Bài viết Quy trình xây dựng một số bất đẳng thức từ các hàm lồi đề xuất hai quy trình sử dụng hàm lồi để xây dựng một số bất đẳng thức quen thuộc ở bậc trung học phổ thông. Trong đó, quy trình thứ nhất là kỹ thuật xây dựng các bất đẳng thức từ hàm hồi và quy trình thứ hai là kỹ thuật xây dựng các bất đẳng thức với các điều kiện phương trình, với hai kỹ thuật này chúng ta có thể tự sáng tạo ra một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng về chủ đề này.
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 4, 2022, 33-40 QUY TRÌNH XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TỪ CÁC HÀM LỒI Phạm Thị Trân Châu1*, Võ Đức Thịnh2, Ngô Thị Kim Yến1 Trần Thuỵ Hồng Yến2 Sinh viên, Khoa Sư phạm Tốn - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: phamthitranchau2000@gmail.com Lịch sử báo Ngày nhận: 15/12/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 19/01/2022; Ngày duyệt đăng: 07/3/2022 Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi đề xuất hai quy trình sử dụng hàm lồi để xây dựng số bất đẳng thức quen thuộc bậc trung học phổ thơng Trong đó, quy trình thứ kỹ thuật xây dựng bất đẳng thức từ hàm hồi quy trình thứ hai kỹ thuật xây dựng bất đẳng thức với điều kiện phương trình, với hai kỹ thuật tự sáng tạo hệ thống tập phong phú đa dạng chủ đề Hơn nữa, thơng qua việc hiểu hai quy trình sáng tạo dạng toán bất đẳng thức giúp cho người giáo viên định hướng phương pháp giải cho học sinh hiệu hơn, từ có phương pháp dạy học tốt chủ đề nhằm nâng cao chất lượng đào tạo Từ khóa: Bất đẳng thức, hàm lồi, quy trình PROCEDURES TO BUILD SOME INEQUALITY PROBLEMS FROM BASIC CONVEX FUNCTIONS Pham Thi Tran Chau1*, Vo Đuc Thinh2, Ngo Thi Kim Yen1, and Tran Thuy Hoang Yen2 Student, Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: phamthitranchau2000@gmail.com Article history Received: 15/12/2021; Received in revised form: 19/01/2022; Accepted: 07/3/2022 Abstract In this paper, we propose two processes using convex functions to build some familiar inequalities in high schools The first process is the technique of building inequalities from the convex function, while the second one is building inequalities with equation conditions There can possibly be plenty and diverse system of exercises created on this topic with these two techniques Moreover, adequate understanding these two creative mathematical processes will help teachers orient the solution method for students more effectively, thereby helping them to have a better teaching method about this topic, and improve training quality Keywords: Inequality, convex function, process DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.11.4.2022.964 Trích dẫn: Phạm Thị Trân Châu, Võ Đức Thịnh, Ngô Thị Kim Yến Trần Thuỵ Hồng Yến (2022) Quy trình xây dựng số bất đẳng thức từ hàm lồi Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 11(4), 33-40 33 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Giới thiệu Bất đẳng thức toán cực trị biểu thức nội dung quan trọng thuộc vào chủ đề khó thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp, mà thông qua việc dạy học chủ đề giúp học sinh hình thành phát triển lực tốn học, nhằm thực mục tiêu Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 Để giải dạng tốn này, người học thường phải dùng nhiều phương pháp kĩ thuật phức tạp để phân tích tìm lời giải toán, phương pháp kĩ thuật giải thường địi hỏi tư cao Vì tính quan trọng bất đẳng thức chương trình mơn Tốn bậc phổ thơng, nhiều tác giả đề xuất, nghiên cứu nhiều phương pháp, kỹ thuật chứng minh xây dựng (sáng tạo) bất đẳng thức (Đặng Thành Nam, 2018; Nguyễn Ngọc Đức Nguyễn Thị Minh Huệ, 2015; Nguyễn Thái Hòe, 2009; Nguyễn Vũ Lương Nguyễn Ngọc Thắng, 2018; Phạm Kim Hùng, 2006; Trần Phương, 2009; Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quốc Anh, 2018) Trong bất đẳng thức bất đẳng thức Jensen loại bất đẳng thức đặc trưng cho tính lồi hàm số dùng để chứng minh số bất đẳng số toán bất đẳng thức kỳ thi Toán học Quốc gia Quốc tế Xuất phát từ bất đẳng thức Jensen, chúng tơi đề xuất hai quy trình sử dụng số hàm lồi để xây dựng bất đẳng thức quen thuộc Từ đó, tự sáng tạo bất đẳng thức theo mong muốn từ hàm lồi khác tạo hệ thống tập phong phú đa dạng Xây dựng số bất đẳng thức từ hàm lồi Trong mục này, nhắc lại khái niệm số tính chất hàm lồi giới thiệu số hàm lồi quen thuộc Sau đó, chúng tơi sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi để xây dựng số bất đẳng thức quen thuộc Từ đó, chúng tơi đề xuất quy trình xây dựng tốn bất đẳng thức quen thuộc quy trình xây dựng bất đẳng thức chứa điều kiện phương trình 2.1 Hàm lồi tính chất hàm lồi Định nghĩa (Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền, 2009, Định nghĩa 8.1) Giả sử I khoảng Hàm số gọi hàm I lồi khoảng với , với , ta có 34 ( ( ( ( ( Bằng quy nạp tốn học, ta chứng minh ( hàm lồi I với số tự nhiên n , số ∑ với cho , ta có: ( ( ( ( (1.1) Bất đẳng thức (1.1) sử dụng để định nghĩa hàm lồi gọi bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức xem công cụ hiệu việc chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên, để kiểm tra hàm số cho trước có phải hàm lồi hay khơng thơng qua bất đẳng thức Jensen đơi khó khăn Định lý sau (Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền, 2009) cho ta điều kiện đủ để hàm số hàm lồi thông qua đạo hàm cấp hai hàm số Định lý (Đặc trưng hàm lồi thông qua đạo hàm cấp 2) Cho hàm số xác định ( có đạo hàm cấp hai ( Nếu ( với ( hàm lồi ( Ví dụ Các hàm số sau hàm lồi tập tương ứng: i ( hàm lồi ( ii ( hàm lồi ( iii ( hàm lồi ( Trong phần tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Jensen hàm lồi đưa quy trình xây dựng số bất đẳng thức quen thuộc chẳng hạn bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Sacnơ, bất đẳng thức Young, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hịa 2.2 Xây dựng số bất đẳng thức thường gặp 2.2.1 Quy trình xây dựng bất đẳng thức từ hàm lồi Chúng tơi đề xuất quy trình xây dựng bất đẳng thức từ hàm lồi sau: Bước 1: Lấy trước hàm lồi tập I viết dạng bất đẳng thức Jensen cho hàm số ( Bước 2: Chọn giá trị tương ứng Thay vào bất đẳng thức Jensen tương ứng với ( Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 4, 2022, 33-40 Bước 3: Thực phép biến đổi tương đương bất đẳng thức để thu bất đẳng thức đơn giản ( Chúng bắt đầu việc xây dựng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức quen thuộc với hầu hết học sinh Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia số kì thi học sinh giỏi cấp có tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức Cauchy số dạng áp dụng bất đẳng thức Cauchy thông qua hàm lồi ( ( √ Với n n ta có: ( ( Xét hàm số lồi ( ( Bất đẳng thức Jensen ( trường hợp viết sau: Lấy bất kỳ, 1 2 ( ( ( ( √ , ta được: n 2020, Với Điều tương đương với , ta có: ( (1.2) ( Đặt Khi đó, tính dương hàm , ta có a1 , a2 Hơn nữa, bất đẳng thức (1.2) trở thành ( ( ( ( ( Điều có nghĩa ( √ (1.3) Bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương Với trường hợp a1 a2 bất đẳng thức hiển nhiên Bằng cách tương tự cho trường hợp khác nhau, ta có dạng bất đẳng thức Cauchy cho số dạng tương tự bất đẳng thức Cauchy suy từ bất đẳng thức Cauchy sau: Với , ta có: ( ( ( ( √ Như vậy, với việc thay đổi số cách đặt , xây dựng số trường hợp khác bất đẳng thức Cauchy Tổng quát, cách tiếp cận thay hàm ( hàm lồi khác, thu nhiều dạng bất đẳng thức quen thuộc Sau đây, chúng tơi trình bày cách xây dựng số bất đẳng thức thông qua hàm lồi ( 2.2.3 Xây dựng số bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hịa thơng qua hàm lồi ( 35 Chun san Khoa học Tự nhiên Xét hàm số lồi ( Bất đẳng thức Jensen ( viết sau: Lấy ( trường hợp ( ) ( ( , ta được: ( ) Với , ta có: ( ( Hay ( ( ( ( Đây bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hòa ( ) ( ( ( ) Điều tương đương với ( ( ( ) Với ( , ta có: ( ( ) ( ( ( ( ( ( Với , ta có: ) ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ( ( ( 36 ( ( Với việc thay đổi số ( ) cách đặt thức trung bình cộng trung bình điều hịa 2.2.4 Xây dựng bất đẳng thức Bunhiacopxki bất đẳng thức Sacnơ thông qua hàm lồi ) Xét hàm số f ( x) x Bất đẳng thức Jensen ( với viết sau: ) Với ( ) i , xây dựng số bất đẳng ( ( ) ( ( ( ( ( , ta có: ( ( ) Với ( ( ) ( ( ( ( ( ( ) ( ( , ta có: ( ( ( Lấy Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 4, 2022, 33-40 ta được: * ∑ ∑ ( + ∑ (∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ) Đặt với Khi đó, tính ) ∑ ∑ ∑ ∑ Bất đẳng thức tương đương với ( ) ∑ ∑ hay (∑ ∑ ) ∑ ∑ ∑ (1.5) Bất đẳng thức (1.5) gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki chương trình tốn học phổ thơng Bằng cách tương tự, cho trường hợp khác nhau, ta có dạng bất đẳng thức Sacno suy từ bất đẳng thức Bunhiacopxki sau: Với Trong nhiều trường hợp, toán bất đẳng thức xuất thêm điều kiện biến Trong mục này, đề xuất quy trình xây dựng bất đẳng thức với điều kiện từ hàm lồi số ví dụ minh họa Bước 3: Biến đổi tương đương để thu toán bất đẳng thức đơn giản 2.3.2 Xây dựng bất đẳng thức với điều kiện hàm lồi ( ( ( Xét điều kiện hai số thực dương Điều kiện tương đương với ∑ Ta thấy, thỏa mãn có điều kiện bất đẳng thức Jensen Do đó, ta áp dụng bất đẳng thức Jensen hàm lồi cho có dạng để bất đẳng thức khác Chẳng hạn như: , ∑ ta có: ( ( 2.3 Xây dựng tốn bất đẳng thức có điều kiện Bước 2: Lấy hàm lồi viết bất đẳng thức Jensen với tương ứng với điều kiện toán ( ∑ ( ( ( Đối với hàm số lồi ( bất đẳng thức Jensen ( ( (1.6) Bước 1: Biến đổi điều kiện dạng cần thiết ( ∑ 2.3.1 Quy trình xây dựng tốn bất đẳng thức từ điều kiện phương trình Điều có nghĩa ( ∑ (1.4) dương hàm x , ta có , bi Hơn nữa, bất đẳng thức (1.4) trở thành ( ∑ ( ∑ ∑ ) ) hay Điều tương đương với (∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ) ( , với ta có: (1.7) ∑ ∑ ∑ 37 Chuyên san Khoa học Tự nhiên (i) Ta chọn đẳng thức (1.7) trở thành Khi đó, bất Với hàm số ( đẳng thức Jensen ( sau: ( cho , bất viết (1.11) Điều tương đương với (1.8) Vậy ta có toán bất đẳng thức sau: Bài toán Cho hai số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài toán (1) bất đẳng thức quen thuộc chương trình Tốn học phổ thơng Bây giờ, ta chọn x1 , x2 khác đi, ta thu bất đẳng thức khác sau: (ii) Lấy Bài toán Cho hai số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Như vậy, với việc thay đổi cách đặt cách làm tương tự, chúng tơi xây dựng thêm nhiều dạng bất đẳng thức khác Tổng quát, cách tiếp cận thay hàm ( hàm lồi khác, thu nhiều dạng bất đẳng thức khác Ví dụ sau trình bày cách xây dựng số bất đẳng thức thông qua hàm lồi ( với điều kiện Xét hàm số ( Jensen f (x) với ( Bất đẳng thức viết sau: ) Điều tương đương với ( ( ) (1.10) Đặt Khi đó, tính dương hàm ( , ta có a, b Hơn nữa, bất đẳng thức (1.10) trở thành a b Vậy ta có tốn bất đẳng thức sau: 38 ln x a ln y b b a b 1 eln x eln y a b Điều tương đương với 1 eln( xy ) ea ln x eb ln y a b Điều có nghĩa Vậy ta có tốn sau: Bài toán Cho số thực số thực khơng âm thỏa mãn Vậy ta có toán bất đẳng thức sau: mãn ea , từ (1.7) ta có: (1.9) ( Đặt x1 ln xa , x2 ln y b Khi đó, bất đẳng thức (1.11) trở thành Bài toán Cho a, b hai số dương thỏa Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: Bài toán (4) bất đẳng thức Young Với cách tiếp cận thay điều kiện điều kiện khác, thu nhiều dạng bất đẳng thức khác Chẳng hạn với điều kiện với ba số dương, ta có: Như thoả mãn điều kiện bất đẳng thức Jensen Do đó, ta xây dựng bất đẳng thức thông qua hàm lồi từ Sau trình bày cách xây dựng số bất đẳng thức thông qua hàm lồi ( với điều kiện 2.3.3 Xây dựng bất đẳng thức với điều kiện hàm lồi ( Xét hàm số ( ( thức Jensen f (x) với viết sau: Bất đẳng Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 11, Số 4, 2022, 33-40 1 1 x1 x2 x3 ax1 bx2 cx3 a b c Đặt thức (1.12) trở thành (1.12) Khi đó, bất đẳng Điều có nghĩa ( )( ) ( số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: )( Bất đẳng thức Jensen f (x) với viết sau: ( ( ( ( Bây giờ, thay chọn tương ứng với ví dụ trên, chúng tơi thay đổi cách tiếp cận việc đặt Khi ta có: ( ( √ ( √ ( ( √ √ ) ( ) √ √ √ √ Vậy ta có toán sau: √ bốn số thực dương Chứng minh rằng: √ Điều tương đương với √ ( ( ) Đặt đẳng thức (1.13) trở thành ( (0,1) Bất √ đẳng thức Jensen f (x) viết sau: Bài toán Cho thỏa mãn ) ( ( ( 2.3.4 Xây dựng bất đẳng thức với điều kiện hàm lồi f ( x) x ( bốn số thực dương Xét hàm lồi ) Với việc thay đổi cách đặt cách làm tương tự, chúng tơi xây dựng thêm nhiều dạng bất đẳng thức khác Đặc biệt, cách tiếp cận thay hàm ( hàm lồi khác, thu nhiều dạng bất đẳng thức khác Sau trình bày cách xây dựng số bất đẳng thức thông qua hàm lồi f ( x) x với điều kiện Xét hàm số f ( x) x Tất nhiên, chúng tơi hồn tồn xét hàm lồi khác ( để có bất đẳng thức tương ứng Bây giờ, xét cách khai thác điều kiện khác, thay cho , điều kiện biến đổi tương ứng với để đạt bất đẳng thức có độ phức tạp lớn Ví dụ sau, trình bày việc xây dựng bất đẳng thức với cách tiếp cận Ví dụ Cho thỏa mãn Vậy ta có tốn bất đẳng thức sau: Bài toán Cho điều kiện số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài toán Cho điều kiện (1.13) Khi đó, bất √ √ √ Ví dụ sau trình bày việc xây dựng bất đẳng thức với điều kiện với số dương Ví dụ Cho ) Điều có nghĩa Xét hàm số ( thức Jensen ( Vậy ta có toán bất đẳng thức sau: số dương thỏa mãn trường hợp ( Bất đẳng với điều kiện viết sau: 39 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Ta có Thay ( ( ( ba Lấy ( việc xây dựng nên quy trình hỗ trợ cho người dạy việc sáng tạo bất đẳng thức mới, đồng thời định hướng phương pháp giải thơng qua việc xây dựng Ngồi ra, chúng tơi nhận thấy xây dựng bất đẳng thức theo kỹ thuật khác từ cặp hàm lồi liên hợp, ý tưởng mà cần tiếp tục nghiên cứu việc sáng tạo bất đẳng thức Tài liệu tham khảo , ta ba bất đẳng thức Bộ Giáo dục Đào tạo (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Hà Nội ( ) (1.14) ( ) (1.15) ( ) (1.16) Đặng Thành Nam (2018) Khám phá kỹ thuật giải bất đẳng thức, toán Min-Max Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Cộng ba bất đẳng thức (1.14), (1.15) (1.16) vế theo vế, ta Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009) Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Hà Nội: NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ ( ) Điều có nghĩa Nguyễn Thái Hịe (2009) Các tốn giá trị lớn giá trị nhỏ Hà Nội: NXB Giáo dục Vậy ta có tốn sau: Nguyễn Vũ Lương Nguyễn Ngọc Thắng (2018) Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Bài toán Cho số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Đây toán bất đẳng thức đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2004-2005, Khối A Kết luận Việc sử dụng hàm lồi xây dựng bất đẳng thức quen thuộc vô số bất đẳng thức khác có đề thi học sinh giỏi cấp, 40 Nguyễn Ngọc Đức Nguyễn Thị Minh Huệ (2015) Dùng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị đại số hình học Tạp chí Giáo dục, (số đặc biệt tháng 4), 73-75 Phạm Kim Hùng (2006) Sáng tạo bất đẳng thức Hà Nội: NXB Hà Nội Trần Phương (2009) Những viên kim cương chứng minh bất đẳng thức Hà Nội: NXB Tri thức Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quốc Anh (2018) Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... Quy trình xây dựng bất đẳng thức từ hàm lồi Chúng tơi đề xuất quy trình xây dựng bất đẳng thức từ hàm lồi sau: Bước 1: Lấy trước hàm lồi tập I viết dạng bất đẳng thức Jensen cho hàm số ( Bước... dựng số bất đẳng thức quen thuộc Từ đó, chúng tơi đề xuất quy trình xây dựng toán bất đẳng thức quen thuộc quy trình xây dựng bất đẳng thức chứa điều kiện phương trình 2.1 Hàm lồi tính chất hàm lồi. .. bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Sacnơ, bất đẳng thức Young, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hịa 2.2 Xây dựng số bất đẳng thức thường gặp 2.2.1 Quy trình