Đang tải... (xem toàn văn)
THCS TOANMATH com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y c[.]
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu ( x0 , y0 ) nghiệm hệ ( y0 , x0 ) nghiệm S= x + y điều kiện S ≥ P quy hệ phương trình c) Cách giải: Đặt P = x y ẩn S , P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 3 19 x + y = b) ( x + y )( + xy ) = x + y + xy = a) 3 x + y = ( 2 ( x += y ) 3 x y + xy c) x + y = ) x + y − xy = d) x + + y + =4 Giải: S= x + y điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: a) Đặt P = x y THCS.TOANMATH.com 2−S P = S + P = ⇔ S S − − 3S = S ( S − 3P ) = ⇒ S + 3S − S − 16 = ⇔ ( S − ) ( S + S + ) = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X =0 ⇔ X =0, X =2 = x 0= x ∨ = y 2= y S= x + y điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở thành: b) Đặt P = x y S ( S − 3P ) = 19 SP = −8S SP = −8S S = ⇔ ⇔ ⇔ 19 P = −6 S + 24 S − 25 = S − ( − 8S ) = S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X − =0 ⇔ X =3; X =−2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 ) c) Đặt = a = x,b 3 2 ( a + b3 )= ( a 2b + b a ) y hệ cho trở thành: + = a b S= a + b Đặt điều kiện S ≥ P hệ cho trở thành P = ab − 3SP ) 3SP = − 3P ) 3P S = 2 ( S= 2 ( 36 ⇔ ⇔ S = P = S = Suy a, b nghiệm phương trình: THCS.TOANMATH.com a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒ ∨ b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 ) xy ≥ S= x + y d) Điều kiện: Đặt điều kiện S ≥ P hệ phương x , y P x y ≥ − = trình cho trở thành: S − P = S ≥ 3; P =( S − 3) ⇔ 16 S + + S + P + = 2 S + ( S − 3) + = 14 − S 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3)2 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔ 2 4 ( S + 8S + 10 ) = 196 − 28S + S S + 30 S − 52 = S = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) ⇔ P = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x + y + xy = a) x + y = xy 2 x + y + x + y = c) x + y = x2 − y ( x + y ) 1 + = xy b) x + y 1 + = ) x2 y ( x3 y (1 + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 = d) 2 x y + x (1 + y + y ) + y − 11 = Giải: a) Đặt= x a= , y b điều kiện a, b ≥ THCS.TOANMATH.com a + b + 2ab = Hệ phương trình trở thành: Ta viết lại hệ a + b = (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab = phương trình thành: a + b = S= a + b điều kiện Đặt P = ab S ≥ 4P hệ cho trở thành S , P ≥ 256 − 64 P − P + P = ⇔ S = P =4 ⇔ a =b =2 ⇔ x = y =4 S = Ngồi ta giải ngắn gọn sau: ( x + y ) + xy = 16 x + y + xy = 16 ⇔ ( x + y ) = x + y ⇔ ( x − y)2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) b) Điều kiện: x + y > Biến đổi phương trình (1): x2 + y + xy xy = ⇔ ( x + y ) −1+ − xy = x+ y x+ y Đặt x + = y S , xy = P ta có phương trình: S + 2P − P − =0 S ⇔ S + P − SP − S = ⇔ S ( S − 1) − P( S − 1) = ⇔ ( S − 1)( S + S − P) = Vì S > P, S > suy S + S − P > Do S = THCS.TOANMATH.com Với x + y = thay vào (2) ta được: = (1 − y ) − y ⇔ y = 0, y = 2 xy ⇔ x + y + = − x − y ⇔ x + y + x + y = (không x+ y thỏa mãn điều kiện) Xét x + y + = Vậy hệ cho có nghiệm (= x; y ) (1;0 ) , ( −2;3) c) Điều kiện: xy ≠ Hệ cho tương đương: 1 1 1 x y + + + = x+ + y+ = x y x y ⇔ 2 1 2 1 1 x + y + + = x + x + y + y = x2 y 1 1 S x + + y + = x y Đặt x + y + = P x y Hệ trở thành: S S 1 x + = 2; y + = x y − 2P = ⇔ S= 5, P= ⇔ 1 =5 x + x = 3; y + y = 3± x 1;= y = Vậy hệ cho có nghiệm: ⇔ 3± = ;y x = 3± 3± ;1 ( x; y ) = 1; , THCS.TOANMATH.com 30 xy ( x + y )( x + y + xy ) = d) Hệ tương đương với : 11 xy ( x + y ) + x + y + xy = Đặt xy ( x + y= y b Ta thu hệ: ) a; xy + x + = xy ( x + y ) = b = 30 = ab a 5;= xy + x + y = ⇔ ⇔ + = xy x y ( ) a + b= 11 a= 6; b= xy + x + y = xy = xy ( x + y ) = = y x 2;= x + y = TH1: ⇔ ⇔ xy = x 1;= y xy + x + y = = ( L) x + y = xy = − 21 + 21 ( L) = ;y x = + = x y xy ( x + y ) = 2 TH2: ⇔ ⇔ xy = xy + x + y = + 21 − 21 = ;y x = 2 x + y = ± 21 21 Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (1; ) , ( 2;1) , ; 2 II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm + Phương pháp giải: THCS.TOANMATH.com Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng x − y = 0⇔ ( x − y ) f ( x; y ) = f ( x; y ) = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ( x − 1) ( y + 6= ) y ( x + 1) b) ) x ( y + 1) ( y − 1) ( x + 6= 2y x + x = a) 2x y + y = x + x − + x + =y c) y + y − + y + =x d) Giải: a) Điều kiện: x, y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( y ) ( ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ⇔ ( x− Vì ( x+ y x+ y )( x + y) +1+ 2( )( x + y) +1+ 2( ) x + y =0 ) x+ y >0 nên phương trình cho tương đương với: x = y Hay x2 − 2x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x ( x = x −1 x + x −1 = ⇔ x = x = − )( ) 3− 3− Vậy hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = ( 0;0 ) , (1;1) , ; 2 THCS.TOANMATH.com 2 xy + x − y − 6= yx + y b) Hệ cho ⇔ 2 yx + y − x − 6= xy + x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) =0 ⇔ ( x − y )( x + y − xy + ) =0 x = y ⇔ x + y − xy + = x= y= + Nếu x = y thay vào hệ ta có: x − x + = ⇔ x= y= + Nếu x + y − xy + = ⇔ (1 − x )(1 − y ) = 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 =0 ⇔ ( x − ) + ( y − ) =2 Đặt 2 a =2 x − 5, b =2 y − a + b = ( a + b ) − 2ab = 2 a + b = ab = −1 Ta có: ⇔ ⇔ 15 −1 a + b =−8 ab + ( a + b ) = ( a + )( b + ) = ab = 31 2 a + b = Trường hợp 1: ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3) ab = −1 a + b =−8 Trường hợp 2: vô nghiệm ab = 31 Vậy nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3) , ( 2;3) , ( 3; ) 1 c) Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ − 2 THCS.TOANMATH.com Để ý x = y = − nghiệm Ta xét trường hợp x + y ≠ −1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x3 + 3x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y ) x + xy + y + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x +1 + y +1 = ⇔ ( x − y ) x + xy + y + + = 0⇔ x= y x + + y + Khi x = y xét phương trình: x3 + x − + x + =0 ⇔ x3 + x + x + − =0 x( x + 1) + 2x = 0⇔ 2x +1 +1 x x2 + + = 0⇔ x= x + + 1 Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x= y= HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: ax + bxy + cy = d , + 2 k ex + gxy + hy = THCS.TOANMATH.com 2 ax + bxy + cy =dx + ey + , gx + hxy + ky =lx + my 2 d ax + bxy + cy = + … 2 gx + hx y + kxy + ly = mx + ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n + ak x n − k y k + an y n = Từ ta xét hai trường hợp: y = thay vào để tìm x + y ≠ ta đặt x = ty thu phương trình: a1t n + ak t n − k + an = + Giải phương trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y Chú ý: ( Ta đặt y = tx ) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x − x = y + y a) 3 ( y + 1) x −= 5 x y − xy + y − ( x + y ) = b) ( x, y ∈ ) 2 xy ( x + y ) + = ( x + y ) Giải: x + y = x + y a) Ta biến đổi hệ: 2 x + y = THCS.TOANMATH.com ... + y x= y PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình hệ có dạng... Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình. .. Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (1; ) , ( 2;1) , ; 2 II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương