Nghiên cứu mô phỏng hiện tượng chuyển pha trong mô hình 2d z(5)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG HIỆN TƯỢNG CHUYỂN PHA TRONG MƠ HÌNH 2D Z(5) ĐỒN THỊ THANH PHƯƠNG Phuongvatli38@gmail.com Ngành Vật lý kỹ thuật Giảng viên hướng dẫn chính: PGS TS Đào Xuân Việt Giảng viên hướng dẫn phụ: TS Dương Xuân Núi Viện: Đào tạo Quốc tế Khoa học vật liệu (ITIMS) HÀ NỘI, 10/2022 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên tác giả luận văn : Đoàn Thị Thanh Phương Đề tài luận văn: Nghiên cứu mơ tượng chuyển pha mơ hình 2D Z(5) Chuyên ngành: Vật lý kỹ thuật Mã số HV: 20202221M Tác giả, Người hướng dẫn khoa học Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên họp Hội đồng ngày 28/09/2022 với nội dung sau: Chỉnh sửa câu văn, viết lại xác định nghĩa từ tính, nêu rõ định nghĩa đại lượng độ cảm từ (Chương 1) Kiểm tra, chỉnh sửa công thức 1.3 (Chương 1), công thức 2.15 công thức 2.25 (Chương 2) Việt hóa từ tiếng anh số hình vẽ (Chương 1) Chỉnh sửa thích hình 1.6 (Chương 1) Chỉnh sửa hình vẽ Chương lớn Chỉnh sửa tên trục x, y hình 2.3 (Chương 2) Khắc phục lỗi tả luận văn Ngày 10 tháng 10 năm 2022 Giảng viên hướng dẫn Giảng viên hướng dẫn phụ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả luận văn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết khoa học trình bày luận văn thành nghiên cứu tơi nhóm nghiên cứu suốt thời gian học tập Viện Đào tạo Quốc tế Khoa học vật liệu (ITIMS) – Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Các số liệu kết có luận văn xác hồn tồn trung thực, khơng chép tài liệu khoa học khác Hà Nội,ngày 10 tháng 10 năm 2022 Giảng viên hướng dẫn Giảng viên hướng dẫn phụ Học viên cao học PGS TS Đào Xuân Việt TS Dương Xuân Núi Đoàn Thị Thanh Phương i ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy người giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn đến PGS TS Đào Xuân Việt – Viện ITIMS, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội TS Dương Xuân Núi – Trường Đại học Lâm nghiệp, hai thầy người hướng dẫn giúp đỡ Là người định hướng cho biết nên đâu dẫn bước trình nghiên cứu Các thầy ln quan tâm đến bước thực công việc, người gỡ rối tơi gặp khó khăn học tập nghiên cứu Nhờ có bảo tận tình hai thầy, đến tơi hồn thành đề tài tìm giải pháp mang lại kết tính tốn xác Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám đốc Viện Thầy, Cô tạo điều kiện thuận lợi, dạy tận tình, chu đáo, cho học quý giá trình học tập nghiên cứu Viện, giúp tơi hồn thiện kiến thức tảng cho cơng tác sau Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến TS Lương Minh Tuấn, người giúp đỡ tơi nhiệt tình từ ngày đầu chập chững bước chân vào Viện Đồng thời, gửi lời cảm ơn đến tất anh chị NCS, bạn HV sinh viên Viện giúp đỡ tơi q trình thực luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, người thân, người ủng hộ, động viên giúp đỡ thời gian học tập, nghiên cứu Viện Xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới người thân yêu TĨM TẮT NỘI DUNG Trong mơ hình 2D Z(5), ngồi tương tác trao đổi (J1) cịn có tương tác nematic (J2) nên ngồi cặp xốy spin ngun (chu kỳ 2π) cịn xuất thêm cặp xốy spin khơng nguyên (chu kỳ π) Sự tồn đồng thời cặp xốy ngun cặp xốy khơng ngun làm cho mơ hình xuất nhiều pha chuyển pha khác thường so với mơ hình 5-state clock phụ thuộc vào tỷ lệ cường độ tương tác trao đổi r Mơ hình 2D Z(5) nghiên cứu nhiều từ lâu tác giả đưa nhận định là: Den Nijs, Baltar cộng ra: i) ∆ > 0.618: mơ hình xuất hai chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT); ii) ∆ ~ 0.618: mơ hình có chuyển pha bậc 2; iii) 0.382 < ∆ < 0.618: mơ hình có chuyển pha bậc 1; iv) ∆ ~ 0.382: mơ hình có chuyển pha bậc 2; v) ∆ < 0.382: mơ hình có hai chuyển pha KT Tuy nhiên, Chatelain ra: i) ∆ > 0.618 iii mơ hình có hai chuyển pha KT; ii) ∆ < 0.618: mơ hình có chuyển pha (r = J2/J1 = 1−∆ ∆ ) Để làm rõ vấn đề tồn đọng chưa thống vùng ∆ < 0.382, khảo sát chuyển pha mô hình 2D Z(5) thơng qua đại lượng nhiệt dung riêng, độ từ hóa từ, độ từ hóa nematic, độ cảm từ, độ cảm từ nematic, tham số Binder, tham số nematic Binder, đạo hàm tham số Binder, đạo hàm tham số nematic Binder, tỷ số chiều dài tương quan từ tỷ số chiều dài tương quan nematic phương pháp Monte Carlo giá trị khác ∆ đoạn [0,1] Các kết mô vùng ∆ < 0.382 có hai chuyển pha KT Từ khóa: Chuyển pha Kosterlitz-Thouless, mơ Monte Carlo, vật liệu từ Tác giả Đoàn Thị Thanh Phương iv MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ x DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xiv Lý chọn đề tài xv Mục tiêu nghiên cứu luận văn xv Đối tượng phạm vi nghiên cứu xv Nội dung nghiên cứu luận văn xv Phương pháp nghiên cứu xvi Những đóng góp luận văn xvi CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Vật liệu từ 1.1.1 Từ tính 1.1.2 Phân loại vật liệu từ 1.1.2.1 Vật liệu nghịch từ 1.1.2.2 Vật liệu thuận từ 1.1.2.3 Vật liệu sắt từ 1.1.2.4 Vật liệu phản sắt từ 1.1.2.5 Vật liệu ferit từ 1.2 Pha chuyển pha vật liệu từ 1.3 Mơ hình hai chiều tượng chuyển pha 1.3.1 Mơ hình 2D Ising 1.3.2 Mơ hình 2D XY 1.3.3 Mơ hình 2D q-state clock 1.3.4 Mơ hình 2D general q-state clock 1.4 Mục tiêu nghiên cứu 13 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ 14 v 2.1 Giới thiệu Monte Carlo 14 2.1.1 Phương pháp lấy mẫu đơn giản 14 2.1.2 Phương pháp lấy mẫu quan trọng 14 2.2 Sơ đồ mô 15 2.3 Tham số đầu vào 15 2.4 Mô 18 2.4.1 Thuật toán Metropolis 19 2.4.2 Thuật toán Wolff 20 2.4.3 Kiểm tra cân 20 2.5 Tham số đầu 21 2.5.1 Năng lượng 21 2.5.2 Nhiệt dung riêng 21 2.5.3 Độ từ hóa độ từ hóa nematic 22 2.5.4 Độ cảm từ độ cảm từ nematic 22 2.5.5 Tham số Binder đạo hàm tham số Binder 23 2.5.6 Tỷ số chiều dài tương quan từ tỷ số chiều dài tương quan nematic 24 2.6 Tính nhiệt độ chuyển pha 24 2.6.1 Tính nhiệt độ chuyển pha bậc 24 2.6.2 Tính nhiệt độ chuyển pha bậc 25 2.6.3 Tính nhiệt độ chuyển pha KT 26 CHƯƠNG KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 27 3.1 0.0 ≤ ∆ < 0.382 27 3.2 ∆ = 0.382 (điểm ba) 31 3.3 0.382 < ∆ < 0.618 34 3.4 ∆ = 0.618 (điểm ba) 38 3.5 Vùng (0.618 < ∆ ≤ 1.0) 39 3.6 Giản đồ pha 43 KẾT LUẬN 47 vi Phụ lục A: ∆ = 0.0 thuộc vùng ≤ ∆ < 0.382 49 Phụ lục B: ∆ = 1.0 thuộc vùng 0.618 < ∆ ≤ 1.0 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 vii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Từ viết tắt Tên tiếng anh Tên tiếng việt 𝜃𝜃𝑖𝑖 Góc spin với trục hồnh vị trí nút mạng i Góc spin với trục hồnh vị trí nút mạng j Số nguyên phụ thuộc q 𝜃𝜃𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑗𝑗 C Specific heat Nhiệt dung riêng E Energy Năng lượng kB Boltzmann constant Hằng số Boltzmann KT Kosterlitz – Thouless Kosterlitz – Thouless L Lattice size Kích thước mạng N Numbers of lattice size Số nút mạng, N = L x L Number of Monte Carlo step Số bước Monte Carlo NT Numbers of temperature Số nhiệt độ T Temperature Nhiệt độ T1 Nhiệt độ chuyển pha pha trật tự pha giả trật tự Tc Phase transition temperature between ordered phase and quasi long-range order phase Phase transition temperature between quasi long-range order phase and disorder phase Second-order phase transition TP First-order phase transition Nhiệt độ chuyển pha bậc H Hamiltonian Hamiltonian NMC T2 Số nguyên phụ thuộc q Nhiệt độ chuyển pha pha giả trật tự pha trật tự Nhiệt độ chuyển pha bậc viii Hình 3.27 Tham số Binder (a) tham số nematic Binder (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 0.9 Hình 3.28 trình bày đạo hàm tham số Binder (dg/dT) đạo hàm tham số nematic Binder (dg2/dT) phụ thuộc vào nhiệt độ dg/dT ∆ = 0.9 giống với dg2/dT ∆ = 0.1 Hình 3.28 Đạo hàm tham số Binder (a) đạo hàm tham số nematic Binder (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆= 0.9 Thông qua cực tiểu âm đạo hàm tham số Binder, chúng tơi tính tốn nhiệt độ hai điểm chuyển pha Sử dụng công thức (2.28) cho trường hợp ∆ = 0.9 Trong hình 3.29, từ công thức (2.28) vẽ T1(L) T2(L) hàm 1/l2 với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c Điểm giao cắt đường liệu với trục nhiệt độ hình cho ta xác định nhiệt độ chuyển pha T1, T2 Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha T1 = 0.9719, b1 = 1.70 T2 = 0.9818, b2 = 0.6 Tính tốn tương tự ∆ = 0.8, xác định nhiệt độ chuyển pha T1 = 1.0166, b1 = 35.99, T2 = 1.0183, b2 = 0.17 42 Hình 3.29 T1(L) T2(L) với kích thước L =64, 96, 128, 192, 256, 384, 512 phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) Kết phù hợp định tính với nghiên cứu Chatelain, Baltar cộng vùng 0.618 < ∆ ≤ có hai chuyển pha KT khoảng cách hai nhiệt độ chuyển pha trường hợp nhỏ so với kết Baltar Chatelain [2, 7] Giản đồ pha  Từ T1, T2, Tc tính ∆ khác nhau, xây dựng giản đồ pha cho mơ hình 2D Z(5) (hình 3.30) 3.6 Hình 3.30 Giản đồ pha mơ hình 2D Z(5) Giản đồ gồm pha: pha trật tự (P), đường màu xanh dương đường màu đỏ pha giả trật tự (Q) pha trật tự (F) đường: đường màu xanh dương đường màu đỏ nhiệt độ chuyển pha KT T1 T2, đường màu xanh nhiệt độ chuyển pha bậc Trên giản đồ pha chia làm vùng gồm : 43 - ≤ ∆ < 0.382: Có hai chuyển pha KT từ pha trật tự (P) sang pha giả trật tự (Q) qua T1 từ pha giả trật tự (Q) sang pha sắt từ (F) qua T2 - ∆ = 0.318: Có chuyển pha bậc từ pha trật (P) sang pha trật tự (F) - 0.382 < ∆ < 0.618: Có chuyển pha bậc từ pha trật tự (P) sang pha trật tự (F) - ∆ = 0.618: Có chuyển pha bậc từ pha trật (P) sang pha trật tự (F) - 0.618 < ∆ ≤ 1.0: Có hai chuyển pha KT từ pha trật tự (P) sang pha giả trật tự (Q) qua T1 từ pha giả trật tự (Q) sang pha sắt từ (F) qua T2  Để thuận tiên việc so sánh với kết nghiên cứu trước, chuyển đổi từ giản đồ pha (∆, T) sang giản đồ pha (r, T) hình 3.31 Đường màu đen màu đỏ nhiệt độ chuyển pha KT T1 T2, đường màu xanh nhiệt độ chuyển pha bậc Hình 3.31 Giản đồ pha r-T mơ hình 2D Z(5) 44 Chúng tơi hệ thống lại tương ứng từ giản đồ pha ∆-T sang r-T bảng 3.1 đây: ∆, T r, T 0.618 < ∆ ≤ 1.0 ≤ r < 0.618 ∆ = 0.618 r ≈ 0.618 chuyển pha bậc 0.382 < ∆ < 0.618 0.618 < r < 1.618 chuyển pha bậc ∆ = 0.382 r ≈ 1.618 chuyển pha bậc ≤ ∆ < 0.382 r > 1.618 chuyển pha KT Kết chuyển pha KT Bảng 3.1 Kết vùng theo (∆, T) (r, T) Kết vùng ≤ r < 0.618 có hai chuyển pha KT phù hợp định tính với kết Baltar, Chatelain Bonnier [2, 7, 39] Tuy nhiên, khoảng cách nhiệt độ chuyển pha ∆T = T2 – T1 nhỏ so với kết Baltar Chatelain Kết điểm ba r ≈ 0.618 có chuyển pha bậc giống với kết Bonnier, khác với Baltar Rouidi tác giả điểm ba (FZ) r = 0.64 [7, 8, 39] Kết vùng 0.618 < r < 1.618 có chuyển pha bậc phù hợp với kết nghiên cứu Baltar, Rouidi, Chatelain [2, 4, 7] Kết điểm ba (FZ) r ≈ 1.618 có chuyển pha bậc 2, khác với kết Baltar (tác giả điểm FZ r = 1.56) [7] Kết vùng r > 1.618 phù hợp định tính với kết Baltar (tác giả hai chuyển pha) không phù hợp định lượng (khoảng cách nhiệt độ chuyển pha ∆T = T2 – T1 nhỏ so với kết Baltar) khác với kết Chatelain (tác giả cho có chuyển pha KT) [2, 7]  Bên cạnh đó, chúng tơi vẽ phụ thuộc cực tiểu âm theo 1/L tham số Binder với ∆ = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.35, 0.37, 0.382, 0.39, 0.4, 0.5 để thấy rõ chuyển đổi pha vùng Từ hình 3.32 cho thấy với ∆ < 0.382 L tiến đến ∞, cực tiểu âm tiến 0, biểu chuyển pha KT ∆ = 0.382 L đến ∞, với L đủ lớn, cực tiểu âm tiến đến giá trị hữu hạn, biểu chuyển pha bậc hai Đối với ∆ = 0.4, 0.5 cực tiểu âm tiến đến ∞ L dần ∞, biểu chuyển pha bậc [36, 37] 45 Hình 3.32 Sự phụ thuộc cực tiểu âm tham số Binder theo 1/L ∆ = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.35, 0.37, 0.39, 0.382, 0.4, 0.5 46 KẾT LUẬN Trong nghiên cứu này, khảo sát tượng chuyển pha mơ hình 2D Z(5) phương pháp Monte Carlo Các đại lượng vật lý tính tốn nhiệt dung riêng, độ từ hóa, độ cảm từ, tỷ số chiều dài tương quan, tỷ số chiều dài tương quan nematic, tham số Binder, đạo hàm tham số Binder, tham số nematic Binder đạo hàm tham số nematic Binder Một số kết thu từ biểu tham số Binder tính tốn nhiệt độ chuyển pha thông qua đạo hàm tham số Binder ∆ khác nhau: + Xây dựng giản đồ pha ∆-T xác cho mơ hình 2D Z(5) + Vùng ≤ ∆ < 0.382 tương đương với J2 /J1 > 1.618 có hai chuyển pha KT, phù hợp với kết Baltar khác với kết Chatelain + Sử dụng cực tiểu âm đại lượng đạo hàm tham số Binder để phân loại chuyển pha: i) cực tiểu âm tiến đến chuyển pha KT; ii) cực tiểu âm tiến đến ∞ chuyển pha bậc 1; iii) cực tiểu âm tiến đến giá trị hữu hạn chuyển pha bậc 47 CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ Đoàn Thị Thanh Phương, Trương Thị Bạch Yến, Dương Xuân Núi, Nguyễn Đức Trung Kiên, Đào Xuân Việt, “Nghiên cứu mô tượng chuyển pha mô hình 2D Z(5)”, Hội nghị Vật lý chất rắn Khoa học vật liệu toàn quốc lần thứ XII, 1, 144 - 148 (2022) Doan Thi Thanh Phuong, Truong Thi Bach Yen, Duong Xuan Nui, Nguyen Duc Trung Kien and Dao Xuan Viet, “Phase diagram in the two-dimentional Z(5) model” (draft) 48 Phụ lục A: ∆ = 0.0 thuộc vùng ≤ ∆ < 0.382 Hình a.1 trình bày kết mô đại lượng tỷ số chiều dài tương quan (ξ/L) tỷ số chiều dài tương quan nematic (ξ2/L) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Đại lượng 𝜉𝜉 ⁄𝐿𝐿 𝜉𝜉2 ⁄𝐿𝐿 có biểu giống với 𝜉𝜉 ⁄𝐿𝐿 𝜉𝜉2 ⁄𝐿𝐿 ∆ = 0.1 trình bày mục 3.1 chương Hình a.1 Tỷ số chiều dài tương quan (a), tỷ số chiều dài tương quan nematic (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 0.0 Hình a.2 biểu diễn tham số Binder (g) tham số nematic Binder (g2) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước Ở đây, đại lượng g g2 ∆ = 0.0 giống với ∆ = 0.1 Hình a.2 Tham số Binder (a) tham số nematic Binder (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 0.0 Để thấy rõ dấu hiệu nhiệt độ chuyển pha, chúng tơi tính thêm đại lượng đạo hàm tham số Binder (dg/dT) đạo hàm tham số nematic Binder (dg2/dT) phụ thuộc vào nhiệt độ Kết cho thấy dg/dT dg2/dT ∆ = 0.0 giống với dg/dT dg2/dT ∆ = 0.1 49 Hình a.3 Đạo hàm tham số Binder (a) đạo hàm tham số nematic Binder (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 0.0 Thơng qua đỉnh này, chúng tơi tính tốn nhiệt độ hai điểm chuyển pha Sử dụng công thức (2.28) cho trường hợp ∆ = 0.0, thu kết sau (hình a.4): Hình a.4 T1(L) T2(L) với kích thước phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) Trong hình a.4, từ cơng thức (2.28) vẽ T1(L) T2(L) hàm 1/l2 với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c Điểm giao cắt đường liệu với trục nhiệt độ hình cho ta xác định nhiệt độ chuyển pha T1, T2 Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha T1= 0.9125, b1 = 365.17 T2 = 0.938, b2 =3.13 50 Phụ lục B: ∆ = 1.0 thuộc vùng 0.618 < ∆ ≤ 1.0 Hình b.1 mơ tả tỷ số chiều dài tương quan từ tỷ số chiều dài tương quan nematic phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước L =32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Đại lượng 𝜉𝜉 ⁄𝐿𝐿 𝜉𝜉2 ⁄𝐿𝐿 có biểu giống với 𝜉𝜉 ⁄𝐿𝐿 𝜉𝜉2 ⁄𝐿𝐿 ∆ = 0.9 trình bày mục 3.5 chương Hình b.1 Tỷ số chiều dài tương quan từ (a) tỷ số chiều dài tương quan nematic (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 1.0 Hình b.2 biểu diễn phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước tham số Binder tham số nematic Binder.Ở đây, đại lượng g ∆ = 1.0 giống với g2 ∆ = 0.9 và g2 ∆ = 1.0 giống với g ∆ = 0.9 Hình b.2 Tham số Binder (a) tham số nematic Binder (b) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 1.0 Để thấy rõ dấu hiệu nhiệt độ chuyển pha, chúng tơi tính thêm đại lượng đạo hàm tham số Binder (dg/dT) đạo hàm tham số nematic Binder (dg2/dT) phụ thuộc vào nhiệt độ Kết cho thấy dg/dT dg2/dT ∆ = 1.0 giống với dg/dT dg2/dT ∆ = 0.9 (hình b.3) 51 Hình b.3 Đạo hàm tham số Binder (a) đạo hàm tham số nematic Binder (a) phụ thuộc vào nhiệt độ kích thước cho ∆ = 1.0 Thông qua đỉnh này, tính tốn nhiệt độ hai điểm chuyển pha Sử dụng công thức (2.28) cho trường hợp ∆ = 1.0, chúng tơi thu kết sau (hình b.4): Hình b.4 T1(L) T2(L) với kích thước phụ thuộc theo 1/l2 với l = ln(bL) Trong hình b.4, từ công thức (2.28) vẽ T1(L) T2(L) hàm 1/l2 với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b c mơ hình Điểm giao cắt đường liệu với trục nhiệt độ hình cho ta xác định nhiệt độ chuyển pha T1, T2 Kết tính tốn nhiệt độ chuyển pha T1 = 0.9161, b1 = 7.80 T2 = 0.9389, b2 = 1.09 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M den Nijs, “ String melting of the floating phase in anti-ferromagnetic clock model,” Phys Rev B 31, 226 (1985) [2] Chatelain, “Numerical study of the critical phase of frustrated Z(5) model,” Journal of statistical Mechanics, 013306 (2016) [3] R J Baxter, “Potts model at the critical temperature,” Journal of physic C: Solid state Physics 6, L445 (1973) [4] V A Fateev and A B Zamolodchikov, “ Self-dual solutions of the star triangle relations in Z(n) model,” Phys Letters 92A, 27 (1982) [5] J V Jose, L P Kadanoff, S Kirkpatrick, and D R Nelson, “Renormalization, vortices, and symmetry breaking perturbations in the two-dimentional plannar model,” Phys Rev B 16, 1217 (1977) [6] John L Cardy and S Ostlund, “Random symmetry breaking fields and the xy model,” Phys Rev B 25, 6899 (1982) [7] M E Pol V L V Baltar, G M Carneiro and N Zagury, “Monte Carlo study of the Z(5) model,” Phys A: Math Gen 18, 2017 (1985) [8] Rouidi and Y Leroyer, “Testing weak first-order transitions in the twodimentional Z5-symmetric spin model,” Phys Rev B 45, 1013 (1992) [9] Henrique A Fernandes Roberto D Silva and J R Drugowich de Felicio, “ None quilibrium scalling explorations on a two-dimentional Z(5) symmetric model,” Phys Rev E 90, 042101 (2014) [10] J M Kosterlitz and D J Thouless, “Ordering metastability and phase transitions in two-dimentional systems,” Journal of physics C: Solid state physics 6, 1181 (1973) [11] Từ học vật liệu từ, Thân Đức Hiền, NXB Bách Khoa - Hà Nội (2008) [12] B D Cullity and C D Graham, “Introduction to Magnetic Meterials,” Wiley IEEE Press, United Kingdom (2011) [13] Vật lý chuyển pha, Nguyễn Hữu Đức, NXB-ĐHQG-HN (2003) 53 [14] Brush, Stephen G, “History of the Lenz-Ising Modeul,” Phys Rev Mod, 39 883 (1967) [15] Wagner, N D Mermin and H, “Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in one-or two-dimentional Isotropic Heisenberg Models,” Phys Rev Lett, 17, 1133 (1966) [16] John L Cardy, “ General discrete plannar models in two-dimentions: duatlity properties and phase diagrams,” J Phys A: Math Gen,13, 1507-1515 (1980) [17] G Ortiz, E Cobanera, Z Nussinov, “Dualities and the phase diagram of the pclock model,” Nuc Phys B, 854, 780 (2012) [18] V Raghran, “ Magnetic properties offemtes: ferrimggnetism and antiferromagnetism,” Ann Phys Paris 3, 137-98 (1948) [19] Nghiên cứu tương chuyển pha Kosterlitz-Thouless mô hình 2D XY tổng quát, Dương Xuân Núi, ĐHBK-HN (2020) [20] Benyoussef, M Loilidi, “Phase diagrams of the Dilute Ashkin-Teller model,” Phys status sclidi (b), 182 201-209 (1994) [21] G A Canova, J J Arenzoro, Y Levin, “Kosterlitz-Thouless and Potts transitions in a generalized XY model,” Phys Rev E, 89 012126 (2014) [22] J Kotzel, “Introduction to Monte Carlo methods for an Ising model of a Ferromagnet,” ArXir: 0803.0217[cond.mat.stat-mech] (2008) [23] N Metropolis et al, “Equation of state calculations by Fast Computing Machines,” J Chem Phys, 21 1087-1092 (1953) [24] Kotze, “Introduction to Monte Carlo methods for an Ising Model of a ferroagnet,”arXiv:0803.0217 [cond-mat.stat-mech] (2008) [25] Davit P Laudau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulation in statistical Physics 4th, Cambridge: Cambridge University Press (2015) [26] Jakub Imriska, “Phase diagram of a modified XY model,” Bachelor thesis Bratislava (2009) [27] D Loison, “Binder’s cumulant for the Kosterlitz-Thouless transition,” J Phys: Condens Matter 11, 401-406 (1999) 54 [28] Katzgraber, H G., “Phase transitions-Proseminar in Theoretical Physics”, Institut fur Theoretische Physik (ETH Zurich) SS07 [29] Kawamura, Daoxuan Viet and Hikaru, “Monte Carlo studies of chiral and spin ordering of the three-dimensional Heisenberg spin glass,” Phys Rev B 80, 064418 (2009) [30] H G Ballesteros, A Cruz, L A Fernandez, V Martin – Mayor, J Pech, J J Ruiz – Loreno, A Tanrancon, P Tellez, C L Ullod and C ungil, “ Critical behavior of the three – dimensional ising spin glass,” Phys Rev B B62, 14237 (2000) [31] D X Viet and H Karamura, “Monte Carlo studies of the Ordering of the One – Dimensional Heisenberg spin glass with long – range – Power- law Interactions,” Phys Rev Lett 105, 097206 (2010) [32] M Dolfi, J Gukelberger, A Hehn, J Jmriska, K Pakrouski, T F Ronnon, M Troyer, and I Zintchenko, F Chirigati, J Freme, and D Shasha, “A model project for reproducibls papers: critical temperature for the Ising model on a square lattice,” arXiv: 1401.2000vl (2014) [33] A K Murtazaev, A B Babaev, and G Ya Ataeva, “Phase transitions in twodimensional ferromagnetic Potts model with q = on a triangular lattice,” Low Temp Phys 39, 147 (2013) [34] Tasrief Surungan and Yuitaka Okabe, “Kosterlitz-Thouless transition in plannar spin models with bond dilution,” Phys Rev B 71, 184438 (2005) [35] Peter Young, “Everything you wanted to know about fitting,” arXiv: 1210.378lv3 (2014) data analysis and [36] D Loison and K D Shotte, “First and second order transision in frustrated XY systems”, The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems 5, 735-743 (1988) [37] A B Babaev and A K Murtazaev, “Phase transitions in low- dimensional Disordered Potts models,” Physics of the solid state, 62, 851-855 (2020) [38] Roberto da Silva, Henrique A Fernandes and J R Drugowich de Felicio, “ Nonequilibrium scaling explorations on a two-dimentional Z(5)-symmetric model,” Phys Rev E 90, 042101 (2014) 55 [39] B Bonnier and K Rouidi, “Critical properties of general class of Z(5)symmetric spin models”, Phys Rev B 42, 8157 (1990) [40] B Bonnier and Y Leroyer, “Zeros of the partition function for the twodimentional Z5-symmetric spin model”, Phys Rev B 44, 9700 (1991) [41] A Taroni, S T Bramwell and P C W Holdsworht, “Universal window for two-dimensional critical exponents”, Phys Condens Matter 20 275233 (2008) [42] Jonathan, “Monte Carlo method applied on a 2D binary alloy using an Ising model on Python”, Advanced science news, 2018 Impact factor [43]https://ps.uci.edu/~cyu/p115A/LectureNotes/Lecture19/html_version/lecture19 html [44] David L Cortie, Grace L Causer, Kirrily C Rule, Helmut Fritzsche, Wolfgang Kreuzpaintner, and Frank Klose, “Two-Dimensional Magnets: Forgotten History and Recent Progress towards Spintronic Applications”, Advanced FunctionalMaterials 30(18):1901414 (2020) [45] wikimedia.org/wiki/File:XY_Magnetisation.svg [46] S Chatterjee, S Puri, and R Paul, “Ordering kinetics in the q-state clock model: Scalling properties and growth laws”, Phys Rev E 98, 032109 (2018) [47] S Romano, “Topological transitions in two-dimensional lattice spin model”, Phys Rev E 73, 042701 (2006) [48] A K Murtazaev, “Phase transitions in two-dimensional ferromagnetic Potts model with q = on a triangular lattice”, Low Temperature Physics 39, 147 (2013) [49] Đoàn Thị Thanh Phương, Trương Thị Bạch Yến, Dương Xuân Núi, Nguyễn Đức Trung Kiên, Đào Xuân Việt, “Nghiên cứu mô tượng chuyển pha mơ hình 2D Z(5)”, Hội nghị Vật lý chất rắn Khoa học vật liệu toàn quốc lần thứ XII, 1, 144 -148 (2022) [50] https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%AB_t%C3%ADnh 56 ... Pha chuyển pha vật liệu từ 1.3 Mơ hình hai chiều tượng chuyển pha 1.3.1 Mơ hình 2D Ising 1.3.2 Mơ hình 2D XY 1.3.3 Mơ hình 2D q-state clock 1.3.4 Mô hình. .. [7] 11 Hình 1.16 Giản đồ pha x1-x2 mơ hình 2D Z(5) theo Rouidi [8] 12 x Hình 1.17 Giản đồ pha x1-x2 mơ hình 2D Z(5) theo Silva [38] 12 Hình 1.18 Giản đồ pha r-T mơ hình 2D Z(5) theo... mơ hình có hai chuyển pha KT; ii) ∆ < 0.618: mơ hình có chuyển pha Để làm rõ vấn đề tồn đọng chưa thống vùng ∆ < 0.382, chọn đề tài ? ?Nghiên cứu mơ tượng chuyển pha mơ hình 2D Z(5)? ?? Mục tiêu nghiên