Phương pháp giải phương trình vô tỷ thường gặp

THCS TOANMATH com MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 Phương trình vô tỷ cơ bản 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x ≥ = ⇔  = Ví dụ 1 Giải các phương trình a) 2 2 6 2 1x x x+ + = +[.]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ bản:  g ( x) ≥ f= ( x) g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x2 + 2x + = 2x + b) 2x +1 + = x 4x + Lời giải: a) Phương trình tương đương với: x= + b) Điều kiện: x ≥ Bình phương vế ta được:  x ≥ −8 3x + + 2 x + x = x + ⇔ 2 x + x = x + ⇔  2 4(2 x + x) = ( x + 8) x =  x ≥ −8 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có ⇔ ⇔  x = − 16 − − = x x 12 64   x = nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: II MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ THƯỜNG GẶP Giải phương trình vơ tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: THCS.TOANMATH.com Dấu hiệu: + Khi ta gặp toán giải phương trình dạng: n f ( x ) + m g ( x ) + h( x ) = Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: • Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x + += 2x2 + + 2x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với x ∈ R Nhưng chưa phải điều kiện chặt Để giải triệt để phương trình ta cần đến điều kiện chặt là: + Ta viết lại phương trình thành: x2 + − 2x2 + = 2x − x + − x + < phương trình có nghiệm 2x − < ⇔ x < Để ý rằng: • Nếu phương trình có nghiệm x0 : Ta phân tích phương trình sau: Viết lại phương trình thành: n f ( x) − n f ( x0 ) + m g ( x) − m g ( x0 ) + h( x) − h( x0 ) = Sau nhân liên hợp cho cặp số hạng với ý: + ( + ( a −b )( a −b )( ) a + ab + b = a − b3 ) a + b =a − b THCS.TOANMATH.com + Nếu h( x) = có nghiệm x = x0 ta ln phân tích h( x= ) ( x − x0 ) g ( x) Như sau bước phân tích rút nhân tử chung x − x0 phương trình  x − x0 = 0⇔ ban đầu trở thành: ( x − x0 ) A( x) =  A( x) = Việc lại dùng hàm số , bất đẳng thức đánh giá để kết luận A( x) = vơ nghiệm • Nếu phương trình có nghiệm x1 , x2 theo định lý viet đảo ta có nhân tử chung là: x − ( x1 + x2 ) x + x1.x2 Ta thường làm sau: + Muốn làm xuất nhân tử chung n f ( x) ta trừ lượng ax + b Khi nhân tử chung kết sau nhân liên hợp n f ( x) − (ax + b) + Để tìm a, b ta xét phương trình: n f ( x) − (ax + b) = Để phương trình có n ax1 + b = f ( x1 ) hai nghiệm x1 , x2 ta cần tìm a, b cho  n f (x ) ax2 + b = + Hồn tồn tương tự cho biểu thức cịn lại: Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x − + x − + x − = b) x − + − x= x − x − Giải: THCS.TOANMATH.com a) Phân tích: Phương trình đề gồm nhiều biểu thức chứa quy ẩn Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu , tạo phương trình tối thiểu bậc Từ ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung Điều kiện x ≥ Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x = Khi x3 − 1= − 1= 2; x − 1= − 1= x3 − − + x − − + x − =0 Ta viết lại phương trình thành: ⇔ x3 − 5x −1 + = 2x − + ( x − 1)  5( x + x + 1) ⇔ ( x − 1)  +  x3 − +  + 2x −1 +1 + x − =0  + 1 =  3 ( x − 1) + x − +  Dễ thấy : 5( x + x + 1) Với điều kiện x ≥ + 5 x3 − + 2 3 ( x − 1) + 2x −1 +1 Nên phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện: x ∈ [ 2; 4] Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x = Khi x−2 = − = 1; − x = Từ ta có lời giải sau: THCS.TOANMATH.com 4−3 = +1 > Phương trình cho tương đương với: x − − + − − x= x − x − x −3 x −3 ⇔ + =− ( x 3)(2 x + 1) x − −1 1+ − x 1   ⇔ ( x − 3)  + − (2 x + 1)  =  x − −1 1+ − x  x =  1  + − (2 x + 1) =  x − + 1 + − x Để ý rằng: Với điều kiện x ∈ [ 2; 4] 1 ≤ 1; ≤ 1; x + ≥ nên x − +1 1+ − x 1 + − (2 x + 1) < x − +1 1+ − x Từ suy ra: x = nghiệm phương trình Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối vơ nghiệm ta thường dùng A ước lượng bản: A + B ≥ A với B ≥ từ suy ≤ với A+ B A + B > số A, B thỏa mãn  B ≥ Ví dụ 2: Giải phương trình: x a) x − + = b) x3 − x − x − ( x − ) x − − x + 28 = Giải: a) Điều kiện: x ≥ THCS.TOANMATH.com Ta nhẩm nghiệm x = Nên phương trình viết lại sau: x − − + x − 3= ⇔ x3 − − x2 − x2 −1 + x2 −1 + + x −3 = x − 27 x3 − +  x+3 x + 3x +  ⇔ ( x − 3)  +1−  =0 3 x x x − + − + − +   x = ⇔  x+3 x + 3x + +1− =0  x − + x − + x3 − + Ta dự đoán: x+3 x2 −1 + x2 −1 + giá trị x ≥ ta thấy Ta chứng minh: +1− x + 3x + < ( Bằng cách thay x+3 x2 −1 + x2 −1 + x+3 x3 − + x2 −1 + x2 −1 + < +1− x + 3x + x3 − + x + 3x + x3 − + < 0) >2 Thật vậy: x+3 + Ta xét Đặt (x − 1) + x − + x − x − = t > ⇒ x = t + Bất phương trình tương đương với t + 2t + > t + ⇔ t + 3t + 6t + 4t > Điều hiển nhiên THCS.TOANMATH.com + Ta xét: x + 3x + x −2 +5 > ⇔ x + 3x − > x3 − ⇔ x + x3 + x − x + > ∀x ≥ 0(*) Điều ln Từ suy phương trình có nghiệm nhất: x = b.) Điều kiện: x ≥ Để đơn giản ta đặt x =t ≥ ⇒ x =t Phương trình cho trở thành: t − 2t − (t − 4) t − − 3t + 28 = ⇔ 3t − t + 2t − 28 + (t − 4) t − = Nhẩm t = Nên ta phân tích phương trình thành: ⇔ 4t − t + 2t − 32 + (t − 4) ( ) t3 − −1 =   t + 2t +   ⇔ (t − 2) ( 4t + 7t + 16 ) + (t − 4)   =  t − +    Để ý 4t + 7t + 16 > t ≥ nên ta có  t + 2t +  16 ( 4) + + + − t t t ( )   > Vì phương trình có nghiệm  t − +1 t = ⇔ x = Nhận xét: Việc đặt x = t toán để giảm số lượng dấu giúp đơn giản hình thức tốn Ngồi tạo liên hợp (t − 4) > nên ta tách khỏi biểu thức để thao tác tính tốn đơn giản Ví dụ 3: Giải phương trình: a) x + + 19 − x = x + x + THCS.TOANMATH.com b) x − 11 3x − − x + = c) x2 + (Tuyển sinh vòng lớp 10 Trường THPT x+ = x ( x + 1) chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012) d) x3 + x + x + = x2 + 2x + a) Điều kiện: −3 ≤ x ≤ x2 + x + 19 Ta nhẩm nghiệm x = 1, x = −2 nên ta phân tích để tạo nhân tử chung là: x + x − Để làm điều ta thực thêm bớt nhân tử sau: + Ta tạo x + − (ax + b) = cho phương trình nhận x = 1, x = −2 nghiệm  a=  a + b =  Để có điều ta cần:  ⇔ −2a + b = b = 20  + Tương tự 19 − x − (mx + n) = nhận x = 1, x = −2 nghiệm  a= −  m + n =  Tức  ⇔  13 −2m + n = b=  Từ ta phân tích phương trình thành: THCS.TOANMATH.com 20  4  13 x  x + −  x +  + 19 − x −  −  − ( x + x − ) =  3  3 ⇔ 4 19 − x − (13 − x) x + − ( x + )  + − ( x2 − x − 2) =  3 ⇔ − x2 − x +  − x2 − x +  − ( x2 + x − 2) =  +  x + + ( x + )  3 19 − x + (13 − x)      1  ⇔ − ( x − x − 2) + + 1 =0  3 x + + ( x + ) 3 19 − x + (13 − x)       Dễ thấy với −3 ≤ x ≤ 19 > 0, 3 x + + ( x + 5) 3 19 − x + (13 − x)  Nên >0 1 + +1 > 3 x + + ( x + ) 3 19 − x + (13 − x)    x = Phương trình cho tương đương với x + x − = ⇔   x = −2 Vậy phương trình có nghiệm là:= x 3,= x b) Điều kiện: x ≥ Phương trình viết lại sau: x − − x + = x − 11 THCS.TOANMATH.com Ta nhẩm nghiệm= x 3,= x nên suy nhân tử chung là: x − 11x + 24 Ta phân tích với nhân tử x − sau: cho phương trình nhận= + Tạo x − − ( ax + b ) = x 3,= x a+b = 3= a nghiệm Tức a, b cần thỏa mãn hệ:  ⇔ 8a + b =20 b =−4 m + n 10 = 3= m + Tương tự với x + − (mx + n) = ⇔ ta thu được:  m + n 15 = 8= n Phương trình cho trở thành: x − − (3 x − 4) + ( x + 7) − x + = ⇔ x − 11x + 24 −9( x − 11x + 24) + =0 x − + (3 x − 4) ( x + 7) + x +   −9 ⇔ ( x − 11x + 24 )  + =  x − + (3 x − 4) ( x + 7) + x +   x − 11x + 24 =  ⇔ −9 + =  x − + (3 x − 4) ( x + 7) + x + Ta xét A( x) = −9 + x − + (3 x − 4) ( x + 7) + x + Ta chứng minh: A( x) < tức là: −9 +