Một số phương trình diophant liên quan đến số cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2018 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Một số tính chất số cân 1.1 Khái niệm số cân 1.2 Khái niệm số tam giác phương 1.3 Khái niệm số đối cân 1.4 Một số dãy liên quan 1.5 Một số tính chất 1.6 Một số kết Keskin Karaatli 13 Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân 24 2.1 Nghiệm nguyên dương phương trình Pell 25 2.2 Nghiệm nguyên dương số phương trình Diophant 26 2.3 Lũy thừa dãy số cân số Lucas cân 38 2.4 Lũy thừa tích số hạng số cân 45 i 2.5 Lũy thừa tích số Lucas cân 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phịng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thương iii Mở đầu Một số tự nhiên n gọi số cân với hệ số cân r nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) Khái niệm số cân tìm nghiên cứu Behera Panda Sau đó, nhiều tính chất đẹp số cân tìm thấy (xem [1]) Năm 2012, Keskin Karaatli [4] tìm số tính chất số cân bằng, số tam giác phương Bên cạnh việc nghiên cứu tính chất số cân bằng, nhiều nhà toán học nghiên cứu việc sử dụng số cân để giải số dạng phương trình Diophant Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số tính chất số cân bằng, số tam giác phương số kết việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân việc giải phương trình Diophant Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành chương: • Chương Một số tính chất số cân Mục đích Chương giới thiệu sơ lược số cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân Mục đích Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan đến số cân Tài liệu tham khảo chương [2, 3] Chương Một số tính chất số cân Chương trình bày khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác phương số tính chất số cân trình bày tài liệu [4] 1.1 Khái niệm số cân Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n gọi số cân + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số cân ứng với số cân n Ví dụ 1.1.2 Các số 6, 35 204 số cân với hệ số cân 2, 14 84 Mệnh đề 1.1.3 Nếu n số cân với hệ số cân tương ứng r n2 = (n + r)(n + r + 1) −(2n + 1) + r= √ 8n2 + (1.2) (1.3) Chứng minh Từ (1.1), ta có + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ r(r + 1) (n − 1)n = rn + 2 ⇒ n2 − n = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = (n + r)(n + r + 1) Thêm nữa, từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 + n = Ta có ∆ = 8n2 + > , suy −(2n + 1) ± r= √ 8n2 + Vì r nguyên dương nên −(2n + 1) + r= √ 8n2 + Mệnh đề chứng minh 1.2 Khái niệm số tam giác phương Định nghĩa 1.2.1 Số tam giác số có dạng 1+2+· · ·+n với n ∈ Z+ Nhận xét 1.2.2 Dễ thấy số N số tam giác N viết n(n + 1) dạng N = Định nghĩa 1.2.3 Số N số tam giác phương vừa có n(n + 1) , thể viết dạng N = m2 vừa viết dạng N = tức nghiệm nguyên phương trình m2 = Nhận xét 1.2.4 n(n + 1) Số nguyên dương n số cân n2 số tam giác Do n số cân n2 số tam giác phương Số nguyên dương n số cân 8n2 + số phương 1.3 Khái niệm số đối cân Định nghĩa 1.3.1 Số nguyên dương n gọi số đối cân + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.4) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân ứng với số đối cân n Ví dụ 1.3.2 Các số 2, 14 84 số cân với hệ số đối cân 1, 35 Mệnh đề 1.3.3 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân Sử dụng phần mềm máy tính, ta thấy tất điểm nguyên (X, Y ) thỏa mãn (2.14) (0; 0) (±2, 0) Vì thế, Y = Do đó, ta Bn = Cn = 0, mâu thuẫn với n ≥ Do vậy, Cn số phương Trường hợp 2: l số lẻ Theo Bổ đề 2.3.3(e), phương trình (2.12) trở thành (2Pn )2 − y l = ±1 (2.15) Theo Bổ đề 2.3.9, cách lấy D = 1, ta thấy cho l ≥ nghiệm (2.15) {(2Pn , y, l)} = {(3, 2, 3)} (mâu thuẫn với 2Pn = 3) Mệnh đề 2.3.12 Cho số nguyên dương y, a, b b ≥ 2, phương trình (2.16) C n = 3a y b khơng có nghiệm ngun n ≥ Chứng minh Nếu n số nguyên chẵn từ ∤ C2 , theo hệ thức truy hồi Cn , ta thấy ∤ Cn Vì , Cn khơng thể phân tích thành 3a y b Bây ta xét trường hợp n số nguyên lẻ Ta chia thành hai trường hợp a, b *) Trường hợp 1: a b số chẵn Trong trường hợp này, ta viết a Cn = y b 2 (2.17) Theo Mệnh đề 2.3.11, điều không khả thi 43 *) Trường hợp 2: a số lẻ b số chẵn Trong trường hợp này, ta viết Cn = 3t2 vớit ∈ Z (2.18) Theo Bổ đề 2.3.3(b), sử dụng hệ thức Cn2 − 8Bn2 = (2.18), ta có 9t4 − 8Bn2 = (2.19) Nhân t2 vào hai vế (2.19) đặt r = t2 s = 2Bn t, ta 2s2 = 9r3 − r (2.20) Tiếp tục, nhân hai vế (2.20) với 648 đặt Y = 36s, X = 18r ta có đường cong eliptic E : Y = X − 36X (2.21) Sử dụng phần mềm MAGMA, ta thấy tất điểm (X, Y ) nguyên thỏa mãn (2.21) (±6, 0), (−3, ±9), (−2, −8), (0, 0), (12, ±36), (18, ±72), (294, ±5040) Nếu Y = ta Bn = Cn = (điều không khả thi) Nếu Y = −8 (tương ứng, Y = −9), s = − (tương ứng, s = ± ), điều khơng khả s số nguyên Nếu (X, Y ) = (12, ±36), r = s = ±1, điều khơng khả thi r số nguyên Nếu (X, Y ) = (18, ±72), (r, s) = (1, ±2) Điều suy t = ±1 Bn t = ±1 Điều mâu thuẫn với n ≥ Cuối cùng, (X, Y ) = (294, ±5040), 49 r = Điều khơng khả thi r số ngun Do đó, Cn khơng thể có dạng 3t2 với t số nguyên 44 *) Trường hợp 3: b số lẻ Sử dụng hệ thức Cn = 4Pn2 − phương trình 2.16 đặt x = 2Pn ta (2.22) x2 − 3a y b = Khi đó, cách lấy D = 3a Bổ đề 2.3.9, ta thấy tập hợp nghiệm (x, y, b, 3a ) có phương trình 2.22 sau {(2, 1, b, 3), (5, 2, 3, 3), (7, 2, 4, 3), (17, 2, 5, 9)} Ba bốn số cuối không thỏa mãn số nguyên x phương trình 2.22 số nguyên chẵn Cuối cùng, bốn số (2, 1, b, 3) dẫn đến n = 1, điều mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh 2.4 Lũy thừa tích số hạng số cân Mục đích mục trình bày kết định lý sau Định lý 2.4.1 Không tồn nghiệm nguyên (n, d, k, y, l) phương trình Diophant Bn Bn+d Bn+(k−1)d = y l (2.23) với n ≥ 1, d ≥ 1, k ≥ 2, y ≥ 1, l ≥ (n, d) = Để chứng minh định lý này, ta cần số bổ đề sau Bổ đề 2.4.2 Cho p số nguyên tố lẻ m | n Nếu p | n p | m Bm , Bn Bm 45 Bổ đề 2.4.3 Cho p số nguyên tố lẻ đặt e > số nguyên Nếu q | Bpe với q số nguyên tố, q ≥ 2p − Bổ đề 2.4.4 Cho n = Re pe11 perr phân tích số nguyên n thừa số nguyên tố Ở R = P (n) p1 , · · · , pr , R số nguyên Bn = tố phân biệt Khi BRe , BR e Chứng minh Nếu R = 2, ta có n = Re BR e , Bn BR e = (BRe , 1) = Do đó, ta giả sử R số nguyên lẻ Từ Re số nguyên tố lẻ, BRe Bn số lẻ Giả sử có số nguyên tố lẻ q | BRe , Theo Bổ BR e n đề 2.4.2,ta q | e = pe11 · · · perr Do đó, q = pi với ≤ i ≤ r R q < R Tương tự, từ q | BRe , theo bổ đề 2.4.3, ta có q ≥ 2R − 1, mâu thuẫn với q < R Do đó, khơng tồn ước nguyên tố Bn BR e , BR e Bổ đề 2.4.5 Cho n k số nguyên dương cho k < n Khi phương trình n+k−1 Bi = y l (2.24) i=n khơng có nghiệm ngun y ≥ l ≥ Chứng minh Từ k < n theo Bổ đề 2.3.4(1), {n, n + 1, · · · , n + k − 1} chứa thừa số nguyên tố R cho R > k Nếu R ước n + i n + j với i, j số nguyên cho ≤ i, j ≤ k − R | (i − j), mâu thuẫn với | i − j |< k Vì thế, R ước n + i với 46 i nhất, ≤ i ≤ k − Hơn nữa, (R, n + j) = 1, j = 0, · · · , k − j = i, suy (BR , Bn+j ) = B(R,n+j) = B1 = Thêm nữa, BR , k−1 j=0,j=i Bn+j (2.25) = Giả sử (2.24) có nghiệm nguyên y l ≥ Khi n+k−1 i=1 Bn+i Bi = BR BR k−1 Bn+j = y l (2.26) j=0,j=i Theo Bổ đề 2.4.4 phân tích thừa số nguyên tố số nguyên, ta kết luận BR = yRl với yR số nguyên, mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.10 Bây ta chứng minh định lý 2.4.1 Chứng minh Giả sử tồn số nguyên dương n, d, k cho Bn Bn+d · · · Bn+(k−1)d = y l với số nguyên y ≥ l ≥ Nếu d > k ≥ 2, theo Bổ đề 2.3.4(2), ta R = P (∆(n, d, k)) > k trừ (n, d, k) = (2, 7, 3) Nếu (n, d, k) = (2, 7, 3) 2.23 trở thành B2 B9 B16 = y l Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra B2 B9 B16 số lũy thừa Do đó, (n, d, k) = (2, 7, 3) Từ (n, d, k) = (2, 7, 3), ta có R > k Do đó, R | ∆(n, d, k) Giả sử R | (n + id) R | (n + jd) với i = j, ≤ i < j ≤ k − Vì R | (j − i)d Từ j − i < k R > k, 47 ta kết luận R | d Từ (n, d) = 1, ta thấy R ∤ n R ∤ (n + rd) với ≤ r ≤ k − Suy R ∤ ∆(n, d, k), dẫn đến mâu thuẫn Vì thế, R ước n + rd với ≤ r ≤ k − Đặt n + id = Re pe11 · · · perr với P (n + id) = R với i số thỏa mãn ≤ i ≤ k − Từ (Re , n + rd) = với r = i, ≤ r ≤ k − 1, ta (Bn+rd , BRe ) = (2.27) Từ P (n + id) = R, theo Bổ đề 2.4.4, ta có BR e , Bn+id BR e = (2.28) Bây ta viết phương trình (2.23) dạng Bn+id BR e BR e k−1 Bn+rd = y l (2.29) r=0,r=i Từ (2.27) (2.28), ta thấy   k−1 BRe , Bn+id Bn+rd  = e BR (2.30) r=0,r=i Theo (2.29), (2.30) phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, ta kết luận BRe số lũy thừa, điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.10 Vì , phương trình (2.23) khơng có nghiệm Khi d = n > k theo Bổ đề 2.4.5, ta kết luận phương trình (2.23) khơng có nghiệm Bây giờ, ta xem xét trường hợp cuối d = n ≤ k Theo Bổ đề 2.3.7, tồn số i với ≤ i ≤ k cho R = P (∆(n, k)) = n + i Vì vậy, (R, t) = 48 với n ≤ t ≤ n + k − t = n + i Suy (BR , Bt ) = Do đó, BR , k−1 j=0,j=i Bn+j = Vì thế, sử dụng Bổ đề 2.4.4, ta kết luận BR số lũy thừa, điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.10 2.5 Lũy thừa tích số Lucas cân Tương tự mục trước, định lý sau mục đích mục Định lý 2.5.1 Khơng tồn số nguyên (n, d, k, y, l) nghiệm phương trình Diophant (2.31) Cn Cn+d · · · Cn+(k−1)d = y l với n ≥ 1, d ≥ 1, k ≥ 2, y ≥ 1, l ≥ (n, d) = Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.5.2 Nếu (m, n) = (Cm , Cn ) = 3r với r số nguyên khơng âm Chứng minh Ta có tất số Lucas cân số lẻ, không ước nguyên tố (Cm , Cn ) Cho p ước nguyên tố lẻ (Cm , Cn ) ký hiệu (p) idean pZ[2] vành Z[2] Khi đó, sử dụng dạng Binet cho Cm ta α + β ≡ 0(modp), suy m Tương tự, m α β m α β ≡ −1(modp) n ≡ −1(modp) Từ (m, n) = 1, tồn số nguyên r s cho mr +ns = Do đó, ta có α β mr+ns ≡ α (modp) β 49 α (modp) Do đó, α ≡ ±β(modp) Nếu α ≡ Suy (−1)r+s ≡ β √ β(modp) ≡ 0(modp), điều khơng thể xảy p = Nếu α ≡ −β(modp) ∈ (p) Từ p = 2, có giá trị thỏa mãn p = Do đó, ước nguyên tố có (Cm , Cn ) Vì thế, (Cm , Cn ) = 3r với r số nguyên không âm Bổ đề 2.5.3 Cho n > số nguyên Đặt R = P (n) giả sử n/R số nguyên lẻ Khi CR , Cn CR = 3a với a số nguyên không âm Chứng minh Giả sử R số nguyên tố lẻ Cho p = số Cn nguyên tố lẻ cho p | CR , Theo Bổ đề 2.3.3(d), ta kết luận CR Q2R Q2n , p| Q2R n Do đó, theo Bổ đề 2.3.3(e), ta p | mà n/R số lẻ nên p ≤ R R Tương tự, ta có p | CR Nếu p khơng ước nguyên thủy CR p | Ci với i số nguyên, ≤ i < R Do đó, theo Bổ đề 2.5.2, ta (CR , Ci ) = 3b với b số nguyên không âm Suy p = 3, mâu thuẫn Q2R với giả thiết ban đầu Do đó, p ước nguyên thủy CR = đó, ta có p ≡ ±1(mod4R), suy p ≥ 4R − 1, mâu thuẫn Cn với p ≤ R Vì vậy, ước nguyên tố CR , Nếu CR R = n = 2a với a số nguyên dương Từ n/R số nguyên lẻ, 50 ta cần phải có n = Do đó, CR , CCRn = = 30 Suy điều phải chứng minh Bổ đề 2.5.4 Cho số nguyên dương m, y l > 1, phương trình m Ci = y l (2.32) i=1 khơng có nghiệm Chứng minh Giả sử tồn số nguyên dương m, y l > cho m i=1 Ci = y l Cho R số nguyên tố lớn nhỏ m Khi m < 2R Vì thế, với tất số nguyên i = 1, · · · , m với R = i, ta có (R, i) = Do đó, theo Bổ đề 2.5.2, với i = R, ≤ i ≤ m, ta có (CR , Ci ) = 3ri với ri số ngun khơng âm Vì thế, ta viết CR = 3t u Ci = 3ri vi với r, t, vi số nguyên, ∤ u (u, vi ) = Do đó, phương trình (2.32) trở thành m t ri v i = y l , 3u i=1,i=R suy m v i = 3k y l u i=1,i=R với k số nguyên Từ (u, vi ) = với tất i = R, ta có u = 3k y1l u = y1l với y1 ước y Vì vậy, CR = 3t1 y1l với t1 số 51 nguyên không âm Điều xảy theo Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Bây ta chứng minh Định lý 2.5.1 Chứng minh Giả sử tồn số nguyên dương n, d, k cho phương trình (2.31) với số số nguyên y > l > Giả sử k = Khi phương trình (2.31) trở thành Cn Cn+d = y l Từ (n, d) = 1, ta có (n, n + d) = Do đó, theo Bổ đề 2.5.2, ta có (Cn , Cn+d ) = 3r với r số ngun khơng âm Vì thế, theo tính phân tích số nguyên, ta Cn = 3r y1l với r số nguyên không âm y1 số nguyên dương (điều xảy theo Mệnh đề 2.3.11 2.3.12) Do trường hợp khơng thể xảy Giả sử k = Khi đó, ta viết phương trình (2.31) sau Cn Cn+d Cn+2d = y l Nếu n số chẵn n+d số lẻ Đặt P (n+d) = R R số nguyên tố lẻ Từ (n, d) = 1, ta thấy R ∤ n R ∤ n(n + 2d) Vì thế, (CR , Cn ) = 3a với a số nguyên không âm (CR , Cn+2d ) = 3b với b Cn+d = 3c số nguyên không âm Theo Bổ đề 2.5.3, ta CR , CR với c số nguyên khơng âm Vì vậy, CR = 3r y1l với số nguyên không âm r số nguyên dương y1 Điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Nếu n số lẻ n + 2d số lẻ Đặt P (n) = R 52 R số nguyên tố lẻ Từ (n, d) = ta thấy R ∤ (n + d) R ∤ (n + 2d) Do đó, (CR , Cn+d ) = 3a với a số nguyên không âm, Cn (CR , Cn+2d ) = 3b với b số nguyên không âm CR , = 3c với CR r l c số nguyên không âm Do đó, CR = y1 với r số nguyên không âm y1 số nguyên dương Điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Giả sử k = Khi phương trình (2.31) trở thành Cn Cn+d Cn+2d Cn+3d = y l Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử n n + 2d số lẻ Đặt P (n + 2d) = R R số nguyên tố lẻ Vì R ∤ n, R ∤ (n + d) R ∤ (n + 3d) Bây giờ, ta làm chứng minh trường hợp k = ta kết luận CR = 3r y1l với r số nguyên không âm y1 số nguyên dương Điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Giả sử k = Khi phương trình (2.31) trở thành Cn Cn+d Cn+2d Cn+3d Cn+4d = y l Nếu n số chẵn n + d, n + 3d số ngun lẻ Do đó, số chúng khơng phải ước 3, giả sử n + d Đặt P (n + d) = R R > số nguyên tố lẻ Vì R ∤ (n + 2d), R ∤ (n + 3d) R ∤ (n+4d) R > Vì thế, (CR , Cn ) = 3a với a số nguyên không âm,(CR , Cn+2d ) = 3b với b số nguyên không âm, (CR , Cn+3d ) = 3c với c số nguyên không âm (CR , Cn+4d ) = 3e với e số nguyên Cn+d = 3t với t số không âm Cũng theo Bổ đề 2.5.3, ta có CR , CR ngun khơng âm Do vậy, CR = 3r y1l với r số nguyên không âm, 53 y1 số nguyên dương Điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Nếu n số lẻ n+2d số nguyên lẻ Đặt P (n+2d) = R R số ngun tố lẻ Vì R ∤ n, R ∤ (n+d), R ∤ (n+3d) R ∤ (n + 4d) Vì thế, (CR , Cn ) = 3a với a số nguyên không âm,(CR , Cn+d ) = 3b với b số nguyên không âm, (CR , Cn+3d ) = 3c với c số nguyên không âm (CR , Cn+4d ) = 3e với e số nguyên Cn+d không âm Cũng theo Bổ đề 2.5.3, ta có CR , = 3t với t số CR r l nguyên không âm Do vậy, CR = y1 với r số nguyên không âm, y1 số nguyên dương Điều mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Bây giờ, ta xem xét trường hợp k ≥ d > Theo Bổ đề 2.3.5, tồn số nguyên i nhỏ thỏa mãn ≤ i < k cho P (n+id) = R > k n+id số nguyên lẻ Suy R số nguyên tố lẻ Từ R ước n+id, ta ý R ∤ (n+jd)∀j = i với ≤ j < k Thật vậy, giả sử R | (n + rd) với r = i ≤ r < k Do R | (r − i)d Từ | r − i |< k R > k, ta R | d (mâu thuẫn với (n, d) = 1) Do đó, R ước n + id R ∤ (n + jd) với j = i ≤ j < k Vì thế, (CR , Cn+rd ) = 3ar với ar số nguyên không âm r số nguyên, r = i Từ n + id số nguyên lẻ n + id số nguyên lẻ Vì R số nguyên tố lẻ, ta thấy R Cn+id = 3b với b số nguyên không vậy, theo Bổ đề 2.5.3, CR , CR c âm Đặt CR = u với c nguyên không âm, u số nguyên dương 54 Cn+id = (u, Cn+rd ) = với số nguyên CR r = i Ta cần viết lại phương trình (2.31) sau ∤ u Do đó, u, Cn+id 3u CR k−1 c Cn+id = y l (2.33) j=1,j=i Từ lập luận trên, ta kết luận u = 3r y1l với r số nguyên không âm y1 số nguyên dương Suy CR = 3c+r y1l (mâu thuẫn với Mệnh đề 2.3.11 2.3.12) Cuối cùng, xét trường hợp k ≥ 6, d = Trong trường hợp này, phương trình (2.31) trở thành k−1 Cn+i = y l (2.34) i=1 Nếu n ≤ 2k theo Bổ đề 2.3.7, tồn số nguyên i với ≤ i ≤ k − cho R = P (n(n + 1) · · · (n + k − 1)) = n + i Do vậy, (R, t) = với số nguyên t, n ≤ t ≤ n + k − t = n + i Suy (CR , Ct ) = 3a với a số nguyên không âm Do vậy, CR = 3r y1l với r số nguyên không âm y1 số nguyên dương Điều theo Mệnh đề 2.3.11 2.3.12 Nếu n > 2k theo Bổ đề 2.3.8, ta số nguyên i mà n + i số lẻ với R = P (n + i) > k R ∤ (n + j) với số nguyên j = 1, 2, · · · , k − j = i Do đó, lần ta đưa đến CR = 3a y1l với a số nguyên không âm y1 số nguyên dương Điều theo Mệnh đề 2.3.11 mệnh đề 2.3.12 55 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Nhắc lại khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số Pell, Đồng thời trình bày lại số kết Keskin Karaatli số cân số tam giác phương Trình bày lại số kết Karaatli Keskin số phương trình Diophant liên quan đến số tam giác phương số cân phương Trình bày lại số kết Dey Rout số phương trình Diohant liên quan đến số cân số Lucas cân 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân số đối cân bằng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] Dey P.K., Rout S.S (2017), “Diophantine equations concerning balancing and Lucas balancing numbers", Archiv der Mathematik 108(1), pp 29–43 [3] Karaatli O., Keskin R (2010), “On some diophantine equations related to square triangular and balancing numbers", Journal of Algebra, Number Theory: Advances and Applications 4(2), pp 71-89 [4] Keskin R., Karaatli O (2012), “Some new properties of balancing numbers and square triangular numbers", Journal of integer sequences 15, Article 12.1.4 57 ... cân bằng, số tam giác phương trình bày lại kết Keskin Karaatli [4] • Chương Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân Mục đích Chương trình bày lại số kết phương trình Diophant có liên quan. .. quan đến số cân Tài liệu tham khảo chương [2, 3] Chương Một số tính chất số cân Chương trình bày khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác phương số tính chất số cân trình. .. chất số cân bằng, nhiều nhà toán học nghiên cứu việc sử dụng số cân để giải số dạng phương trình Diophant Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số tính chất số cân bằng, số tam giác phương số