SAI LẦM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TỪ CÁCH TIẾP CẬN CỦA SUY LUẬN TƯƠNG TỰ VÀ HỢP ĐỒNG DẠY HỌC BÙI PHƯƠNG UYÊN* TÓM TẮT Dự đoán sai lầm liên quan đến một tri thức và xác định nguồn gốc của cá[.]
Bùi Phương Uyên TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SAI LẦM LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TỪ CÁCH TIẾP CẬN CỦA SUY LUẬN TƯƠNG TỰ VÀ HỢP ĐỒNG DẠY HỌC BÙI PHƯƠNG UN* TĨM TẮT Dự đốn sai lầm liên quan đến tri thức xác định nguồn gốc sai lầm cần thiết trình dạy học (DH) Từ cách tiếp cận suy luận tương tự hợp đồng dạy học, chúng tơi trình bày nghiên cứu sai lầm học sinh liên quan đến phương trình mặt phẳng thơng qua thực nghiệm sư phạm Từ khóa: suy luận tương tự, sai lầm, hợp đồng dạy học, phương trình mặt phẳng ABSTRACT Errors related to the plane equation through analogy and teaching contract approach Predicting possible errors related to the knowledge and finding their causes are necessary in the teaching process From analogy and teaching contract approach, the researcher presents a study of errors of students related to the plane equation through a pedagogical experiment Keywords: analogy reasoning, errors, teaching contract, plane equation Đặt vấn đề Suy luận tương tự phép suy luận quy nạp khơng hồn tồn nên khơng phải kết luận Do đó, dùng suy luận tương tự dạy học tốn dẫn đến sai lầm Khi đó, có quy tắc hợp đồng dạy học học sinh (HS) liên quan đến kiến thức suy cách tương tự từ quy tắc kiến thức cũ, quy tắc khơng hồn tồn tình Với cách tiếp cận này, tiến hành nghiên cứu số sai lầm HS học phương trình tổng quát (PTTQ) mặt phẳng Cơ sở lí thuyết 2.1 Suy luận tương tự Danh từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, từ toán học Hi Lạp Từ có nghĩa hai tỉ số Chẳng hạn, 3:4::9:12, tức hệ hai số tương tự với hệ hai số 12 = 12 [5, tr.81-82] Theo G Polya (1977), tương tự kiểu giống Những đối tượng phù hợp với mối quan hệ quy định đối tượng tương tự Hai hệ tương tự chúng phù hợp với mối quan hệ xác định rõ * NCS trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: bpuyen@ctu.edu.vn ràng phận tương ứng Ví dụ tam giác mặt phẳng tương ứng tứ diện không gian [6, tr 24-26] Vật làm sở cho tương tự, phần tử để so sánh gọi nguồn; đó, vật giải thích, học nhờ sử dụng tương tự gọi đích Trong DH tốn, việc sử dụng tương tự chuyển tư tưởng từ kiến thức nguồn thành kiến thức đích Do đó, suy luận tương tự có ứng dụng: Xây dựng nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng tương tự để giải tập toán cho HS Suy luận tương tự giúp HS tìm tịi, khám phá kiến thức Tuy nhiên, suy luận tương tự cho kết luận Điều suy luận tương tự suy luận quy nạp, suy luận diễn dịch, nên kết luận dự kiến giả thuyết Thực tế đắn suy luận tương tự không bảo đảm, mà phải kiểm chứng Vì vậy, sử dụng suy luận tương tự, HS mắc phải sai lầm q trình học tập 2.2 Quan niệm sai lầm Theo thuyết hành vi, sai lầm phản ánh thiếu hiểu biết hay vô ý mà Ngược lại, học thuyết kiến tạo cho sai lầm nhận sai lầm đóng vai trị xây dựng hoạt động nhận thức, tạo cân hệ tư chủ thể, việc nhận sai lầm tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua làm nảy sinh cân gia Sai lầm kiện thứ yếu xảy q trình: khơng nằm kiến thức mà biểu kiến thức G Brousseau (1976) nhấn mạnh: “Sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh , mà hậu kiến thức trước tỏ có ích, đem lại thành công, lại tỏ sai đơn giản khơng cịn phù hợp Những sai lầm thuộc loại thất thường hay khơng dự đốn Chúng tạo thành chướng ngại.” (dẫn theo [1, tr.57]) G Brousseau cho đường HS phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ số kiến thức sai chưa hoàn chỉnh, việc ý thức đặc trưng sai lầm yếu tố cấu thành nên nghĩa kiến thức mà ta muốn xây dựng cho HS 2.3 Lí thuyết nhân chủng học Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân Quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O) tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trị gì… I [1, tr 317] Quan hệ cá nhân X với tri thức O, R (X, O) tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O Việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O) Hiển nhiên, tri thức O, quan hệ thể chế I, mà cá nhân X thành phần, luôn để lại dấu ấn quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X, O) ta cần đặt R(I, O) Tổ chức tốn học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội, thực tế toán học kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Chính quan điểm dẫn đến khái niệm praxéologie Dẫn theo [1, tr 319], Chevallard praxéologie gồm thành phần [ T ,τ ,θ , Θ] , T kiểu nhiệm vụ, τ kĩ thuật cho phép giải T, θ công nghệ giải thích cho kĩ thuật τ , Θ lí thuyết giải thích cho θ Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức tốn học Do đó, việc phân tích tổ chức tốn học liên quan đến đối tượng tri thức cần thiết trình dạy học tri thức cho phép vạch rõ mối quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức Từ đó, tìm hiểu nguồn gốc sai lầm mà HS gặp phải học tập tri thức 2.4 Hợp đồng dạy học Hợp đồng DH tập hợp quy tắc phân chia giới hạn trách nhiệm bên, giáo viên (GV) HS, đối tượng tri thức tốn học giảng dạy Nó tập hợp quy tắc hoạt động, điều kiện quy định mối quan hệ GV HS [1,tr.339] Hợp đồng DH xem công cụ để nghiên cứu sai lầm HS dự đoán nguyên nhân sai lầm Làm để xác định hiệu lực hợp đồng dạy học Một phương pháp nghiên cứu có hiệu hợp đồng DH tạo biến loạn hệ thống giảng dạy cho đặt GV HS tình khác lạ gọi tình phá vỡ hợp đồng [1, tr 339] Để tạo tình phá vỡ hợp đồng, tiến hành theo cách sau: - Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức; - Đặt HS phạm vi hợp thức tri thức bàn tới tình mà tri thức khơng giải được; - Đặt GV trước ứng xử HS không phù hợp với điều mà GV mong đợi Chẳng hạn câu trả lời khác lạ cho cho tình Thiết kế tình quan sát ứng xử GV HS, phân tích sản phẩm mà họ tạo để thấy hiệu lực hợp đồng: việc quy tắc hợp đồng chi phối ứng xử họ Xác định sai lầm liên quan đến phương trình tổng quát mặt phẳng Ở đây, xét đối tượng O “PTTQ mặt phẳng”, thể chế I thể chế DH toán lớp 12 Sách giáo khoa (SGK) sử dụng Hình học 12 (Cơ Nâng cao) 3.1 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng Đầu tiên, xin đề cập hai kiểu nhiệm vụ phương trình đường thẳng Kiểu nhiệm vụ T1: Viết PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B phân biệt Kĩ thuật τ1 : - Chọn VTCP u = AB = (a; b) , suy VTPT n = (b; −a) - Thay tọa độ điểm A n vào phương trình (PT) A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = Kiểu nhiệm vụ T2: Viết PTTQ đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng d (điểm A không thuộc đường thẳng d) Kĩ thuật τ : - Chọn VTCP u = (a;b) , suy VTPT n = (b; −a) - Thay tọa độ điểm A n vào PT A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = Hai kiểu nhiệm vụ quen thuộc HS học PTTQ đường thẳng Kĩ thuật τ τ nói chiến lược tối ưu Vì vậy, HS thực hai kĩ thuật cho toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 T2 Tiếp theo, xin đề cập hai kiểu nhiệm vụ liên quan đến O Kiểu nhiệm vụ T1’: Viết PTTQ mặt phẳng qua ba điểm A, B, C phân biệt Kĩ thuật τ ' : - Chọn VTCP u = AB, u = AC , suy VTPT n = [ u , u 1 2 ] - Thay tọa độ điểm A n vào PT A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = Kiểu nhiệm vụ T2’: Viết PTTQ mặt phẳng qua điểm A song song với hai đường thẳng d, d’ phân biệt Kĩ thuật τ ' : - Chọn VTCP ud , ud ' , suy VTPT n = d[ u d , u - Thay tọa độ điểm A n vào PT ] A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = Kiểu nhiệm vụ Ti Số lượng Kiểu nhiệm vụ Ti’ Số lượng T1 T1’ T2 T2’ Bảng Thống kê số lượng tập theo kiểu nhiệm vụ SGK 3.2 Phân tích sai lầm liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1’ T2’ Chúng ta biết đường thẳng mặt phẳng có đặc điểm tương tự: siêu phẳng không gian Euclide hai chiều ba chiều, xác định biết điểm qua VTPT, có PTTQ tương tự Do đó, cách tìm PTTQ mặt phẳng tương tự cách tìm PTTQ đường thẳng: hai kĩ thuật giải τ ' τ ' kiểu nhiệm vụ T1’, T2’ nêu tương tự kĩ thuật τ τ kiểu nhiệm vụ T1, T2 Ở kiểu nhiệm vụ T1, HS thường không cần thực việc kiểm tra phân biệt hai điểm A, B rõ ràng Kĩ thuật τ cho phép HS đưa lời giải ' A, B, C không thẳng hàng Tuy nhiên, điểm A, B, C thẳng hàng khơng phù hợp nữa, HS lúng túng tính n = [1 u , u ] = Trong trường hợp này, HS cho GV cho đề sai, mà đưa kết luận phù hợp Ở kiểu nhiệm vụ T2, kĩ thuật τ mang lại lời giải đúng, HS áp dụng vào lời giải mà không cần kiểm tra Còn kiểu nhiệm vụ T2’, kĩ thuật τ ' cho lời giải trường hợp d d’ cắt chéo Khi d song song d’ kĩ thuật khơng cịn phù hợp Từ cho phép chúng tơi dự đốn hai sai lầm sau đây: SL1: HS sử dụng công thức n = [1 u mà không kiểm tra tính thẳng hàng VTPT ,u ] ba điểm cho thực kiểu nhiệm vụ T1’ SL2: HS sử dụng công thức VTPT n = [d u d ,u ] mà không kiểm tra vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ thực kiểu nhiệm vụ T2’ Việc HS khơng kiểm tra tính thẳng hàng ba điểm (SL1) hay vị trí tương đối hai đường thẳng (SL2) cách trình bày tập dạng SGK Chúng nhận thấy tập SGK 12 khơng có trường hợp cho điểm thẳng hàng hai đường thẳng song song Do vậy, cách ngầm ẩn, HS khơng có trách nhiệm kiểm tra tính thẳng hàng ba điểm A, B, C đứng trước kiểu nhiệm vụ T1’ kiểm tra vị trí tương đối hai đường thẳng đứng trước kiểu nhiệm vụ T2’ Nói cách khác, tồn quy tắc ngầm ẩn hợp đồng dạy học HS thực hai kiểu nhiệm vụ T1’ T2’ tương tự quy tắc ngầm ẩn thực kiểu nhiệm vụ T1 T2 Bảng Các quy tắc hợp đồng dạy học Quy tắc thực T1 T2 Quy tắc thực T1’ T2’ R1: HS khơng có trách nhiệm thực việc kiểm tra thực kiểu nhiệm vụ T1 R2: HS khơng có trách nhiệm thực việc kiểm tra thực kiểu nhiệm vụ T2 R1’: HS trách nhiệm kiểm tra tính thẳng hàng ba điểm A, B, C thực kiểu nhiệm vụ T1’ R2’: HS khơng có trách nhiệm kiểm tra vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ thực kiểu nhiệm vụ T2’ Từ phân tích cho phép chúng tơi hình thành giả thuyết: Giả thuyết H: “Tồn số sai lầm (SL1, SL2) HS học tập kiểu nhiệm vụ liên quan đến PTTQ mặt phẳng có nguồn gốc từ áp dụng suy luận tương tự tồn quy tắc hợp đồng dạy học gắn liền với kiến thức này” Kiểm định giả thuyết thông qua nghiên cúu thực nghiệm 4.1 Mơ tả thực nghiệm Tình sau thực nhằm kiểm nghiệm giả thuyết H nêu Tình thực với HS lớp 12 học PT mặt phẳng PT đường thẳng chương trình Hình học 12 Pha HS giải toán sau thời gian 30 phút nộp lại làm cho GV Bài toán 1: Cho điểm A(4;1;2), B(5;-2;1), C(3;4;3) Tìm mặt phẳng qua điểm A, B, C Bài toán 2: Cho hai đường thẳng x = − 2t x−2 y z+1 = = Viết PTTQ , =5 − t d ' : −1 d : y z=3+t mặt phẳng ( α qua A(3;2;-4) song song với d, d’ ) Pha GV HS sửa 10 phút: HS phát biểu, em khác nhận xét, bổ sung GV đánh giá sau 4.2 Phân tích tiên nghiệm 4.2.1 Các chiến lược Bảng Các chiến lược hai toán Bài toán Bài toán = S2-1: VTPT n u ,u ] [ S1-1: A, B, C thẳng hàng S1-2: VTPT n ( = AB, AC ABC ) d d' (α) = u , MM ' (α) d S2-2: VTPT n với M ∈ d , M ' ∈ d ' 4.2.2 Các biến dạy học V1: Đặc điểm điểm A, B, C: thẳng hàng hay không thẳng hàng Ba điểm A, B, C thẳng hàng cho phép xem xét sai lầm thứ V2: Đặc điểm đường thẳng d, d’: song song hay không song song Hai đường thẳng d // d’ tạo điều kiện xem xét sai lầm thứ hai V3: Đặc điểm mặt phẳng cần tìm Trong tốn 1, mặt phẳng cần tìm qua điểm A, B, C thẳng hàng nên có vơ số mặt phẳng Ở tốn 2, mặt phẳng ( α ) mặt phẳng 4.2.3 Các lời giải quan sát Bài tốn xác định nên HS cần tìm PTTQ - S1-1: Ta có AB = (1; −3 −1) , AC = (−1;3;1) nên A, B, C thẳng hàng Đến đây, HS đưa hai kết luận cho tốn sau: • Kết luận 1: Có vô số mặt phẳng qua điểm A, B, C Đây kết luận cho toán • Kết luận 2: Khơng có mặt phẳng qua điểm A, B, C Kết luận không - S1-2: AB = (1; −3 − 1) , AC = (−1;3;1) ⇒VTPT n ( ABC = AB, AC = ) Vậy PTTQ mặt phẳng (ABC) 0(x − 4) + 0( y −1) + 0( z − 2) = ⇔0x + y + 0z = Bài toán - S2-1: Vì ( α ) // d ( α ) //d’ nên ud = (−2; −1;1), ud ' = (2;1; −1) hai VTCP ( α ) Ta VTPT n = [ u ,u (α) d ] d' = (0;0;0) = Ở đây, HS đưa hai kết luận sau: (α) • Kết luận 1: Có vơ số mặt phẳng • Kết luận 2: Khơng có mặt phẳng ( α ) Cả hai kết luận khơng - S2-2: Ta có d//d’ Lấy M (1;5;3) ∈ d , M '(2;0; −1) ∈ d ' , suy ud = (−2; −1;1) MM ' = (1; −5; −4) VTCP ⇒VTPT n = u , MM ' = (9; −7;11) (α) Vậy PTTQ (α) d : 9(x − 3) − 7( y − 2) +11(z + 4) = ⇔9x − y +11z + 31 = (α) Đây lời giải cho tốn 4.3 Phân tích hậu nghiệm Chúng tiến hành thử nghiệm lớp 12A8, trường THPT Châu Văn Liêm, thành phố Cần Thơ vào ngày 20 tháng năm 2014 thời gian 30 phút Lớp 12A8 gồm 45 HS học theo chương trình nâng cao Sau kết thực nghiệm Pha Bảng Thống kê chiến lược HS toán Chiến lược S1-1 Kết luận (6,67 %) Kết luận (17,78 %) Chiến lược S1-2 34 (75,55%) Chiến lược ưu bảng thống kê chiến lược S1-2 (75,55 %) Như vậy, hầu hết em tính VTPT n = AB, suy PTTQ mặt phẳng (ABC) mà BC khơng kiểm tra tính thẳng hàng điểm A, B, C trước Điều dẫn đến sai lầm tìm mặt phẳng Bài làm HS Nguyên Thy minh họa cho trường hợp là: Chiến lược khác (0 %) “ AB = (1; −3; −1), BC = (−2; 6; 2) ⇒n( ABC = AB, BC = (0; 0;0) Mặt phẳng (ABC) qua A có VTPT n = (0;0; 0) 0(x − 4) + 0( y − 1) + 0(z − 2) = ⇔0x + y + 0z = ” Các em phải điều chỉnh lại cách tìm VTPT giải tốn Do đó, trước tính VTPT, em nên kiểm tra vị trí tương đối d d’ trước để biết dùng công thức cho phù hợp Bây giờ, cô mời Tiến Ngọc lên bảng giải lại toán (Ngày Tòa soạn nhận bài: 17-6-2014; ngày phản biện đánh giá: 01-82014; ngày chấp nhận đăng: 22-6-2015) ... nhận Cách tiếp cận suy luận tương tự hợp đồng DH cho phép giải thích nguồn gốc số sai lầm trình học tập học HS Để khắc phục sai lầm, theo học thuyết kiến tạo, nên đặt HS vào tình gắn liền với sai. .. tập toán cho HS Suy luận tương tự giúp HS tìm tịi, khám phá kiến thức Tuy nhiên, suy luận tương tự cho kết luận Điều suy luận tương tự suy luận quy nạp, suy luận diễn dịch, nên kết luận dự kiến... Thực tế đắn suy luận tương tự không bảo đảm, mà phải kiểm chứng Vì vậy, sử dụng suy luận tương tự, HS mắc phải sai lầm trình học tập 2.2 Quan niệm sai lầm Theo thuyết hành vi, sai lầm phản ánh