Hoc sinh gioi lop 7 nam 2021

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP NĂM 2021 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD -ĐT DIỄN CHÂU ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3 điểm) Tính a Tính giá trị biểu thức A = x − x + b Tìm x biết x+ = 3 3−x −5 = 20 x−3 Bài 2: (5 điểm) x −1 y + x + y +1 a Tìm số x, y thỏa mãn = = x−2 b Cho x nguyên , tìm giá trị lớn biểu thức sau A = ( ) c Tìm số có hai chữ số ab biết ab = 2x + x−3 ( a + b )2 Bài 3: (3 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh 137 Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị số 1 số học sinh lớp, lớp 7C lấy số học sinh lớp 11 số học sinh lại lớp Tính số học sinh lớp Bài 4: (7 điểm)  ( E ∈ HC ) Cho ∆ABC vuông cân A, đường cao AH , AE phân giác HAC học sinh lớp, lớp 7B lấy a Kẻ EI vng góc với AC(I ∈ AC) Chứng minh AI = HC b Trên cạnh AB lấy điểm K, tia đối tia AC lấy điểm M cho AK = AM Chứng minh BM vng góc với CK c Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Cx vng góc với AC , qua E kẻ EN vng góc với AE (N thuộc tia Cx ) Chứng minh AE = EN Bài 5: (2 điểm) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn (x − 2019)2000 + (x + 2020)2020 = 20202021 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Website: tailieumontoan.com NĂM HỌC: 2020-2021 Mơn: Tốn Bài 1: (3 điểm) Tính a Tính giá trị biểu thức A = x − x + x + = 3 b Tìm x biết 3−x −5 = 20 x−3 Lời giải   x+ =  x= 3  a x + = ⇔  ⇔  3 −2 x + =  x = −1  3 1 1 1 Với x = ⇒ A =   − + = − + = 3 9 3 Với x =−1 ⇒ A =− ( 1) − 3.(−1) + =1 + + =5 3−x −5 = 20 x−3 ⇒ (3 − x)(x − 3) =− ( 5).20 ⇒ −(x − 3)(x − 3) = −100 b ⇒ −(x − 3)2 = −100 ⇒ (x − 3)2 = 100 x − 10 = =  x 13 ⇒ ⇒  x − =−10  x =−7 Vậy x ∈ {−7;13} Bài 2: (5 điểm) x −1 y + x + y +1 a Tìm số x, y thỏa mãn = = x−2 b Cho x nguyên , tìm giá trị lớn biểu thức sau A = ( ) c Tìm số có hai chữ số ab biết ab = 2x + x−3 ( a + b )3 Lời giải x −1 y + x + y +1 a = = x−2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com  x −1 y +  = (1) ⇒  x − = x + y + (2) x−2  Từ (1) suy ⇒ 5(x − 1) = 3(y + 2) ⇔ 5x − = 3y + ⇔ 3y = 5x − 11 5x − 11 ⇔y= Từ (2) suy (x − 1)(x − 2)= 3(x + y + 1) ⇔ x − 2x − x + = 3x + 3y + ⇔ x − 3x + − − 3x = 3y ⇔ x − 6x − = 3y Thay 3y = 5x − 11 ta có x − 6x − = 5x − 11 ⇔ x − 6x − 5x − + 11 =0 ⇔ x − x − 10x + 10 = ⇔ x(x − 1)= 10(x − 1)= ⇔ (x − 1)(x − 10) =  x −1 = x = ⇔ ⇔ 10 =  x −=  x 10 5.1 − 11 − 11 −6 Với x =⇒ y= = = = −2 3 Với x = 10 ⇒ y = { 5.10 − 11 50 − 11 39 = = = 13 3 } Vậy (x; y) ∈ (1; −2 ) , (10;13) b Ta có A= 2x + 2x − + 7 = = 2+ x−3 x−3 x−3 đạt giá trị lớn x−3 ⇔ x−3 = ⇔x= Khi giá trị lớn A = + = Vậy A đạt giá trị lớn nhât ⇔ x = Vì x nguyên nên c Vì ( ab )= ( a + b )3 nên a+ b số phương x (a + b)3 = Đặt a + b = ab ⇒ x = ab ⇒ x3 = ab mà < ab < 100 ⇒ < x3 < 100 ⇒ x ∈ {3; 4} Nếu x = ⇒ ab = 27 (thỏa mãn) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com 64 (loại) Nếu x = ⇒ ab = Vậy ab = 27 Bài 3: (3 điểm) số Ba lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh 137 Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị 1 số học sinh lớp, lớp 7C lấy số học sinh lớp 11 số học sinh cịn lại lớp nhua Tính số học sinh lớp Lời giải học sinh lớp, lớp 7B lấy Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C x, y,z(x, y, x ∈ N* ) x + y + z = 137 Theo ta có : x y z 5x 10y 8z x − = y − =z − ⇔ = = 11 11 x y z x+y+z 137 ⇒ = = = = =1 48 44 45 48 + 44 + 45 137  x = 48  44 ⇒ y =  z = 45  Vậy số học sinh 7A, 7B,7C 48;44;45 học sinh Bài 4: (7 điểm)  ( E ∈ HC ) Cho ∆ABC vuông cân A, đường cao AH , AE phân giác HAC a Kẻ EI vng góc với AC(I ∈ AC) Chứng minh AI = HC b Trên cạnh AB lấy điểm K, tia đối tia AC lấy điểm M cho AK = AM Chứng minh BM vuông góc với CK c Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B vẽ tia Cx vng góc với AC , qua E kẻ EN vng góc với AE (N thuộc tia Cx ) Chứng minh AE = EN Lời giải a) ∆ABC vuông cân A B   ⇒ ABC = ACB = 45  = 450 ∆AHC vng H có ACB P ⇒ ∆AHC vuông cân H H K Q E ⇒ AH = HC  Ta có AE phân giác HAC  =EAC  =1 HAC  =45 =22,50 ⇒ HAE 2 M A I C N x Xét ∆HAE VÀ ∆IAE có : Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang   = AIE = 900 AHE Website: tailieumontoan.com AE chung  = EAC  HAE ⇒ ∆HAE = ∆IAE (cạnh huyền – góc nhọn) AI ⇒ AH = HC ⇒ AI = b) Gọi P giao điểm BM CK Xét ∆ABM ∆ACK có: AB = AC ( ∆ABC cân)   BAM = KAC = 900 AK = AM ⇒ ∆ABM = ∆ACK (cgc) =  ACK ⇒ ABM  + AMB =  + AMB = Mà ABM 900 ⇒ ACK 900  + CMP = Hay PCM 900 ⇒ ∆MPC vuông P ⇒ BM ⊥ CP hay BM ⊥ CK c) Gọi Q giao điểm AE,CN ∆ACQ vuông C  +Q = ⇒ QAC 900 ∆QEN vuông E  +Q = ⇒ QNE 900  = QAC  = 22,50 ⇒ QNE EI ⊥ AC,CN ⊥ AC ⇒ EI  CN =  (so le trong) ⇒ IEN QNE  = 450 ∆IEC vng I có ECI ⇒ ∆IEC vuông cân I = ⇒ IEC 450  =IEC  − IEN  =450 − 22,50 =22,50 ⇒ CEN =  ⇒ CEN QNE ⇒ ∆ECN cân C ⇒ CE = CN  = NEQ  + CEQ  = 900 Ta có CEN  +Q = QNE 900 = Q  ⇒ ∆ECQ cân C ⇒ CEQ ⇒ CE = CQ ⇒ CQ = CN Xét ∆ACQ ∆ACN có   ACQ = ACN = 900 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com AC chung QC = NC ⇒ ∆ACQ = ∆ACN =  ⇒ QAC NAC  = 22,50 ⇒ NAC  = 22,50 Mà QAC  = QAC  + NAC  = 450 ⇒ EAN ⇒ ∆EAN vuông cân E ⇒ EA = EN Bài 5: (2 điểm) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn (x − 2019)2020 + (x − 2020)2020 = 2020y −2021 Lời giải Trường hợp 1: Nếu y = 2021 2020y −2021 = ⇒ (x − 2019)2020 + (x − 2020)2020 =1 =02020 + 12020   x − 2019 =   x = 2019   x − 2020 = ⇒ ⇔  x = 2020   x − 2019 =     x − 2020 = Trường hợp 2: Nếu y > 2021 2020y −2021 số chẵn mà vế trái số lẻ Do x chẵn (x − 2019)2020 lẻ ⇒ (x − 2019)2020 + (x − 2020)2020 lẻ Nếu x lẻ (x − 2020)2020 lẻ ⇒ Vế trái ln lẻ ⇒ Khơng tìm số ngun x, y thỏa mãn đề { } Vậy ( x,y ) ∈ ( 2019;2021) , ( 2020;2021) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2020-2021 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD -ĐÀO TẠO HUYỆN XUÂN TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Tìm x biết a x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x 1 b x ∈ N   2 Bài 2: (5,0 điểm) x +1 1 +  2 x+2 = − 64 Cho hai đa thức P= 4xy + 5x − 15 − ( − 2x + 2xy ) và= Q 2xy − 3x a)Tính M = P - Q b) Tính giá trị đa thức M x = 3; y = 2021 c) Tìm x để M= Tìm số nguyên dương x, y biết: 22 − 6( x − 2021) = y2 Bài 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Gọi M trung điểm cạnh BC  a Chứng minh AM tia phân giác D AE b Từ B C vẽ BH , CK theo thứ tự vng góc với AD, AE Chứng minh BH = CK c Chứng minh ba đường thẳng AM , BH , CK cắt điểm Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc B 45° góc C 120° Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính số đo góc  ADB Bài 5: (4,0 điểm) a) Chứng minh M = 5n + − 2n + + 5n +1 − 2n có chữ số tận với ∀n ∈ N , n ≥ b) Cho n số nguyên tố lớn Chứng minh n − 2041 chia hết cho 24 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Website: tailieumontoan.com NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Bài 1: (4,0 điểm) Tìm x biết a x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x 1 b x ∈ N   2 x +1 1 +  2 x+2 = − 64 Lời giải a x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x ≥ với ∀x x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x x ≥ với x ≥ ta có: x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x ⇒ ( x + 2019) + (2020 + x) + (2021 + x) = 13x ⇒ x + 2019 + 2020 + x + 2021 + x = 13x ⇒ 3x + 6060 = 13x ⇒ 13x − 3x = 6060 ⇒ 10x = 6060 ⇒ x = 10 > (thỏa mãn điều kiện x) Vậy x = 10 b Ta có: 1   2 x +1 1 +  2 1 ⇒  2 x+1 1 ⇒  2 x+1 1 ⇒  2 x+1 1 ⇒  2 x+1 x+1 x+2 = − 64  1 1 +  =   64 3 = 64 3 = : 64 = 32 1 1 ⇒  =   2 2 ⇒ x +1 = ⇒ x =4∈ N Vậy x = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Bài 2: (5,0 điểm) Cho hai đa thức P= 4xy + 5x − 15 − ( − 2x + 2xy ) và= Q 2xy − 3x a)Tính M = P - Q b) Tính giá trị đa thức M x = 3; y = 2021 c) Tìm x để M= Tìm sô nguyên dương x, y biết: 22 − 6( x − 2021) = y2 Lời giải a M = P − Q =  4xy + 5x − 15 − ( − 2x + 2xy )  − ( 2xy − 3x ) M= 4xy + 5x − 15 − ( − 2x + 2xy ) − 2xy + 3x M = 4xy + 5x − 15 − + 2x − 2xy − 2xy + 3x M = 5x − + 5x − 15 Trường hợp 1: 5x − 15 ≥ ⇒ x ≥ 5x − 15 = 5x − 15 Ta có: M = 5x − + 5x − 15 M = 5x − + (5x-15) M = 5x − + 5x − 15 = M 10x − 24 Trường hợp 2: 5x − 15 < ⇒ x < 5x − 15 = −5x+15 Ta có M = 5x − + 5x − 15 M = 5x − + (−5x + 15) M = 5x − − 5x + 15 M =6 Vậy = M 10x − 24 x ≥ M = x < b x = 3; y = 2021 = M 10x − 24 Thay x = 3; y = 2021 vào = M 10x − 24 ta M = 10.3 − 24 = Vậy x = 3; y = 2021 M = c Khi x ≤ M= ≠ M = x > M = 10 x − 24 = 12 ⇒x= < (thỏa mãn điều kiện x) 12 Vậy x = M = Tìm số nguyên dương x, y biết: 22 − 6( x − 2021) = y2 Vì y nguyên dương nên y nguyên dương 11 > ( x − 2021) ≥ x nguyên dương nên ( x − 2021) nguyên dương y =22 − 6( x − 2021) > ⇒ (1) (2) kết hợp (1) (2) suy ( x − 2021) = ( x − 2021) = 2 *Nếu ( x − 2021) = 2021 (thoả mãn điều kiện x nguyên dương) 0⇒x= Thay vào y =22 − 6( x − 2021) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Trang Bài 5: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có  45°,  15° Trên tia phân giác ABC = ACB =  , lấy điểm D cho  ACD= 75° Chứng minh tam giác BCD tam giác BAC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN HUYỆN LƯƠNG TÀI NĂM HỌC: 20202021 ( Thời gian 120 phút) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) 1) Thực phép tính 2 1 a) −1 ⋅15 − ⋅15 + 30 ⋅  − +  7 3 2 3 3 − + + 13 : b) 11 11 11 11 − + + 13 3 − + 11 7 − + 11   0  c)  ⋅   + ⋅  13  25  26  2000  −1 82  − :  2  2021 2      1 +  1 +  1 +  … +   2.4   3.5   4.6   2018.2020  2) Rút gọn biểu thức M= Lời giải Thực phép tính   = −12  20 24 15  − +  15 − 15 + 30. − +   30 30 30    15 a) −1 15 − 15 + 30. 20 − 24 + 15  −12  = −  + 30 = −30 + 11 = −19 15. 15.(−2) + 11 = 7 30  3 3 3 1 1 1 − + + − + 3.( − + + ) 3.( − + ) 13 : 11 b) 13 : 11 = 11 11 11 11 7 1 1 1 − + + − + 11.( − + + ) 7.( − + ) 13 11 13 11 = 3 7 = : = 11 11 11   0  c)    +  13 25   26   =1 2020  −1 28  −  2  2020  −1 82  − :  2  2021 4 9 = 13 + 13  2020  −1 44  −  2  2021 2021 = − (−1) 2021 = + = 2 Rút gọn biểu thức: M =(1 + 1 1 )(1 + )(1 + ) (1 + ) 2.4 3.5 4.6 2018.2020 Trang 2.4 + 3.5 + 4.6 + 2018.2020 + 32 42 52 20192 = ( )( )( ) ( ) = 2.4 3.5 4.6 2018.2020 2.3 3.5 4.6 2018.2020 =  3.4.5 2019  3.4.5 2019  2019 2019   =  =  2.3.4.5 2018  4.5.6 2020  2020 2020 Bài 2: (2,0 điểm) x −1 y + z − 1) Tìm x, y, z biết: = = z − x − y = 50 2) Tìm giá trị ( x, y, z ) thỏa mãn: (2 x − y + z ) 2018 + y − z + ( z − 4) ≤ Lời giải x −1 1) Tìm x, y, z biết: = x −1 Ta có = y +3 z −5 5z – 3x – 4y = 50 = y + z − x − y + 12 z − 25 = = = = 6 16 30 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có x − y + z − x − y + 12 z − 25 z − 25 − x + − y − 12 50 − 34 = == = = = = = 2 6 16 30 30 − − 16 x −1 = ⇒ x −1 = ⇒ x = y+3 ⇒ = 2⇒ y +3=8⇒ y =5 z −5 ⇒ = ⇒ z − = 12 ⇒ z = 17 ⇒ Vậy ( x;y;z) = ( 5;5;17) 2) Tìm giá trị ( x,y,z ) thỏa mãn ( x − y + z ) 2018 + y2 − z + ( z − 4) ≤ Giải: Ta có ( x − y + z )2018 ≥ 2018  Nên ( x − y + z ) + y2 − z + ( z − 4) ≤  y −z ≥0  ( z − ) ≥ ( x − y + z )2018 = 0 −1; x = −3 2 x − y + z =   x = Khi  y − z = ⇔  y − z =0 ⇔  y =±2 =  z   z − = ( z − ) = Trang Vậy( x, y , z) = ( -1; 2; ) ( x, y , z) = ( -3; -2; ) Bài 3: (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 10 x + 144 y = 2017 Tính tồng       S= f (0) + f  + f  + f   +…+  2021   2021   2021  2) Cho hàm số f ( x)= x +  2019  f +  2021   2020  f  + f (1)  2021  3) Cho a, b, c, d , n ∈ * , biết ab = cd Chúng minh rằng: a n + b n + c n + d n hợp số Lời giải 1) Tìm cặp số nguyên ( x;y) thỏa mãn: 10 + 144 y = 2017 x Ta có: 2017 số lẻ; 144 y số chẵn nên 10x phải số lẻ ⇒ x = Với x = ta có: + 144 y = 2017 ⇒ 144 y = 2016 ⇒ y = 14 Vậy ( x; y ) = ( 0;14 ) 10 + 144 y = 2017 x 2) Cho hàm số f ( x)= x + Tính tổng S = f (0) + f ( 2 2019 2020 )+ f( )+ f( ) + + f ( )+ f( ) + f (1) 2021 2021 2021 2021 2021 Giải: S= f (0) + f ( =0 + + 2021 2019 2020 )+ f( )+ f( ) + + f ( )+ f( ) + f (1) 2021 2021 2021 2021 2021 + + 2021 + + 2021 + + + 2019 + 2021 + 2020 + 2021 +1+ 2 1 2021 (2021 + 1).2021: = 2022 + + + + =1011 + 2021 2021 2021 2021 = 1011 + 1011 = 2022 3) Cho a, b, c, n ∈ N , biết ab = cd Chứng minh rằng: a + b + c + d hợp số * n n n n Giải: * Nếu ab = cd lẻ Thì a; b; c; d số lẻ => a n ; b n ; c n ; d n lẻ nên a + b + c + d chẵn n n n n ⇒ (a n + b n + c n + d n ) a, b, c, n ∈ N * Nên a n + b n + c n + d n hợp số * Nếu ab = cd chẵn a chẵn; c chẵn; b; d lẻ nên a n ; c n chẵn; b n ; d n lẻ Trang nên a + b + c + d chẵn ⇒ ( a + b + c + d ) a, b, c, n ∈ N n n n n n n n * n Nên a + b + c + d hợp số n n n n * Tương tự a; d chẵn; b c lẻ a + b + c + d hợp số n n n n * Tương tự b; c chẵn; a d lẻ a + b + c + d hợp số n n n n * Tương tự b; d chẵn; a c lẻ a + b + c + d hợp số n n n n Vậy: Với a, b, c, n ∈ N , biết ab = cd Chứng minh rằng: a + b + c + d hợp số * n ( n n n )  < 90° , Kẻ BI vuông góc với AC Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A BAC I Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khác B C ) Gọi D, E , F chân đường vng góc kẻ từ M đến cạnh AB , AC , BI 1) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB 2) Cho = BC 10cm, = CI 6cm Tính tổng MD + ME 3) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EI Chứng minh BC qua trung điểm đoạn thẳng DK Lời giải H 1) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB  =C  ( phụ EMC =   =C  ( gt ) ; FMB  ) ⇒ DBM Ta có B FMB Xét ∆DBM ∆FMB = F = 900 Có D BM cạnh chung Trang  = FMB  ( cmt ) DBM ⇒ ∆DBM = ∆FMB ( Cạnh huyền- góc nhọn ) 2) Cho BC = 10 cm, CI = cm Tính tổng MD + ME ∆DBM = ∆FMB ( cmt ) ⇒ MD = FB ( hai cạnh tương ứng ) ∆IFE = ∆MEF ( g.c.g ) ⇒ ME = FI ( hai cạnh tương ứng ) Mà MD + ME = FB + FI = BI ∆BIC ; I= 900 BI = BC − IC = 102 − 62 = 100 − 36 = 64 = BI = 64 8(cm) Vậy: MD + ME = ( cm) 3) Gọi N giao điểm BC DK =  (đồng vị ) Từ D kẻ DH / / AC ( H ∈ BC ) ⇒ DHB C  =C  ( gt ) ⇒ DHB =  => ⇒ ∆DBH cân D ⇒ DB = B B DH DB = FM ; FM = IE ; IE = CK ⇒ DH = CK ⇒ ∆DNH = ∆KBC (g.c.g) ⇒ DN = KN (hai cạnh tương ứng) ⇒ N trung điểm KC Vậy BC cắt DK trung điểm DK  Bài 5: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC = có  ABC 45 = , ACB 150 Trên tia phân giác  , lấy điểm D cho ACD  = 750 Chứng minh tam giác BCD tam giác BAC Lời giải A B 45 15 C E D Trang = = = Tam giác ABC có ABC 450 , ACB 150 ⇒ BAC 1200   = CAE = 600 AD phân giác góc A nên BAE Trên tia AD lấy điểm E cho AE = AC Tam giác ACE ⇒ EC = AC ∆ABC = ∆EDC (g.c.g) ⇒ BC = DC (hai cạnh tương ứng)  = 600 nên ∆ BCD (đ.p.c.m) Mặt khác BCD = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN ĐỘNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 16/04/2022 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 03 trang) PHẦN I TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)  −2   −5  −   +   là:     Câu Giá trị biểu thức: A 11 B C D −2  :C  = : Số đo góc N bằng: Câu Cho ∆ABC = A = 650 B ∆MNP có  D 810 A 460 B 690 C 580 y Câu Đồ thị hàm số= ( 2m + 5) x qua điểm B ( 3;9 ) m bằng: A B -1 C 2021 x Câu Cho A= + + +…+ 4A + = Giá trị x bằng: A 2021 B 2020 C 2022 D D 2023 Câu Cho số âm x, y thỏa mãn 3x = 4y x.y = 48 Hai số x, y là: A B C -6 -8 D -8 -6 Câu Kết sau thu gọn đa thức 3 1 x y + x y + x y + …+ x3 y + x y là: 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021.2022 2020 3 2021 B C D A x y x y x y x3 y 2022 2021 2021 2021.2022 Câu Có cặp số hữu tỉ (x,y) thỏa mãn hệ thức x − − y = 5? A B C D Câu Một tam giác cân có số đo góc đáy 46 số đo góc đỉnh A 460 B 900 C 880 ( )( D 67 ) bằng: Câu Tổng giá trị x thỏa mãn ( x + 3) x + x − = A 13 B ( C ) D Câu 10 Cho hai đơn thức A = -3x y3 ;B = 2x z Bậc đơn thức C = A.B là: A 26 B 22 C 36 D 38 Câu 11 Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn điểm A ( −7;2 ) ; B ( −2;2 ) ; C ( −2; −3) ; D ( −7; −3) Biết đơn vị trục tọa độ biểu thị 1cm Chu vi tứ giác ABCD là: A 10cm B 16cm C 20cm Câu 12 Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2xy – y = 4x + 3? A B C D 25cm D Câu 13 Cho x ∈ Z để A = A 2022 − x có giá trị lớn Giá trị lớn A là: 2021 − x B C D Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A có đường trung tuyến AM = 3cm Độ dài đoạn thẳng BC bằng: A 12cm B 9cm C 3cm D 6cm Câu 15 Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ ; đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ : 1 A B C −3 D − 3 Câu 16 Cho tam giác ABC vuông A= có AB 6= cm, BC 10cm Khẳng định sau đúng?  >C >A  >A >B  >B  >C  >B >A  B C C A D C A B Câu 17 Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM CN tam giác cắt I Biết AC=13cm, BC=10cm độ dài đoạn thẳng AI là: A 12cm B 6cm C 4cm D 8cm Câu 18 Người ta dựng thang có chiều dài 5m cho đầu thang dựa vào đỉnh cao tường thẳng đứng Biết chiều cao tường 4m Khi đó, khoảng cách từ chân thang đến tường theo hướng vng góc là: A 2m B 3m Câu 19 Cho cặp số (x; y) thỏa mãn ( 2x − y + ) A 16 B 25 C 5m 2022 + x −3 D 4m 2023 ≤ Tổng x + y có giá trị C D 10 Câu 20 Cho x + y – = 0, giá trị đa thức M = x + x y − x − xy − y + 3y + x − là: A −1 B C D PHẦN II TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài (5,0 điểm) 3 3 24.47 − 23 + − 11 + 1001 − 13 1) Tính giá trị biểu thức: A = 24 + 47.23 + − + − 11 1001 13 2) Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với x = 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c 3) Tìm số a; b; c biết: = = a + b + c = – 50 Bài (4,0 điểm) 1) Trong kỳ thi học sinh giỏi mơn văn hóa cấp huyện, ba bạn An, Bình, n giáo thưởng 480000 đồng Số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với điểm số mà bạn đạt điểm số Bình, điểm số Yên 50% điểm số An Tính số tiền thưởng bạn nhận được? Biết điểm số An 2) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ tổng S = 15 n -1 + + + + 16 n2 số nguyên Bài (4,0 điểm) Cho ∆ABC có góc nhọn (AB < AC), tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O lên BC , H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI = AH , gọi K giao điểm FH AI 1) Chứng minh ∆FCH cân 2) Qua I vẽ IG // AC ( G thuộc FH ) Chứng minh AK = KI 3) Chứng minh: điểm B, O, K thẳng hàng Bài (1.0 điểm) Tìm x; y để biểu thức M đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn M= 15 y − x − x − 10 y − x + x + 2014 - Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN ĐỘNG ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NGÀY THI 16/04/2022 MƠN TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 05 trang A- TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Mỗi câu học sinh chọn đáp án 0,3 điểm ĐÁP ÁN A A B C D C B C D B CÂU 10 ĐÁP ÁN C C B D B C D B A B CÂU 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B- TỰ LUẬN (14 điểm) Bài Bài Hướng dẫn giải Điểm (5.0 điểm) 3 3 24.47 − 23 + − 11 + 1001 − 13 A= 24 + 47.23 + − + − 11 1001 13 (1,5 điểm) 1  1 −  1 + − + 1128 − 23  11 1001 13  A= 1 24 + 1081  1 1 + − + −   11 1001 13  1  1 1 + − + −  1105  11 1001 13  A= 1 1105  1 1 + − + −   11 1001 13  A= Vậy A = Tính giá trị biểu thức B = 2x2 – 3x + với x = 0,5 0,5 0,25 0,25 Vì x = (1,5 điểm) 1 nên x = x = 2 Với x = 1 1 thì: A=   − + 1= − + 1= 2 2 0,25 0,5  1  1 1 Với x = thì:= A  −  −  − = +1  + + = 2  2  2 Vậy B = B = x = 0,5 0,25 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c Tìm số a; b; c biết: = = a + b + c = – 50 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = Ta có 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c ⇒ = = 25 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c 15a − 10b + 6c − 15a + 10b − 6c = = = = 25 38 (2.0 điểm) a b 2 = = b = 3a 2b  15a − 10 a b c   a c ⇒ 6c − 15a =0 ⇒ 2c =5a ⇒  = ⇒ = = 10b= 5b 3c 2 − 6c =   c b  = 5 a = −10  −15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ⇒ b = c = −25  0,5 0,5 0,5 Vậy a = -10; b = -15; c = -25 (4,0 điểm) Bài Gọi số tiền thưởng ba bạn An, Bình, Yên nhận x, y, z (đồng) ( x, y,z > ) (2,0 điểm) Số tiền thưởng ba bạn An, Bình, Yên nhận tỉ lệ thuận với số điểm 0,25 bạn đạt Theo ta có: = x = y; z 50%x x + y + z = 480000 0,5  x y x y y⇒ = ⇒ =  x y z 10 Có: = = ⇒ z x z x  10 z 50%x ⇒ z = x ⇒ = ⇒ = = 2 10  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x + y + z 480000 160000 = = = = = 10 10 + + 21 Suy x ≈ 228571; y ≈ 137124; z ≈ 114285 (thỏa mãn bài) = x Vậy số tiền thưởng thực tế ba bạn An, Bình, Yên nhận là: 229000 (đồng); 137000 (đồng); 114000 (đồng) 0,5 0,5 0,25 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ tổng S= 15 n2 − + + + + số nguyên 16 n S có ( n − 1) số hạng (2,0 điểm)  15 1  1  1 1 n2 −  1,0 S = + + + + =  −  +  −  +  −  + + 1 −  16 n        n   1 1  S = n − −  + + + +  < n − (1) n  2 1 1 1 1 + + + + = 1− Mặt khác + + + + < n ( n − 1) n n 1.2 2.3 3.4 1 ⇒ S > n − − + = n − + > n − (2) n n Từ (1) (2) ta có: n − < S < n − Vậy S số nguyên với n ≥ Bài (2,0 điểm) 0,5 0,5 (4.0 điểm)  = 90o ( OH ⊥ AC , OF ⊥ BC )  = CFO 1) Ta có CHO Xét ∆CHO vng ∆CFO vng có: OC cạnh chung  = FCO  ( OC phân giác C ) HCO Do đó: ∆CHO = ∆CFO ( cạnh huyền – góc nhọn ) ⇒ CH = CF ( hai cạnh tương ứng ) ⇒ ∆AFC cân C  (1)  = CFH Ta có ∆AFC cân C (cmt) ⇒ CHF  = FGI  ( đồng vị IG // AC ) (2) Mà CHF 0,25 1,0 0,75 0,25 0,25  = FGI  hay IFG  = IGF  , ∆IFG cân I Từ (1) (2) ⇒ CFH GI AH =( FI ) GI mặt khác: FI = AH nên = ⇒ FI = (1,0 điểm) 0,25  = AHK  ; HAK  = GIK  ( so le IG // AC ) Ta lại có: IGK Xét ∆AHK ∆IGK có:  ( cmt )  = GIK  ( cmt ) ;GI = AH ( cmt ) ; HAK  = AHK IGK 0,5 ⇒ ∆AHK = ∆IGK ( g − c − g ) KI (hai cạnh tương ứng) (đpcm) ⇒ AK = (1,0 điểm) Vẽ OE ⊥ AB E , chứng minh BO tia phân giác  ABC (*) Chứng minh AB = BI  = IBK  ∆IBK ( c.c.c ) ⇒ ABK Chứng minh ∆ABK = Từ suy BK tia phân giác  ABC (**) Từ (*) (*) suy tia BK , BO trùng Hay B, O, K ba điểm thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 điểm) Bài Ta có M= 15 y − x − x − 10 y − x + x + 2014 M= y − x − y − x − 2( x − x + 4) + 2022 (1,0 điểm) M = −1 y − x − 2( x − x − x + 4) + 2022 −1 M = y − x − 2( x − 2) + 2022 Ta có −1 y − x ≤ 0; −2( x − 2) ≤ Với x; y 0,25 0,25 0,25 x 2;= y Nên M ≤ 2022 với x; y Dấu “=” xảy khi= 0,25 x 2;= y Vậy M đạt giá trị lớn 2022 khi= Tổng (14 điểm) Lưu ý chấm bài: + Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng + Với học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình không chấm ... lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh 1 37 Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị số 1 số học sinh lớp, lớp 7C lấy số học sinh lớp 11 số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp Bài 4: (7 điểm)... p4 = p5 = p6 = ⇒ 24 + p7 = p8 ⇔ ( p8 + p7 )( p8 − p7 ) = 24 Vì p7 , p8 lẻ ( p8 + p7 ) > ( p8 − p7 ) nên ta có   p= + p7  − p7   p=   p= + p7    p= − p7   p7 12 =  =  p8 ⇔ ... sinh 1 37 Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị 1 số học sinh lớp, lớp 7C lấy số học sinh lớp 11 số học sinh lại lớp nhua Tính số học sinh lớp Lời giải học sinh lớp, lớp 7B lấy Gọi số học sinh