Mở đầu Một số tự nhiên n được gọi là số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + + (n− 1) = (n+ 1) + (n+ 2) + + (n+ r) Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và n[.]
Mở đầu Một số tự nhiên n gọi số cân với hệ số cân r nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) Khái niệm số cân tìm nghiên cứu Behera Panda Sau đó, nhiều tính chất đẹp số cân tìm thấy (xem [1]) Năm 2012, Keskin Karaatli [4] tìm số tính chất số cân bằng, số tam giác phương Bên cạnh việc nghiên cứu tính chất số cân bằng, nhiều nhà toán học nghiên cứu việc sử dụng số cân để giải số dạng phương trình Diophant Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số tính chất số cân bằng, số tam giác phương số kết việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân việc giải phương trình Diophant Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành chương: • Chương Một số tính chất số cân Mục đích Chương giới thiệu sơ lược số cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân Mục đích Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan đến số cân Tài liệu tham khảo chương [2, 3] Chương Một số tính chất số cân Chương trình bày khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác phương số tính chất số cân trình bày tài liệu [4] 1.1 Khái niệm số cân Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n gọi số cân + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số cân ứng với số cân n Ví dụ 1.1.2 Các số 6, 35 204 số cân với hệ số cân 2, 14 84 Mệnh đề 1.1.3 Nếu n số cân với hệ số cân tương ứng r n2 = (n + r)(n + r + 1) −(2n + 1) + r= √ 8n2 + (1.2) (1.3) Chứng minh Từ (1.1), ta có + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ r(r + 1) (n − 1)n = rn + 2 ⇒ n2 − n = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = (n + r)(n + r + 1) Thêm nữa, từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 + n = Ta có ∆ = 8n2 + > , suy −(2n + 1) ± r= √ 8n2 + Vì r nguyên dương nên −(2n + 1) + r= √ 8n2 + Mệnh đề chứng minh 1.2 Khái niệm số tam giác phương Định nghĩa 1.2.1 Số tam giác số có dạng 1+2+· · ·+n với n ∈ Z+ Nhận xét 1.2.2 Dễ thấy số N số tam giác N viết n(n + 1) dạng N = Định nghĩa 1.2.3 Số N số tam giác phương vừa có n(n + 1) thể viết dạng N = m2 vừa viết dạng N = , tức nghiệm nguyên phương trình m2 = Nhận xét 1.2.4 n(n + 1) Số nguyên dương n số cân n2 số tam giác Do n số cân n2 số tam giác phương Số nguyên dương n số cân 8n2 + số phương 1.3 Khái niệm số đối cân Định nghĩa 1.3.1 Số nguyên dương n gọi số đối cân + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.4) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân ứng với số đối cân n Ví dụ 1.3.2 Các số 2, 14 84 số cân với hệ số đối cân 1, 35 Mệnh đề 1.3.3 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân tương ứng r n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) −(2n + 1) + r= √ (1.5) 8n2 + 8n + (1.6) Chứng minh Từ (1.4), ta có + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ r(r + 1) n(n + 1) = rn + 2 ⇒ n(n + 1) = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r ⇒ n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) Thêm nữa, từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 − n = Ta có ∆ = 8n2 + 8n + > , suy √ −(2n + 1) ± 8n2 + 8n + r= Vì r nguyên dương nên r= −(2n + 1) + √ 8n2 + 8n + Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.3.4 Một số gọi số pronic viết dạng n(n + 1) với n số nguyên dương Nhận xét 1.3.5 Số nguyên dương n số đối cân n(n + 1) số tam giác Do đó, n số đối cân n(n + 1) số tam giác pronic Số nguyên dương n số cân 8n2 + 8n + số phương 1.4 Một số dãy liên quan Trong mục này, chúng tơi trình bày lại khái niệm dãy Fibonaci (Un ) dãy Lucas (Vn ) Định nghĩa 1.4.1 Cho k t hai số tự nhiên khác không Dãy số Fibonaci định nghĩa sau: U0 = 0, U1 = 1, Un+1 = kUn + tUn−1 , ∀n > Dãy số Lucas định nghĩa sau: V0 = 2, V1 = k, Vn+1 = kVn + tVn−1 , ∀n > Các số Fibonaci số Lucas với số âm định nghĩa bởi: U− n = −Un , (−t)n V− n = Vn , (−t)n ∀n > (1.7) Trong trường hợp k = t = (Un ) (Vn ) gọi dãy Fibonaci dãy Lucas cổ điển ký hiệu (Fn ) (Ln ) Các số dãy (Fn ) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Các số dãy (Ln ) 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, Trong trường hợp k = 2, t = (Un ) (Vn ) gọi dãy Pell dãy Pell-Lucas ký hiệu (Pn ) (Qn ) Như vậy, ta có P0 = 0, P1 = 1, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , ∀n > Q0 = 2, Q1 = 2, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , ∀n > Một vài số dãy (Pn ) 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, Một vài số dãy (Qn ) 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, Trong trường hợp k = 6, t = −1 ta ký hiệu lại (Un ) (Vn ) (un ) (vn ) Khi u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 6un − un−1 , ∀n > v0 = 2, v1 = 6, vn+1 = 6vn − vn−1 , ∀n > Một vài số dãy (un ) 0, 1, 6, 35, 204, Một vài số dãy (vn ) 2, 6, 34, 198, 1154, Hơn nữa, từ (1.7) ta thấy u−n = −un , v−n = , ∀n > 1.5 Một số tính chất Trước tiên, chúng tơi nhắc lại số tính chất dãy (Pn ), (Qn ), (un ) (vn ) Các tính chất hữu ích phần chứng minh − tính chất dãy (yn ) với yn = Định lý 1.5.1 Cho γ δ nghiệm phương trình đặc trưng x2 − 2x − = γ n − δn √ Qn = γ n + δ n , với n ≥ Khi ta có Pn = 2 Định lý 1.5.2 Cho α β nghiệm phương trình đặc trưng x2 − 6x + = Khi ta có αn − β n √ un = (1.8) = α n + β n , với n ≥ Các công thức gọi công thức Binet cho dãy tương ứng Đặt Bn số cân thứ n Khi đó, theo tài liệu [1] ta có số cân tuân theo công thức truy hồi sau Bn+1 = 6Bn − Bn−1 B0 = 1, B1 = Do vậy, ta dễ dàng suy √ n √ n αn − β n (3 + 8) − (3 − 8) √ √ = Bn = (1.9) Từ Định lý 1.5.1 Định lý 1.5.2 ta dễ dàng thấy Bn = un = P2n , Q2n = với n số nguyên dương Do đó, theo tài liệu [4] ta có số tính chất biết (Pn ), (Qn ), (Bn ) (vn ) sau đây: Q2n − 8Pn2 = 4(−1)n , (1.10) vn2 − 32Bn2 = 4, (1.11) Bn2 − 6Bn Bn−1 + Bn−1 = 1, (1.12) Q2n = Q2n + 2(−1)n , (1.13) B2n = Bn , (1.14) P2n = Pn Qn , (1.15) vn2 = v2n + 2, (1.16) Pn+1 + Pn−1 = Qn (1.17) Để thấy rõ mối quan hệ mật thiết số cân số tam giác phương, nhắc lại định lý sau đây, đặc trưng cho tất số tam giác phương Định lý suy trực tiếp từ nhận xét 1.2.4 Định lý 1.5.3 Một số tự nhiên x số tam giác phương x = Bn2 với n số tự nhiên Vì yn = − nên suy vn2 − (vn − 2) Bn = = 32 (vn − 2) +1 = yn (yn + 1) 10 ... Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan đến số cân Tài liệu tham khảo chương [2, 3] Chương Một số tính chất số cân Chương trình bày khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số. .. Chương Một số tính chất số cân Mục đích Chương giới thiệu sơ lược số cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân. .. nguyên phương trình m2 = Nhận xét 1.2.4 n(n + 1) Số nguyên dương n số cân n2 số tam giác Do n số cân n2 số tam giác phương Số nguyên dương n số cân 8n2 + số phương 1.3 Khái niệm số đối cân Định