Luận văn về phương trình hàm jensen, tính ổn định và ứng dụng

1 Mở đầu Phương trình hàm là một nhánh của Toán học hiện đại, từ năm 1747 đến 1750 nhà toán học J D’Alembert đã công bố 3 bài báo liên quan về phương trình hàm, đây được xem là các kết quả đầu tiên về[.]

1 Mở đầu Phương trình hàm nhánh Toán học đại, từ năm 1747 đến 1750 nhà tốn học J D’Alembert cơng bố báo liên quan phương trình hàm, xem kết phương trình hàm Nhiều nhà toán học (tiêu biểu: N.H Abel, J Bolyai, A.L Cauchy, J D’Alembert, L Euler, M Fréchet, C.F Gauss, J.L.W.V Jensen, A.N Kolmogorov, N.I Lobacevskii, J.V Pexider, S.D Poisson) tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác nhau, nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể nghiệm), nghiên cứu nghiệm địa phương nghiệm toàn cục, nghiên cứu nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn, Dựa vào phương pháp tiếp cận đó, luận văn hồn thành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Nội dung luận văn trình bày số kiến thức phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] số tài liệu liên quan Ngồi mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định Ở chương luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, cách tìm nghiệm phương trình hàm Jensen xác định trường số thực nghiệm liên tục affine Sau đó, nghiên cứu nghiệm liên tục phương trình hàm Jensen khoảng đóng bị chặn Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu số tập áp dụng Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định phương trình hàm Jensen có tính ổn định Hyers-UlamRassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn Tin Phịng Đào tạo trường Trân trọng cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi trình học tập Đặc biệt, tơi xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Trần Xuân Quý, người Thầy hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Mặc dù bận rộn công việc Thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Học viên Hoàng Thế Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Với mục tiêu tìm hiểu phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng, chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết 1.1 Không gian định chuẩn hội tụ Đặt K := R K := C Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian véc tơ trường K Khi đó, X gọi không gian định chuẩn K tồn chuẩn k·k X, nghĩa với u, v ∈ X α ∈ K, ta có khẳng định sau: (i) kuk ≥ (tức kuk số thực không âm); (ii) kuk = u = 0; (iii) kαuk = |α| kuk; (iv) ku + vk = kuk + kvk Không gian định chuẩn tương ứng K = R K = C gọi không gian định chuẩn thực phức Số ku − vk gọi khoảng cách điểm u v Đặc biệt, kuk khoảng cách điểm u điểm gốc v = Vì −u = (−1)u, nên từ (iii) định nghĩa ta có k−uk = kuk với u ∈ X Từ (iv) ta có k(u + v) − wk ≤ ku + vk+kwk ≤ kuk+kvk+kwk P N P N kuj k với Tổng quát, quy nạp ta có uj ≤ j=1 j=1 u1 , , uN ∈ X, N = 1, 2, Ví dụ 1.1.2 Cho X := R Ta đặt kuk := |u| với u ∈ R, với |u| giá trị tuyệt đối u Khi đó, X = R gọi khơng gian định chuẩn thực Ví dụ 1.1.3 Cho X := C Ta đặt kuk := |u| với u ∈ C, với |u| module số phức u Khi đó, X gọi khơng gian định chuẩn phức Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian định chuẩn Khi đó, với u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau |kuk − kvk| ≤ ku ± vk ≤ kuk + kvk Định nghĩa 1.1.5 Cho (un ) dãy không gian định chuẩn X, tức là, un ∈ X với n Ký hiệu lim un = u n→∞ lim kun − uk = n→∞ Ta nói giới hạn dãy (un ) hội tụ u Ta ký hiệu un → u n → ∞ Mệnh đề 1.1.6 Cho X không gian định chuẩn K Cho un , , u, v ∈ X αn , α ∈ K với n = 1, 2, Khi ta có khẳng định sau (i) Nếu tồn giới hạn lim un , giới hạn n→∞ (ii) Nếu un → u n → ∞, (un ) bị chặn, nghĩa tồn số r ≥ thỏa mãn kun k ≤ r với n (iii) Nếu un → u n → ∞, kun k → kuk n → ∞ (iv) Nếu un → u → v n → ∞ un + → u + v n → ∞ (v) Nếu un → u αn → α n → ∞ αn un → αu n → ∞ Định nghĩa 1.1.7 Dãy (un ) không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số n0 (ε) thỏa mãn kun − um k < ε với n, m ≥ n0 (ε) Mệnh đề 1.1.8 Trong không gian định chuẩn, dãy hội tụ dãy Cauchy 1.2 Không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Định nghĩa 1.2.1 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.2.2 Khơng gian X := K không gian Banach K với chuẩn kuk := |u| với u ∈ K Ví dụ 1.2.3 Với N = 1, 2, Khơng gian X := KN không gian Banach K với chuẩn kxk := |x|∞ , |x|∞ := max |ξj | , 1≤j≤N với x = (ξ1, , ξN ) Xét xn = (ξ1n, , ξN n ) Khi lim |xn − x|∞ = lim ξkn = ξk với k = 1, , N n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.4 Với N = 1, 2, Không gian X := KN không gian Banach với chuẩn Euclide k·k, với  kxk :=  N X  21 ξj2  , j=1 x = (ξ1, , ξN ) Ngồi lim |xn − x| = lim ξkn = ξk với k = 1, , N n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.5 Với −∞ < a < b < +∞ Khi đó, X := C[a, b] khơng gian Banach với chuẩn kuk := max |u(x)| a≤x≤b Sự hội tụ un → x n → ∞ X, hay hiểu kun − uk = max |un (x) − u(x)| → a≤x≤b n → ∞ Mệnh đề 1.2.6 Cho (un ) dãy Cauchy không gian định chuẩn X Dãy (un ) chứa dãy (unk ) hội tụ tới u Khi dãy (un ) hội tụ tới u 1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính số kết Hàm f : R → R gọi hàm lồi thỏa mãn  x + y  f (x) + f (y) f (1.1) 2 với x, y ∈ R.(xem hình vẽ đây) Hàm lồi lần giới thiệu J.L.W.V.Jensen năm 1905, hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) nghiên cứu Hadamard (1893) Holder (1889) Ví dụ Một số ví dụ hàm lồi (a) f (x) = ax + b R với a, b ∈ R (b) f (x) = x2 R (c) f (x) = eαx R với α ≥ α ≤ (d) f (x) = |x| R với α ≥ (e) f (x) = x log x R+  π (f) f (x) = tan x 0, Tổng hữu hạn hàm lồi hàm lồi Tuy nhiên, tích hàm lồi chưa lồi Ví dụ, f (x) = x2 g(x) = ex hàm lồi R tích chúng h(x) = x2 ex hàm lồi R Một hàm A : X → Y gọi hàm cộng tính A(x + y) = A(x) + A(y) với x, y ∈ X Nếu A : R → R hàm cộng tính, A hàm lồi Nếu A : R → R hàm cộng tính f : R → R hàm lồi hàm hợp f (A(x)) hàm lồi Định lý 1.3.1 Cho X, Y không gian Banach Hàm f : X → Y thỏa mãn kf (x + y) − f (x) − f (y)k σ với σ > với x, y ∈ X Khi giới hạn Ax = lim 2−n f (2n x) n→∞ tồn với x ∈ X A : X → Y hàm cộng tính thỏa mãn kf (x) − A(x)k σ với x ∈ X Ngoài ra, f (tx) liên tục theo t với x ∈ X cố định, A tuyến tính Định lý 1.3.2 Cho X, Y không gian Banach Hàm f : X → Y thỏa mãn kf (x + y) − f (x) − f (y)k σ(kxkp + kykp ) với σ > 0, p ∈ [0, 1) với x, y ∈ X Khi tồn hàm cộng tính A : X → Y thỏa mãn kf (x) − A(x)k 2σ kxkp p 2−2 với x ∈ X Ngoài ra, f (tx) liên tục theo t với x ∈ X cố định, A tuyến tính Bổ đề 1.3.3 Cho X không gian Banach N số nguyên dương Cho trước c > 0, xét hàm f : (−c, c)N → X thỏa mãn bất đẳng thức kf (x + y) − f (x) − f (y)k σ với σ > với x, y ∈ (−c, c)N với x + y ∈ (−c, c)N Khi tồn hàm cộng tính A : RN → X thỏa mãn kf (x) − A(x)k (5N − 1)σ với x ∈ (−c, c)N Định lý 1.3.4 Cho X không gian Banach Giả sử A : X → X toán tử co chặt với số Lipschitz L < Nếu tồn số nguyên không âm n cho kAn0 +1 x − An0 xk < ∞ với x ∈ X có khẳng định sau: (i) Dãy (An x) hội tụ tới điểm bất động x∗ A; (ii) x∗ điểm bất động A X ∗ = {y ∈ X : kAn0 x − yk < ∞}; (iii) Nếu y ∈ X ∗ ky − x∗ k kAy − yk 1−L Nhận xét, kết Định lý 1.3.4 cho không gian metric đầy đủ 10 Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định Trong chương này, ta tìm hiểu phương trình hàm Jensen, nghiệm tổng quát phương trình hàm Jensen tập số thực Chúng ta tìm nghiệm liên tục phương trình hàm Jensen khoảng đóng bị chặn [a,b] Đồng thời, nghiên cứu nghiệm phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu số tập áp dụng Các kết tập áp dụng trích dẫn từ tài liệu [6] Cuối nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Jensen cụ thể tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động Các kết trích dẫn từ tài liệu [7, 10, 11] 2.1 2.1.1 Phương trình hàm Jensen Định nghĩa ví dụ Phương trình hàm có dạng  x + y  f (x) + f (y) f = 2 với x, y ∈ R gọi phương trình hàm Jensen 18 Bài tốn Tìm tất hàm f : C → C thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với x, y ∈ C Bài toán Với p, q, r ba số nguyên dương cho trước Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm  px + qy  pf (x) + qf (y) f = r r với x, y ∈ C Bài tốn Tìm tất hàm f : R2 → R thỏa mãn phương trình hàm  x + x y + y  f (x , x ) + f (y , y ) 2 2 3f , = 2 với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R Bài toán Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm x + y + z  h x + y  y + z  3f + f (x) + f (y) + f (z) = f +f 2 z + x i +f với x, y, z ∈ R Bài toán Chứng minh hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với x, y ∈ R thỏa mãn phương trình hàm f (x + y + z) + f (x) + f (y) + f (z) = f (x + y) + f (y + z) + f (z + x) 19 Bài toán Cho n > n nguyên dương Tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm  x + x + + x  f (x ) + f (x ) + + f (x ) n n f = n n với x1 , x2 , , xn ∈ R Bài tốn 10 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + 2y) + f (x − 2y) = 2f (x) với x, y ∈ R Bài toán 11 Nếu A : R → R hàm cộng tính f : R → R hàm lồi hàm hợp f (A(x)) hàm lồi 2.2 Tính ổn định phương trình hàm Jensen Có nhiều biến thể phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng quát, phương trình Hosszú, phương trình nhất, phương trình hàm tuyến tính, vv Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen phương trình đơn giản quan trọng số Những vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình Jensen chứng minh mục 2.2.1 đây, vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam phương trình miền giới hạn thảo luận mục 2.2.2 Hơn nữa, kết tính ổn định miền giới hạn áp dụng để nghiên cứu tính tiệm cận hàm cộng tính Trong mục cuối phần 2.2.3, chúng tơi trình bày cách tiếp cận khác để chứng minh tính ổn định, phương pháp điểm bất động 20 2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias Có thể nói, biến thể đơn giản phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Jensen, tức dạng x + y  2f = f (x) + f (y) Nghiệm phương trình hàm Jensen gọi hàm Jensen Nó biết đến hàm f từ khơng gian vectơ thực vào nó, với f (0) = 0, hàm Jensen hàm cộng tính Trong mục này, chúng tơi trình bày tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình hàm Jensen Các kết trích dẫn từ tài liệu [7, 11] Định lý 2.2.1 (Jung) Cho E1 E2 không gian định chuẩn thực không gian Banach thực Giả sử δ, θ ≥ cho p > với p 6= Giả sử hàm số f : E1 → E2 thỏa mãn bất phương trình hàm x + y  − f (x) − f (y) ≤ δ + θ (kxkp + kykp ) (2.20) 2f với x, y ∈ E1 Hơn nữa, giả sử f (0) = δ = (2.20) cho trường hợp p > Khi đó, tồn hàm cộng tính A : E1 → E2 thỏa mãn ( δ + kf (0)k + (21−p − 1)θkxkp ), với p < kf (x) − A(x)k ≤ −1 2p−1 (2p−1 − 1) θkxkp , với p > (2.21) với x ∈ E1 Chứng minh Nếu ta thay y = vào (2.20) ta có: k2f (x/2) − f (x)k ≤ δ + kf (0)k + θkxkp với x thuộc E1 (a) ... tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định Ở chương luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, cách tìm nghiệm phương trình hàm Jensen xác định trường... → R hàm cộng tính f : R → R hàm lồi hàm hợp f (A(x)) hàm lồi 2.2 Tính ổn định phương trình hàm Jensen Có nhiều biến thể phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví dụ phương trình Cauchy cộng tính. .. tính dạng tổng qt, phương trình Hosszú, phương trình nhất, phương trình hàm tuyến tính, vv Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen phương trình đơn giản quan trọng số Những vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias