Mở đầu Nhà toán học vĩ đại Euclid đã viết "Trong thực tế, nhiều tính chất của các số đã biết đều được tìm ra bằng phép quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh[.]
Mở đầu Nhà toán học vĩ đại Euclid viết "Trong thực tế, nhiều tính chất số biết tìm phép quy nạp tìm thấy lâu trước đắn chúng chứng minh chặt chẽ Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với thời cịn chưa chứng minh Chỉ có đường quan sát tư quy nạp dẫn đến chân lý." Câu nói phần lột tả tầm quan trọng phép quy nạp sống, khoa học tốn học Tuy nhiên, q trình quy nạp q trình từ "tính chất" số cá thể suy "tính chất" tập thể nên khơng phải lúc Phép suy luận thỏa mãn điều kiện định Trong toán học vậy, trình suy luận thỏa mãn ngun lý quy nạp Trong tốn học có nhiều tốn giải hay chứng minh theo phương pháp thơng thường khó khăn phức tạp, phương pháp quy nạp tốn học lại cơng cụ đắc lực giúp giải tốn Trong chương trình tốn học phổ thơng, phương pháp quy nạp đề cập đến lớp 11, phương pháp đề cập phạm vi hạn chế, chưa mô tả cách hệ thống, chưa nêu rõ ứng dụng phương pháp Số học, Đại số, Hình học, Từ niềm u thích mơn Tốn nói chung phương pháp quy nạp nói riêng, mong muốn nghiên cứu phương pháp cách sâu hệ thống, mong muốn tích lũy kiến thức tốn học nhiều hơn, có chun mơn vững vàng hơn, tác giả lựa chọn đề tài "Phương pháp quy nạp với toán phổ thơng" Cuốn luận văn nhằm đưa nhìn tổng quan phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý hình thức phương pháp đến tập áp dụng phân môn khác Hệ thống tập đưa phong phú Tác giả sưu tầm số đề thi Olympic toán quốc gia quốc tế giải phương pháp Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày nguồn gốc phương pháp quy nạp kiến thức phương pháp quy nạp tốn học Chương 2: Trình bày ứng dụng phương pháp quy nạp giải toán, bao gồm số toán số học, đại số, giải tích, hình học số tốn rời rạc khác Chương 3: Gồm số toán tham khảo trích đề thi IMO đề thi vơ địch nước khu vực LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Đặng Huy Ruận, Thầy quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả tận tình suốt thời gian thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cơ khoa Toán – Cơ – Tin học, người tham gia giảng dạy, truyền thụ cho tác giả kiến thức vô quý báu Tác giả xin cảm ơn Thầy Cơ phịng Đào Tạo sau Đại học trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện tốt cho tác giả bạn suốt thời gian học tập Mặc dù tác giả cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận dạy Quý Thầy Cô ý kiến đóng góp quý độc giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp tốn học (Trích tài liệu tham khảo [11]) Khi ta tính số tam giác Pascal cách áp dụng công thức truy tốn, ta phải dựa vào hai số tìm trước cạnh đáy Phép tính độc lập dựa vào công thức quen thuộc Cnr = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) 1.2.3 r mà ta gọi công thức tường minh để tính hệ số nhị thức Cnr Cơng thức tường minh có cơng trình Pascal (trong diễn đạt lời khơng phải kí hiệu đại) Pascal khơng cho biết ơng làm để cơng thức (có thể lúc đầu đốn- ta thường phát quy luật tương tự nhờ quan sát lúc đầu, sau thử khái quát kết có được) Tuy vậy, Pascal đưa cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh Cơng thức tường minh dạng viết không áp dụng trường hợp r = Tuy vậy, ta quy ước r = 0, theo định nghĩa Cn0 = Còn trường hợp, r = n cơng thức khơng ý nghĩa ta có Cnn = n(n − 1)(n − 2) 2.1 = 1.2.3 (n − 1)n Đó kết Như vậy, ta cần chứng minh công thức với < r < n, tức bên tam giác Pascal cơng thức truy tốn sử dụng Tiếp theo ta trích dẫn Pascal với số thay đổi không Một phần thay đổi dấu ngoặc vuông Mặc dù mệnh đề xét (công thức tường minh hệ số nhị thức) có vơ số trường hợp riêng, tơi chứng minh cách hoàn toàn ngắn gọn dựa hai bổ đề Bổ đề thứ khẳng định, mệnh đề với đáy thứ nhấtđiều hiển nhiên (khi n = cơng thức tường minh trường hợp giá trị r, nghĩa r = 0, r = rơi vào điều nhận xét trên) Bổ đề thứ hai khẳng định, mệnh đề với đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] với đáy [đối với n + 1] Từ hai bổ đề trên, ta suy đắn mệnh đề giá trị n Thật vậy, bổ đề thứ nhất, mệnh đề với n = Do đó, theo bổ đề thứ hai với n = 2, theo bổ đề thứ hai với n = đến vô hạn Như vậy, ta phải chứng minh bổ đề thứ hai Theo cách phát biểu bổ đề đó, ta giả thiết cơng thức ta đáy thứ n, nghĩa giá trị tùy ý n với giá trị r (đối với r = 1, 2, , n) Đặc biệt đồng thời với cách viết Cnr = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) 1.2.3 (r − 1)r ta viết (với r ≥ 1) Cnr−1 = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 2) 1.2.3 (r − 1) Cộng hai đẳng thức áp dụng cơng thức truy tốn, ta hệ ( ) n − r + n(n − 1) (n − r + 2) r Cn+1 +1 = Cnr + Cnr−1 = 1.2 (r − 1) r = n(n − 1) (n − r + 2) n + (n + 1)n(n − 1) (n − r + 2) = 1.2 (r − 1) r 1.2.3 r Nói cách khác, đắn cơng thức tường minh giá trị n kéo theo tính đắn n + Chính điều khẳng định bổ đề thứ hai Như vậy, ta chứng minh bổ đề Những lời Pascal trích dẫn có giá trị lịch sử chứng minh ơng vận dụng lần phương pháp suy luận mẻ, thường gọi phương pháp quy nạp toán học 1.2 Quy nạp quy nạp tốn học (Trích tài liệu tham khảo [10]) Quy nạp trình nhận thức quy luật chung cách quan sát so sánh trường hợp riêng Nó dùng khoa học tốn học Cịn quy nạp tốn học dùng tốn học để chứng minh loại định lý Thật khơng may chỗ hai tên gọi lại liên quan với nhau, hai phương pháp khơng có liên hệ lơgic Tuy nhiên, có liên hệ thực tế người ta thường đồng thời dùng hai phương pháp Ta minh họa hai phương pháp ví dụ sau Một cách ngẫu nhiên, ta thấy + + 27 + 64 = 100 viết lại sau 13 + 23 + 33 + 43 = 102 Khi ta tự hỏi tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp có ln ln bình phương khơng? Để trả lời câu hỏi đó, ta làm nhà tự nhiên học, tức kiểm tra trường hợp riêng khác nhau, với n = 1, n = 2, n = 3, n = 13 = 12 13 + 23 = = 32 13 + 23 + 33 = 36 = 62 13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 Qua đó, nhà tự nhiên khơng nghi ngờ tính đắn quy luật tổng quát suy từ trường hợp riêng quan sát Nhà tốn học nói phép quy nạp gợi ý cho ta định lý sau: "Tổng n lập phương bình phương" Tại tổng lập phương liên tiếp lại bình phương? Trong trường hợp này, nhà tự nhiên học tiếp tục nghiên cứu giả thuyết theo nhiều hướng khác Tiếp tục xét tới trường hợp n = 6, Nhà tự nhiên học cố rút quy luật sâu sắc Ta nhận thấy quy luật dãy số 1, 3, 6, 10, 15 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 = + + + 15 = + + + + Từ ta dự đốn 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 Chính nhờ quy nạp ta có quy luật Thật ra, q trình lí luận, dù chiều chưa hồn chỉnh hợp lí cho ta hình dung phương pháp (quy nạp) Phép quy nạp cố gắng phát quy luật liên hệ ẩn giấu đằng sau tượng quan sát bề ngồi Nhiều kết tốn học tiên có quy nạp, sau chứng minh Tốn học trình bày chặt chẽ khoa học suy diễn, có hệ thống, tốn học lúc hình thành khoa học thực nghiệm, quy nạp Trong toán học khoa học tự nhiên, ta dùng quan sát quy nạp để khám phá quy luật tổng quát, chúng có khác Trong khoa học tự nhiên, khơng có cao quan sát quy nạp, cịn tốn học ngồi quan sát quy nạp cịn có chứng minh chặt chẽ Ta xét "bài toán chứng minh" + + + ··· + n = n(n + 1) Trong trường hợp, hệ thức dễ nghiệm lại Xét hình chữ nhật có cạnh n n + 1, chia làm hai phần đường gấp khúc hình 1.1 (ứng với trường hợp n = 4) Mỗi nửa có "dạng bậc thang" có diện tích biểu diễn cơng thức + + · · · + n Hình 1.1 Trường hợp n = 4, diện tích + + + hình 1.1b Mặt khác, diện tích hình bậc thang nửa diện tích hình chữ nhật đó, điều chứng tỏ cơng thức Như vậy, ta biến đổi kết tìm phương pháp quy nạp biểu diễn sau [ ]2 n(n + 1) 13 + 23 + + n3 = (1.1) Nếu ta khơng có cách để chứng minh, ta thử lại Ta thử cho trường hợp đầu tiên, tức thử với n = thấy đẳng thức Ta thử Cơng thức có lẽ tổng qt, tức với giá trị n Nhưng có cịn không ta từ giá trị n đến tới giá trị n + Áp dụng cơng thức ta phải có [ ] (n + 1)(n + 2) 3 3 + + + n + (n + 1) = (1.2) 10 Ta lấy (1.2) trừ vế (1.1), ta có [ ] [ ] (n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1) = − 2 (1.3) Vế phải viết lại sau ( ) ] n+1 2[ 2 (n + 2) − n ) ( ] n+1 2[ n + 4n + − n2 = (n + 1)2 (4n + 4) = (n + 1)3 = Như cơng thức tìm thực nghiệm thử lại chặt chẽ Ta làm rõ ý nghĩa phép thử Ta có (1.3) Nhưng ta cịn chưa biết đẳng thức sau có khơng [ ] n(n + 1) 3 + + + n = Nhưng ta biết suy cách thêm vào đẳng thức thiết lập trên, đẳng thức sau [ ] (n + 1) (n + 2) 3 3 + + + n + (n + 1) = Đó biểu thức (1.1), khác n + thay cho n Nhưng ta biết điều giả định ta với n = 1, 2, 6, với n = 6, nên phải với n = 7, với n = phải với n = tiếp tục nên công thức với giá trị n Vậy tổng quát Chứng minh xem mẫu mực cho nhiều trường hợp tương tự Vậy nét gì? Điều khẳng định mà ta cần chứng minh phải phát biểu rõ ràng, xác Nó phụ thuộc vào số tự nhiên n 11 Điều khẳng định phải "xác định" đến mức khiến ta thử cịn khơng từ số tự nhiên n sang số tự nhiên n + Nếu ta thử có kết điều đó, ta dùng kinh nghiệm có q trình thử để đến kết luận điều khẳng định phải với n + 1, với n Có điều rồi, ta cần biết điều khẳng định với n = 1, với n = 2, với n = tiếp tục Bằng cách từ số nguyên đến số nguyên liền sau nó, ta chứng minh tính tổng qt điều khẳng định Phương pháp chứng minh hay dùng xứng đáng có tên gọi Ta gọi phép chứng minh từ n đến n + 1, hay đơn giản phép "chuyển tới số nguyên tiếp sau" Do ngẫu nhiên, phương pháp mang tên khơng tiện lợi "quy nạp tốn học" Điều khẳng định ta vừa chứng minh có nguồn gốc phương diện logic nguồn gốc khơng quan trọng Thế mà, nhiều trường hợp trường hợp ta vừa xét cách chi tiết nguồn gốc lại quy nạp Ta tới đường thực nghiệm Thành thử, chứng minh bổ sung tốn học cho quy nạp Điều giải thích tên gọi phương pháp 1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học Trong đời sống thực tế, việc gặp suy luận mang tính quy nạp khơng Chẳng hạn, ví dụ sau Lớp trưởng kiểm tra tập bạn lớp (có 35 học sinh), kiểm tra bạn , bạn chưa làm tập, thân lớp trưởng chưa làm Lớp trưởng kết luận: “Tất bạn chưa làm bài” Trong ví dụ này, lớp trưởng sử dụng phép quy nạp, mà phép quy nạp đúng, sai Như vậy, lớp trưởng kết luận chưa 12 ... vận dụng lần phương pháp suy luận mẻ, thường gọi phương pháp quy nạp toán học 1.2 Quy nạp quy nạp tốn học (Trích tài liệu tham khảo [10]) Quy nạp trình nhận thức quy luật chung cách quan sát... "Phương pháp quy nạp với tốn phổ thơng" Cuốn luận văn nhằm đưa nhìn tổng quan phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý hình thức phương pháp đến tập áp dụng phân môn... lý chứng minh 14 1.3.2 Phương pháp quy nạp tốn học (Trích tài liệu tham khảo ([4])) Phương pháp dùng ngun lí quy nạp tốn học để giải toán, người ta gọi phương pháp quy nạp toán học Giả sử khẳng