 0, x ≠ DẠNG 3: CHO GIÁ TRỊ CỦA x , TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp giải • Bước 1: Đặt điều kiện giá rị cho x thỏa mãn điều kiện • Bước 2: Tìm giá trị x (nếu chưa biết) biến đổi đưa giá trị x dạng thu gọn thay vào biểu thức rút gọn • Bước 3: Tính kết quả, trục thức mẫu kết luận Bài tập Bài 1: Tính giá trị biểu thức A = a) x = 36 x −1 x −2 khi: c) x = b) x= − 2+ d) x = 2− Lời giải: x ≥ x ≥ ⇔ x ≠ x − ≠ a) Điều kiện Vì x = 36 thỏa mãn điều kiện nên thay x = 36 vào A ta được: A = 36 − − = = 36 − − b) Vì x= − thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: = A −2 −1 = 6−2 −2 ( ( ) − 1) −1 −1 = −2 −1 −1 = −1 −2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 −1−1 = −1−2 −2 −3 e) x = +2 − −2 Website: tailieumontoan.com − )( + ) (= 1− 5−9 c) Ta có x = ( 2− ) ) ( = =− =3 −1 2+ 2+ 2− Vì= x ( = A −1 ( ( ) ( )( ) thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: ) − 2) −2 −1 = −1 −1 = −1 −2 −2 −2 = −3 ( + 3) )( = −6 − 1 ⇒ = x 2− 4−2 d) Ta có = x = = −2 −1 = −3 + 3 − = −6 −1 Vì x thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: = A e) Ta có x = +2 − −1 −1 2= −1 −2 −2 = ( −1−2 = −1− −3 = −4 ) ( + 2) = ( − 2)( + 2) −2 −4 Vì x = 16 thỏa mãn điều kiện nên thay vào A ta được: A = −9 9− = 13 −13 −8−4 −8 = 16 3−4 16 − − = = 16 − − 2 DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải • Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức xác định • Bước 2: Quy đồng mẫu • Bước 3: Bỏ mẫu, tìm x, đối chiếu với điều kiện kết luận Bài tập 2.1 Đưa phương trình tích Bài 1: Cho biểu thức A = x x +2 với x ≥ , −2 x + 10 x x +2 : B = + với x ≥ 0, x ≠ 25 x − 25 x +5 x + a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn B c) Tìm x để A = B Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 19 Website:tailieumontoan.com Từ tìm : Amin = 33 ⇔ x = 1, y = 4 b) i) Ta có : A, B > ⇒ B = Vậy Bmax = Dấu xảy khi= x 1,= y 33 ii) Xét biểu thức x y 15 y 25 x y = + +2= + + ≥ C y x y 16 x 16 x Do C > nên C ≤ Vậy Cmax = 9B 25 Dấu xảy khi= x 1,= y 25 Tương tự 9A, ta có a) Amin = x ≥ Từ tìm y 17 ⇔ x = 6, y = b) i) Bmax = 10A a) Ta có : ⇔ x = 6, y = 17 ii) Cmax = ⇔ x = 6, y = 16 a3 ab b = a − ≥a− 2 2 a +b a +b Tương tự : Do ≤ A 33 b3 c ≥b− ; 2 b +c c3 a ≥c− 2 c +a a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ = 2 2 2 2 a +b b +c c +a Đẳng thức xảy a= b= c= b) Gợi ý biến đổi : a ab ab = a − ≥a− 2 1+ b 1+ b Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức : Từ ta VT ≥ a + b + c − a + b + c) ( Do ab + bc + ca ≤ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 b c ; 1+ c + a2 ab + bc + ca ≥ 2 = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Đẳng thức xảy a= b= c= c) Chú ý Tương tự a2 a = − ≥ 1− 2 a +1 a +1 b c ≥ 1− ; ≥ 1− c +1 b +1 Do chứng minh VT ≥ − a+b+c = 2 Đẵng thức xảy a= b= c= ( a + 1) b ≥ a + − ( a + 1) b a +1 d) Chú ý biến đổi = a + − 2 b +1 b +1 Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức Từ ta được: VT ≥ + b +1 c +1 ; 2 c +1 a +1 a + b + c ab + bc + ca − 2 a + b + c) ( Do ab + bc + ca ≤ = a + b + c ⇒ VT ≥ đẳng thức xảy a= b= c= e) Chú ý a b 1 = − ≥ − b a b + ab b a + b Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức a b c Ta VT ≥ + + − a − b − b c ; c + bc a + ca c 1 + ≥ − a , từ a a 4a 1 1 3a 3a − ≥ − − = − ≥ (2 − a) − = − a a a 4a 4 4 4 15 3 Suy VT ≥ − (a + b + c) = 4 Đẳng thức xảy a= b= c= a3 ab b 10B a) Chú ý = a − ≥a− 2 a +b a +b 2 a 9ab 3ab ab + bc + ca ≤ b) Chú ý =a− ≥a− 2 + 9b + 9b Sử dụng BĐT Cơ-si ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ≤ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com 9a 3a c) Chú ý = 1− ≥ 1− 9a + 9a + 2 a +1 9(a + 1)b 3(a + 1)b ab + bc + ca ≤ d) Chú ý a a = + − ≥ + − 9b + 9b + a + (a + 1)b = 11A Gợi ý: Biến đổi a + − b +1 b +1 (a + 1)b (b + 1)c (c + 1)a + + ≥ Đưa tóab chứng minh b +1 c +1 a +1 Sử dụng BĐT Cô-si cho ba số hạng VT, ý abc = Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a= b= c= a + a + (a + 2)b 11B Gợi ý: Biến đổi a + − = + b+2 2(b + 2) Đưa toán chứng minh BĐT: a + b + c (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a + + + ≥ 2(b + 2) 2(c + 2) 2(a + 2) Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ý abc = 1, ta có (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a a + b + c ≥ 3; + + ≥ (b + 2) (c + 2) (a + 2) Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a= b= c= 12 Đáp số: Pmin = ⇔ x = 13 a) Đặt = t x + y2 ⇒ t ≥ , ta có A = t + t xy ⇒ A = ⇔ t = ⇔ x = y b) Đặt t = x + xy + y ⇒ t ≥ , ta có B = t + − t xy ⇒ Bmin = ⇔ t = ⇔ x = y c) Đặt t = t (x + y) ⇒ t ≥ , ta có C = + − t xy ⇔t= 4⇔x= y ( x + y + 1) d) Đặt t = ⇒ t ≥ , ta có D = t + t xy + x + y ⇒ Cmin = ⇒ D = 10 ⇔ t = ⇔ x = y = 14 a) Chú ý= x+y ⋅ (x + y) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ≤ x+y+2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com b) Chú ý = x + 2y + 3z c) Chú ý xy= ⋅ (x + 2y + 3z) x + y +1 x ⋅ y ⋅1 ≤ 3 d) Chú ý= x(y + z) e) Chú ý= 3x + 5y ⋅ 2x ⋅ (y + z) 3 ≤ ≤ x + 2y + 3z + 2x + y + z + 33 ⋅ ⋅ (3x + 5y) 3x + 5y + 16 ≤ 12 15 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có ≥ x + x y ≥4 ⇒ ≥ y y x y ⇒ t ≥ Ta có: x 17 a) A = t + ⇒ A = ⇔ t = ⇔ x = 1, y = t 4 ⇒ Bmax = ⇔ x = 1, y = b) i) B = A 17 1 ⇔ x = 1, y = ii) = 2t + + ⇒ C max = C t 45 x 16 Đặt = t ≥ , ta có M = t + ⇒ M = ⇔ t = ⇔ x = 2y t y Đặt t = x2 x 17 Chú ý = 1− ≥ 1− x +1 x +1 18 Biến đổi được: 2a + bc = a(a + b + c) + bc = 2a + b + c 2b + ca ; 2c + ab (a + b)(a + c) ≤ Biến đổi tương tự với biểu thức Từ suy Q ≤ 2(a + b + c) = Dấu xảy a= b= c= , từ Q max = (a + b) − a − b (a + b) − 19 Ta có ab = = 2 a+b−2 Từ biến đổi M = Sử dụng BĐT: (a + b) ≤ 2(a + b ) ⇒ a + b ≤ 2 nên M ≤ − Vậy M max = 20 Ta có: − Dấu xảy x= y= = a − 2017 2018 ⋅ (a − 2017) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 2018 ≤ a +1 2018 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com 2020 ⋅ (b − 2018) b+2 2020 2020 1 1 Do P ≤ + ⇒ Pmax = + 2018 2020 2018 2020 = b 4038 Dấu xảy ra= a 4035, = b − 2018 ≤ BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1 1A VP= (3x − 1)(x + 2) ⇒ ĐK: x ≥ 3 Ta có VT= 1 x + x − − x − = 3 2 1 x − 3 1 PT ⇔ x − = (3x − 1)(x + 2) Tìm S = 3 3 1B Tương tự 1A ĐK x ≥ − PT tương đương 1 1 x − + x + = (2x + 1)(x + 1) ⇔ x + = (2x + 1)(x + 1) 2 2 ⇔ (2x + 1)x = Tìm S= − ; 2A a) ĐK: − ≤ x ≤ PT ⇔ ( 3x + − 4) + (1 − − x ) + 3x − 14x − = ⇔ (x − 5) + + (3x + 1) = − x +1 3x + + + + (3x + 1) > Với − ≤ x ≤ − x +1 3x + + Vậy S = {5} b) PT ⇔ 5x + + 5x + + 9 = x + + 5x + + 4 3 5 ⇔ 5x + + = x + với x ≥ có 2 2 ± 13 ; Trường hợp 5x + = x + tìm x = Trường hợp 5x + = −(x + 4) (vô nghiệm) c) x + 2x − − + x − 2x − + = 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 Website:tailieumontoan.com Nhân hai vế với đưa - Với 2x − ≥ Tìm x = 2x − + + 2x − + > nên có - Với ≤ 2x − < định Vậy ≤ x ≤ 2x − + + 2x − − = 2x − − = với x ≥ 2x − + − 2x − =4 với x thuộc tập xác 2B a) ĐK: x ≥ PT ⇔ x − − + x − 3= x3 − − (x − 3)(x + 3x + 9) x+3 = ⇔ (x − 3) + 2 3 x3 − + (x − 1) + x − + x+3 x+3 = nên x − = ⇔ x = Vậy S = {3} 4; b) PT ⇔ (x − 1) + 16 − x − = Sử dụng BĐT a + b ≤ a + b nên (x − 1) + 16 − x − ≤ x − + − x − =4 − x − Từ ≤ − x − ⇔ x − = ⇔ x = 3A Từ phương trình ta thấy x > Chia vế cho x ta 1 +1 + x + = 3 Đặt: t =+ x ,t≥2 x x x t≤3 ⇔= 3(3 − t) ⇔ t PT trở thành: t −= t − 9t + 14 = x2 + ⇒x+ = ⇔ x = Vậy S = {1} x 3B PT ⇔ − x =1 − 2x − 2x − x ⇒ − x = + 4x + 4x (1 − x ) − 4x − 4x − x + 8x − x ⇔ x(1 − − x + 8x − x ) = x=0 ⇔ 2 (*) 1 − − x + 8x − x = t − x ĐK: t ≥ Ta có x = − t Đặt = PT trở thành: − 4t + 8t(1 − t ) = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 25 Website:tailieumontoan.com 1+ ⇔ 8t − 4t − =0 ⇔ (2t + 1)(4t − 2t − 1) =0 ⇔ t = 5− 5− Thử lại loại nghiệm x = 8 − S 0; − Vậy= Tìm x = ± 4x + 5x + = a ÑK : a,b > 4A Đặt b x − x + = PT trở thành: a − b = a − b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = a=b 4x + 5x + 1= 4x − 4x + ⇔ ⇔ 4x + 5x + + x − x + = a + b = x= ⇔ 4x + 5x + = − x − x + (*) 1 Ta có (*) vơ nghiệm Vậy S = 3 4B ĐK: x ≥ Bình phương vế ta có: (x + 2x)(2x − 1) = x + ⇔ (x + 2x)(2x − 1) = (x + 2x) − (2x − 1) 1− b a = x + 2x = a 2 Đặt: Khi đó: ab = a − b ⇔ 1+ − = 2x b b a = 1+ 1+ b ⇔ x += 2x (2x − 1) 2 ⇔ 2x + 2(1 − 5)x + ( + 1)= 0; ∆′ < (vô nghiệm) Do a, b ≥ nên = a Vậy S∈ ∅ 5A a) PT ⇔ x + 2x= 2x − + 2x − Đặt = t 2x − , ta x + 2x =t + 2t ⇔ (x − t)(x + xt + t ) + 2(x − t) =0 ⇔ (x − t)(x + xt + t + 2) =0 t 3t Vì x + xt + t + = x + + + > nên x = t 2 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Website:tailieumontoan.com ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = −1 ± Tìm S = 1; 5B Đặt: 3 3t + Lại có: t= 3x + 3x + = t PT trở thành x= x = x3 = 3t + 3t + Ta có hệ: ⇔ 3 t = 3x + x − t = 3(t − x) x= 3t + Vì x + tx + x + > 0, ∀x, t ⇔ 2 (*) (x − t)(x + tx + t + 3) = ⇒ x − t =0 ⇔ x =t ⇒ x − 3x − =0 ⇔ (x + 1) (x − 2) =0 {−1; 2} Tìm S = 6A PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + =0 Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT trở thành: t − (x + 5)t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t = x + t = tìm x = ±2 { } t = x + tìm x= ± Vậy S =±2; ± 6B a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) =0 ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng nghiệm PT nên ta nhân hai vế phương trình với + x − ≠ ta được: x( + x + 2x − 5) = x( + x − 1) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 7A PT ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + =5 − (x + 1) Ta có: VT ≥ 5, VP ≤ Vì VT = VP = 21 + 41 '' x + =0 ⇔ x =−1 Vậy S = Dấu '' =⇔ 7B a) ĐK: x ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 2 + x ≤ 2 x +1 Dấu '' ='' ⇔ ( ) 2 x + x + 1 + = x+9 x + x + 2 1 = ⇔x= x +1 x +1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 Website:tailieumontoan.com b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 4(1 − x ) + x − 3x = 4(1 − x )x ≤ 2 52 − 39x (1) ⇒ 13 x − x ≤ 13x + 39x + 12 9x 4(1 + x ) ≤ (2) ⇒ x2 + x4 ≤ Cộng vế (1) (2) ta có: 13 x − x + x + x ≤ 16 4(1 − x ) = x2 Dấu '' = '' ⇔ Tìm S= ± 9x 4(1 x ) = + ĐK: x ≥ PT ⇔ 4x − 6x += ( 2x + 3) − 2x + + 4 2 3 1 ⇔ 2x − = 2x + − 2 2 − 21 + 17 ; Tìm S = PT ⇔ 2x + 3 x − 1( x + + x − 1) = 5x Do phép thay x + + x − =3 5x không tương đương nên cần thử lại giá trị x vừa tìm S 0; ± Vậy = ⇒ x − 5x = x ⇒ 4x − 5x = 0⇒ x = 0; x = ± 10 PT ⇔ ( x + − 2x)( x + − 1) = Tìm được: x = 0; x = Vậy S = {0;1} 11 Tương tự 2B + PT ⇔ (x − 2) = 2 2 x − + x − 3x + 3x − 5x − + 3x − 7x + 3 Do + >0 2 3x − 5x − + 3x − 7x + x − + x − 3x + Nên x − = ⇔ x = (TMĐK tồn thức) Vậy S = {2} 12 Tương tự 3A Ta có x = khơng phải nghiệm, chia hai vế cho x ta được: 1 Đặt= t x − + x − = x x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 x− x TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website:tailieumontoan.com 1 ± Ta có t + t − = ⇔ t = Tìm S = PT trở thành: 4t =− t + 7t − ⇔ t − 6t + − (t − 4t + 4) =0 13 Đặt = t x + x + 1, t ≥ ⇔ (t − 3) − (t − 2) =0 ⇔ (t − t − 1)(t + t − 5) =0 (*) t − t − =0 1+ −1 + 21 (*) ⇔ Tìm được: t = t = 2 t + t − =0 −1 ± + −1 ± 19 − 21 ; Tìm S = 2 14 ĐK: x ≥ − Đặt= t x + + (t > 2), t 2(x + 1)t x + + = Ta có hệ 2 t − x + = ⇒ x + + t= (t − x + 1)(x + 1)t ⇔ (t x + + 1)(t + x + − t x + 1) =0 ⇔ (t x + + 1)(t − x + 1) = ⇔ t = x + x +1 + = 2 x +1 ⇔ = x −15 + 33 32 −15 + 33 Tìm S = 32 15 a) Đk: − 10 ≤ x ≤ 10 x + = a (*) Điều kiện a ≥ 3; ≤ b ≤ 10 Đặt b 10 − x = a+b= Khi ta có hệ: 2 13 a + b = a= a= +b +b = a = a ⇔ ⇔ ⇔ 2ab 13 ab = b = b (a + b) − = = { } Tìm S =± 6; ± 2x + x + + = a , a;b ≥ Ta có hệ: b) Đặt: 2x − x + + = b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 29 Website:tailieumontoan.com a + b= x + + a= x + + ⇔ − = + + = + a b x 1 b x Tìm x = 16 a) Tương tự 2A Cách ĐK: x > Nhân hai vế phương trình với: 2x + 3x + − 2x − 3x + ≠ Ta được: = 6x 3x( 2x + 3x + − 2x − 3x + 5) ⇔ 2x + 3x + − 2x − 3x + = (*) Cộng hai vế phương trình cho với (*) ta được: 2x + 3x + = + 3x ⇔ x = Vậy S = {4} Cách Đặt 2x + 3x = + a, 2x − 3x = +5 b a − b2 b) ĐK: x + x − ≥ ⇒ x + x + > Ta có: 3x = a = x + x − Đặt Với b > a ≥ b = x + x + Ta có hệ phương trình a= a= +b +b +b = a= a ⇔ ⇔ ⇔ 2 −a − a) −a = b (b + a)(b= b= b = x + x − = x3 + x −1 = ⇔ ⇔ 3 x + x + = x + x + = Tìm S = {1} 17 a) ĐK: 5x − ≥ 5x − 2 6t + (t ≥ 0) Ta có 5x= Cách Đặt t = PT trở thành x + 6t + − =⇔ t x + 6t + = (t + 1)3 ⇔ x = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x + { } ⇔ x =−6 + 28 Vậy S = −6 + 28 Cách Đặt 5x − x3 = + 5x − a, = b a − 6b =x + Giải hệ a−b = b) Tương tự 4A Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 Website:tailieumontoan.com x2 + x + a= Đặt ĐK: a ≥ ; b ≥ = + b x Ta có: 2x − x − 5= 2a − 3b ; 2x + x + 1= 2a − b Thay vào PT ta được: b b b (2a − 3b )a + (2a − b )b = ⇔ + − − = a a a 2 2 b b 4b ⇔ = + +2= a a a b b b : PT vô nghiệm ≥ - Với: + + = a a a x =1 b - Với: =1 ⇔ b =a ⇔ = − x a Vậy S = {−1;1} 18 Tương tự 4A x + 2x + 2x + = (x + 1)(x + x + 1) nên ĐK: x ≥ −1 Ta có x + 2x + = (x + 1) + (x + x + 1) Đặt a = x + 1, b = x + x + PT trở thành: 3(a + b ) = 10ab ⇔ 3a − 10ab + 3b = a = 3b ⇔ (a − 3b)(3a − b) =0 ⇔ a = b a = 3b ⇔ x + = x + x + ⇔ 9x + 8x + = (vô nghiệm) b a = ⇔ x + = x + x + ⇔ x − 8x − = ⇔ x = ± = Vậy S {4 ± 6} 19 a) Điều kiện: x ≥ Đặt u = 10 + x , u ≥ 10 x= 10 + u Ta có: u= 10 + x ⇒ x − u − ( x − u ) = ⇔ ( x − u )( x + u + 1) = x=u ⇔ Ta có (*) vơ nghiệm u + x + = (*) x ≥ 10 21 + 41 ⇔x= x = u ⇔ x = x − 10 ⇔ 2 x − 21x + 100 = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 31 Website:tailieumontoan.com 21 + 41 Vậy S = b) Tương tự 5B x + = a Đặt: ĐK: a ≥ 7; b ≥ x = b a−b = Ta có hệ sau: Tìm a − b = a = b =1 a = x + = ⇔ ⇒ ⇔x= Vậy S = {1} b = x = t + 3t =x + 20 a) Đặt x + 3x − = t Ta có hệ t x + 3x =+ Trừ vế PT ta (t − x)(t + x + 4) = Với t =x ⇔ x =−1 ± Với t =− x − ⇔ x =0, x =−4 30 xa(x + a) = 35 − x =a → x + a =35 Ta có 3 + = x a 35 (2) 2 (2) ⇔ (x + a)(x − xa + a ) = 35 b) Đặt ⇔ (x + a)[(x + a) − 3xa] = 35 ⇔ (x + a)3 = 125 x = x = +a = x Ta có ; ⇔ = a x.a = a 3= Tìm x ∈ {2;3} 21 a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) =0 ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Ta có: 2x= [ (1 + x) − 1]= 2( + x − 1)( + x + 1) + x − =0 (*) ⇔ 2( + x + 1) (**) − x += (*) ⇔ x = (**) ⇔ − x = + x + ⇔ − x = + 4x + + x + 24 24 Tìm x = − Vậy S= − ;0 25 25 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 32 Website:tailieumontoan.com c) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng phải nghiệm phương trình nên ta nhân hai vế phương trình với + x − ≠ ta được: x( + x + 2x − 5) = x( + x − 1) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 22 a) PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + =0 Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT cho trở thành: t − (x + 5) t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t= x + { } Vậy S =±2;2 ± b) PT ⇔ x + − x x + − x + + 4x = ⇔ x + 7( x + − x) − 4( x + − x) = ⇔ ( x + − x)( x + − 4) = Tìm S = {±3} c) Tương tự 6A (1) ⇔ x + 2x + − (2x + 1) x + 2x + + 4x − = ⇔ ( x + 2x + − 2x + 1)( x + 2x + − 2) = + 15 = S ; −1 ± Tìm 23 a) Tương tự 2B Cách PT ⇔ x − 2x − + 3(x + 2) − (x + 2) x − 2x + = ⇔ x − 2x − + (x + 2)(3 − x − 2x + 2) = (x − 1) + − (x − 1) ⇔ (x − 2x − 7) = − + + x 2x Vậy S= {1 ± 2} Cách Đặt x − 2x + = t PT trở thành t = x −1 t − (x + 2)t + 3x − = ⇔ ⇒ x =1 ± 2 t = t x + ≥ PT trở thành: b) Tương tự 6A Đặt = t = x + ⇒ 2t + (1 − 4x)t + 2x − = ⇒ t = 2x − 4 Tìm S = 3 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 33 Website:tailieumontoan.com 24 Ta có: VT 2= ( − x + x − 5) ≤ (1 + 1)(7 − x + x − 5)= Do đó: < VT ≤ Mặt khác: VP =x − 12x + 38 =2 + (x − 6) ≥ '' Dấu '' = ⇔x= Vậy S = {6} 25 Điều kiện: ≤ x ≤ PT ⇔ − x + 3x − = − x +1 Ta có: − x + ≥ ⇔ x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với ĐK tìm S = {1} 26 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (x + x − 1) + x + x = x + x − ≤ 2 2 x − x + ≤ (x − x + 1) + =x − x + 2 ⇒ x2 + x −1 + x − x2 +1 ≤ x +1 Do đó: x − x + ≤ x + ⇔ (x − 1) ≤ ⇔ x = Vậy S = {1} Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... ⇔ ( x − )( x + ) − ( x + ) =0 Theo giải thi? ??t ta có ⇔ x −2 x −2 = x ⇔ 24 = x Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com ( ⇔ x +4 )( x +4= (vơ lí ) ⇔x... 10 = m ⇔ −4 m = 3 ) ( ) m −2 16 16 + ⇔ = ⇔ m −2 = 25 25 225 ( ) 10 m = khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d 3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT(zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com... 4a = 4a= 10a 10 = a = − 3b − 2b = x ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ 2a= +b + 3b 2a= +b = b y=0 6a = y = Vậy nghiệm hệ phương trình (x ; y ) = (1; 0) 2 x + + y − = 10 Bài 2: Giải
Ngày đăng: 16/01/2023, 16:02
Xem thêm:
