Cac chuyen de toan dai so lop 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ LỚP (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Nêu định nghĩa bậc hai số học số không âm + Điều kiện có bậc hai số thực + Nắm vững quan hệ so sánh bậc hai số học  Kĩ + Tìm bậc hai bậc hai số học số + Phân biệt định nghĩa bậc hai bậc hai số học + Biết so sánh bậc hai + Giải phương trình x = a + Giải phương trình x = a Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc hai số học Căn bậc hai Căn bậc hai số a không âm số x cho x = a Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a số âm kí hiệu − a Số có bậc hai số 0, ta viết = Căn bậc hai số học Với số dương a , số Chú ý a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học Với a ≥ , ta có x ≥ a= x ⇔  x = a So sánh hai bậc hai số học Với hai số a b khơng âm, ta có a d) 3x ≤ Hướng dẫn giải a) Ta có x = ⇒ x = Vậy x = b) Ta có x = ⇒ x = ⇒ x = Vậy x = c) Ta có x > ⇒ x > Vậy x > d) Ta có x ≤ ⇒ x ≤ 36 ⇔ x ≤ 12 Vì x số không âm nên ≤ x ≤ 12 Vậy ≤ x ≤ 12 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính giá trị biểu thức: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com a) 0, 01 + 0,81 b) + 16 c) 412 − 402 d) 582 − 422 Câu 2: Tìm bậc hai số sau: b) −1 a) 16  −1  d)     1 c)   2  −3  d) −     c) − x = 0,98 d) − x = 30 c) x − 25 = d) x + 125 = 1 c)   4 Câu 3: Tìm bậc hai số học số sau: b) −10 a) 625 Câu 4: Tìm giá trị x biết: 41 b) x + = 25 a) x = Câu 5: Tìm số x thỏa mãn: a) x − 10 = b) x − = Câu 6: Tìm x , biết: a) x b⇔ a > b Mà 25 < 26 ⇒ 25 < 26 hay < 26 a ⇒ > hay > Vậy > b) Ta có = 49 mà 49 > 43 ⇒ 49 > 43 hay > 43 Vậy > 43 c) Ta có = mà < 11 ⇒ < 11 ⇒ − > − 11 hay −3 > − 11 Vậy −3 > − 11 Bài toán So sánh gián tiếp Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Phương pháp giải Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, so sánh + 26 Hướng dẫn giải Nếu a > b; b > c a > c Ta có < ⇒ < 7< ⇒ + < + ⇒ + < 26 > 25 ⇒ 26 > ⇒ 26 > > + Mà Vậy 26 > + Ví dụ mẫu Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, so sánh + 15 a) + 26 b) 15 − 10 c) − 51 − Hướng dẫn giải a) Ta có < ⇒ < ; 15 < 16 ⇒ 15 < ⇒ + 15 < (1) > ⇒ > 1; 26 > 25 ⇒ 26 > Lại có ⇒ + 26 > (2) Từ (1) (2) ta có Vậy + 26 > > + 15 + 26 > + 15 b) Ta có 15 − < 16 − = − = 3; 10 > ⇒ 10 > ⇒ 10 > > 15 − Vậy 10 > 15 − c) Ta có > ⇒ > ⇒ 1− < ; 51 > 49 ⇒ 51 > ⇒ 51 − > ; ⇒ − < < 51 − Vậy − < 51 − Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Không dùng máy tính, so sánh số sau: a) 10 b) 10 c) − Câu 2: Khơng dùng máy tính, so sánh số thực sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com a) b) − + −3 Câu 3: So sánh số sau: a) 26 − 23 − 11 − 10 b) Câu 4: Không dùng máy tính, so sánh số thực sau: a) 17 + 26 c) 48 13 − 35 b) d) − 58 31 − 19 − 17 e) 13 − 12 12 − 11 80 − 59 + 10 + f) 35 ĐÁP ÁN - BÀI CĂN BẬC HAI Dạng 1: Tìm bậc hai, bậc hai số học số Câu 1: a) 0, 01 + 0,81 = 0,1 + 0,9 =1 b) + = + = 16 4 c) 412 − 402 = ( 41 − 40 )( 41 + 40 ) = 81 = d) 582 − 422 = ( 58 − 42 )( 58 + 42 ) = 16.100 = 1600 = 40 Câu 2: a) −4 c) 1 − 4 b) −1 khơng có bậc hai d) 1 − 2 Câu 3: a) 25 b) −10 khơng có bậc hai số học c)  −3  d) −   khơng có bậc hai số học   Câu 4: a) Ta có x = ⇒ x = ±3 16 41 b) Ta có x + = ⇔ x = ⇔ x = ± 25 25 c) − x = 0, 01 ⇒ x = ±0,1 0,98 ⇔ x = d) Ta có x = −3 , khơng tồn x Câu 5:  x = 10 a) Ta có x − 10 = ⇔ x = 10 ⇔   x = − 10 x = b) Ta có x − = ⇔ x =6 ⇔ x =3 ⇔  = − x  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com x = c) Ta có x − 25 = ⇔ x = 52 ⇔   x = −5 d) Ta có x + 125 = −125 ⇔ x = −25 (vơ lý) Khơng có x thỏa mãn ⇔ 5x2 = Câu 6: x = ( ) ( ) b) 5= 9.5 = 4.10 = 40 = 45 ; 10 Ta có 45 > 40 nên > 10 c) < = nên Câu 2: −1 < a) Ta có 6= + mà = < ⇒ < ⇒ < Vậy b) Xét hiệu − − − > Vậy − > − ) ( ( ) −3 = − 2= +3< Câu 3: a) 26 > 25 , < nên 26 − > 25 − = − = b) 23 − 11 < 25 − 10 = − 10 Câu 4: a) Ta có 9= + Mà 16 < 17; 25 < 26 ⇒ 16 < 17; 25 < 26 ⇒ < 17;5 < 26 ⇒ + < 17 + 26 Vậy < 17 + 26 b) Ta có 48 < 49 ⇒ 48 < 7; 35 < 36 ⇒ 35 < ⇒ 48 + 35 < 13 ⇒ 48 < 13 − 35 c) Ta có 31 < 36 ⇒ 31 < 6; 19 > 17 ⇒ 31 − 19 < − 17 Vậy 31 − 19 < − 17 d) Ta có 81 > 80 ⇒ > 80; 58 < 59 ⇒ − 58 > − 59 ⇒ − 58 > 80 − 59 Vậy − 58 > 80 − 59 1 e) Ta có = 13 − 12 ;= 12 − 11 13 + 12 12 + 11 1 Mà 12 + 11 < 13 + 12 ⇒ < 13 + 12 12 + 11 Vậy 13 − 12 < 12 − 11 f) Ta có Vậy + 10 + > + + = 6; 35 < 36 = ⇒ + 10 + > > 35 + 10 + > 35 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa thức bậc hai + Nắm vững điều kiện xác định biểu thức chứa thức bậc hai + Hiểu đẳng thức A2 = A  Kĩ + Giải phương trình, bất phương trình chứa bậc hai + Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa + Biết cách so sánh bậc hai + Rút gọn biểu thức dạng A2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính diện tích khu vườn hình chữ nhật biết tăng chiều dài m, giảm chiều rộng m diện tích khơng đổi Nếu giảm chiều dài m, tăng chiều rộng m diện tích khơng đổi Câu 2: Để sửa nhà cần số thự làm việc thời gian quy định Nếu giảm người thời gian kéo dài ngày, tăng thêm người thời gian sớm ngày Hỏi theo quy định cần thợ làm ngày? Biết khả lao động công nhân Dạng 9: Giải toán liên quan tới tuổi cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Năm tuổi mẹ Lan tuổi Lan 24 Bước Lập hệ phương trình tuổi Hai năm trước số tuổi mẹ Lan gấp lần - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn tuổi Lan Hỏi năm người số (tuổi mẹ, tuổi hiên nay, năm tuổi? trước ) Hướng dẫn giải - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn Gọi số tuổi mẹ Lan năm x, y đại lượng biết (tuổi) ( x, y ∈ * ; x > y ) Chú ý: Tuổi mẹ a tuổi x năm sau tuổi mẹ a + x, y năm trước tuổi mẹ a − y Tuổi mẹ tuổi b tuổi m năm sau tuổi mẹ tuổi b tuổi Bước Giải hệ phương trình Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận Năm tuổi mẹ Lan tuổi Lan 24 tuổi Suy x − y = (1) Hai năm trước tuổi mẹ Lan x − tuổi Hai năm trước tuổi Lan y − tuổi Vì hai năm trước số tuổi mẹ Lan gấp lần tuổi Lan nên x − 2= ( y − ) ⇔ x −2 = y − ⇔ x − y =−4 (2) 24 x − y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  −4  x − 3y = = = 2 y 28  y 14 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ x − y 24 = =  x 38 Vậy tuổi mẹ Lan 38 tuổi, tuổi Lan 14 tuổi Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng số tuổi hai anh em năm 26 tuổi Khi tổng số tuổi hai anh em gấp lần tuổi anh tuổi anh gấp lần tuổi em Hãy tính tuổi hai anh em Hướng dẫn giải Trang 25 Gọi số tuổi anh em x, y (tuổi) ( x, y ∈ * , x > y ) Tổng số tuổi hai anh em năm 26 tuổi nên x + y = 26 (1) Khi tổng số tuổi hai anh em gấp lần tuổi anh tổng số tuổi hai anh em 5x (tuổi) Khi tuổi anh gấp lần tuổi em nên tuổi anh 3y (tuổi) Tuổi em x − y (tuổi) Do hiệu số tuổi hai anh em không thay đổi nên y − ( x − y ) = x − y ⇔ y − x + y = x − y ⇔ x − y = (2) 26 x + y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  6 x − y = + y 156 = 6 x= 13 y 156 =  y 12 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ − 7y x + y 26 = 6 x= =  x 14 Vậy tuổi anh 14 tuổi, tuổi em 12 tuổi Ví dụ Bảy năm trước tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm Năm tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi Hỏi năm người tuổi? Hướng dẫn giải Gọi số tuổi mẹ x, y (tuổi) ( x, y ∈ * ) Năm tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi nên x = y ⇒ x − y = (1) Tuổi mẹ bảy năm trước x − (tuổi) Tuổi bảy năm trước y − (tuổi) Bảy năm trước tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm Suy x − =5 ( y − ) + ⇒ x − =5 y − 35 + ⇒ x − y =−24 (2)  x − 3y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  −24  x − 5y = 3y 3y =  x −=  x −=  x 36 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ = = 2 y 24  y 12=  y 12 Vậy tuổi mẹ 36 tuổi, tuổi 12 tuổi Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi năm trước tuổi bố gấp 11 tuổi Tính tuổi tuổi bố Câu 2: Năm tuổi bố Lan gấp lần tuổi Lan Lan tính 15 năm tuổi bố Lan gấp lần tuổi Lan Hỏi năm Lan bao nhiều tuổi? Dạng 10: Giải toán liên quan tới kiến thức liên mơn cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Trang 26 Thực theo bước sau Ví dụ: Một vật hợp kim đồng kẽm có Bước Lập hệ phương trình khối lượng 124g tích 15 cm Tính xem - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn có gam đồng, gam số kẽm Biết 89 g đồng tích 10 - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn cm g kẽm tích đại lượng biết Hướng dẫn giải Bước Giải hệ phương trình 89 g đồng tích 10 cm nên cm đồng Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận nặng 8,9 g Gọi thể tích đồng, kẽm có 15 cm hợp kim x, y ( cm ) ( x, y > ) Suy x + y = 15 (1) ( ) Khối lượng x cm đồng 8,9x ( g ) Khối lượng y ( cm ) đồng 7y ( g ) Hợp kim đồng kẽm nặng 124g nên 8,9 x + y = 124 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 15 x + y =  124 8,9 x + y = x + y 105 x + y 105 = = ⇔ ⇔ = x + y 124 = 8,9 1,9 x 19 x + y 15 = = y (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ = =  x 10  x 10 Vậy khối lượng đồng 8,9.10 = 89 ( g ) khối lượng kẽm 7.5 = 35 ( g ) Ví dụ mẫu Ví dụ Biết dung dịch A có nồng độ 20% muối, dung dịch B có nồng độ 10% muối Xác định khối lượng dung dịch A, B để pha 500g dung dịch 14% muối Hướng dẫn giải Khối lượng muối có 500 dung dịch 14% 500.14 = 70 ( g ) 100 Gọi khối lượng dung dịch A, B cần dùng để pha trộn x ( g ) , y ( g )( x, y > ) Khối lượng dung dịch sau pha trộn 500 g nên x + y = 500 (1) Trang 27 Khối lượng muối có x ( g ) dung dịch A nồng độ 20% x.20 = 0,2 x ( g ) 100 Khối lượng muối có y ( g ) dụng dịch B nồng độ 10% y.10 = 0,1y ( g ) 100 Dung dịch sau pha trộn có 70 ( g ) muối Suy 0,2 x + 0,1y = 70 (2) 500 x + y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  70 0,2 x + 0,1y = 0,1y 50 0,1x 20 = 0,1x += =  x 200 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ 0,1y 70 x + y 500 = 0,2 x += =  y 300 Vậy khối lượng dung dịch A dùng để pha trộn 200g khối lượng dung dịch B dùng để pha trộn 300g m ( kg ) dung dịch có nồng độ C% khối lương chất tan m.C% ( kg ) 100 Ví dụ Có hai loại dung dịch chứa thứ axit, loại thứ chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit Muốn có 50 g dung dịch chứa 10% axit cần phải trộn lẫn g dung dịch loại? Hướng dẫn giải Khối lượng axit có có 50 g dung dịch chứa 10% axit 50.10 = 5( g ) 100 Gọi khối lượng dung dịch axit loại một, loại hai cần để pha 50 g dung dịch chứa 10% axit x ( g ) , y ( g )( x, y > ) Khối lượt axit có x ( g ) dung dịch axit loại Khối lượt axit có y ( g ) dung dịch axit loại hai x.30 = 0,3 x ( g ) 100 y.5 = 0,05 y ( g ) 100 Khối lượng dung dịch sau pha dung dịch loại loại hai 50g Suy x + y = 50 (1) Khối lượng axit dung dịch sau pha dung dịch loại loại hai 5g Suy 0,3 x + 0,05 y = (2) 50 x + y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  0,3 x + 0,05 y = y 15 y 10 y 40 0,3 x + 0,3= 0,25= = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ = y  x= + y 50 = 0,3 x + 0,05  x 10 Vậy muốn có 50g dung dịch chứa 10% axit cần phải trộn lẫn 10g dung dịch axit loại 40g dung dịch axit loại hai Trang 28 Ví dụ Một kim loại hợp kim đồng kẽm Hỏi miếng kim loại có 124,5g chứa gam đồng, gam kẽm? Biết khối lượng riêng đồng 8900 ( kg / m ) , kẽm 7100 ( kg / m ) , kim loại 8300 ( kg / m ) 3 Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) ( ) Đổi 8900 kg / m 8,9 = = g / cm ; 7100 kg / m 7,1 g / cm ; ( ) ( ) 8300 kg / m = 8,3 g / cm Thể tích 124,5 g kim loại 124,5 = 15 cm 8,3 ( Gọi thể tích đồng kẽm có 124,5g hợp kim x, y cm ) ( x, y > ) Thể tích 124,5g kim loại 15 cm nên x + y = 15 (1) Khối lượng x ( cm ) kim loại đồng 8,9.x ( g ) Khối lượng y ( cm ) kim loại kẽm 7,1.y ( g ) Khối lượng 15 cm hợp kim 124,5g suy 8,9 x + 7,1y = 124,5 (2) 15 x + y = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  124,5 8,9 x + 7,1y = = y 106,5 = x 18 = 7,1x + 7,1 1,8  x 10 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔ 7,1y 124,5 = x + y 15 = 8,9 x += y Vậy khối lượng đồng kim loại 10.8,9 = 89 ( g ) Khối lượng kẽm kim loại 5.7,1 = 35,5 ( g ) Bài tập tự luyện dạng 10 Câu 1: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn lít dung dịch loại loại để 100 lít dung dịch 50% axit nitơric? Câu 2: Một công ty sử dụng 712 hỗn hợp gồm hai oxit Fe2 O3 Fe3O để luyện sắt thu 504 sắt Tính khối lượng oxit có hỗn hợp ban đầu biết hiệu suất luyện sắt 100% ĐÁP ÁN Dạng Giải toán chuyển động cách lập hệ phương trình Câu Đổi 13 phút 20 giây = (giờ) Gọi quãng đường từ từ Chu Lai đến phố cổ Hội An x (km), điều kiện x > Thời gian dự định từ Chu Lai đến phố cổ Hội An y (giờ), điều kiện y > Nếu với vận tốc 35 (km/h) người đến nơi chậm so với dự định Trang 29 2  Suy 35  y +  = x ⇒ x − 35 y = 10 (1) 7  Nếu với vận tốc 45 (km/h) đến nơi sớm so với dự định 13 phút 20 giây 2  Suy 45  y −  =x ⇒ x − 45 y =−10 ( ) 9  35 y 10 =  x −=  x 80 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ −10  x − 45 y = y = Vậy quãng đường từ Hội An tới Chu Lai 80 km Câu Gọi vận tốc xe xuất phát từ A, B x, y (km/h)(x, y > 0) Hai ô tô ngược chiều gặp điểm cách B 50 km suy vị trí gặp cách điểm A 30 km Thời gian để xe xuất phát từ A tới gặp xe xuất phát từ B 30 (giờ) x Thời gian để xe xuất phát từ B tới gặp xe xuất phát từ A 50 (giờ) y Vì hai xe xuất phát lúc nên 30 50 − =0 ⇒ − =0 (1) x y x y Nếu ô tô xuất phát từ A trước ô tô xuất phát từ B 32 phút = quãng đường suy hai xe gặp 15 40 40 1 − = ⇒ − = (2) x y 15 x y 75 3 1 = x − y =   x = 30   x 30 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ( thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔  y = 50 1 − = 1 =  x y 75  y 50 Vậy vận tốc xe xuất phát từ A 30 (km/h); vận tốc xe xuất phát từ B 50 (km/h) Câu 3: Gọi vận tốc xuôi dịng ngược dịng ca nơ x, y(km/h) (x > y > 0) Thời gian để ca nơ xi dịng 108 km 108 (giờ) x Thời gian để ca nơ ngược dịng 63 km 63 (giờ) y Tổng thời gian ca nô xi dịng 108 km ngược dịng 63km Thời gian để ca nơ xi dịng 81 km 108 63 + = (1) x y 81 (giờ) x Trang 30 Thời gian để ca nô ngược dòng 84 km 84 (giờ) y Tổng thời gian ca nơ xi dịng 81 km ngược dòng 84 km 81 84 + = (2) x y 108 63 1  x + y =  x = 27  x = 27  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ 1 y = 21   81 + 84 =  =  x y  y 21 Vận tốc ca nơ xi dịng 27(km/h); vận tốc ca nơ ngược dòng 21(km/h) Vậy vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước 27 + 21 = 24 ( km / h ) ; 27 − 21 = ( km / h ) Câu Gọi vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ x, y (km/h) (x > y > 0) Thời gian để ca nơ xi dịng 60 km 60 (giờ) x Thời gian để ca nơ ngược dịng 60 km 60 (giờ) y Ca nơ chuyển động xi dịng từ bến A đến bến B sau chuyển động ngược dòng từ B A hết tổng thời gian Suy 60 60 + = (1) x y Vận tốc dòng nước km/h suy x − y = 10 ( ) 1  60 60 1 1  + = +  +=  =  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  x y ⇔  x y 12 ⇔  y + 10 y 12  x − y = 10  x = y + 10  x = y + 10      y = −6  y − 14 y − 120 =  y = 20 12 ( y + y + 10 )= y ( y + 10 )  ( thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ ⇔   y = 20 ⇔   x = 30  x= y + 10  x= y + 10  x= y + 10  Vận tốc thực ca nô 30 + 20 = 25 ( km / h ) Dạng Giải toán liên quan đến kiến thức hình học cách lập hệ phương trình Câu Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật x, y (m) (x > y > 4) Diện tích hình chữ nhật 600 m nên x y = 600 (1) Nếu bớt cạnh hình chữ nhật m diện tích hình cịn lại 416 m Trang 31 Suy ( x − )( y − )= 416 ⇒ xy − ( x + y ) + 16= 416 ⇒ x + y= 50 ( ) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình y 50 − x y 50 − x 50 = x + y = = ⇔ ⇔  600  x y = 600  x − 50 x + 600 =  x ( 50 − x ) =   x = 20 50 − x 50 − x y = y =  50 − x 50 − x  y =  y =     y = 30 ⇔ ⇔ ⇔  x = − 20 ⇔=   x 20 ⇔  = = ) ( x − 20 )( x − 30 )   x = 30  x ( x − 30 ) − 20 ( x − 30   x 30  − 30 =  x =    y = 20  y = 20 (thỏa mãn điều kiện) ⇔  x = 30 Vậy chiều dài hình chữ nhật 30 m , chiều rộng hình chữ nhật 20 m Câu Gọi chiều dài cạnh bên, cạnh đáy tam giác cân x, y (m)(x > y > 0) Chu vi tam giác cân 34 m nên x + y = 34 (1) Độ dài cạnh bên lớn độ dài cạnh đáy m nên x − y = ( ) = x − y =  x 12 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ x + y 34 = 2=  y 10 Vậy độ dài cạnh bên tam giác cân 12 m, độ dài cạnh đáy 10 m Dạng Giải toán suất lao động cách lập hệ phương trình Câu Gọi suất mà bạn Hương dự định làm x (quần áo/ngày), điều kiện x ∈ * Số quần áo mà mẹ Hương giao cho Hương y (quần áo), điều kiện y ∈ * Mẹ bạn Hượng giao cho bạn Hương hoàn thành số quần áo 20 ngày nên ta có phương trình y= 20 x ⇒ 20 x − y= (1) Số quần áo Hương làm 10 ngày đầụ 10x (quần áo) Nhờ vào cải tịến kĩ thuật bạn Hương làm vượt mức sản phẩm ngày nên bạn Hương hoàn thành số quần áo mẹ giao sớm ngày Suy số ngày lại Hương phải làm sau 10 ngày 20 − 10 − = (ngày) Số quần áo Hương làm ngày nhờ cải tiến kĩ thuật ( x + 3) (quần áo) Suy 10 x + ( x + 3) =y ⇒ 18 x − y =−24 ( ) x−y = = 20  x 12 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ 18 x − y =−24  y =240 Vậy bạn Hương may 12 quần áo ngày số quần áo mẹ Hương giao 240 quần áo Trang 32 Câu Gọi suất mà công nhân dự định làm x (sản phẩm/ngày) Thời gian mà công nhân dự định làm xong 360 sản phẩm y (ngày) ( x, y ∈ * ) Suy x y = 360 Nếu người làm vượt suất sản phẩm ngày người làm xong trước ngày Suy ( x + )( y − 3= ) xy ⇔ −3x + y= 18 (1) Nếu ngày người làm dự định sản phẩm người hồn thành chậm dự định ngày Suy ( x − )( y + 3) = xy ⇔ 3x − 4y = 12 ( ) + y 18 = −3 x=  x 24 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ − y 12 = 3 x=  y 15 Vậy suất công nhân dự định làm 30 (sản phẩm/ngày) hoàn thành 15 ngày Dạng Giải toán liên quan tới làm chung, làm riêng cách lập hệ phương trình Câu Gọi thời gian để người thứ nhất, thứ hai sơn xong cửa cho cơng trình x, y (ngày) (x, y > 0) Một ngày người thứ làm Một ngày người thứ hai làm (công việc) x (công việc) y Hai cơng nhân sơn cửa cho cơng trình ngày xong suy ngày hai người làm 1 + = (công việc) (1) x y Nếu người thứ làm ngày người thứ hai đến làm ngày xong Suy 10 + = (2) x y 1 1 1 = x + y =  x = 12   x 12 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ 1 10 = y   + =  =  x y  y Vậy người thứ làm xong cơng việc sau 12 ngày, người thứ hai làm xong công việc sau ngày Câu Gọi thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai hồn thành xong cơng việc x, y (giờ) (x, y > 0) Một đội thứ làm (công việc) x Trang 33 Một đội thứ hai làm (cơng việc) y Hai đội cơng nhân làm sau hồn thành cơng việc suy hai đội làm 1 + = (công việc) (1) x y Nếu đội thứ làm đội thứ hai làm tiếp xong Suy cơng việc 12 + = (2) x y 12 1 1 1 = x + y =  x = 12   x 12 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ 1 y = 24   + =  =  y 24  x y 12 Vậy đội làm sau 12 xong cơng việc, đội hai làm 24 xong cơng việc Dạng Giải toán liên quan tới chảy chung, chảy riêng với vòi nước cách lập hệ phương trình Câu Đổi 80 phút = giờ; 36 phút = giờ; 30 phút = 4  Gọi thời gian để vòi thứ nhất, thứ hai chảy đầy bể x, y (giờ)  x, y >  3  Một vịi thứ chảy Một vịi thứ hai chảy (bể) x (bể) y Hai vòi nước chảy 80 phút đầy bể suy hai vịi chảy 1 + = (bể) (1) x y Nếu vòi chảy 36 phút, vòi chảy 30 phút 0,4 bể Suy + = (2) 5x y 1 1 x + y =  x = 4 x =  (thỏa mãn điều kiện) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔ 1 2 = y   + =  =  x y  y Vậy vịi chảy đầy bể, vòi hai chảy đầy bể Câu Đổi rưỡi = Trang 34 Gọi thời gian để vịi thứ nhất, thứ hai chảy đầy bể x, y (giờ) (x, y > 12) Một vịi thứ chảy Một vịi thứ hai chảy (bể) x (bể) y Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 bể đầy Suy hai vòi chảy 1 + = (bể) x y 12 1 1 Hai vịi chảy chảy  + = = (bể) 12 x y Khi suất vòi hai tăng gấp đơi rưỡi vịi hai chảy (bể) y Sau hai vòi chảy giờ, khóa vịi một, vịi hai tăng suất gấp hai lần nên chảy đầy phần lại bể rưỡi Suy + = ( ) y 1 1 1 x + y =  x = 28 12  x = 28  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ 1 = 21 y   + =  =  y 21  y Vậy vịi chảy bình thường 28 chảy đầy bể, vịi chảy bình thường 21 chảy đầy bể Dạng Giải toán liên quan tới phần trăm cách lập hệ phương trình Câu Gọi dân số năm ngoái hai tỉnh A B x, y (người) ( x, y ∈ * ) Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B 4.000.000 người nên x + y = 4000000 (1) Năm dân số tỉnh A tăng 1,2% suy dân số tỉnh A năm 100 + 1,2 x = 1,012 x (người) 100 Năm dân số tỉnh B tăng 1,1% suy dân số tỉnh B năm 100 + 1,1 y = 1,011y (người) 100 Tổng số dân hai tỉnh năm 4.045.000 người suy 1,012 x + 1,011y = 4045000 ( ) = =  x + y 4000000  x 1000000 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ 1,011y 4045000= 1,012 x + =  y 3000000 Vậy năm ngối tỉnh A có 1.000.000 dân, tỉnh B có 3.000.000 dân Câu Trang 35 Gọi số chi tiết máy mà hai tổ công nhân I; II tháng đầu làm x; y (chi tiết máy) ( x, y ∈ * ) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy suy x + y = 800 (1) Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15% nên tháng hai tổ I làm số chi tiết máy 100 + 15 x = 1,15 x (chi tiết) 100 Sang tháng thứ hai, tổ II sản xuất vượt mức 20% nên tháng hai tổ II làm số chi tiết máy 100 + 20 y = 1,2 y (chi tiết) 200 255 ( ) Tháng thứ hai, tổ II sản xuất nhiều tổ 255 chi tiết máy nên 1,2 y − 1,15 x = =  x + y 800=  x 300 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ = x 255 = 1,2 y − 1,15  y 500 Vậy tháng đầu tổ làm 300 chi tiết máy, tổ hai làm 500 chi tiết máy Dạng Giải toán liên quan tới tìm số cách lập hệ phương trình Câu Gọi số có hai chữ số ab ( a, b ∈ , < a ≤ 9; ≤ b ≤ ) Ta có = ab a.10 + b Tổng hai chữ số suy a a + b = (1) Khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị ta số ba ta có = ba b.10 + a Đổi chỗ hai chữ số cho số số lớn số cho 36 đơn vị nên ba = ab + 36 ⇒ b.10 + a = a.10 + b + 36 ⇒ 9b − 9a = 36 ⇒ −a + b = ( ) a+b = = b (thỏa mãn điều kiện) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ⇔ a+b = −= a Vậy số cần tìm 26 Câu Gọi số có ba chữ số có chữ số hàng chục a b ( a, b ∈ ; < a ≤ 9; ≤ b ≤ ) Ta có a b= a.100 + 40 + b Tổng chữ số số 17 suy a + + b = 17 ⇒ a + b = 13 (1) Khi đổi chỗ hai chữ số hàng trăm hàng đơn vị ta số b a Ta có b a= b.100 + 40 + a Nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 99 đơn vị nên a b − b a = 99 ⇒ a.100 + 40 + b − ( b.100 + 40 + a ) = 99 ⇒ 99a − 99b = 99 ⇒ a − b = ( ) a + b 13 = = a Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ a−b = = b Vậy số cần tìm 746 Trang 36 Dạng Giải toán liên quan tới thay đổi thừa số tích cách lập hệ phương trình Câu Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật x, y (m) (x > y > 0) Diện tích hình chữ nhật xy ( m ) Nếu tăng chiều dài m giảm chiều rộng m diện tích khơng đổi nên ( x + 3)( y − 2=) xy ⇔ −2 x + y= (1) Nếu giảm chiều dài m tăng chiều rộng m diện tích khơng đổi nên ( x − 3)( y + 3) = xy ⇔ 3x − 3y = ⇔ x − y = ( ) 3x = −2 x +=  x 15 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ = x − y =  y 12 Vậy diện tích hình chữ nhật 12.15 = 180 m Câu Gọi số người đội công nhân x (người) ( x ∈ * ) Số ngày mà đội dự định làm xong công việc y (ngày) ( y ∈ * ) Thời gian người thợ làm xong cơng việc x.y (ngày) Nếu giảm người thời gian kéo dài ngày nên x y = ( x − 3)( y + ) ⇔ xy = xy + x − y − 18 ⇔ x − x = 18 (1) Nếu tăng thêm người thời gian sớm ngày nên x y =( x + )( y − ) ⇔ xy =xy − x + y − ⇔ x − y =−2 ( ) x − y 18 = 2x − y 6= Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ⇔  x − y =−2  x − y =−2 =  x 8= x (thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ 10  x − y =−2 y = Vậy đội cơng nhân có người dự định hồn thành công việc 10 ngày Dạng Giải toán liên quan tới tuổi cách lập hệ phương trình Câu Gọi tuổi bố x, y (tuổi) ( x > y; x, y ∈ * ) x 2, y ⇒ x − 2, 4= y (1) Hiện tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi nên = Tuổi bố năm trước x − (tuổi) Tuổi năm trước y − (tuổi) năm trước tuổi bố gấp 11 11 tuổi nên ( x − 5) = ( y − 5) ⇔ x − 11y = −35 ( ) 4 Trang 37 = 4y  x − 2,=  x 60 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  (thỏa mãn điều kiện) ⇔ −35  y = 25 4 x − 11y = Vậy tuổi bố 60 tuổi, tuổi 25 tuổi Câu Gọi tuổi bố Lan x, y ( x > y; x, y ∈ * ) Hiện tuổi bố gấp lần tuổi Lan nên x = y ⇒ x − y = (1) Tuổi bố 15 năm x + 15 (tuổi) Tuổi Lan 15 năm y + 15 (tuổi) 15 năm trước tuổi bố gấp tuổi Lan nên ( x + 15) = ( y + 15) ⇔ x − y = 15 ( ) − 3y = x=  y 15 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ( thỏa mãn điều kiện) ⇔ = y 15 = x −  x 45 Vậy tuổi bố 45 tuổi, tuổi 15 tuổi Dạng 10 Giải tốn liên quan tới kiến thức liên mơn cách lập hệ phương trình Câu Số lít axit nitơric có 100 lít dung dịch 50% 100.50 = 50 (lít) 100 Gọi số lít dung dịch axit nitơric loại loại x, y (lít) (x, y > 0) 100 (1) Dung dịch sau pha loại loại tích 100 lít nên x + y = Thể tích axit nitơric có x lít dung dịch loại x.30 = 0,3 x (lít) 100 Thể tích axit nitơric có x lít dung dịch loại hai x.55 = 0,55 y (lít) 100 Thể tích axit có dung dịch sau pha trộn 0,3 x + 0,55 y = 50 ( ) =  x + y 100=  x 20 (thỏa mãn điều kiện) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  ⇔ y 50 y 80 0,3 x + 0,55= = Vậy cần pha trộn 20 lít dung dịch chứa 30% axit nitơric 80 lít dung dịch chứa 55% axit nitơric để 100 lít dung dịch 50% axit nitơric Câu Trong 160g Fe2O3 có 112g sắt; 232 g Fe3O4 có 168g sắt Gọi khối lượng hai oxit Fe2O3 Fe3O4 có 712 hỗn hợp dùng để luyện sắt x, y (tấn) ( x, y > ) Suy x+y= 712 (1) Khối lượng sắt có x Fe2O3 x.112 (tấn) 160 Trang 38 Khối lượng sắt có y Fe3O4 y.168 (tấn) 232 Luyện 712 hỗn hợp gồm hai oxit Fe2O3 Fe3O4 thu 504 sắt nên x.112 y.168 + = 504 ( ) 160 232 712 x + y =  x = 480  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  x.112 y.168 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ 232 = y 504 + =   160 232 Vậy 712 hỗn hợp gồm hai oxit Fe2O3 Fe3O4 có 480 Fe2O3 232 Fe3O4 Trang 39 ... so sánh số sau: a) 10 b) 10 c) − Câu 2: Khơng dùng máy tính, so sánh số thực sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com a) b) − + −3 Câu 3: So. .. − 11 Bài toán So sánh gián tiếp Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Phương pháp giải Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, so sánh + 26 Hướng... 6: Tìm x , biết: a) x