( Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ) ( Tập 18, Số 6 (2021) 1076 1084 ) ( TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số[.]
TẠP CHÍ KHOA HỌCHO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINHJOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 1076-1084Vol 18, No (2021): 1076-1084 ISSN: 2734-9918 Website: Bài báo nghiên cứu XÂY DỰNG MỘT HÀM NGHỊCH ĐẢO TRONG LÂN CẬN CỦA MỘT ĐIỂM BẤT THƯỜNG VỚI ĐỘ TRƠN YẾU Vũ Thị Phương1, Lê Anh Nhật2* Trường THPT TH Cao Nguyên, Trường Đại học Tây Nguyên, Đắk Lắk, Việt Nam Trường Đại học Tân Trào, Tuyên Quang, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Lê Anh Nhật – Email: leanhnhat@tuyenquang.edu.vn Ngày nhận bài: 24-11-2020; ngày nhận sửa: 10-6-2021; ngày duyệt đăng: 15-6-2021 TÓM TẮT Ánh xạ nghịch đảo nghiên cứu sử dụng nhiều toán học Đặc biệt ứng dụng nhiều cơng nghệ thơng tin thiết bị điện tử Bài báo nghiên cứu tồn hàm ánh xạ nghịch đảo lân cận điểm suy biến với độ trơn yếu Ban đầu, xem xét ánh xạ f liên tục điểm suy biến, mà cụ thể không điểm đạo hàm bậc khơng tồn đạo hàm bậc hai với giả thiết ánh xạ có suy yếu độ trơn, chúng tơi chứng minh tồn ánh xạ nghịch đảo Từ đó, chúng tơi xây dựng chứng minh tồn ánh xạ nghịch đảo trường hợp đạo hàm bậc điểm suy biến cho với suy yếu độ trơn ánh xạ Từ khóa: Brouwer; điểm bất thường; hàm nghịch đảo; ánh xạ nghịch đảo; ánh xạ bậc hai; độ trơn yếu Giới thiệu Ánh xạ nghịch đảo (inverse mapping) cịn gọi ánh xạ ngược, sử dụng nhiều toán học ứng dụng ứng dụng nhiều công nghệ thông tin cách rõ nét, như: lập trình đồ họa máy tính, ánh xạ nghịch đảo sử dụng làm kĩ thuật để tổ chức đồ 2D 3D với ánh xạ kết cấu (texture mapping); mạng máy tính, người ta lại sử dụng ánh xạ ngược kĩ thuật quét mạng để thu thập thông tin địa IP không hoạt động để xác định xem địa IP hoạt động liên kết với máy chủ (Talukda, 2020) Lí thuyết ánh xạ nghịch đảo cổ điển phát biểu rằng, đạo hàm ánh xạ liên tục f : n k điểm thuộc tồn nghiệm x=R( y) n khơng suy biến, phương trình f f (0) = với ( x) đủ nhỏ = y , ánh xạ R liên tục khơng điểm (zero) Ngồi ra, f khả vi liên tục R liên tục k y∈ Cite this article as: Vu Thi Phuong, & Le Anh Nhat (2021) Build an inverse function in a neighbourhood of an abnormal point under weak smoothness assumptions Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(6), 1076-1084 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương tgk Trong trường hợp f '(0) suy biến điều kiện đủ để mở rộng phương trình đưa báo A V Arutyunov (Arutyunov, 2006), báo đó, tác giả kết trường hợp f '(0) ≠ Cho ánh xạ f n k khả vi liên tục hai : lần vùng lân cận không điểm, f (0) = cho v ∈n cho f ''(0)[v, v] = điểm, ánh xạ liên tục R :V → n (i) f [R(x)] = x, ∀x ∈V ; f ''(0).[v, f '(0) = Nếu tồn véctơ tồn lân cận V không n] k số C cho: (ii) R(0) = 0; (iii) R(x) ≤ C x , ∀x ∈V Trong báo này, nghiên cứu tồn ánh xạ nghịch đảo khảo sát trường hợp f '(0) = Như nêu trên, với giả thiết suy yếu độ trơn ánh xạ f , xây dựng định lí ánh xạ nghịch đảo áp dụng cho toán ánh xạ ngược Nội dung 2.1 Các kiến thức Định nghĩa (Nguyen, Phi, & Nong, 2003) Cho V , R hai không gian tuyến tính thực Ta có định nghĩa sau: 1) Ánh xạ f :V ×V → gọi song tuyến tính V nếu: (i) f (x1 + x2,u) = f (x1,u) + f (x2,u) , f (x,u1 + u2 ) = f (x,u1) + f (x,u2 ); (ii) f (kx, u) = kf (x, u) = f (x, ku), với x, x1, x2,u,u1,u2 thuộc V k ∈ 2) Dạng song tuyến tính f gọi đối xứng nếu: f (x,u) = f (u, x), ∀x,u ∈V 3) Ánh xạ f :V ×V → gọi song tuyến tính đối xứng, ánh xạ f :V → , x f (x) = f [x, x], x ∈V gọi bậc hai, tương ứng với ánh xạ đối xứng song tuyến tính f :V ×V → Ảnh điểm x ∈V ánh xạ bậc hai kí hiệu f(x), ảnh điểm (x,u) ∈V × song tuyến tính kí hiệu f(x,u) Bổ đề Cho f :V → ánh xạ bậc hai, đó: (i) f (x − u, x + u) = f (x, x) − f (u, u); ánh xạ Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (ii) f (x + u, x + u) = f (x, x) + f (x, u) + f (u, u); (iii) f (kx) = k2 f (x), với x, u ∈V ∀k ∈ Vũ Thị Phương tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10761084 Chứng minh Do f ánh xạ bậc hai nên ánh xạ vừa đối xứng, nên ta áp dụng định nghĩa 1, ta có: (i) f (x − u, x + u) = f (x, x + u) − f (u, x + u) f :V → vừa song tuyến tính = f (x, x) + f (x,u) − [ f (u, x) + f (u,u)] = f (x, x) − f (u, u); (ii) f (x + u, x + u) = f (x, x + u) + f (u, x + u) = f (x, x) + f (x, u) + f (u, x) + f (u,u) = f (x, x) + f (x, u) + f (u, u); (iii) f (kx) = f (kx, kx) = kf (x, kx) = k f (x, x) = k f (x) Định nghĩa Véctơ v ∈ f : n k gọi không điểm quy ánh xạ bậc hai f (v, n ) f (v, v) = k Nhận xét: a Bất kì ánh xạ bậc hai véctơ v≠ dim f (v, f: n → n khơng có khơng điểm quy Thật vậy, với n )= n)n có đẳng thức f (v, Do đó, dim f (v, n ) + dimker f (v, ) = n , ker(v, n n ) ={0} Có nghĩa Ngồi ra, f (v) = f (v, v) ≠ Vì vậy, ánh xạ f khơng tồn khơng điểm quy b Ánh xạ dạng bậc hai f : n , với n > f n ) tồn khơng điểm ( quy v Thật vậy, với ánh xạ bậc hai f biết đến dạng tắc: f (x) = ∑k x , n i i ∀x = (x , x , , x ) ∈n n i Nếu ki ≥ , i = 1, 2, , n f( n) n Vì thế, tồn i, j = 1, 2, , ( ki Chọn v = 0, 0, , 0, 0, , f (x) ≥ với ∀x ∈ 1kj , n , điều mâu thuẫn với giả định với i < j cho k ) i j , 0, , Khi > 0, k < Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ( f (v) = ki ki j ( ) + k1k ) = ki + k j j ki Ngoài Tập 18, Số (2021): 1076k j 1084 f (x, ) k1x1, k2x2, , knxn , x hay , k j f (x, ) = 0, 0, , 0, ki Do f (v, n ) i k , 0, , , 0, , ≠ kj , nên f (v) = , v khơng điểm quy ánh xạ dạng bậc hai f Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương tgk 2.2 Đạo hàm vi phân điểm Định nghĩa (Nguyen, & Nguyen, 2018) Cho ánh xạ f : n k x0 ∈ n Ánh xạ f gọi khả vi Fréchet điểm �0 có tốn tử tuyến tính Γ n k ánh xạ : g: cho f (x + ε ) = f (x ) + Γ(ε ) + g(ε ) g(ε ) ε →0 ε →0 Toán tử n k 0 tuyến tính Γ xác định gọi đạo hàm Frechet ánh xạ f điểm x0 kí hiệu f '(x0) Cho f (x) = ( f1(x), f2(x), , fk (x)) , ma trận toán tử tuyến f '(x0) xác định tính đẳng thức ∂f1(x0 ) ∂f1(x0 ) ∂x ∂x ∂ f2 (x0 ∂ f2 (x0 ) ) ∂x ∂x f '(x ) = ∂ f (x ) ∂ f (x ) n ∂n x ∂x Nếu ánh xạ f khả vi điểm ϕ: ) + n k f1 (x0 ) x1 ∂ f2 (x0 ) ∂x ∂ f (x ) n ∂x n x0 tồn ánh xạ bậc hai f : cho f (x + ε ) = f (x ) + ε f '(x f (v) 0 n k ánh xạ + ϕ(v) ϕ(v) / v →0 f (x, x) v →0 Ánh xạ f gọi khả vi hai lần điểm x0 , ánh xạ bậc hai gọi đạo hàm bậc hai ánh xạ f điểm x0 kí f ''(x0 ) hiệu Bổ đề Cho ánh xạ bậc hai x ∈V Chứng minh Với ∀x ∈V ), f :V → Khi có: f '(x) = f (x, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM f ''(x) = f , Vũ Thị Phương tgk với f (x + ε ) − f (x) = f (x + ε , x + ε ) − f (x, x) = f (x, ε ) + f (ε , ε ) = f (x, ε ) + (ε , ε ) 2f Vì vậy, f '(x) = f (x,) f ''(x) = f 2.3 Hàm nghịch đảo vùng lân cận điểm thông thường Định lí (Nguyên lí điểm bất động Brouwer) (Hoang, 2003) Cho compact lồi không rỗng, ánh xạ f : X →X X ⊂ n tập hợp liên tục Khi đó, tồn điểm x ∈ X cho x = f (x) Định lí (Arutyunov, Magaril-Ilyaev, & Tikhomirov, 2006) Cho ánh xạ f : n k liên tục lân cận không điểm, khả vi không điểm, f (0) = điều kiện quy Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM f '(0).n k Tập 18, Số (2021): 10761084 thỏa mãn Khi tồn V ⊂ số C > ánh xạ R :V → n (i) f [R( y)] = y, ∀y ∈V ; k lân cận không điểm, cho: (ii) R(0) = 0; (iii) R( y) ≤ C y , ∀y ∈V Định lí (Spivak, 1995) Cho ánh xạ điểm f (0) = , f: → n k f '(0) điều kiện quy khả vi liên tục lân cận không n → k thỏa mãn Khi tồn V ⊂ k lân cận không điểm, số C > ánh xạ liên tục cho: (i) f [R( y)] = y, ∀y ∈V ; R :V → n (ii) R(0) = 0; (iii) R( y) ≤ C y , ∀y ∈V Bổ đề Nếu ánh xạ bậc hai f :n k ánh xạ liên tục R : k n (i) f [R( y)] = y, ∀y k ; lân cận v khơng điểm tồn số C > cho: (ii) R(0) = 0; (iii) R( y) ≤ C y , ∀y ∈ k Chứng minh Chúng ta có • Do f (v, v) = nên f (v) = ; • f khả vi liên tục vùng lân cận điểm v ; • f '(v) n k , f '(v) = f (v, Theo Định lí 3, tồn V ⊂ k ) f (v, n ) lân cận không điểm, số C0 > ánh xạ liên tục Ρ :Vn →sao cho: (i) f [P( y)] = y, ∀y ∈V ; (ii) P(0) = 0; (iii P( y) − v ≤ ) C0 k y , ∀y ∈V Từ quan hệ (iii) trên, ta có ∀y ∈V Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM P( y) − v ≤ P( y) − v ≤ C0 y P( y) ≤ C0 10 Tập 18, Số (2021): 10761084 y+v với Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM k Tập 18, Số (2021): 10761084 Chúng ta xây dựng ánh xạ cần thiết , 11 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM R Chọn ε > cho ε lân cận Tập 18, Số (2021): 10761084 không điểm ε ∈V Với ∀y ∈ y≠ 0, có yε (2y ) ∈V 12 Do đó, ánh xạ Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM R: k xác định: n R( y) = Vũ Thị Phương tgk y = 2y ε P yε R( y) = f [R( y)] = y Đặt λ ( y) := trường hợp lại ( (2y )) Chúng ta chứng minh 2y f [R( y)] = f yε { λ( y)P ( y) } = λ ( y) f =λ ( (2 y) = y, y) yε { P yε với ∀y ∈ k ( y) } Do đó, khẳng định (i) Bổ đề Bằng cách chứng minh tương tự, phát biểu (ii) bổ đề Dưới chứng minh khẳng định (iii) Bổ đề Nếu y = Nếu có R(0) = ≤ C0 với ∀C0 ≥ y ≠ có R( = y) với C = / yε + v = Cy C P y yε y ≤ 2y 2y ( v + C0ε / 2) Như vậy, phát biểu (iii) Bổ đề chứng minh , Ngoài ra, thấy tính liên tục R khơng điểm tn theo phát biểu (iii) bổ đề Cịn tính liên tục R điểm y ≠ xuất phát từ thực tế R thành phần ánh xạ liên tục 2.4 Hàm nghịch đảo vùng lân cận điểm bất thường Từ kết trên, thiết lập định lí hàm nghịch đảo vùng lân cận điểm bất thường Định lí Cho ánh xạ f :n k f (0) = , giả sử ánh xạ f liên tục lân cận không điểm, hai lần khả vi khơng điểm, khơng điểm quy Khi tồn V ⊂ ánh xạ k P :V →Rn cho: 13 f '(0) = , ánh xạ bậc hai f ''(0) có lân cận khơng điểm, số C0 > Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (i) f [P( y)] = y, ∀y ∈V ; Vũ Thị Phương tgk (ii) P(0) = 0; (iii P( y) ≤ ) C0 y , ∀y ∈V Chứng minh Vì ánh xạ f hai lần khả vi không điểm liên tục lân cận không điểm, có: f (x) = f (0) + f '(0)x + f ''(0)(x, x) + ϕ(x), ∀x ∈n , ϕ(x) x →0 x →0 Đặt G := f ''(0) / 2, mối liên hệ 14 f (0) = f '(0) = thu Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10761084 f (x) = G(x) + ϕ(x), ∀x ∈n Ánh xạ bậc hai G có khơng điểm quy v Từ Bổ đề tồn ánh xạ liên tục P : k n số β > cho: (i) G[P( y)] ≡ y, ∀y ∈k ; (ii) P(0) = 0; (iii) P( y) ≤ y , ∀y ∈ k β Đối với y ∈ k , xét phương trình f (x) = y, (1) với x chưa biết, tương đương với phương trình G(x) + ϕ (x) = y (2) Để khảo sát phương trình (1) (2), ta xét phương trình: x = P( y − ϕ(x)) (3) Nếu x nghiệm phương trình (3) x nghiệm phương trình (1) (2) Thật vậy, từ phương trình (3) thấy G(x) = G(P( y − ϕ(x)) Mà G[P( y)] ≡ y y ∈k G(x) = y − ϕ(x) Vì vậy, x nghiệm phương trình (1) (2) Cho số dương tùy ý < 1/ β Vì ϕ(x) / x →0 x →0, nên tồn số δ cho C1 ϕ(x) < C x , ∀x ∈δ B , với B khơng gian hình cầu kín với tâm khơng n điểm bán kính đơn vị Đối với y ∈( δ / β − C δ )2 B y ( 1/ β − C1 ) |y| , đặt r( y) : = ρ : r( y)B → n , xác định theo công thức ρ (x) = P( y − ϕ(x)), ∀x ∈ r( Nếu y)B x ∈ r( y)B x≤ y 1/ β − C1 ≤ / C1 2 1/ β − C1 =δ Vì ϕ (x) < C12 x có nghĩa: | y | | (x) | 15 | (x) | Xét ánh xạ Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM P( y − ϕ(x)) ≤ β ≤ y (x) β ≤β |y| ( + C2 ≤ ) β x2 1 C1 |y| + 1/ β − C 16 ≤β = ( Tập 18, Số (2021): 10761084 |y| = r( y) 1/ β − C Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương tgk Khi ánh xạ ρ biến r( y)B thành Trong khơng gian n , tập r( y)B tập compact lồi Theo ngun lí điểm bất động Brouwer, có điểm x ∈ R( y) nghiệm phương trình (3) Do R( y) nghiệm phương trình (1) k Vì vậy, tồn lân cận V = δ ( 1/ β 1− C ) B ⊂ không điểm ánh xạ P :V → n cho P( y) = f [P( y)] = y, ∀y ∈V Ta có x( y) ∈ r( y)B , y x( y) ≤ r( y) 1/ β − C1 = Ta đặt C := ( / β − C ) 1 , P( y) ≤ C y với ∀y ∈V Hiển nhiên P(0) = Kết luận Tại điểm bất thường, mà cụ thể trình bày không điểm giả thiết suy yếu độ trơn ánh xạ f tồn ánh xạ nghịch đảo Vì tính chất khả vi tồn khơng điểm quy khơng thay đổi theo thay đổi biến, nên định lí ánh xạ nghịch đảo xây dựng sau: Cho ánh xạ f : n k điể m V ⊂ điểm n : f ''(x0 )(v, v) = x0 f '(x0 ) = 0, ∃v , k ∈ liên tục điểm lân cận x0 ∈ y0 = f (x0 ) , ánh f ''(x0 ) (v, P :V → xạ n )= k n , khả vi hai lần Khi tồn lân cận số C > cho: n (i) f [P( y)] = y, ∀y ∈V ; (ii) P( y0 ) = x0; y y0 (iii P( y) − x0 ≤ ) C , ∀y ∈V Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Arutyunov, A V (Chief Editor), Magaril-Ilyaev, G G., & Tikhomirov, V M (2006) Pontryagin's maximum principle Proof and applications Moscow: Factorial 17 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương tgk Arutyunov, A V (2006) Implicit function theorem without a priori assumptions of normality Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46(2), 205-215 Hoang, T (2003) Ham thuc giai tich ham [Real function and functional analysis] Hanoi: Vietnam National University, Hanoi Nguyen, D T (Chief Editor), Phi, M B., & Nong, Q C (2003) Dai so tuyen tinh [Linear algebra] Hanoi: Hanoi National University of Education 18 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 10761084 Nguyen, X H., & Nguyen, V H (2018) Quy tac nhan tu Lagrange cho bai toan toi uu ngau nhien [Lagrange multiplier rule for the stochastic optimization problem] Ho Chi Minh city university of education journal of science: natural sciences and technology, 15(9), 128-135 Spivak, M (1995) Calculus on Manifolds: A modern approach to classical theorems of advanced calculus Brandeis University Talukda, M (2020) Dictionary Of Computer & Information Technology Delhi: Prabhat Prakashan BUILD AN INVERSE FUNCTION IN A NEIGHBOURHOOD OF AN ABNORMAL POINT UNDER WEAK SMOOTHNESS ASSUMPTIONS Vu Thi Phuong1, Le Anh Nhat2* Cao Nguyen Practical High school, Tay Nguyen University, Dak Lak, Vietnam Tan Trao University, Tuyen Quang, Vietnam * Corresponding author: Le Anh Nhat – Email: leanhnhat@tuyenquang.edu.vn Received: November 24, 2020; Revised: June 10, 2021; Accepted: June 15, 2021 ABSTRACT Inverse mapping has been studied and used extensively in mathematics Especially, it is also widely accepted in information technology and electromagnetic devices This article studies an existence of an inverse mapping function in the neighbourhood of a degenerate point under weak smoothness assumptions Initially, a continuous map x is regarded at the degenerate point, specifically at zero points, when the first derivative is zero and exists the second derivative with an assumption that the map has weakened smoothness We then prove that there exists an inverse mapping From there, we develop and prove the existence of an inverse mapping when the first derivative at a given degenerate point with the weak smoothness of that mapping Keywords: Brouwer; degenerate point; inverse function; inverse mapping; quadratic map; reverse mapping; weak smoothness 19 ... liên tục R điểm y ≠ xuất phát từ thực tế R thành phần ánh xạ liên tục 2.4 Hàm nghịch đảo vùng lân cận điểm bất thường Từ kết trên, thiết lập định lí hàm nghịch đảo vùng lân cận điểm bất thường. .. ≤ C x , ∀x ∈V Trong báo này, nghiên cứu tồn ánh xạ nghịch đảo khảo sát trường hợp f ''(0) = Như nêu trên, với giả thiết suy yếu độ trơn ánh xạ f , xây dựng định lí ánh xạ nghịch đảo áp dụng cho... nhiên P(0) = Kết luận Tại điểm bất thường, mà cụ thể trình bày khơng điểm giả thiết suy yếu độ trơn ánh xạ f tồn ánh xạ nghịch đảo Vì tính chất khả vi tồn khơng điểm quy khơng thay đổi theo